مبرهنة غليسون

ومن اعظم المبادئ او بالاحرى المسلمات التى تقوم عليها الفيزياء الكمومية (وبالتالى الفيزياء و الواقع نفسه) هو المبدأ الاحصائى لماكس بورن الذى ينص (فى ابسط صوره) على ان احتمال وجود الجملة الفيزيائية فى نقطة معينة يُحسب بأخذ مربع طويلة دالة الموجة و هذه الاخيرة (اى دالة الموجة) تحسب من حل معادلة شرودينغر.
لكن من اين جاء المبدأ الاحصائى لبورن الذى يسمى ايضا اختصارا قاعدة بورن.
اولا هو جاء من عبقرية و حدس ماكس بورن نفسه وقد تحصل بورن من اجل ذلك على نوبل للفيزياء بعد عشرين سنة كاملة من التنصيص عليه (وهذا زمن طويل) و هذا بعد ان تيقن الجميع ان المبدأ صحيح تجريبيا و حسيا بما لا يدع اى مجال للشك.
ثانيا هذا المبدأ هو مسلمة بمعنى انه فرضية صحيحة بصحة نتائجها. و التجربة كما ذكرت حكمت تماما لصالحه و لصالح كل مبدأ آخر فى الميكانيك الكمومى و بدون استثناء.
لكن الناس لم تتوقف عن محاولة فهم هذا المبدأ بشكل اعمق فالفيزياء النظرية ليست سطحية و لا تحب التسطيح.
مبرهة غليسون لصاحبها غليسون (وهو رياضى اكثر منه فيزيائى نظرى) يمكن اعتبارها البرهان النظرى الرياضى على المبدأ الاحصائى لبورن.
هى تعتمد على المنطق الكمومى لفضاء هيلبرت و على نظرية الاحتمالات لكولموغروف او بالاحرى على محاولة تمديد استخدام مسلمات كولموغروف للاحتمالات نحو ما يسمى شبكات هيلبرت (وهى الجبريات المنطقية التى يقوم عليها الميكانيك الكمومى بمقابل جبريات بوول التى يقوم عليها الميكانيك الكلاسيكى).
هى تنص بكل بساطة ان اى توزيع احتمال على شبكة هيلبرت هو بالضرورة معطى بشعاع حالة كمومى.
ليس هناك امكانية احتمالات اخرى على فضاء هيلبرت الا تلك التى تعطيها قاعدة بورن.
هذا اول و اعظم مبرهنات الميتافيزيقا الكمومية (وهذه هى الميتافيزقيا التى نتكلم عنها) و من نتائجها المباشرة بالاضافة الى البرهان على قاعدة بورن هو النص على انه لا يمكننا ابدا تعريف توزيع احتمال بقيمتين (الصفر و الواحد فقط) على شبكة هيلبرت وهذا هو نص المبرهنة العظيمة الاخرى لكوشن و سباكر التى تنص على ان اى نظرية متغيرات مخفية للميكانيك الكمومى يجب بالضرورة ان تكون نسقية (بمعنى انه عندما نقيس مقدار فيزيائى مع مجموعة اخرى من المقادير الفيزيائية المتوائمة معها فاننا لا نحصل على نفس النتيجة لو قسنا نفس المقدار لكن مع مجموعة اخرى من المقادير المتوائمة. اذن النسق له تأثير حقيقى على الفيزياء).
انظروا منشور الاسبوع الماضى حول موضوع مبرهنة غليسون بتفاصيل اكثر على المدونة.

Take Home Exam (QFT)

My new projects on researchgate

Philosophy of Quantum Physics: Reality and Time

 

Investigations of Noncommutative Geometry and the AdS/CFT Correspondence 

Gleason theorem: Every probability measure is generated by a quantum state

Hilbert lattices

We consider a separable Hilbert space $H$ and let $L$ be the corresponding Hilbert lattice. We have already established that $L$  is the  orthomodular  lattice of the set ${\bf C}(H)$ of all closed linear subspaces of $H$ which  is isomorphic to the set ${\bf P}(H)$ of all projectors on $H$. We will for simplicity write $L={\bf C}(H)$.

Quantum events are experimental propositions and they are elements of ${\bf C}(H)$ or equivalently ${\bf P}(H)$. A subalgebra of $L$ is a subset of ${\bf C}(H)$ which is closed under the logical operations $\wedge=\cap$, $\vee=\oplus$ and $\neg=\perp$ and which contains the identity elements ${\bf 1}$ and  ${\bf 0}$. A block $B$ of $L$ is a maximal Boolean subalgebra of $L$ ("maximal" means that the subalgebra contains a maximum numbers of atoms which are those elements above ${\bf 0}$ directly and "Boolean" means that the distributive law holds).

 The elements of ${\bf C}(H)$ and ${\bf P}(H)$ will be denoted by $M_p$ and $P$ respectively whereas the corresponding propositions will be denoted $p$.

Kolmogorov probability theory

 The Kolmogorov axioms of probability theory can only be applied to a classical Boolean algebra $B$ of events.  A probability measure ${\cal P}$ is a function from the set of classical events $B$ into the unit interaval, i.e. ${\cal P}:B\longrightarrow [0,1]$ which satisfies i) ${\cal P}(p)\geq 0$, $\forall p\in B$, ii) ${\cal P}(B)=1$, iii) ${\cal P}(p\vee q)={\cal P}(p)\vee {\cal P}(q)$ if $p$ and $q$ are mutually disjoint events.

An important example is a maximal Boolean sublagbera $B$ of the Hilbert lattice $L$ with $n$ atoms corresponding to $n$ comeasurable obserbales. Any positive function ${\cal P}$  such that 1) ${\cal P}(p_i)\geq 0$, $\forall i$, and 2) $\sum_{i=1}^n{\cal P}(p_i)=1$ will satisfy  Kolmogorov axioms. Two important examples are:

 
 
1. The equidistribution ${\cal P}(p_i)=1/n$ (which represents maximum uncertainty or maximum entropy).

   
2. The two-valued dispersion free probability measure ${\cal P}(p_i)=\{0,1\}$ (which represents maximum knowledge and $0$ entropy).

