# https://homepages.inf.ed.ac.uk/rni/papers/realprg.html

### The anharmonic oscillator on the lattice

We consider now the anharmonic oscillator problem. Effectively we are then dealing with a $1\times 1$ matrix $\phi$. The theory is given by the action \begin{eqnarray} S=\int_{0}^{\beta} dt \big[\frac{1}{2}\dot{\phi}^2+V(\phi)\big]~,~V=\frac{1}{2}\mu^2\phi^2+\lambda \phi^4. \end{eqnarray} The lattice action reads \begin{eqnarray} S[\phi_n]=\frac{1}{a}\sum_{n=1}^{\Lambda}(\phi_n^2-\phi_{n+1}\phi_n)+a\sum_{n=1}^{\Lambda}(\frac{1}{2}\mu^2\phi_n^2+\lambda \phi_n^4). \end{eqnarray} The Euclidean path integral (partition function) is given explicitly by \begin{eqnarray} Z=\int \prod_{n=1}^{\Lambda}d\phi_n\exp(-S[\phi_n]). \end{eqnarray} This lattice partition function was studied analytically and numerically in the beautiful work \cite{Creutz:1980gp}. For the harmonic oscillator ($\lambda=0$) we find, using the transfer matrix technique, the closed formula \begin{eqnarray} Z={\rm Tr}T^{\Lambda}={\rm Tr}\sqrt{2\pi a}R^{(a^{\dagger}a+\frac{1}{2})}=(2\pi a R)^{\Lambda/2}\frac{1}{1-R^{\Lambda}}. \end{eqnarray} The constant $R$ is given in terms of the lattice spacing $a$ and the mass $\mu^2$ by the expression \begin{eqnarray} R=\frac{\lambda_n}{\lambda_{n-1}}=1+\frac{a^2\mu^2}{2}-a\mu(1+\frac{a^2\mu^2}{4})^{1/2}~,~T|n\rangle=\lambda_n|n\rangle. \end{eqnarray} The ground-state energy $E_0$ is given, using the virial theorem $\langle v_i^2\rangle=\langle \phi.V^{\prime}(\phi)\rangle$, by the formula \begin{eqnarray} E_0&=&\langle \bigg(\frac{1}{2}\phi.V^{\prime}(\phi)+V(\phi)\bigg)\rangle=\mu^2\langle \phi^2\rangle+3\lambda \langle \phi^4\rangle. \end{eqnarray} The virial theorem allows us to define the mean square velocity $\langle v_i^2\rangle$ which otherwise does not really exist since the paths of the quantum particle are irregular (non-differentiable). Another definition of the mean square velocity $\langle v_i^2\rangle$ can be given using a split-point method following Feynman and Hibbs \cite{FeynmanHibbs}. In both cases the expectation value of the velocity-dependent part of the action, which otherwise diverges as $1/a$ when $a\longrightarrow 0$, can be defined. In fact, we have using the virial theorem $E_0=\langle S\rangle$.

