تعجيز ديراك لاولر

عملية الاشتقاق (بالاضافة الى العملية العكسية: عملية التكامل) تُعول عليها جميع الفيزياء و الرياضيات.

و الاشتقاق كان قد اكتشفه كل من أب الفيزياء نيوتن Newton و الفيلسوف الفذ ليبنيز Leibniz فى نفس الوقت و لم تُحسم الى غاية يومنا هذا قضية الى من ترجع الاسبقية فى هذا الاكتشاف الذى ابتدأت به الفيزياء الحديثة.

ثم جاء الفيزيائى اولر Euler و اكتشف ابسط و اقدم خوارزمية عددية لحساب المشتقات مازالت تستعمل الى غاية يومنا هذا.

و اولر كان عبقرى ظهرت عليه علامات النبوغ منذ كان طفلا و هو اذن لا يحتاج الى خورزمة و حوسبة المشتقة فهو استطاع و يستطيع حساب اشياء معقدة جدا من الناحيتين الفيزيائية و الرياضية بطريقة تحليلية لكنه اكتشف طريقته العددية فى حساب المشتقة لانه كان يعتقد ان العدديات و الخوارزميات و الحاسوبيات هى من كمال الرياضيات و ليست فقط التحليليات و التجريديات و البنائيات.

و تذكروا فان الرياضيات بكل فروعها هى لغة الفيزياء.

طريقة اولر فى الصورة الاولى.

لاحظوا فان طريقة اولر تطبق بالخصوص على المعادلات التفاضلية من الرتبة الاولى first order differential equations اى تحتوى على الاشتقاق من الرتبة الاولى.

ثم تقدمت الفيزياء اكثر بعد نيوتن و ليبنيز و اولر و جاءت اول المعادلات الكمومية العظيمة (معادلة شرودينغر Schrodinger equation) على يد احد آباء الميكانيك الكمومى (شرودينغر Schrodinger) و التى ابتدأت ما يسمى الميكانيك الكمومى الموجى.

معادلة شرودينغر وهى فى اغلبها معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية second order differential equation (اى تحتوى على مشتقات من الرتبة الثانية فى الفضاء و مشتقة من الرتبة الاولى فى الزمن) ومع هذا فانه يمكن تطبيق خوارزمية اولر عليها بشكل او بآخر بدون اى مشاكل.

اول معادلة كمومية نسبية هى معادلة كلاين-و-غوردن Klein-Gordon equation التى هى معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية فى كل من الفضاء و الزمن و مع هذا فانه يمكن تطبيق خوارزمية اولر عليها ببعض التعديل بدون اى مشاكل ايضا.

يأتى بعد شرودينغر و كلاين و غوردن العملاق الكمومى الآخر و آجد آباء الميكانيك الكمومى (ديراك Dirac) و يكتشف معادلته الشهيرة (معادلة ديراك Dirac equation) التى هى المعادلة الكمومية النسبية الصحيحة التى تصف الجسيمات التى تتميز بعزم لف او سبين spin يساوى نصف.

هذه المعادلة موجودة فى الصورة الثانية.

هذه المعادلة هى معادلة تفاضلية من الرتبة الاولى فى كل من الفضاء و الزمن و مع هذا فاننا لا نستطيع ان نطبق عليها خوارزمية اولر بأى شكل بسيط كما سنرى.

بل ان تطبيق خوارزمية اولر على معادلة ديراك يتطلب قدر هائل من التعقيد و جميع الحلول المطروحة الى غاية يومنا هذا فهى جميعا حلول ترقيعية.

بكل بساطة هناك مبرهنات هندسية-طوبولوجية-تناظرية فى غاية التعقيد الرياضى ضد تطبيق خوارزمية اولر على معادلة ديراك (اشهرها مبرهنة نيلسون-نينوميا Nielsen-Ninomiya theorem) .

بل ان هذه المسألة هى واحدة من اعقد المسائل فى نظرية الحقول الكمومية و السبب الاساسى يرجع الى كون دالة الموجة ψ التى تظهر فى الصورة الثانية هى ليست دالة عادية بل هى سبينور spinor.

والسبينور spinor هو مقطع section فى فضاء يسمى الحزمة السبينورية spinor bundle الذى يعيش على الفضاء-زمن.

معادلة ديراك تنص اذن على ان هناك مؤثر يسمى مؤثر ديراك Dirac operator عندما يضرب دالة الموجة ψ فانه يعطينا بالضبط صفر.

هذا المؤثر (مع فضاء السبينورات مع جبرية الدوال العددية على الفضاء-زمن) كما بين الرياضى كوون Conne كافى جدا من اجل اعادة بناء جميع الهندسة التفاضلية للفضاء-زمن.

بل ان كوون بين ان الثلاثى (مؤثر ديراك مع فضاء هيلبرت للسبينورات مع جبرية دوال ملائمة) كافى جدا من اجل اعادة بناء الهندسة التفاضلية لاى متشعب manifold.

معادلة ديراك تُقرأ على انها دالة موجة كمومية فى الميكانيك الكمومى النسبى لكن فى نظرية الحقول الكمومية فان معادلة ديراك تقرأ على انها معادلة حقل سبينورى spinor field كلاسيكى هو بالضبط معطى بدالة الموجة ψ.