An important result is the fact that on Boolean algebras $B$ with $n$ atoms $p_1$,...,$p_n$ every probability measure is actually a linear combination (a convex sum) of the $n$ two-valued measures ${\cal P}_i(p_j)=\delta_{ij}$, $i=1,...,n$. Both Gleason theorem \cite{gleason} and the Kochen-Specker theorem  state in essense that on a Hilbert lattice, for Hilbert spaces of dimension greater than two, no two-valued probability measure and thus no representation of probability measures as a convex sum exist.

 A much more refined notion of classicality is the "embeddibility"  of a quantum logic in a classical propositional Boolean structure (more refined than the notion of a "Boolean" lattice structure).  Embeddibility means the existence of a two-valued probability measure on the set of quantum events. Indeed, Kochen and Specker showed  that the set of quantum events ${\bf C}(H)$ can be embedded into a Boolean algebra $B$ if and only if a two-valued probability measure ${\cal P}:{\bf C}(H)\longrightarrow\{0,1\}$ exists such that ${\cal P}(p)\neq {\cal P}(q)$ if $p\neq q$. We say then that the set of probability measures is "separating" which is a better characterization  of classicality than the "distributivity" of a Boolean structure.

Gleason theorem

Next we will substitute the Hilbert lattice of quantum events given by the closed subspaces of the Hilbert space  for the Boolean algebra of classical events.

The  Kolmogorov axioms of probability theory can be applied to the Hilbert lattice $L$ consistently by applying it to each and every Boolean subalgebra $B$ of $L$ as follows.  A probability measure ${\cal P}$ is a mapping from the set of quantum events or experimental propositions ${\bf C}(H)$ into the unit interval, i.e. ${\cal P}: {\bf C}(H)\longrightarrow [0,1]$ which satisfies, in each Boolean subalgebra or block $B$ corresponding to comeasurable propositions or events, the following quasi-classical conditions:

 
1. The probability of each proposition $p$ associated with the projection operator $P$ on the subspace $M_p$ is positive, i.e.
      \begin{eqnarray}
        {\cal P}(M_p)\geq 0~,~\forall M_p\in {\bf C}(H).
      \end{eqnarray}

  
2. The sum of all probabilities is one (the Hilbert space corresponds to the  tautology ${\bf 1}$), viz
      \begin{eqnarray}
        {\cal P}(H)=1.
      \end{eqnarray}

 
3. The probability measure is countably additive, i.e. for mutually disjoint events $p$ and $q$ represented by orthogonal projection operators $P$ and $Q$ respectively we have
       \begin{eqnarray}
         M_{p\vee q}= M_p\oplus M_q.
       \end{eqnarray}
       And
      \begin{eqnarray}
        {\cal P}(M_{p\vee q})= {\cal P}(M_p)+ {\cal P}(M_q).
      \end{eqnarray}
   The propositions $p$ and $q$  belong to the same Boolean subalgebra and therefore they correspond to comeasurable events associated with compatible observables which are represented by commuting self-adjoint operators (projectors) on the Hilbert space.

  

4. But a projector can belong to different blocks or Boolean algebras representing the different contexts of the measurement of the corresponding proposition (equivalently the blocks represent the different perspectives of the various observers).  Thus, at the intersection of two Boolean subalgebras $B_1$ and $B_2$ pasted together we must also impose the non-contextuality requirement
   \begin{eqnarray}
     {\cal P}_{B_1}(M_p)= {\cal P}_{B_2}(M_p)~,~M_p\in B_1\cap B_2.
      \end{eqnarray}  

A probability measure on the subspaces of the Hilbert space satisfying the above requirements can be constructed as follows. Let $|\phi\rangle$ be an arbitrary normalized vector in the Hilbert space $H$ and let $P_{\phi}$ be the corresponding one-dimensional projector, i.e. $P_{\phi}=|\phi\rangle\langle\phi|$. The probability of the projector $P=|\psi\rangle\langle \psi|$ is set to be given by the Born's rule
\begin{eqnarray}
  {\cal P}_{\phi}(M_p)=tr PP_{\phi}= \langle \phi|P|\phi\rangle=|\langle\psi|\phi\rangle|^2.\label{br}
\end{eqnarray}
This is the probability that the projector $P$ have the value $1$ in the state $|\phi\rangle$ which is indeed the statistical algorithm of quantum mechanics or Born's rule.

If ${\cal P}_{\phi_i}$ are different probability measures on the Hilbert lattice $L={\bf C}(H)$ associated with the normalized vectors $|\phi_i\rangle$ then the convex sum (mixture) ${\cal P}=\sum_{i=1}^nt_i{\cal P}_i$ where $0\leq t_i\leq 1$ and $\sum_{i=1}^nt_i=1$ is also a probability measure on $L$. We can immediately compute
\begin{eqnarray}
  {\cal P}(M_p)=tr P\rho~,~\rho=\sum_{i=1}^nt_iP_{\phi_i}.
\end{eqnarray}
The convex sum $\rho$ of the one-dimensional projectors $P_{\phi_i}$ (pure states) is called the density operator (which is generally a mixed state).


Thus, every density operator $\rho$ yields a countably additive probability measure on the subspaces of the Hilbert space. The converse is precisely Gleason theorem which is a highly non-trivial result in quantum mechanics and its foundations.

Gleason's theorem: 

Every countably additive probability measure on the subspaces of a separable Hilbert space of dimension greater than two is i) characterized by a unique non-negative self-adjoint operator $\rho$ satisfying $tr\rho=1$ (trace class operator) and ii) is necessarily of the form
\begin{eqnarray}
  {\cal P}_{\rho}(M_p)=tr P\rho.
\end{eqnarray}
The density operator represents of course the quantum state of the physical system. Gleason's theorem shows therefore that all probability measures on ${\bf C}(H)$ are generated by quantum mechanical states.