The mean squared position $\langle \phi^2\rangle$ for the harmonic oscillator ($\lambda=0$) is found to be given by \begin{eqnarray} \langle\phi^2\rangle=\frac{1}{2\omega}\frac{1+R^{\Lambda}}{1-R^{\Lambda}}~,~\omega^2=\mu^2(1+\frac{a^2\mu^2}{4}). \end{eqnarray} In fact, the $2-$point correlation function (or propagator) for the harmonic oscillator ($\lambda=0$) is found to be given by (with $t=(n-1)a$ and $\Delta t=ma$) \begin{eqnarray} \langle\phi(t)\phi(t+\Delta t)\rangle&=&\langle \phi_{n}\phi_{n+m}\rangle\nonumber\\ &=&\frac{1}{Z}{\rm Tr}\phi T^m\phi T^{\Lambda-m}\nonumber\\ &=&\frac{1}{2\omega}\frac{R^m+R^{\Lambda-m}}{1-R^{\Lambda}}. \end{eqnarray} The case $m=0$ corresponds to the mean squared position $\langle \phi^2\rangle$. The energy $E_1$ of the first exited state (or more precisely the mass gap $E_1-E_0$) is given in terms of the $2-$point correlation function $\langle\phi(t)\phi(t+\Delta t)\rangle$ by the following formula \begin{eqnarray} E_1-E_0=-\frac{1}{\Delta t}\ln\frac{\langle \phi(0)\phi(t+\Delta t)\rangle}{\langle \phi(0)\phi(t)\rangle}~,~t\longrightarrow\infty. \end{eqnarray} In the continuum limit $a\longrightarrow 0$ we have the behavior $R^m\longrightarrow \exp(-\mu m a(1-a^2\mu^2/24+...))$ and thus one must have \begin{eqnarray} \langle\phi^2\rangle=\frac{1}{2\mu}(1-\frac{a^2\mu^2}{8}+...)\frac{1+e^{-\mu\beta(1-\frac{a^2\mu^2}{24}+...)}}{1-e^{-\mu\beta(1-\frac{a^2\mu^2}{24}+...)}}=\frac{1}{2\mu}~,~\beta\longrightarrow\infty. \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \langle\phi(t)\phi(t+\Delta t)\rangle &=&\frac{1}{2\mu}\frac{e^{-\mu \Delta t}+e^{-\mu(\beta-\Delta t)}}{1-e^{-\mu\beta}}=\frac{e^{-\mu\Delta t}}{2\mu}~,~\beta\longrightarrow\infty. \end{eqnarray} \begin{eqnarray} E_1-E_0=\mu. \end{eqnarray} The ground-state wave function of the the harmonic oscillator ($\lambda=0$) on the lattice ($a\neq 0$) is given explicitly by \begin{eqnarray} \psi_0(\phi)\equiv \langle\phi|0\rangle=(\frac{\omega}{\pi})^{1/4}\exp(-\frac{1}{2}\omega \phi^2). \end{eqnarray} Numerically we will also follow \cite{Creutz:1980gp} in studying the anharmonic oscillator on the lattice. Thus, we will choose the lattice spacing $a$ small enough to approximate the continuum limit and the inverse temperature $\beta$ large enough to isolate the ground-state physics of our model. Thus, we choose $a/\beta_E\sim 1/10~{\rm to}~1/20$ and $\beta/\beta_E\sim 3~{\rm to}~ 10$ where $\beta_E=2\pi\hbar/E_0$ is the timescale of the oscillator. We will still work with periodic boundary condition. The ground-state wave function is constructed numerically as the probability distribution (or histogram) of the lattice field $\phi_n$. Indeed, by using Feynman's path integral we know that the probability for finding the particle between $\phi-\Delta\phi$ and $\phi+\Delta \phi$ is the time average over transition amplitudes, viz \begin{eqnarray} P(\phi;T)=\frac{1}{T}\int_0^T dt^{\prime}\int_{\phi-\Delta \phi}^{\phi+\Delta \phi}d\phi^{\prime}\frac{Z(\phi_f,T;\phi^{\prime},t^{\prime})Z(\phi^{\prime},t^{\prime};\phi_i,0)}{Z(\phi_f,T;\phi_i,0)}. \end{eqnarray} This computes the number of times the particle passes through $\phi$ with error $\Delta \phi$. In the limit $\Delta\phi\longrightarrow 0$ and $T\longrightarrow \infty$ we obtain \cite{Creutz:1980gp} \begin{eqnarray} \frac{P(\phi;T)}{\Delta \phi}=|\psi_0(\phi)|^2+O(\frac{1}{T(E_1-E_0)}). \end{eqnarray} Thus, for $T\gg 1/(E_1-E_0)$ we can isolate the ground-state wave function. In other words, the histogram is given exactly by $|\psi_0(\phi)|^2$, viz \begin{eqnarray} \frac{P(\phi;T)}{\Delta \phi}=|\psi_0(\phi)|^2=\frac{1}{T_{\rm MC}\Delta\phi}\sum_{i=1}^{T_{\rm MC}}\theta(\Delta\phi-|\phi_n^{(i)}-\phi|). \end{eqnarray} The step function is equal $1$ only if $\phi-\Delta\phi\leq \phi_n\leq \phi+\Delta\phi$. The $2$-nd moment (the mean squared position) $\langle \phi^2\rangle$, the $4$-th moment $\langle \phi^2\rangle$ and