هذا مقال آخر من ماسانورى هانادا Masanori Hanada و هو فيزيائى نظرى يابانى أشاركه الفلسفة العامة فى الفيزياء النظرية و هى محاولة (ارجاع نظرية الاوتار الممتازة superstring theory الى حضن الطريقة العلمية للفيزياء و الفيزياء النظرية وهذا عن طريق اخضاع نتائجها الى طرق نظرية الحقل على الشبكة lattice field theory).
فى هذا المقال يقدم المؤلف مدخل سريع جدا و فعال الى طرق مونتى كارلو Monte Carlo method المستخدمة فى نظرية الحقل على الشبكة.
اولا يقدم سلاسل ماركوف Markov chain بصفة عامة جدا.
وهى التأسيس الرياضى-الاحصائى لطرق مونتى كارلو.
ثم يقدم خوارزمية ميتروبوليس Metropolis algorithm التى تقع فى قلب طرق مونتى كارلو.
ثم يقدم خوارزمية مونتى كارلو الهجينة hybrid Monte Carlo algorithm فى اطار النماذج البوزونية bosonic models.
ثم يقدم خوارزمية مونتى كارلو الهجينة العقلانية rational hybrid Monte Carlo algorithm فى اطار النماذج الفرميونية fermionic models.
وتذكروا فان الحقول البوزونية هى الحقول ذات عزم-اللف spin الصحيح integer و الحقول الفرميونية هى الحقول ذات عزم-اللف نصف-الصحيح half-integer.
مثال عن الفرميونات الالكترون و الميون و الكوارك ( اى المادة) و مثال عن البوزونات الفوتون و الغليون و الغرافيتون (اى الاشعاع).
و خوارزمية مونتى كارلو الهجينة و خوارزمية مونتى كارلو الهجينة العقلانية هما الخوارزميتان الاساسيتان المستخدمتان فى الكروموديناميك الكمومى quantum chromodynamics و فى النظريات المعيارية gauge theories و فى نظريات يانغ-ميلز Yang-Mills theories و فى نظريات التناظر-الممتاز supersymmetric theories و فى النماذج المصفوفية matrix models و فى الميكانيك الكمومى على الشبكة lattice quantum mechanics و فى نظرية الحقل على الشبكة lattice field theory بصفة عامة.
المؤلف يقارن بالخصوص بين الكروموديناميك الكمومى (وهو المثال التاريخى الانجح فى هذا المجال و الذى ابتدا فى السبعينات و ابتدأت به نظرية الحقول على الشبكة) و بين نظريات يانغ-ميلز الممتازة (لانه المثال الاهم بالنسبة لنظرية الاوتار الممتازة التى تحتويها كجزء اساسى فى بنيتها الرياضية) و كيفية تطبيق خوارزمية مونتى كارلو الهجينة العقلانية على هذه الاخيرة.
هذه الخوارزمية هى خوارزمية معقدة جدا يقع فى قلبها خوارزمية ميتروبوليس التى يتم على اساسها رفض reject او قبول accept التحديث update الذى نقترحه.
لكن من اين يأتى الاقتراح proposal الذى يتم قبوله او رفضه. هنا تفترق خوارزمية ميتروبوليس العادية عن خوارزمية مونتى كارلو الهجينة فى ان هذه الاخيرة تستخدم حل معادلات هاميلتون للحركة Hamilton equations of motion من اجل تقديم حل هذه الاخيرة كاقتراح لخوارزمية ميتروبوليس حتى تقبله او ترفضه.
معادلات هاميلتون للحركة يتم حلها عن طريق الديناميك الجزيئى molecual dynamics وهذا باستخدام مثلا خوارزمية قفزة-الضفدع leap-frog algorithm.
و كما تعلمون فان خوارزمية الديناميك الجزيئى تحتوى على اخطاء منهجية systematic errors تقوم خوارزمية ميتروبوليس باعدامها بالكامل وهذا هو النجاح الخارق للعادة الذى تم اكتشافه عندما تم اكتشاف خوارزمية مونتى كارلو الهجينة التى هى فى الحقيقة مزيج فى غاية القوة و الدقة لخوارزمية ميتروبوليس مع خوارزمية الديناميك الجزيئى.