Gleason's theorem is a substitute to  Born's rule. Indeed, if the physical system is prepared in the pure state $|\phi\rangle$ then the density operator which is generally of the form $\rho=\sum_iP_i|\phi_i\rangle\langle\phi_i|$ reduces to the pure state $\rho=|\phi\rangle\langle\phi|=P_{\phi}$ and we end up with the Born's rule (\ref{br}). Thus, we can derive the statistical algorithm of quantum mechanics or Born's rule in a straightforward way from Gleason theorem.

One immediate corollary of Gleason's theorem is effectively the Kochen-Specker theorem (see next sections for more detail). Indeed, in Gleason theorem we are attempting to assign probabilities to closed subspaces of a Hilbert space $H$ such that the probabilities assigned to orthogonal projection operators are additive. This assignment is found to be provided by a density operator $\rho$. In the Kochen-Specker theorem we will deal instead with the special case in which we attempt to assign only the values $0$ and $1$ (two-valued probability measures) to the closed subspaces of $H$ in a consistent way (non-contextuality). This assignment, as we will show, is actually impossible. In other words, the set of quantum events ${\bf C}(H)$ does not admit a global two-valued probability measure.

This fundamental result can be derived from Gleason' theorem as follows.  Every probability measure on ${\bf C}(H)$ must be necessarily a continuous  mapping into the interval $[0,1]$. Indeed, for any density operator $\rho$ the mapping $|\psi\rangle\longrightarrow   {\cal P}(M_p)=\langle \psi|\rho|\psi\rangle$ (with $P=|\psi\rangle\langle\psi|$) is a continuous function on the unit sphere in $H$. Obviously, there is no  continuous function defined on the unit sphere (because it is a connected space) which takes only the two values $0$ and $1$. Hence, the set of closed subspaces of the Hilbert space  does not admit a two-valued probability measure.

نشر كتاب نظرية الحقل بجزئين اخيرا

و بعد سنوات طويلة جدا من الدراسة و التدريس و البحث و الكتابة صدر اليوم رسميا مع (المعهد البريطانى IOP هنا http://www.iop.org/) كتابى حول نظرية الحقول الكمومية.
وهو كتابى الخامس فى الفيزياء الاساسية باللغة الانجليزية و هو اضخم مؤلفاتى المنشورة بجزئين:
الجزء الاول اساسيات نظرية الحقل الكمومى يتشكل من مقدمة و 8 فصول و 3 ملاحق موزعة على حوالى 542 صفحة. الرابط هنا
https://iopscience.iop.org/book/978-0-7503-1479-4
الجزء الثانى مواضيع متقدمة فى نظرية الحقل الكمومى يتشكل من مقدمة و 8 فصول و ملحقان موزعة على حوالى 488 صفحة. الرابط هنا
https://iopscience.iop.org/book/978-0-7503-1483-1
ونظرية الحقل الكمومى هى ميكانيك كمومى متقدم يتم فيه التوحيد او التوليف بين قوانين الميكانيك الكمومى (الذى هو النظرية الادق للطبيعة التى تعوض قوانين و ميكانيك نيوتن الكلاسيكيان) و قوانين النسبية الخاصة لاينتشاين من اجل دراسة الجمل الفيزيائية ذات العدد اللانهائى من درجات الحرية و التى عربناها -اى هذه الجمل- فى الجزائر ب "حقل" و عربها غيرنا فى المشرق ب "مجال".
نظرية الحقل او المجال الكمومى تصف بشكل ناجح (و فعلا غير مسبوق فى الطريقة العلمية) العالم اللامتناهى فى الصغر اى عالم ما تحت النواة و هو عالم الجسيمات الاولية (الجواهر الفردة) و تفاعلاتها الكونية الثلاثة (الكهرومغناطيسية و النووية القوية اللونية و النووية الصغرى الاشعاعية).
اذن النموذج القياسى للجسيمات الاولية (الفصل التاسع) الذى هو النظرية الحديثة فى فيزياء الجسيمات الاولية ما كان يمكن ان يكون لولا نظرية الحقل الكمومى.
اما نظرية الثقالة الكمومية فان نظرية الحقل الكمومى لا تصفها الا بعد الاستعانة بنظرية الوتر عبر التقابل بين فضاءات دى سيتر الضدية و نظريات الحقل الكونفورمال او ما يسمى الثنائية الثقالية-المعيارية.
وهذا ما فعلناه فى هذا الكتاب و هو اول كتاب يقوم بهذا الامر -حسب علمى- فقد ضمنا فى الفصل الاخير منه دراسة شاملة لنظرية الثقالة الكمومية كما توفرها الثنائية الثقالية-المعيارية الوترية.
هذا الكتاب رغم انه الخامس صدورا الا انه يعتبر اكبر ابنائى الفكريين الآن لانه اول من ابتدأت فى تحريره منذ سنوات طويلة بطرق و اشكال مختلفة لكننى وجدت صعوبة شديدة فى انهائه بسبب طوله الشديد و تشعب مواده و عدم تحكمى وقتذاك فى امور كثيرة منه خاصة الهيكل العظمى لنظرية الحقل الذى هو معادلة زمرة اعادة التنظيم فالكتاب يحتوى على 3 فصول كاملة فى هذا الامر و نقاش جزئى فى فصلين آخرين حول هذا الموضوع و هذا ايضا غير مسبوق حسب علمى.
لكن ايضا هذا الكتاب اعتبره اكبر ابنائى الفكريين لان الميكانيك الكمومى مادة اساسية فى الفيزياء النظرية و لهذا كانت دراستى له متواصلة غير منقطعة و هى مازالت كذلك.
فاننى فعلا اعشق الميكانيك الكمومى منذ اول يوم سمعت محاضرة فيه عند الاستاذ دغمان فى عنابة و لهذا فاننى لم اقصر ابدا فى دراسته من مختلف الزوايا بطريقتى و بطرق غيرى.
وقد قلت لنفسى بعد ان اكملت هذا الكتاب سارتاح الآن و لن اقوم الا بالبحث و الدراسة الا اننى وجدت الكتاب ألأخر حول فلسفة الفيزياء الكمومية يطلبه البعض فهو مشروع آخر ان شاء الله قد يُكلفنى به الناشر اذا اتفقنا غلى المحتوى و التفاصيل.
فى الاخير اقول اننى قررت ان اوفر فصلا من هذا الكتاب بشكل حر و مفتوح (الفصل التاسع حول النموذج القياسى) لكل الاصدقاء على المدونة وهذا رغم اعتراض الناشر.
اذن من هو مهتم فليترك عوانه الالكترونى على صفحة الكتاب على المدونة او يتواصل معى على بريدى الخاص بعد التسجيل على المدونة.
https://badisydri.blogspot.com/…/my-quantum-field-theory-bo…