the $2-$point function (propagator) $\langle \phi(0)\phi(t)\rangle$ are numerically defined by \begin{eqnarray} \langle \phi^2\rangle=\langle \frac{1}{\Lambda}\sum_{i=1}^{\Lambda}\phi_{i}\phi_{i}\rangle. \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \langle \phi^4\rangle=\langle \frac{1}{\Lambda}\sum_{i=1}^{\Lambda}\phi_{i}\phi_{i}\phi_{i}\phi_{i}\rangle. \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \langle \phi(0)\phi(t)\rangle=\langle \frac{1}{\Lambda}\sum_{i=1}^{\Lambda}\phi_{i}\phi_{n-1+i}\rangle. \end{eqnarray} The analytical results for the anharmonic oscillator with potential $V=\lambda (\phi^2-f^2)$, i.e. with $\mu^2=-4\lambda f^2$ can be found in \cite{Blankenbecler:1979pa}. The analytical solution of both the harmonic and the anharmonic oscillators will be used to calibrate the numerical simulations. Furthermore, we will study the anharmonic and the harmonic oscillators with both the Metropolis and the hybrid Monte Carlo algorithms which will allow us to compare the tunning and performance of the much more complicated hybrid Monte Carlo algorithm against those of the simpler Metropolis algorithm and compare both algorithms against the theory. Naturally, the numerical study of this model in \cite{Creutz:1980gp} was conducted with the Metropolis algorithm. Indeed, there is no need in this case to the hybrid Monte Carlo algorithm which is more suited to highly non-local theories such as matrix and supersymmetric models. Hence, our interest in the hybrid Monte Carlo algorithm here is essentially for tunning purposes. The Metropolis and hybrid Monte Carlo algorithms as applied to the anharmonic oscillator are as follows:

1. Metropolis algorithm:
• The variation of the action $S[\phi_n]$ under the change $\phi_n\longrightarrow\phi_n^{\prime}=\phi_n+\epsilon$ is given by \begin{eqnarray} \Delta S(\phi_n;n,\epsilon)&=&\frac{\epsilon}{a}(\epsilon+2\phi_n-\phi_{n-1}-\phi_{n+1})+\frac{a\mu^2}{2}(\epsilon^2+2\epsilon\phi_n)\nonumber\\ &+&a\lambda(\epsilon^2+2\epsilon\phi_n)(\epsilon^2+2\epsilon\phi_n+2\phi_n^2). \end{eqnarray}
• The Metropolis step: We accept the configuration $\phi_n^{\prime}=\phi_n+\epsilon$ with the Boltzmann weight, viz \begin{eqnarray} P(\phi_n\longrightarrow \phi_n^{\prime}=\phi_n+\epsilon)={\rm min}(1,\exp(-\Delta S(\phi_n;n,\epsilon))). \end{eqnarray}
2. Hybrid Monte Carlo algorithm:
• The Hamiltonian and the force in a pseudo-time $\tau$ are given respectively by \begin{eqnarray} H[p_n,\phi_n]=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\Lambda}p_n^2+S[\phi_n]. \end{eqnarray} \begin{eqnarray} F_n=-\frac{\partial S}{\partial \phi_n}=\frac{1}{a}(\phi_{n+1}+\phi_{n-1}-2\phi_n)-a(\mu^2\phi_n+4\lambda\phi_n^3). \end{eqnarray}
• Hamilton's equations of motion are solved, starting from the initial configuration $\phi(0)=\phi$, by the molecular dynamics (leap-frog) algorithm given by \begin{eqnarray} &&F_n(\tau)=F_n(\phi_n(\tau))\nonumber\\ &&p_n(\tau+\frac{\delta\tau}{2})=p_n(\tau)+\frac{\delta\tau}{2}F_n(\tau)\nonumber\\ &&\phi_n(\tau+\delta\tau)=\phi_n(\tau)+\delta\tau p_n(\tau+\frac{\delta\tau}{2})\nonumber\\ &&F_n(\tau+\delta\tau)=F_n(\phi_n(\tau+\delta\tau))\nonumber\\ &&p_n(\tau+\delta\tau)=p_n(\tau+\frac{\delta\tau}{2})+\frac{\delta\tau}{2}F_n(\tau+\delta\tau). \end{eqnarray}
• The Metropolis step: We accept the configuration $\phi^{\prime}=\phi(T)$ where $T=\delta\tau.N_{\tau}$ with the Boltzmann weight, viz \begin{eqnarray} P(\phi\longrightarrow \phi^{\prime})={\rm min}(1,\exp(-\Delta H))~,~\Delta H=H(\phi^{\prime})-H(\phi). \end{eqnarray}
• The heat bath: In order to be able access the full phase space (ergodicity) we refresh the momentum $p_n$ using the Gaussian distribution $\exp(-p_n^2/2)$. Thus, if $v_1$ and $v_2$ are two uniform random numbers we write \begin{eqnarray} p_n=\sqrt{-2\ln v_1}\cos(2\pi v_2). \end{eqnarray}

### امتحان الميكانيك التحليلى 2021-2022

الامتحان الجزئى فى الميكانيك هذا العام.