اذن خوارزمية مونتى كارلو الهجينة مثلها مثل خوارزمية ميتروبوليس لا تحتوى على اى اخطاء منهجية systematic errors (التى هى اخطاء رياضية ناجمة عن التقريب لا تريدها الفيزياء) بل تحتوى فقط على اخطاء احصائية statistical errors (وهذه اخطاء مقبولة جدا لانها اخطاء من نوع الاخطاء التجريبية).
يتم حساب هذه الاخطاء باستخدام طرق اومبيركية empirical methods اهمها على الاطلاق طريقة الجاكنايف Jackknife method و هى طريقة يشرحها ايضا المؤلف.
خوارزمية مونتى كارلو الهجينة تحتوى ايضا على خوارزمية الخزان الحرارى heat bath algorithm التى تسمح لنا بتوليد كميات الحركة momentum من توزيع غوسى Gaussian distribution و هذا من اجل ضرورة تفادى ما يسمى المعضلة الارغودية ergodic problem (وهو عجز بعض الخوارزميات عن سبر جميع اجزاء فضاء الطور phase space).
الآن عندما نقوم بادخال الفرميونات الى الموضوع اى ادخال محدد مؤثر ديراك determinant of Dirac operator الى الموضوع فان درجة تعقيد الموضوع تزيد مثل الذى بين السماء و الارض. هذه فعلا هى اصعب نقطة ولولا هذه النقطة لما كان هناك اى صعوبة فى الموضوع.
عند الاضطرار الى حساب محدد مؤثر ديراك (وهذه هى حالة جميع النظريات التى ذكرتها فى البداية بدون استثناء) فان خوارزمية مونتى كارلو الهجينة تصبح تسمى خوارزمية مونتى كارلو الهجينة العقلانية لانها تستخدم 3 خوارزميات اضافية من اجل حساب محدد ديراك.
اولا محدد ديراك يأتى عموما مرفوعا الى اس power معطى بعدد عقلانى rational number اى عدد كسرى. هذا صعب جدا للحساب فى حد ذاته و اذن نستخدم ما يسمى التقريب المينيماكس minimax approximation من اجل التعبير عن هذا الاس الكسرى بدلالة كثير حدود polynomial. من الناحية العملية هذا التقريب المينيماكس يتم حسابi باستخدام خوارزمية ريماز Remez algorithm الشهيرة.
ثانيا محدد ديراك لا يتم حسابه مباشرة فهذا هو لب صعوبة هذا الامر الصعب. ولهذا فاننا نقوم بالتعبير عنه باستخدام حقول تسمى الفرميونات-المزيفة pseudo-fermions وهى حقول تمتلك جميع الاعداد الكمومية quantum numbers للفرميونات (سبينورات ديراك Dirac spinors) لكنها ليست سبينورات بل هى بوزونات سلمية scalar bosons. هذه الطريقة تسمى طريقة الفرميونات-المزيفة pseudo-fermion method.
ثالثا نجد بعد الحساب ان هذه الفرميونات-المزيفة ترتبط بحقول غوسية Gaussian fields (وهذا من اسهل الحقول على الاطلاق) عن طريق مصفوفة تساوى مؤثر ديراك مرفوع لاس كسرى آخر.
هنا نستخدم التقريب المينيماكس و خوارزمية ريماز مرة اخرى.
ونستخدم ايضا خوارزمية الخزان الحرارى مرة اخرى لتوليد الحقول الغوسية.
لكن اهم من كل هذا -وهو اللب الآخر لخوارزمية مونتى كارلو الهجينة العقلانية- هو ضرورة استخدام ما يسمى خوارزمية التدريج المرافق conjugate gradient method وهى خوارزمية معقدة و قوية جدا تسمح لنا بحساب مقلوب inverse مصفوفة (هنا مؤثر ديراك) بدون ان نحسب فعلا هذا المقلوب.
و بعد كل هذا فانه لا يجب ان ننسى انه يجب ايضا استخدام خوارزمية الديناميك الجزئى و خوارزمية ميتروبوليس على محدد ديراك بعد اجراء كل تلك العمليات الآنفة الذكر.
كل هذه الخوارزميات مركبة مع بعضها البعض -هى عبارة عن ذكاء اصطناعى artificial intelligence فى غاية الذكاء- يستعمل منذ التسعينات فى نظريات الحقول المعيارية و مازال يستخدم اليوم فى نظريات التناظر-الممتاز و نظريات الثقالة الكمومية وهذا قبل ان تخرج اصلا موضة الذكاء الاصطناعى فى علوم الحاسوب فى هذا الزمان.
