LATEX

معضلة ضياع المعلومات فى الثقب الاسود

ماهى بالضبط معضلة ضياع المعلومات فى الثقب الأسود?
اولا الثقب الاسود هو نجم انهار تحت تأثير وزنه بعد ان انهزمت القوة النووية القوية امام قوة الثقالة و ستنهزم كل القوى الطبيعية اماما الثقالة ان آجلا او عاجلا.
والثقب الاسود هو اعظم جرم سماوى قاطبة وهو اقواها لا يقف عاجزا -ولا يقف فعلا عاجزا لكنه يقف- أمام قوة الانفجار الأكبر وهو أكبر الاجرام السماوية عمرا فهو سيموت تقريبا مع موت الكون نفسه (فيما يسمى الموت الحرارى).
ثانيا وعندما ينهار الثقب الاسود فانه سيحتل بقعة صغيرة جدا من الفضاء مما يؤدى الى تشكل افق (يسمى افق الحدث) خارج الثقب الاسود وهو الذى يحدد حدود الثقب الاسود.
والافق هو افق لانه لا يمكن لأى شيء حتى الضوء نفسه ان يهرب من قوة ثقالة الثقب الجهنمية بعد ان يمر عبر هذا الخط او هذا الافق.
اذن من ناحية النسبية العامة وهى نظرية كلاسيكية فانه لا يوجد ضياع لأى معلومات فلا شيء ابدا يصدر عن الثقب لانه ثقب فى الفضاء وهو اسود. فالمعلومات كلها محبوسة داخل الثقب و الثقب لا يتبخر و رغم ان المعلومات لا تستطيع ان تخرج الا انها ايضا لا تضيع لان الثقب لا يضيع فى التبخر.
لكن الآن يدخل الميكانيك الكمومى الى الموضوع و يفسد كل هذه الحكاية الجميلة على النسبية العامة.
ثالثا قوة الثقالة للثقب هائلة جدا كما ذكرت وهى قوية الى الحد انها تولد جسيمات افتراضية حقلية فى الفضاء المحيط بالثقب.
تذكروا ان الثقب لاي وجد فى فراغ او عدم مطلق بل هو موجود فى حالة فراغية كمومية لكل الحقول الموجودة فى الكون.
اذن قوة الثقالة للثقب تولد جسيمات افتراضية من الفراغ الكمومى التى تعود و تتلاشى بسرعة شديدة فى الفراغ الكمومى وهذا كله انعكاس لمبدأ الارتياب لهايزنبرغ.
هذه الجسيمات الافتراضية و لانها تتولد من الفراغ الكمومى فهى تتولد على شكل ازواج جسيم/جسيم-مضاد.
رابعا لكن قد يحدث ان بعض (بل كثير) من هذه الحسيمات المتولدة او المتخلقة ان تتخلق على افق الحدث عندها فان احد الزوجين يسقط فى الثقب (وهو الكيوبيت qbit او وحدة المعلومة الكمومية الضائعة) اما الآخر فانه يطير بعيدا عن الثقب الى مالانهاية وهو جسيم هاوكنيغ الذى ستتشكل منه اشعاع هاوكينغ.
خامسا الجسيم الساقط فى الثقب يحمل طاقة سالبة مما يتسبب فى نقصان كتلة الثقب الاسود. اذن الثقب هو يتبخر تحت تأثير التفاعلات الكمومية الحقلية فى خلفية الجسيم الاسود.
سادسا معضلة ضياع المعلومات هى بالضبط القضية ان حالة الزوج الافتراضى جسيم/جسيم-مضاد الذى تولد عند افق الحدث هى حالة كمومية نقية اما حالة جسيم هاوكينغ الذى ذهب خارج الثقب الى مالانهاية فهى حالة حرارية مختلطة.
الحالة المختلطة لا تحتوى على اى من الترابطات الكمومية quantum correlations التى كانت تحتويها الحالة النقية و من تلك الترابطات يمكن معرفة كل شيء عن الكيوبيت الساقط و بدونها فان الكيوبيت الساقط هو فى الحقيقة كيوبيت ضائع.
واذن لدينا وضعية فيزيائية حالتها الابتدائية هى حالة نقية ثم تطورت الى حالة نهائية عبارة عن حالة مختلطة وهذا يستحيل ان تعطيه معادلة شردودينغر و لهذا فان القوم يريدون التضحية عوض ذلك بالنسبية العامة.
وهذا أكبر تحدى ترفعه الثقوب السوداء فى الفيزياء النظرية وحله يتطلب حل معضلة (نظرية الثقالة الكمومية) و (معضلة الرصد الكمومى) ولهذا فان الناس مهتمون بها و اننى معهم مهتم بهذه الملائكة او الشياطين الكونية الاقوى فى الطبيعة.