My quantum field theory book is out now with IOP

A Modern Course in Quantum Field Theory, Volume 1 - Fundamentals

A Modern Course in Quantum Field Theory, Volume 2 - Advanced topics

Peres construction: proof of the Kochen-Specker theorem

We measure the squared spin components  $J_x^2$, $J_y^2$ and $J_z^2$ along the three perpendicular directions $x$, $y$ and $z$ of a spin one particle. The operators  $J_x^2$, $J_y^2$ and $J_z^2$ are compatible and therefore we are dealing with comeasurable propositions or observables.

The fact that this is a spin one system means that we can only obtain the outcomes $0$ (color white) and $1$ (color black). The spin one system must also satisfy the constraint  $J_x^2+j_y^2+J_z^2=2$ and hence we are essentially attempting to assign the numbers $\{1,0,1\}$ to the tripod $(x,y,z)$.

 In other words, the comeasurement of  the squared spin components along the three perpendicular directions $x$, $y$ and $z$ of a spin one particle is equivalent to the problem of coloring one leg of the tripod white while the other two orthogonal legs are colored black. This coloring problem is in fact equivalent to the measurement of a single  "Ur"-operator ${U}$.

By rotating the tripod $(x,y,z)$ through the application of arbitrary $SO(3)$ rotations we obtain different tripods with different incompatible "Ur"-operators ${U}$.

The goal  then is to assign the two colors black and white to all lines through the origin in $\mathbb{R}^3$ in such a  way that:

1. for any three mutually orthogonal lines  one line will be colored white and the other two lines will be colored black



2. and for any two orthogonal lines one at least is colored black.

This coloring is required to be consistent, i.e. every line is colored either black or white and this is the assumption of non-contextuality (the measurement of the squared spin component along any axis does not depend on the order in which the measurements of the tripods to which this axis belong is done).


As it turns, we do no need to consider an infinite number of lines through the origin in $\mathbb{R}^3$ to show the impossibility of such a colouring since a contradiction already arises for a finite number of lines. The most efficient construction of the Kochen-Specker theorem in three dimensions (which is sufficient to establish a contradiction in higher dimensions) is due to Peres and it involves $33$ lines.


These $33$ directions (or $66$  if we include the opposite directions) can be given in a coordinate basis as follows. First, we have the  $9$ obvious directions given by:

1. The lines through the origin (where the spin one particle lies) which go  through the six points $(\pm 1,0,0)$, $(0,\pm 1,0)$, $(0,0,\pm 1)$.



2. The lines through the origin which go  through the twelve points $(\pm 1,\pm 1,0)$, $(\pm 1,0,\pm 1)$, $(0,\pm 1,\pm 1)$.

 These $18$ points define $9$ directions through the origin which intersect the surface of a cube ${\cal C}$ of size $2$ at the points on the middle of each of the $12$ edges plus the points on the center of each of the $6$ faces.

 This cube ${\cal C}$ has $13$ axes of symmetry given by 1) the three directions through the centers of opposite faces, 2) the four directions along the long diagonals which go through opposite vertices and 3) the six directions through the midpoints of opposite edges. By rotating ${\cal C}$ through $45$ degrees about one of its axes (the directions through the centers of opposite faces) we obtain the three cubes ${\cal C}_1$, ${\cal C}_2$ and ${\cal C}_3$ with a total number of axes of symmetry equal $4\times 13$. Some of these symmetry axes coincide and we are finally left with only $33$ independent symmetry axes which are precisely Peres' $33$ directions.

 An equivalent and much more visual representation of the extra directions of Peres is obtained by considering the largest circle on each face and then draw the largest squares inside these circles. The extra points of Peres are then the intersection points on these inner squares. See the figure. We get then the following extra directions:

1. The lines through the origin which go  through the $24$ points $(\pm 1,\pm \alpha,0)$, $(\pm \alpha,\pm 1,0)$,  $(0,\pm 1,\pm \alpha)$, $(0,\pm \alpha,\pm 1)$,  $(\pm 1,0,\pm \alpha)$, $(\pm \alpha,0,\pm 1)$ where $\alpha=1/\sqrt{2}$. These are the midpoints of the sides of the inner squares.



2. The lines through the origin which go  through the $24$ points $(\pm 1,\pm \alpha,\pm \alpha)$, $(\pm \alpha,\pm 1,\pm \alpha)$,  $(\pm \alpha,\pm \alpha,\pm 1)$. These are the vertices of the inner squares.

Now we attempt to color these $33$ lines as discussed above. As it turns this coloring problem admits no solution which is the essence of the Peres proof of the Kochen-Specker theorem. Since this coloring is impossible for these $33$ directions it must be impossible for the infinite number of lines going through the origin and since it is impossible in a three dimensional real Hilbert space it must be impossible in a Higher dimensional complex space which is the substance of the Kochen-Specker theorem. The proof consists in producing a contradiction as follows.

