مبرهنات التناظر-الممتاز

 نقدم هنا مبرهنتين هائلتين (و حدسية مازالت تحتاج الى البرهان) تتحكمان فى جميع تناظرات نظرية الحقول الكمومية الى غاية التناظر-الممتاز.

اولا مبرهنة كولمان-ماندولا Coleman-Mandula theorem تنص على ان مصفوفة التصادم scattering matrix او ال S-matrix اى المصفوفة-S (التى تتحكم فى جميع تفاعلات القوى الكونية غير-الثقالية) تتميز بثلاثة انواع و ثلاثة انواع فقط من التناظرات:

-صمود بوانكريه Poincare invariance تحت تأثير تحويلات لورنتز Lorentz transformation و الدورانات rotations و الانسحابات translations. هذه التحويلات تؤثر مباشرة فى الفضاء-زمن.

-التناظرات المتقطعة discrete symmetries و هى ثلاثة و هى المركزنة parity وهى القلب فى الفضاء و يرمز له ب P و الانعكاس فى الزمن time reversal و يرمز له ب T و تصريف الشحنة charge conjugation و هى عكس قيمة الشحنة و يرمز له ب C. هذه تؤثر ايضا فى الفضاء-زمن رغم ان تصريف الشحنة غير واضح لماذا هو كذلك.

-التناظرات الداخلية internal symmetries و هى جميع التناظرات التى تؤثر فى فضاء التشكيلة configuration space كلاسيكيا او فضاء هيلبرت Hilbert space كموميا.

من بين هذه التناظرات نذكر مثلا التحويلات المعيارية gauge transformations المؤسسة للقوى غير-الثقالية الثلاثة التى نجح الفيزيائيون فى تكميمها.

اذن مبرهنة كولمان-ماندولا تجعل نظرية الحقول الكمومية ادق اكثر مما هى عليه من دقة اصلا.

جميع التناظرات الداخلة فى مبرهنة كولمان-ماندولا لا تنطوى جبريتها algebra الا على مبدلات (مفرد مبدل commutator) تخضع لها المولدات (مفرد مولد generator) التى تولد التناظرات اعلاه.

ثانيا: تأتى بعد ذلك مبرهنة هاغ-لوبيوسزانسكى-صوهنيوس Haag-Lopuszanski-Sohnius theorem التى تنص على ان التناظر-الممتاز super-symmetry هو التعميم الوحيد لتناظر بوانكريه (اى لمبرهنة كولمان-ماندولا) الذى تحتوى جبريته على مبدلات commutators و مبدلات-ضدية anti-commutators اى على مولدات متبادلة commuting generators و على مولدات متبادلة-ضديا anti-commuting generators.

التناظر-الممتاز يعيش فى الفضاء-الممتاز super-space مثلما ان تناظر بوانكريه يعيش فى الفضاء-زمن.

المولدات المتبادلة هى جسيمات بوزونية bosons و المولدات المتبادلة-ضديا هى جسيمات فرميونية fermions وهذه البوزونات و هذه الفرميونات تشكل معا الجسيمات-الممتازة super-particles.

التناظر-الممتاز هو فى الحقيقة من اروع ابداعات الفيزياء النظرية فى السبيعنات و هو أصل مؤسس متين جدا لنظرية الاوتار الممتازة super-string theory الا انه تجريبيا لم يُكتشف بعد و هذا قد يشكل خيبة امل عند البعض.

لكن من مارس نظرية الحقول الكمومية الممتازة supersymmetric quantum field theory عن قرب فانه يعرف جيدا انه يجب ان يكون التناظر-الممتاز موجودا فى الطبيعة لا محالة فهذه الدقة الرياضية و هذه العظمة الفيزيائية لا يمكن ان تكون صدفة وسيُكتشف اذن التناظر-الممتاز عاجلا ان لم ي

كن آجلا.

التناظر-الممتاز هو من اصعب التناظرات كسرا قاطبة.

ونقصد بالكسر الانكسار التلقائى spontaneous breaking بالديناميك و الفيزياء و ليس الكسر اليدوى فذلك شيء لا يمارسه اى احد.

ونحن نريد للتناظر-الممتاز ان ينكسر لاننا لا نراه مباشرة فى الطبيعة اذن هو مكسور مثلما اننا لا نرى فى الطبيعة مباشرة التوحيد بين القوة الكهرومغناطيسية و القوة النووية الذوقية الضعيفة الذى نعرف يقينا انه مكسور بجسيم الهيغز.

اذن كيف ينكسر التناظر-الممتاز تلقائيا. هل من مجيب.

الآن الذى ينتشر فى الفضاء-الممتاز هو الحقل-الممتاز super-field وهو الحقل المرفق بالجسيم-الممتاز مثلما ان الذى ينتشر فى الفضاء-زمن هو الحقل العادى المرفق بالجسيم العادى.

التناظر-الممتاز و الحقل-الممتاز و الجسيم الممتاز يعيشون فى الفضاء-الممتاز و الجميع ينطوي على ما يسمى الاعداد الغراسمانية Grassmannian numbers وهى حقول و احداثيات فرميونية fermionic اى ذات سبين spin او عزم لف يساوى عدد نصف-صحيح half-integer (اى عدد طبيعى تقسيم 2). وهذا هو بالضبط معنى (ممتاز) فى الاسم.

وهذا مثلما ان تناظر بوانكريه و الفضاء-زمن و الحقل العادى و الجسيم العادى ينطوى جميعها على الاعداد المركبة complex numbers و هى حقول و احداثيات بوزونية bosonic اى ذات سبين او عزم لف صحيح integer (اى عدد طبيعى).

اذن فهم التناظر-الممتاز يحتاج الى تحكم تام بالتمثيلات السبينورية spinor representations (اى الجسيمات ذات السبين الذى يساوى عدد نصف صحيح) لزمرة بوانكريه Poincare group.

أهم شيء هنا هو فهم سبينور ديراك Dirac spinor و سبينور وايل Weyl spinor و سبينور ماجورانا Majorana spinor فهما كاملا لان كل الحساب (وهو معقد جدا و يسمى الحساب السبينورى spinor calculus) يعتمد على هذه السبينورات و على خواص مصفوفات ديراك Dirac matrices فى مختلف الابعاد (بالفعل لا يمكن الاكتفاء ببعد اربعة لان الفهم سيكون ناقصا. السبينورات و مصفوفات ديراك تتصرف بشكل مختلف بشكل طفيف لكنه خفى و مهم فى الابعاد المختلفة).

الآن نصل الى آخر نتيجة.

كما انه يصعب جدا كسر التناظر-الممتاز فان يصعب جدا تعميم التناظر-الممتاز.

التعميم الاول هو طبيعى جدا وهو تعميم التناظر-الممتاز الى التناظر-الممتاز الكونفورمالى conformal super-symmetry مثلما اننا نعمم زمرة بوانكرية الى الزمرة الكونفورمالية conformal group.

التعميم الثانى هو غير هين بالمرة لانه يدخل فى خانة التشوية الذى يحفظ التناظر-الممتاز.

اذن هذا ليس تمديد extension بل هو تشويه deformation وهذا اصعب ومع هذا فاننا نحافظ على التناظر-الممتاز.

هذا التشوية يعطى بالضبط بالهندسة غير-التبديلية non-commutative geometry و نحصل بذلك على التناظر-الممتاز غير-التبديلى non-commutative super-symmetry.

هذه النتجية الاخيرة ليست مبرهنة لكنها حدسية conjecture فهل من مبرهن.