و تذكروا افان الفيزياء هى ميكانيك و ليس شيئا آخر.
و معضلة الميكانيك الكمومى مثلا هى فى كونه يريد ان يتحدى (ميكانيكية الفيزياء) وهذا تعبير عن فلسفة الكمومى بشكل آخر و بطريقتى الخاصة.
و ايضا تذكروا فانه لا يوجد فيزياء كلاسيكية بل هناك ميكانيك كلاسيكى و لا توجد فيزياء احصائية بل هو ميكانيك احصائى و لا توجد فيزياء كمومية بل هو ميكانيك كمومى.
وهؤلاء الثلاثة (الميكانيك الكلاسيكى+الميكانيك الاحصائى+الميكانيك الكمومى) يشكلون بالاضافة الى (الكهرومغناطيسية) القوائم الاربعة التى تقوم عليها الفيزياء الاساسية.
فالفيزياء بدون المحتوى الميكانيكى تصبح بيولوجويا وهذا (اسوء من التزوير) كما قال (شيلدون) بطل مسلسل (نظرية الانفجار الاعظم).

### فلسفة و تفسير الميكانيك الكمومى

حتى نطمئن الى القيمة العلمية لمحتوى هذه الصفحة اقدم للاصدقاء و القراء و المتابعين الكتاب الذى صدر الشهر الماضى فى بريطانيا مع المعهد البريطانى IOP بعنوان (فلسفة و تفسير الميكانيك الكمومى).
هذا الكتاب يحتوى على الصياغة العلمية الدقيقة لكل النقاشات التى تمت على هذه الصفحة خلال السنوات الخمسة الاخيرة فى مواضيع (نظرية الميكانيك الكمومى, و نظريات الجاذبية الكمومية و فيزياء الثقوب السوداء و كذا مسائل الزمن و الوعى و الميتافيزيقا المرتبطة بالكمومى).
اذن جزء معتبر من محتوى هذه الصفحة هو الآن منشور بشكل رسمى -ولو باللغة الانجليزية- و بطريقة فيزيائية و فلسفية صحيحة.
بعض محتوى هذا الكتاب قد كنت القيته فى محاضرات دعيت اليها هنا وهناك و بعضه كنت سألقيه على طلبة الماستر لكن صرفت النظر ثم اردت القاءه على طلبة الدكتوراة ثم صرفت النظر ايضا لان من هم عندنا من الطلبة لا يمكنه فهم المصطلحات الفيزيائية بشكل صحيح فما بالك بالمصطلحات الفلسفية الاكثر غموضا لسبب اعتمادها على اللغة و ليس على الرياضيات و التجربة.
بل ان جزء معتبر من هذا الكتاب كان قد نشر على شكل فيديوهات على اليوتوب كانت الاقل اقبالا على الاطلاق.
اذن محتوى هذا الكتاب فى الاخير اكتفيت فى صياغته بما قدمته هنا و تناوله الاصدقاء معى بالنقاش و الاهتمام.
الفصل الاول يحتوى على مقدمات عامة.