ولهذا فان نظرية الحقول الكمومية تسمى التكميم الثانى second quantization اما الميكانيك الكمومى النسبى فيسمى التكميم الاول first quantization.

السبينور هو حقل يتميز بسبين او عزم لف يساوى نصف لان معادلة ديراك كما ذكرنا آنفا تخص الجسيمات ذات السبين او عزم اللف يساوى نصف.

وتذكروا فان تقلبات (مفرد تقلب fluctuation) الحقل field هى بالضبط هذه الجسيمات particles التى نراها نقطية point.

لكن سبينور ديراك الذى يتميز باربعة مركبات يوفر تمثيلة قابلة للاختزال reducible representation لزمرة لورنتز Lorentz group.

بالفعل فان سبينور ديراك يمكن تفكيكه الى زوج من سبينورات وايل Weyl spinors كل واحد منها يتشكل من مركبتين: سبينور وايل يدوانى-يمينى right-handed و سبينور وايل يدوانى-يسارى left-handed وهذه هى التى توفر تمثيلات غير-قابلة للاختزال irreducible representation لزمرة لورنتز.

اذن ديراك هو قابل للاختزال لانه يقبل الاختزال الى سبينورى وايل واحد يدور الى اليمين و الاخر يدور الى اليسار وهذه الاخيرة غير-قابلة للاختزال اكثر.

هذه نقطة تحتاج الى شرح اكبر نتركه لفرصة اخرى ان شاء الله.

لكن أهم خاصية يتميز بها السبينور هى كونه حقل تبادلى-ضدى anti-commuting عكس الحقل السلمى مثلا الذى هو حقل تبادلى commuting وهذا ضرورى حتى نحافظ على شرط ان الطاقة يجب ان تكون محدودة من الاسفل bounded from below (اى حتى يكون هناك طاقة اساسية ground state للجملة).

بعبارة اخرى فان السبينور ψ لا يمكن التعبير عنه فى تكامل الطريق path integral لفايمان Feynman بدلالة الاعداد المركبة complex numbers بل يجب ان يتم التعبير عنه بدلالة اعداد تسمى الاعداد الغراسمانية Grassmannian numbers (نسبة الى الرياضى غراسمان Grassmann) وهى اعداد غير-تبديلية anti-commuting numbers.

هذا يرجع الى خاصيتين كموميتين اساسيتين.

-احصاء فرمى-ديراك Fermi-Dirac statistics الذى ينص على دالة موجة فرميونين (مفرد فرميون fermion) مثلا الكترونين يجب ان تكون تناظرية-ضدية anti-symmetric اى انه لو قمنا بمبادلة الفرميونين فاننا نحصل على اشارة ناقص. اصل هذه الاشارة هو طوبولوجى (طوبولوجيا زمرة الدورانات rotation group). وهذا مكافئ الى مبدأ الاستبعاد لباولى Pauli's exclusion principle الذى ينص على ان الحالة الكمومية الواحدة لا يمكن ان يحتلها الكترونين.

-مبرهنة السبين-و-الاحصاء spin-statistics theorem التى تنص على ان دالة موجة الفرميون تكتسب اشارة ناقص عندما نقوم بتدوير الفرميون دورة كاملة ب 360 درجة. اصل هذه الاشارة هو تناظرى (هندسة زمرة الدورانات). ولهذا فان التكميم القانونى canonical quantization للفرميون على طريقة ديراك يتم باستعمال مبدل-ضدي anti-commutator و ليس مبدل commutator.

يمكننا قراءة عبارة مؤثر ديراك من الصورة الثانية بدلالة مصفوفات ديراك γ و بدلالة المشتقات من الرتبة الاولى فى الفضاء-زمن.

اذن مؤثر ديراك يتعلق على المشتقات من الرتبة الاولى التى يمكن ان نحاول تعويضها بخوارزمية اولر لكن لو فعلنا -ذلك بعفوية- لوقعنا فى مشاكل عظيمة فى نظرية الحقول الكمومية على الشبكة lattice quantum field theory.

اولر نجح بسهولة شديدة مع شرودينغر لكنه سوف ينجح نسبيا و بصعوبة شديدة مع ديراك.

الآن اذا اردنا تعريف مؤثر ديراك على الشبكة الاقليدية Euclidean lattice فاننا نقع فى ثلاثة مشاكل عظيمة جدا فى نظرية الحقول على الشبكة:

-اولا معضلة المضاعفة الفرميونية fermion doubling problem. و هذه المعضلة تنص على انه لا يمكن و ضع النموذج القياسى للجسيمات الاولية (او اى نظرية كايرالية chiral theory) على الشبكة الاقليدية.

-ثانيا انكسار التناظر-الممتاز supersymmetry breaking. وهذه المعضلة تنص على انه لا يمكن وضع نظرية الوتر الممتاز على الشبكة الاقليدية.

-ثالثا معضلة الاشارة sign problem. وهذه المعضلة تنص على انه لا يمكننا استخدام الميكانيك الاحصائى و طرق المونتى كارلو.

والمعضلات الثلاثة لها حلول بل حلول كثيرة لكن جميع هذه الحلول هى حلول ترقيعية و ليست حلول جذرية اساسية نهائية.

اذن هذا مجال عظيم للدراسة.

نترك شرح هذه المعضلات وحلولها الى فرصة اخرى ان شاء الله.