1. By rotational symmetry we can start from any point on the cube ${\cal C}$. We start with the direction which goes through the point $X=(1,0,0)$ and color it with white, i.e. the lines through the points $Y=(0,1,0)$ and $Z=(0,0,1)$ must be colored black. Then immediately all orthogonal directions must be colored black. These are given by the $16$ lines
   \begin{eqnarray}
     (0,\pm 1,0)~,~(0,0,\pm 1)~,~(0,\pm 1,\pm 1)~,~(0,\pm\alpha,\pm 1)~,~(0,\pm 1,\pm\alpha).
   \end{eqnarray}
   



2. From the six points $(1,\pm\alpha,\pm\alpha)$ and $(0,1,\pm 1)$ we construct the two tripods
     \begin{eqnarray}
       &&(0,1,1)~,~(1,\alpha,-\alpha)~,~(1,-\alpha,\alpha)\nonumber\\
       &&(0,1,-1)~,~(1,\alpha,\alpha)~,~(1,-\alpha,-\alpha).
     \end{eqnarray}
   Obviously, the two points $(0,1,\pm 1)$ are black.  Thus one of the two points $(1,\alpha,-\alpha)$, $(1,-\alpha,\alpha)$ must be black and the other one must be white and also one of the two points $(1,\alpha,\alpha)$, $(1,-\alpha,-\alpha)$ must be black and the other one must be white. The possible pairs of white points are therefore given by the following four possibilities
     \begin{eqnarray}
       &&(1,\alpha,-\alpha)~,~(1,\alpha,\alpha)\nonumber\\
       &&(1,\alpha,-\alpha)~,~(1,-\alpha,-\alpha)\nonumber\\
       &&(1,-\alpha,\alpha)~,~(1,\alpha,\alpha)\nonumber\\
       &&(1,-\alpha,\alpha)~,~(1,-\alpha,-\alpha).
     \end{eqnarray}
     By rotating the cube ${\cal C}$ around the direction going through the point $(1,0,0)$ we can easily see that all these four possibilities are actually equivalent. The two resulting white directions can then be taken to be given by the lines going through the two points
     \begin{eqnarray}
       &&C=(1,-\alpha,\alpha)~,~C^{\prime}=(1,\alpha,\alpha).
     \end{eqnarray}
    



3. In this last part of the argument we will employ the following $10$ lines:
    
    
   • The line through the point $D=(\alpha,1,0)$ is orthogonal to the line through the point $C$ and since $C$ is white we must color $D$ black.
   
   
   • The line through the point $D^{\prime}=(-\alpha,1,0)$ is orthogonal to the line through the point $C^{\prime}$ and since $C^{\prime}$ is white we must color $D^{\prime}$ black.
   
   
   • The lines through the points $Z$, $D$ and $E=(1,-\alpha,0)$ form a triple and since $Z$ and $D$ are colored black we must color $E$ white.
   • The lines through the points $Z$, $D^{\prime}$ and $E^{\prime}=(1,\alpha,0)$ form a triple and since $Z$ and $D^{\prime}$ are colored black we must color $E^{\prime}$ white.
   
   
   • The lines through the points $E$, $F=(\alpha,1,-\alpha)$, $G=(\alpha,1,\alpha)$ form a triple and since $E$ is white we must color both $F$ and $G$ black.
           
   • The lines through the points $E^{\prime}$, $F^{\prime}=(-\alpha,1,\alpha)$, $G^{\prime}=(-\alpha,1,-\alpha)$ form a triple and since $E^{\prime}$ is white we must color both $F^{\prime}$ and $G^{\prime}$ black.
           
   • The lines through the points $F$, $F^{\prime}$ and $U=(1,0,1)$ form a triple and since $F$ and $F^{\prime}$ are black we must color $U$ white.
           
   • The lines through the points $G$, $G^{\prime}$ and $V=(1,0,-1)$ form a triple and since $G$ and $G^{\prime}$ are black we must color $V$ white.
             
   • Finally, the lines through the points $U$, $V$ are mutually orthogonal but both points  $U$ and $V$ are colored white which is impossible.  
            
      
     

وعجزنا عن حل تمرين حله سطر واحد.

حل التمرين الذى عجزنا عن حله اليوم مع الطلبة فى القسم (المعادلة الثانية و الثالثة).
فى تجربة جول لدينا تمدد حر و بالتالى فليس هناك عمل ميكانيكى لان الضغط صفر و ليس هناك ايضا كمية حرارة متبادلة لان التحويل يحدث بسرعة لا تسمح بالتبادل مع المحيط.
بالتعويض فى المعادلة الاولى نحصل على مطلوب السؤال فى سطر واحد.
اذن ماذا حصل لنا جميعا او بالاحرى ماذا حدث لى فى القسم!!

امتحان الترموديناميك الذى قالوا عنه انه من الفضاء ظنا منهم انهم لم يدرسوا ما جاء فيه

Nietzche's perspectivism

Nietzche's perspectivism consists in any or all of the following:

The notion of perspectives for Nietzche is meant to be an "optics" of knowledge.

There are no facts/truths only interpretations. A weaker restatement of this is that we can only access facts/truths through interpretations. Indeed, interpretation is the essential condition of the human life and existence. And the human subject is in a constant act of interpreting the world from his own perspective in search of meaning. These interpretations can not be transcended by the human mind as a matter of principle since we are wholly bounded to our perspectives and interpretations.

An objective reality  even if it exists is indeterminate and only ways or perspectives of looking at the world and experiencing it can exist. Furthermore, reason and the other human cognitive powers are incapable of freeing the human subject from these interpretations, i.e. separating the thing-in-itself (reality) from the appearances of the phenomenal (world). But, the human mind is certainly capable of comparing objectively various perspectives.

Our philosophical concepts (substance,cause, etc) do not therefore correspond to the world because of its indeterminacy.  Furthermore, these concepts are necessarily partial and limited since they are  from the particular point of views of the philosophers, i.e. the personal can not be taken out of philosophy.

 Perspectivism for Nietzche is not a theory of knowledge. He employed it to shift the problem of knowledge and truth to the problem of values and will to truth. However, the statement that "all knowledge is perspectival" is already a theory of knowledge. And the notions that "true knowledge can only be a view from nowhere" and "an all-inclusive perspective which contains all perspectives and thus delivers an absolute knowledge" are both incoherent ideas.   