الفصل الثانى يتناول بالخصوص مسلمات الميكانيك الكمومى و تجاربه الاساسية التى يصعب فهمها ارسطيا و ايضا يحتوى على عرض لكثير من التفسيرات و على شرح مستفيض لمعضلة الرصد ومبرهنة بال. و هذا الفصل يحتوى ايضا على عرض للتفاسير الوعيوية للميكانيك الكمومى.
الفصل الثالث يتناول معضلة ضياع المعلومات فى الثقوب السوداء من جوانبها المتعددة و يحتوى ايضا على عرض لكثير من نظريات الجاذبية الكمومية و بالخصوص الثنائية بين الحقل المعيارى و فضاءات دى سيتر العكسية المعروفة باسم التقابل AdS/CFT. لكن هذا الفصل يحتوى ايضا على معضلة الزمن الكمومى و هى ربما المعضلة المؤسسة لمعضلتى الرصد الكمومى و ضياع المعلومات فى الثقب الاسود.
الفصل الرابع يحتوى على توليفة شخصية بين معضلتى الرصد الكمومى و ضياع المعلومات فى الثقب الاسود.
الفصل الخامس يحتوى على محاولة اخرى للربط بين الثقب الاسود و معضلة الرصد الكمومى.
الفصل السادس يحتوى على عرض مستفيض للمنطق الكمومى و مقارنته بالمنطق الكلاسيكى. لكن يحتوى ايضا على عرض آخر لمبرهنة بال عبر مبرهنات ناتجة عنها او مرتبطة بها مثل مبرهنة غليسون, مبرهة كوشن - سباكر, مبرهنة اللعبة الكمومية ومبرهنة حرية الارادة.
الفصل السابع هو عرض شامل لفسلفة بوهر و هايزنبرغ. حيث اننى سميت هذا الفصل تفسير (تفسير كوبنهاغن). وشخصيا اعتقد ان هذا الفصل هو من اجمل الفصول. و هذا الفصل كنت قدمته كمحاضرات على اليوتوب تلقت اضعف التفاعل على الاطلاق وهو الذى دفعنى بالاساس الى تطليق اليوتوب بالطلاق البائن.
الفصل الثامن يحتوى على رؤية شخصية للعلاقة بين الميكانيك الكمومى من جهة و المونيزم المحايد (لابن عربى و سبينوزا) و المنظوريانية (لابن عربى و نيتشة) و الثنائية جسم-عقل (لديكارت و ليبنيز).
فى هذا الفصل نتناول ايضا بالمناقشة الفرضيات المذهلة لبولتزمان-وشوتز الخاصة بالزمن, المبدأ الانطروبيكى (لدايزون), فرضية المحاكاة و المصفوفة (لشالمرز و بوستروم), فرضية التزامنية (لجونغ و باولى), مع امور اخرى كثيرة.
وقد كنت قدمت نسخة اولى بالعربية من هذا الكتاب منذ سنوات الى ناشر عربى فقال لى المحكم الذى نصبه الناشر ليحكم علي العمل انه -اى الكتاب- (غير متسق علميا).
اما الناشر البريطانى فهو وجده متسق علميا و قبله للنشر مباشرة و نشره ودفع لى اجرا وهذا بعد ان نصب ثلاثة من المحكمين و ليس واحدا قبله الثلاثة حتى ان احد المحكمين البريطانيين قال فى تقريره (انصح بالنشر لاننا نريد ان نسمع رأى المؤلف فى هذه الاشياء بشكل اكثر تفصيلا).
هذا ان دل على شيء فانما يدل على العلاقة المرضية غير-الطبيعية بين (العقل العربى) من جهة و (العلم) من جهة اخرى و انها تختلف جدليا عن العلاقة الطبيعية الكائنة بين (العقل الغربى) و (العلم).
فعلى ما يبدو فان الثقافة العربية ترى (التناقض) (عقلا) و ترى (العقل) (تناقضا) و هذا من اغرب الثقافات.

