معضلة المضاعفة الفرميونية

 لو قمنا بحساب الطاقة باستخدام معادلة ديراك لوجدنا أن الطاقة تعطى بعلاقة اينشتاين الشهيرة.

نفترض للتبسيط بعد فضائى واحد. التعميم سيكون مباشر للابعاد العليا.

بالنسبة للجسيمات ذات الكتلة المعدومة اى ذات السرعة المساوية لسرعة الضوء (اى الجسيمات الكايرالية chiral particles التى تدور اما الى اليمين او الى اليسار و ليس هناك امتزاج بين اليدوانية-اليمينية right-handedness و اليدوانية -اليسارية left-handedness) اذن بالنسبة لهذه الجسيمات فان علاقة الطاقة لاينشتاين تنص على ان الطاقة متناسبة مع زائد او ناقص قيمة كمية الحركة.

اذن هناك حلان (الخطان الاسودان فى الصورة).

نقوم الآن بحل معادلة ديراك على الشبكة الاقليدية Euclidean lattice.

فى هذه الحالة نجد ان الطاقة تعطى بقيمة جب او سينوس sin كمية الحركة و ليس بقيمة كمية الحركة.

اذن الطاقة دالة دورية periodic function فى كمية الحركة (وليست دالة خطية) وهى معرفة فى مجال يسمى منطقة بريوان Brillouin zone.

الحلان الموجب و السالب هما الخطان الاحمران فى الصورة.

نحصل اذن بالاضافة الى الحل الفيزيائى (من الجهة الموجبة) القريب من نقطة المبدأ (انظر نقطة تقاطع الخط الأسود مع الخط الأحمر) على حل آخر غير فيزيائى يسمى الفرميون المضاعف fermion doubler عند حدود منطقة بريوان من الجهة الموجبة (انظر النقطة السوداء عند حدود منطقة بريوان).

بنفس الطريقة نحصل بالاضافة الى الحل الفيزيائى (من الجهة السالبة) القريب من نقطة المبدأ على حل آخر غير فيزيائى عند حدود منطقة بريوان من الجهة السالبة (النقطة السوداء الاخرى عند حدود منطقة بريوان).

بكل بساطة الفرميون المضاعف هو فرميون مغشوش يعيش عند كميات الحركة الكبيرة اما الفرميون الحقيقى فهو الحل الذى يعيش عند كميات الحركة الصغيرة.

الحل المضاعف غير موجود فى النظرية المستمرة continuum theory (اى عند حل معادلة ديراك فى الفضاء-زمن العادى) و لهذا فهو غير فيزيائى.

لكن الفرميون المضاعف غير الفيزيائى يتميز بنفس طاقة الفرميون الكايرالى chiral fermion الفيزيائى الذى انطلقنا منه (كما ترون من الصورة) لكن يتميز بكايرالية chirality معكوسة (اذا كان الفرميون الكايرالى يدور الى اليمين فان الفرميون المضاعف يدور الى اليسار و العكس).

اذن فى بعد واحد نحصل على فرميونين عوض الفرميون الاصلى اما فى بعد اربعة فاننا نحصل على 16 فرميون عوض الفرميون الاصلى وهذه معضلة كبيرة تسمى معضلة المضاعفة الفرميونية fermion doubling problem.

القاعدة العامة اننا سوف نحصل على 2 للاس d فرميون فى فضاء-زمن ببعد d.

لو ناقشنا الامر من منطلق منتشر ديراك Dirac propogator (الذى يمكن فهمه على انه مقلوب مؤثر ديراك Dirac operator الذى يظهر مؤثرا على سبينور ديراك Dirac spinor فى معادلة ديراك Dirac equation) فان هذه الفرميونات المضاعفة تظهر على شكل اقطاب poles فى منتشر ديراك. اذن نحصل على 16 قطب و فقط قطب واحد حقيقى فيزيائى اما البقية فهى كلها مغشوشة غير فيزيائية. أكثر من هذا فان هذه الاقطاب تأتى بكايراليات (مفرد كايرالية chirality) متعاكسة. انظر الصورة الثانية.

وتذكروا فان الطاقة (طاقة الجسيم) تحسب مباشرة من القطب و القطب هو نقطة عدم تعريف المنتشر.

هذه الفرميونات الاضافية تأتى اذن بكايراليات متعكاسة محافظين بذلك -شكليا فقط- على التناظر الكايرالى chiral symmetry للنظرية.

الحقيقة ان هذه الفرميونات المضاعفة تدمر بالكامل اهم خاصية للتناظر الكايرالى وهو الشذة الكايرالية chiral anomaly التى تلعب دورا اساسيا فى فيزياء الجسيمات الاولية.

وهذه قصة اخرى معقدة جدا حقيقة تحتاج الى شرح لوحدها ان شاء الله.

هذه المعضلة (معضلة المضاعفة الفرميونية) تنص بكل بساطة على انه لا يمكننا ان نضع فرميون كايرالى chiral fermion على الشبكة الاقليدية و بالتالى لا يمكن وضع نظرية كايرالية chiral theory (مثلا النموذج القياسى للجسيمات الاولية) على الشبكة.

تذكروا فان التفاعلات الكهروضعيفة electroweak (عكس تفاعلات الكروموديناميك chromodynamics الكمومى) هى تفاعلات كايرالية فى النموذج القياسى. حيث ان الفرميونات تأتى بكايرالية معينة و بعضها (مثلا النوترينو) يأتى بكايرالية واحدة (يدوانية-يسارية دائما).

معضلة المضاعفة الفرميونية هى معضلة ذات اساس رياضى فهى ليست مصادفة فهناك مبرهنة نيلسون-نينوميا Nielsen-Ninomiya theorem التى تنص على انه اذا كان مؤثر ديراك يتميز بالخواص التالية:

-موضعى local.

-هرميتى Hermitian (اى حقيقى) .

-الصمود الانسحابى traslational invariance.

فانه لا يمكننا تجنب معضلة المضاعفة الفرميونية بدون كسر التناظر الكايرالى. انظر الصورة الثالثة.

اذن هذه مشكلة عظيمة لاننا لا نستطيع التخلى عن التناظر الكايرالى الذى تعتمد عليه كثير من الفيزياء و فى نفس الوقت فانه لا يمكن تحمل مضاعفة الفرميونات لان كثير من النظريات الفيزيائية (و على رأسها النموذج القياسى) هى فعلا نظريات تتميز بدرجات حرية degrees of freedom تعطى فعلا و حقيقة بفرميونات كايرالية.

هناك كثير من الحلول و اول الحلول كان حل كناث ويلسون Kenneth Wilson -احد اعظم الفيزيائيين النظريين فى القرن العشرين- الذى جاء به فى السبعينات وهو يعتمد على تعديل مؤثر ديراك بحيث نقضى تماما على المضاعفة الفرميونية لكن فى نفس الوقت نعدل فى شكل التناظر الكايرالى.

هذا الحل الاول و الاشهر يعرف باسم فرميون ويلسون Wilson fermion.

اذكر هنا ان احد نتائج رسالة الدكتوراة التى كنت قدمتها منذ اكثر من 20 سنة هو كان حل معضلة المضاعفة الفرميونية باستخدام ما يسمى الفرميون الغائم fuzzy fermion.