 Although a perspective-free and an interpretation-free knowledge does not exist an optimal perspective and an optimal interpretation always exist which can be obtained by coherently superposing or summing  many perspectives. This allows us to reach an optimal truth.
 
Perspectivism is not philosophical relativism despite its rejection of 1) the reality of truth and 2) the absolute objectivity of the human subject (only intersubjectivity is left in its place which also solves indirectly the problem of solipsism). Perspectivism is not relativism simply because not all perspectives are equal and not all interpretations are valid.

 In perspectivism, objectivity is certainly possible after a particular set of perspectives. More precisely, objectivity can only be approached asymptotically by taking into account many perspectives and interpretations.

 Thus, the world have many meanings corresponding to the various perspectives and interpretations. Perspectivism for Nietzsche is therefore tied to the loss of an absolute meaning of the world (nihilism) yet the human subject remains in constant act of interpreting it in search for a perspectival meaning.

Is perspectivism itself a perspective?
The answer is "yes".

 But perspectivism is certainly the best perspective since it admits this fact and therefore it is a less distorted -by perspectives- theory of knowledge and metaphysics.

Kochen-Specker theorem: Nature is contextual

The most important theorems in the foundations of quantum mechanics, which is arguable the most central topic in the philosophy of physics, are Bell's theorem and Kochen-Specker theorem. These are the first mathematical theorems in all of metaphysics with Bell's theorem being the most important of the two since it applies to all interpretations of quantum mechanics suffering from small loopholes. Quantum metaphysics based on these theorems should then be properly thought of as experimental metaphysics.

Bell's theorem, which is called by  Stapp the most important discovery in science, is based on the two assumptions of locality and realism and it applies to all interpretations of quantum mechanics. A theory (hidden variables theory or otherwise) which satisfy these two assumptions will contain certain inequalities which are  seen to be violated in quantum mechanics and by Nature (experimentally). Thus, the two conditions of locality and realism are contradictory and typically people abandon the condition of locality., i.e. Nature is non-local


On the other hand, the Kochen-Specker theorem applies only and specifically to hidden variables theories of quantum mechanics and it relies on three assumptions:

1) Projection postulate which states that physical properties can be mapped one-to-one to projection operators on the Hilbert space. This simply states that a yes-no measurement can always be devised on a physical system to reveal whether or not it has a certain property.
2)Value definiteness which states that all observables have definite values at all times. This relies explicitly on the existence of a hidden variables theory of quantum mechanics and it partially reflects the reality condition. 
3)Non-contextuality which states that the outcome obtained in the measurement of an observable does not depend on the order, i.e. context in which that observable is measured. For example, if we measure the squared spin component in the x-direction as a part of the triad (x,y,z) or if we measure it as a part of the triad (x,y1,z1), where (y1,z1) is obtained from (y,z) via a rotation about the x-axis, we should get the same answer.

Kochen and Specker showed that the above three conditions are contradictory in any hidden variables theory of quantum mechanics. Typically, people tend to relax the conditions for the Kochen-Specker theory by dropping the requirement of non-contextuality. In other words, quantum mechanics and by consequence Nature seem to be contextual, i.e. the context of measurement is crucial.

فلسفة الفيزياء المشروع المتعثر

اما مادة فلسفة الفيزياء التى كنت اقترحتها شخصيا فى البرنامج الرسمى لماجيستير الفيزياء النظرية و كان من المفروض اننى سادرسها لاول مرة هذا الفصل و كان المخطط ان ادرس فيها (المنطق الكمومى و الميتافيزيقا التجريبية) فاننى صرفت النظر عن هذا المشروع للاسباب التالية:
-عبثية تدريس طلبة امرا لا يمكنهم ان يفقهوا شيئا فيه و خاصة بعد ان خبرناهم فى مادة نظرية الحقل ووجدناهم اقرب الى العجز منهم الى القدرة.
-عبثية تدريس شيء من هذا القبيل فى الجزائر مع فترة انتقالية و حراك و ثورات. فنحن شعب نعشق الثورات و الحركات و لسنا نهتم بالعلم و الفلسفة. اذن فلنهتم بالحراك و دعنا من هذا المنطق الكمومى!
-عبثية تدريس شيء لا يضيف شيئا جديدا لى شخصيا من الناحية الفكرية. وهذه العبثية راجعة الى انعدام التواصل مع الطالب او افادة الجزائر اى الى العبثيتين الاولى و الثانية.

اما المحاضرات فهى موجودة حاضرة جاهزة (على الاقل خمسة منها) و ساضمها الى الكتاب عن (اسس النظرية الكمومية) الموجود على الاركايف عندما انتهى منها وهو الكتاب الذى صرفت النظر عن نشره ايضا بعد العبثية التى ابانها الناشر الالمانى الذى دعانى الى النشر ثم بدأ يشترط اضافات تتطلب جهدا جهيدا ليست مستعدا و لا قادرا عليه الآن فى هذه المرحلة.
محتوى هذه المحاضرات هو كالتالى (المنطق الكلاسيكى و جبريات بوول, المنطق الكمومى و شبكات هيلبرت, مبدأ التكامل فى اطار المنطق الكمومى, المنطورية فى اطار المنطق الكمومى, معضلة الرصد الكمومى و الحل عبر الثقوب السوداء, مبرهنة كوشن و سباكر و مبدأ النسقية, مبرهنة بال و مبدأ الموضعية, النهاية الكلاسيكية او كيف يتناهى المنطق الكمومى الى المنطق الكلاسيكى, مبرهنة الفعل الحر, المنطق الكمومى فى نظرية الحقل و الهندسة غير-التبديلية)