What is the information loss problem in black holes?

This is the first photograph of a black hole  taken in April 2019 with the Event Horizon Telescope of the supermassive black hole in M87.

A black hole is a massive star which have collapsed under its own weight into a compact region of space.
The force of gravity around a black hole is so extreme that even photons (the particles of light) which travel at the speed of light can not escape once they have crossed the so-called event horizon surrounding the black hole.
Thus, black holes are really holes in space (since matter fall into them) which are really black (there is no possibility of escape).
This is the picture of classical black holes provided by Einstein general theory of relativity.
But in 1974 Hawking showed that black holes are really quantum objects which can emit radiation (the so-called Hawking radiation).
Indeed, a black does not really exist in vacuum but in fact it is continuously interacting with fields of particles and radiations which permeate spacetime.
In other words, the space surrounding a black hole is filled with  virtual particles which pop in and out of existence (by the Heisenberg uncertainty principle of quantum mechanics) in the form of matter-antimatter pairs.
These pairs annihilate almost immediately.
But around the event horizon of the black hole it could happen that a pair of particle-antiparticle is created for a brief short of time but before they can annihilate  the force of gravity of the black hole pulls one of them inside the black hole whereas the other scatter off away from the black hole towards infinity.
The absorbed particle is the lost qbit (or quantum bit) of information.
And the scattered particle (seen by an observer located outside the black hole at spatial infinity) is the Hawking particle.
The lost bit falling inside the black hole has negative energy causing thus the mass of the black hole to decrease and as a consequence the black hole is actually evaporating by the process of Hawking radiation.
The loss of information problem is the statement that the created pair of particle-antiparticle is found in a quantum pure state whereas the Hawking radiation constituted of all Hawking particles is found in a thermal mixed state.
The mixed state lacks all quantum correlations encoded into the original pure state and hence we have here a case of a pure state evolving in time to a mixed state which is impossible by the Schrodinger equation.
We say that unitarity is lost and we have loss of information. Which is a state of affair not accepted by the majority in the physics community.

A precise formulation of this problem is given by the AMPS (Almheiri, Marolf, Polchinski, Sully)  firewall paradox which shows among other things that black hole complementarity is not sufficient.
.
In my own view the solution of this problem is that there is no information loss and that the black hole starts spitting out its information back out at an accelerated rate when it becomes maximally entangled with its Hawking radiation at the the so-called Page time (the time at which half of the black has evaporated).

This solution should in fact go through the following three stages:

- The ER=EPR conjecture due to Maldacena and Susskind which states that the black hole and its Hawking radiation are maximally entangled with each other. And that the maximal entanglement (that is the Einstein-Podolsky-Rosen or EPR  entanglement) between any Hawking particle and its lost quantum bit which went inside the black hole is given by Einstein-Rosen or ER wormehole or bridge. We get thus an octopus structure for entanglement.

- The ER=EPR conjecture is actually based on the hypothesis that the smooth geometry of spacetime is woven solely from particle entanglement.  We say that spacetime emerges from quantum entanglement. This more fundamental hypothesis is due for example to Van Raamsdonk.

- The hypothesis that spacetime is an emergent concept from the more fundamental quantum entanglement is itself based on the celebrated AdS/CFT conjecture due to Maldacena which states that quantum gravity in certain spacetime geometries is completely describable in terms of ordinary quantum fields (with conformal symmetry) in lower dimensions.

We hope we can come back to these points in more detail in the future.