### الميكانيك الكمومى و الميكانيك الاحصائى و الفيزياء العددية-الحاسوبية

حتى نرجع الى تقديم الفيزياء الحقيقية و لا نقع فى فخ تقديم الوعود الوهمية نُقدم اليوم مقال نادر بل شامل جامع من الفيزيائى الامريكى الكبير كرويتز Creutz وقد كان كتبه من اربعين سنة وهو أحد رواد بل من احد اباء (نظرية الحقل الكمومى على الشبكة lattice quantum field theory) التى تعنى بكل بساطة كيف نضع الحقل الكمومى -الذى يصف الجسيمات الاولية و تفاعلاتها- على الحاسوب و نقوم بدراستها عبر اجراء التجربة الافتراضية virtual experiment او المحاكاة simulation عبر طريقة مونتى كارلو Monte Carlo method.
وقد وجدت مقاومة من كثير من الطلبة و كذا من كثير من الاساتذة (ولى تجربة شخصية مع اساتذة هم من المشاهير الآن لاختلاط السياسى عندهم بالعلمى) اذن مقاومة للفيزياء الحاسوبية و العددية و للطرق العددية و بالخصوص طريقة مونتى كارلو وهذا لسبب العجز و لسبب الجهل لكن وجدت ايضا حماس شديد من طلبة آخرين و اساتذة آخرين على العدديات الجاهزة التى لا تمت بأى صلة للفيزياء النظرية-التجريبية التى تؤسس لها الفيزياء الحاسوبية computational physics على المناهج الامريكية (المادة المكثفة condensed matter) و الالمانية (الديناميك اللونى الكمومى quantum chromodynamics) و اليابانية (الاوتار المصفوفية stringy matrices).
اذن نحن بين مطرقة الجهل و سندان الجهالة.
اذن كرويتز فى هذا المقال من عام 1981 (عندما كانت علوم الحاسوب و علوم الحاسوبية الفيزيائية فى مهدها) يقوم بدراسة الميكانيك الكمومى عبر الطرق الاحصائية.
كرويتز و تلميذه يقومان بالخطوات التالية:
- اولا يقترح مسألة بسيطة من الميكانيك الكمومى هى مسألتى
*** الهزاز التوافقى harmonic oscillator (مثلا نواس ينوس او نابض ينبض او اى حقل حر او بالاحرى اى حقل حر او غير حر يكفى اى يكون حقل اضطرابى perturbative field).
و
*** الهزاز اللاتوافقى anharmonic oscillator. وهو ابسط تفاعل يمكن ادخاله على توافقية الهزاز التوافقى عبر اضافة طاقة كامنة رباعية quartic فى الاحداثية. الهزاز التوافقى طاقته الكامنة هى تربيعية quadratic فقط.
-ثانيا بعد ذلك يقدم كرويتز صياغة فايمان Feynman formulation عبر تكامل الطريق path integral الشهير للميكانيك الكمومى.
تكامل الطريق يحسب سعة الاحتمال probability amplitude بين نقطتين على انها التراكب الخطى linear superposition اى المجموع على جميع الطرق الرابطة بين النقطتين.
يقدم بعد ذلك كرويتز الحل الرياضى الكامل للهزاز التوافقى عبر طريقة مصفوفة التحويل transfert matrix. و يقوم بحساب جميع دوال الربط correlation functions و اولها المنتشر propagator.
-ثالثا يقوم بعد ذلك بتدوير rotation الزمن الحقيقى real الى الزمن الاقليدى Euclidean اى ما يسمى بتدوير وييك Wick rotation. فيتحول تكامل الطريق الكمومى الى دالة التقسيم partition function الاحصائية و تتحول سعة الاحتمال الكمومية الى احتمال بولتزمان الحرارى.
اذن تحويل الزمن الى متغير اقليدى مثل الفضاء يحول الميكانيك الكمومى الى ميكانيك احصائى.
دوال الربط الكمومية تتحول اذن الى متوسطات احصائية.
-رابعا هذا التدوير (اى التحويل) الاقليدى للميكانيك الكمومى الى ميكانيك احصائى هو يمكن ان يكون بداية تفسير عقلانى للميكانيك الكمومى. اذن علينا فقط ان نتخلص من نسبية الزمن و تحويل الزمن الى متغير اقليدى مثل الفضاء. تأملوا هذه الامكانية.
-خامسا يقوم بشرح سلاسل ماركوف Markov chains التى هى المؤسس لطريقة مونتى كارلو. و يقوم بالخصوص بشرح طريقة ميتروبوليس Metropolis (وميتروبوليس هو كيميائى و ليس فيزيائى). و طريقة ميتروبوليس هى الطريقة الاقدم و الاكثر عمومية من بين حميع طرق مونتى كارلو.