و الشمس و ضحاها

الشمس هى نجم من بين 400 مليار نجم فى مجرة درب التبانة لوحدها..اذن هى ليست شيئا مميزا فى الكون لكنها شئ مميز جدا بالنسبة للانسان..
فلولا الشمس لما كانت الحياة و لما كان الانسان و لهذا تجد الكثير من القدماء من أله الشمس و عبدها و وحد صفاتهاا-اذا صح التعبير-..
حتى ان ابراهيم عليه السلام جرب هذه التجربة بنفسه وهو نبى الله فلما رأى الشمس بازغة قال هذا ربى هذا اكبر (أى من كل جرم سماوى آخر فى السماء باستثناء القمر الذى يقاربها فى الحجم الظاهرى لكن ابراهيم رغم هذا لم يستثنه و عرف ان الشمس أكبر و عرف القرآن ان ابراهيم عرف!!)...
لكن عندما افلت الشمس قال ابراهيم لا احب الآفلين (فالافول علامة الحركة و الحركة تدل على التغير و الحدوث اما الله ثابت لا تتعلق به الحوادث)..
و الشمس هى نجم يقع على ما يسمى السلسلة الرئيسية main sequence فى مخططات النجوم وهى نوع من النجوم الاكثر نشاطا و حيوية لانها النجوم الشابة التى لم تشخ بعد..
و نجوم السلسلة الرئيسية هى ايضا نوع النجوم الذى يطغى على الكون فى عمره هذا الذى هو ايضا آخر عمر الشباب بالنسبة للكون (تقنيا الكون خرج من مرحلة تسمى عصر ظغيان-المادة matter-dominated era و نحن الآن فى بداية مرحلة اخرى تسمى عصر طغيان-الفراغ vacuum-dominated era و الفراغ هنا مقصود به الحالة الكمومية الاساسية للفراغ و ليس هو الخلاء او العدم)..
و النجوم على السلسلة الرئيسية وجودها شرط ضرورى فى وجود الحياة و تطورها ثم تطور الوعى و ماوراء الوعى وهذا هو نص ما يسمى المبدأ الانطروبيكى enthropic principle اى المبدأ البشرى الذى ينص على ان وجود الجياة العاقلة فى هذا الزمن بالضبط من عمر الكون ليس صدفة بل هو طبيعى او بالاحرى ضرورى لان هذه الحياة التى تسأل "ما معنى الحياة و الوجود" لا يمكن ان توجد الا فى هذا الوقت وهذا حتى تسأل عن وجودها و تتسائل..
اذن هذا الوقت ليس مصادفة بل هو بالضبط عندما تكون اغلب النجوم على السلسلة الرئيسية اى شابة حية نشطة وهو اذن الوقت الذى يكون فيه احتمال وجود الحياة قصوى..
وقد كنت شخصيا من اكبر المعادين للمبدأ الانطروبيكى وهذا بكل بساطة لاننى لم اكن افهم منطقه لكن بعد البحث و التحرى و الصبر فاننى فهمت أن منطقه هو فعلا اجابة منطقية جدا عن السؤال لماذا نحن موجودون الآن فى هذا الوقت وفى هذا المكان و ليس فى وقت و مكان آخرين من الكون?
اذن الشمس نجم فى عز الشباب نشأ منذ 4 مليار سنة و سيعيش قرابة ال 5 مليار سنة اخرى.
وهى مصدر الطاقة الاساسى للحياة على الارض.
والشمس نشأت من انهيار ثقالى لكتلة ضخمة من المادة تسمى المشتلة الكونية stellar nursery...
وهذه الطريقة فى التخلق ليس بدعا من الخلق بل كل النجوم تتشكل عبر انهيار ثقالى بل الكون نفسه تشكل من انهيار ثقالى عكسى الذى نسميه الانفجار الاعظم..
وستنتهى الشمس ميتة كغيرها من الموجودات فى انهيار ثقالى ايضا و تتحول الى سديم كوكبى planetary nebula وهذا هو المرجخ او ستخضع الى سوبرنوفا supernova اى انفجار نجمى او تنهار الى ثقب اسود black hole وكل هذه الاشياء ستموت بدورها بعد احقاب اخرى من الزمن و اطولها عمرا و آخر من يبقى فى الكون هى الثقوب السوداء..
اذن الشمس تعنى ما تعنى القوة الثقالية التى هى اعظم القوى الكونية قاطبة..
وهذه الطاقة التى تصلنا من الشمس تصلنا اساسا كما سنرى على شكل ضوء و امواج كهرومغناطيسية اى فوتونات photons و لكن ايضا على اشكال اخرى مثل النيترينوات neutrinos..
اذن الطاقة الشمسية على سطح الارض فى اغلبيتها الساحقة هى ناجمة عن القوة الكهرومغناطيسية اى الضوء وهذه ثانى القوى الكونية التى تدخل فى المعانى المتضمنة تحت مسمى الشمس..
وثلاثة ارباع الشمس هو هيدروجين و الربع الاخير هو هيليوم..
وكل الطاقة المحررة من الشمس هى ناجمة عن الانصهار النووى nuclear fusion للهيدروجين الخفيف لتشكيل الهيليوم الخفيف..
والقوى المسؤولة عن الصهر النووى هما القوتان النووية القوية strong force و النووية الضعيفة weak force اللتان لا تعملان الا على المسافات الصغيرة جدا للنواة و ماهو اصغر منها..
وكل النجوم فى الكون هى تُحرر طاقة حرارية بنفس هذه الطريقة بالضبط ...
كل الهيدروجين داخل الشمس فى النواة -اين يتم تحرير حوالى 99 بالمائة من الطاقة- هو فى حالة ايونية ionaized اى ان الالكترونات متحررة تماما من قوى الربط الكهرمغناطيسية و ذرة الهيدروجين ليست اذن الا شاردة او ايون هى بالضبط البروتون.
الانصهار النووى هو المعنى الاساسى المنضوى تحت مسمى الشمس و تدخل فيه القوى الثلاثة الكهرومغناطيسية و النووية القوية و النووية الضعيفة و يمكن تقسيمه الى خمسة خطوات.