كيف لا تضيع المعلومات فى الثقب الاسود و كيف ينبعث الفضاء-زمن من التشابكات الكمومية

وهذا نص محاضرة قديمة بيداغوجية جدا فى موضوع صعب جدا.
الثنائية الثقالية/المعيارية gauge/gravity duaiity هى اعظم انجاز قدمته نظرية الاوتار الممتازة superstring theory للفيزياء النظرية.
وهى تنص بكل بساطة (اذا كانت البساطة ممكنة) على ان نظرية حقل الجذب الثقالى الكمومى فى فضاء-زمن حجم bulk space-time هى مكافئة تماما لنظرية حقل معيارى كمومى فى فضاء-زمن حد boundary space-time الذى يحيط بالفضاء-زمن حجم مثلما تحيط الدائرة بالقرص.
اذن بنية الفضاء-الزمن الكمومية و تفاعلات جسيم الغرافيتون graviton الذى يحمل قوة الثقالة هى مكافئة تماما للتفاعلات مادة-اشعاع المحتواة فى حقل معيارى gauge field مثل حقل الفوتون photon لكن بعدد شحنات charges لانهائى.
اذن هذه هى الفكرة الاساسية وهى فكرة هولوغرافية holographic كما ترون اى ان نظرية فى بعد اعلى (هنا هى الثقالة ولهذا فالثقالة تظهر اضعف لانها تنتشر فى ابعاد اضافية) توصف بنظرية اخرى فى بعد اقل (هنا هى نظرية الحقل الكمومى).
وهى فكرة ترجع بالأساس الى توهفت 't Hooft أولا عام 1992 ثم ساسكيند Susskind عام 1993 الذى قفز عليها اول يوم رآها فيها مثلما يقفز بذكاءه الشديد على كل شيء آخر مبدع يراه (هو دائما يرى الاشياء المهمة قبل غيره من زملاءه وهم ايضا اذكياء جدا).
ثم قدم مالداسينا Maldacena عام 1997 مثالها الاشهر على الاطلاق الذى يعطى بالمعادلة AdS=CFT حيث ان AdS هو الفضاء-زمن الحجم و CFT هى نظرية الحقل المعيارى الكونوفورمالى (واهم صفة لهذه النظرية هى كونها كونفورمال conformal و ليس كونها معيارية gauge. اذن يمكن ان تكون غير معيارية لكن يستحيل ان تكون غير كونفورمالية).
و الكونوفورمال هى زمرة التناظرات التى تتميز بها ال CFT من جهة و ال AdS من جهة اخرى و تضم تحويلات الانسحابات و الدورانات و تحويلات لورنتز Lorentz (اى النسبية الخاصة) و تحويلات السلم scale transformations وهو نوع من التحاكى (وهذا هو ما يميزها فعلا) و تعميمها وهى تحويلات الكونوفورمال conformal transformations.
اذن ال CFT و ال AdS يتميزان بنفس التناظر (الزمرة الكونفورمال) و نفس الانطروبى (الهولوغرافى) واذن بنفس عدد درجات الحرية ثم يمكن ان نبين ايضا انهم يتميزان بنفس دالة التقسيم partition function.
وهذا كله ليس مصادفة بل هذا هو السبب لماذا هما متكافئان.
اذن فى هذه المحاضرة المقتصبة جدا نشرح كيف نستخدم هذه الثنائية لوصف اشعاع الثقب الاسود black hole radiation و تبيان انه ليس هناك اى ضياع للمعلومات information loss وهذا باستعمال التشابك الكمومى quantum entanglement (واشياء اخرى كثيرة).
ثم نشرح كيف نستخدم هذه الثنائية لتبيان كيف تنبعث emerge هندسة الفضاء-زمن المستمرة continuous و السلسة smooth بأكملها من التشابكات الكمومية لنظرية الحقل الكونفورمال حيث ان المبدأ الاول للترموديناميك first principle of thermodynamics فى النظرية الحدية ال CFT هى بالضبط ما تؤدى الى معادلات النسبية العامة لاينشتاين فى الحجم AdS.
على اليوتوب (فيديو صامت فكأننى مازلت فى عهد العشرينات. لكن فعلا كنت أرغب فى تركيب فيديو بخصوص هذا الموضوع. لكن اليوتوب يستهلك وقتا هائلا فى الانجاز و وقتى ضيق جدا لا يسمح لى الا ان استعمل المدونة-و-الفايسبوك):
https://www.youtube.com/watch?v=5zEKlR5sn48&feature=youtu.be
على البوابة البحثية (ملف ال بى دى أف):
https://www.researchgate.net/…/340278801_GaugeGravity_Duali