أهم شيء هنا هو كيف نستخدم طرق مونتى كارلو لحساب تكامل الطريق عبر حساب دالة التقسيم و لحساب المتوسطات. فمثلا يشرح هنا ايضا طريقة الخزان الحرارى heath bath method الشهيرة و يقارنها بطريقة ميتروبوليس.
وفى هذا الاطار يشرح ايضا كيف تتحول المتوسطات الاحصائية الى متوسطات حسابية و يشرح كيف يتم تقييم الخطأ الاحصائى اى الخطأ التجريبى فى هذه المتوسطات (وعليكم التفريق بين الاخطاء الاحصائية statistical errors وهى اخطاء تجريبية-افتراضية يجب ان تكون و الاخطاء المنهجية systematic errors التى هى راجعة الى طريقة الحساب وهذه لا يجب ان تكون. وطريقة ميتروبوليس بل جميع طرق مونتى كارلو لا تحتوى الا على الاحطاء الاحصائية).
-سادسا يقوم بتطبيق طريقة ميتروبوليس على دالة تقسيم الهزاز التوافقى. بالخصوص يقوم بحساب الحالة الاساسية ground state و احتمالها (اى دالة الموجة) و كذا الحالة المثارة الاولى first excited state و احتمالها. ويقوم ايضا بحساب دالة الربط الثنائية two-point function اى المنتشر.
-سابعا يقوم يتعميم حساب مونتى كارلو الى الهزاز اللاتوافقى.
هنا نلاحظ العلاقة الوثيقة بين الهزاز التوافقى و الهزاز اللاتوافقى من جهة و بين المجال السلمى الحر free scalar field و نظرية فاى-فور phi-four theory من جهة اخرى.
اكثر من هذا نلاحظ العلاقة الوثيقة بين الهزاز اللاتوافقى و النظرية المصفوفية التربيعية quartic matrix theory.
-ثامنا يقوم كرويتز ايضا باضافة ما نسميه فى الميكانيك الكمومى و نظرية المجال الكمومى منبع خارجى external source (يمثل حقل مغناطيسى مثلا) الى الهزاز اللاتوافقى و يقوم باعادة الحساب. بالخصوص يقوم بحساب الكمون الفعال effective potential وهى الدالة التى تتحكم بكل الظواهر الكمومية للجملة. و حساب الكمون الفعال هو من اصعب المهام فى نظرية المجال الكمومى و هو الهدف الاساسى لكل ما يسمى نظرية الفعل الفعال theory of effective action التى هى الهيكل العظمى لنظرية الاضطرابات perturbation theory فى نظرية المجال الكمومى.
-تاسعا يقوم ايضا بحساب تأثير النفق tunnel effect فى جملة الهزاز اللاتوافقى و سوف ترون مباشرة فى المحاكاة التى يوفرها كرويتز من عام 1981 كيف يتسبب الانسطانطون instanton (و يسمى فى بعد واحد مثل حالتنا هنا ب الكينيك kink) فى هذا الانتقال الكمومى الشبحى بين مختلف الحالات الاصغرية المعروف باسم تأثير النفق. الانسطانطون او الكينك هى تشكيلات طوبولوجية topological configuration تقع فى مقابل الجسيمات الاولية.
اذن هؤلاء الرجال من امثال كرويتز يقومون بحساب تحليلى و عددى و حاسوبى جبار منذ 40 سنة و نحن مازلت اوصال بعضنا ترتعد عندما يرى الفيزياء العددية-الحاسوبية الحقيقية التى ندعوا اليها. اما بعضنا الآخر فهو يرى نفسه افضل من هذه الفيزياء العددية-الحاسوبية رغم انه لا يستطيع اجراء تكامل بسيط لا بيده و لا برجله. اما بعضنا الآخر فيتعامل مع العدديات كأنها علبة سوداء وعندما تسأله -وقد سألت- يقول لك (لا نحتاج الى اعادة اختراع العجلة) وهو لم يخترع العجلة و لا يعرف حتى الركوب الصحيح لأى عجلة.