الخطوة الاولى فى الانصهار النووى هو تصادم بروتونين. القوة الكهرومغناطيسية ستؤدى فى البداية الى تنافر البروتونين لانهما يحملان نفس الشحنة الكهربائية الموجبة لكن عندما يقترب البروتونان من بعضهما البعض فان القوة النووية القوية تتغلب بالكامل على القوة الكرومغناطيسية و يتجاذب البروتونان بعد ذلك مشكلان حالة مرتبطة bound state هى الهيليوم 2 وهو احد نظائر isotope الهيليوم الذى لا يحتوى الا على بروتونين.
السبب وراء هذا الامر ان القوة النووية القوية لا تعمل الا على المسافات النووية القصيرة جدا وهى عندما تعمل تكون اقوى من القوة الكهرومغناطيسية التى تؤثر على كل المسافات..
اذن الخطوة الاولى هى تفاعل نووى قوى. انظر المعادلة الاولى.
الخطوة الثانية هو تفاعل نووى ضعيف يعطى بالضبط بما يسمى تهافت بيطا beta decay الذى يتهافت فيه الهيليوم 2 الى الهيدروجين الثقيل -الذى تحتوى نواته على بروتون و نوترون- محررة ايضا بوزيترون positron و نيترينو neutrino.
و الخطوة الثانية ابطأ بكثير من الخطوة الاولى (الهيليوم 2 فى اغلب حالاته يعود و يتحلل الى بروتونين هذا هو الاكثر حدوثا) لان القوة النووية الضعيفة اضعف بكثير من القوة النووية القوية فضعف القوة يُترجم بندرة التفاعل اما قوتها فتُترجم بوفرة التفاعل.
اذن عندما يتصادم البروتونان نحصل على الهيدروجين الثقيل و بوزيترون -وهو الجسيم المضاد للالكترون- و نيترينو مع تحرير كمية من الطاقة تساوى 0,42 ميغا اليكترون-فولط (المعادلة الثانية).
هذا الفرق فى الطاقة الحاصل ينجم عن الفرق فى الكتلة بين الحالة الابتدائية و الحالة النهائية حسب علاقة الطاقة لاينتشاين.
وعلينا ان نعى ان عمر البروتون داخل الشمس هو حوالى النصف مليار سنة اى ان الانصهار الناجح للبروتونات داخل الشمس من اجل اعطاء هيدروجين ثقيل سيأخذ فى المتوسط حوالى نصف مليار سنة.
بوضع الخطوة الاولى مع الثانية نحصل على التفاعل النهائى فى المعادلة الثالثة.
الخطوة الثالثة هو ان البوزيترون المتخلق فى التفاعل الضعيف الثانى اعلاه يعود و يتلاشى فى عملية افناء زوجى pair annihilation عندما يتصادم هذا البوزيترون مع الكترون لاعطاء فوتونين مع تحرير طاقة اضافية مقدارها 1,022 MeV.
هذا التفاعل الثالث هو تفاعل كهرومغناطيسى لان جسيمات الضوء -الفوتونات- لا تتفاعل الا عبر الكهرومغناطيسية (كقاعدة اذا رأيتم فوتون فى تفاعل فاعرفوا انه تفاعل كهرومغناطيسى و اذا رأيتم نيتريونو فى تفاعل فاعرفوا انه تفاعل نووى ضعيف).
انظر المعادلة الرابعة.
الخطوة الرابعة الهيدروجين الثقيل المتخلق فى التفاعل الضعيف الثانى اعلاه ينصهر هو الآخر مع بروتون آخر لاعطاء الهيليوم 3 وهو نظير آخر للهيليوم مع تحرير فوتون آخر وطاقة اضافية مقدارها 5,49 MeV.
هذا تفاعل تتوسطه القوة النووية القوية وهو سريع جدا اى يحدث بوفرة حيث ان الهيدروجين الثقيل لا يعيش الا 4 ثوانى قبل ان يتحول الى الهيليوم 3.
انظر المعادلة الخامسة.
الخطوة الخامسة الهيليوم 3 يعيش لمدة 400 سنة داخل الشمس ثم يتحول هو بدوره الى الناتج الاخير الذى هو الهيليوم 4 عبر اربعة طرق مختلفة.
أهم هذه الطرق هو ما يسمى الفرع p-p I الذى يحدث باحتمال 83 بالمائة (بين درجات الحرارة 10 و 14 مليون كلفن) حيث تنصهر عبر هذا الطريق نواتان من الهيليوم 3 لانتاج نواة واحدة من الهيليوم 4.
الطاقة المحررة الكلية عبر عهذا الطريق هى 26,732 MeV تضيع منها حوالى 2 بالمائة للنيترينوات التى تخرج من الشمس بسرعة خلال ثوانى (فالنيترينو فعلا كالشبح لا يرى شيئا حتى الشمس نفسها لا يراها) اما اغلب هذه الطاقة الحرارية فتخرج على شكل فوتونات (والفوتون يستهلك ما مقداره 10 الاف سنة حتى يخرج من الشمس بسبب كثرة التفاعلات فى طريقه).
هذه الفوتونات -اى الطاقة الكهرومغناطيسية- هى التى نستقبلها على الارض على شكل حرارة تمثل الوقود الاولى للحياة البيولوجية و تطور الوعى و العقل الذى عرفته الأرض فى تاريخها.
الانصهار النووى داخل نواة الشمس المسؤول عن كل الطاقة الحرارية الضرورية للحياة على الارض هو اذن انصهار اربعة انوية هيدروجين -اى بروتونات- لاعطاء نواة هيليوم -و تسمى ايضا جسيم الفا- مع تحرير 2 من البوزيترونات -فنائهما ضد الالكترونات يولد فوتونات- و تحرير ايضا 2 من النيترينوات التى تبلغ هى الاخرى الارض و تقوم ايضا بدورها.
انظر المعادلة السادسة.
وهذا ربما (هنا فقط التأويل) لماذا يقسم الله ب (الشمس و ضحاها) فالشمس هى كل تلك القوى الاساسية الاربعة و بخاصة الانصهار النووى اما ضحاها فهو طاقتها المحررة التى هى شرط ضرورى لكن غير كافى لتطور الحياة على الارض.