الثقوب السوداء فى التجارب المعملية

فيزيائيون ذريون (ما نسميه نحن فيزياء الاشعاع) يتعاونون مع فيزيائيون وتريون (فيزياء نظرية) للتحقق تجريبيا من عدم ضياع المعلومات فى اشعاع الثقب الاسود و من الثنائية الثقالية بين فضاءات دى سيتر العكسية و بين الحقول الكمومية الكونفورمالية او ما يسمى الثنائية AdS/CFT.
الطريق هو تصنيع ثقبين اسودين صغيرين متشابكين كموميا قصويا (هذه هى الجملة عندما ننظر اليها من جهة الحقل الكمومى) متشكلان من عدد صغير من الكيوبيتات (فى هذه الحالة الكيوبيت qubit هو ذرة).
هذا يعنى من جهة الثقالة ان الثقبين مرتبطان عبر ثقب دودى.
يتم بعد ذلك ارسال كيوبيتات (هذه هى المعلومات الضائعة) فى احد الثقبين الذى يقوم بخلط scrambling هذه المعلومات التى تمر اذن عبر الثقب الدودى و تخرج من الثقب الاسود الثانى غير مخلوطة (من جهة الحقل الكمومى يعنى هذا نقل كمومى عن بعد quantum teleportation. اذن هناك تلاشى للكيوبتيات من هنا و اعادة تخليقها من الجهة الاخرى).
كل هذه الامور هى حقائق تجريبية و ليست فقط كلام نظرى لكن هذا ايضا يعكس القوة الهائلة للفيزياء النظرية على التصور و على التنبأ قبل سنوات طويلة من تمكن الفيزياء التجريبية من انجاز هذه التصورات و التحقق من هذه التنبؤات فى التجارب المعملية الاقرب من عقل الانسان.

wormholes-reveal-a-way-to-manipulate-black-hole-information-in-the-lab 

الزجاج المثالى


الزجاج هو طور من المادة بين الصلب و السائل نصل اليه عندما يتم تبريد السائل بشكل بطئ او ما يسمى التحول الطورى الزجاجى glass transition وهو تحول طورى من الدرجة الثانية.
اذن الزجاج يتميز بترتيب فوضوى للذرات مثل السائل لكنه يتميز بصلابة حقيقية مثل المادة الصلبة.
اذن هو طور بين الطورين.
لكن الزجاج المثالى ideal glass فهو طور آخر بين الطور السائل و الطور الصلب الذى يتميز بالاضافة الى كونه زجاج بوجود نظام أمورفى (اى لا-بلورى) طويل المدى وهذا مثلما تتميز المادة الصلبة بوجود نظام بلورى طويل المدى يحكم توزيع جزيئاته.
وهذا هو موضع الاهتمام بهذا الطور. هذا النظام الأموروفى طويل المدى الذى قد ينافس النظام البلورى فى التطبيقات الفيزيائية و التكنولوجية.
توزيع الجزيئات فى الزجاج المثالى هو اذن ليس فوضى مثل الزجاج العادى لكن تحكمه قوى مضبوطة مسؤولة عن النظام الأمورفى طويل المدى long-range amorphous order المتميز به و على هذا فهو يتميز بقيمة انطروبى entropy ضئلية (معبرة عن نظام و ترتيب محمكين) تساوى بالضبط قيمة الانطروبى فى المادة الصلبة البلورية.
المعضلة ان هذا الطور (طور الزجاج المثالى) هو طور لم يُرى ابدا فى الطبيعة و لا فى التجارب لكن النظرية تتنبأ به منذ عام 1948 مع مُقترح هذا الطور الكيميائى (وليس الفيزيائى) كوزمان Kauzmann و السبب ان الانتقال من السائل الى الصلب عبر التبريد المستمر هو الذى يؤدى الى الزجاج عندما يتم التبريد ببطء شديد. لكن لو تم التبريد ببطء اشد (لم يتم تحقيقه الا على المحاكيات العددية لهذه الفيزياء على الحواسيب) فان الانتقال سيكون الى طور الزجاج المثالى. وهذا النوع من التبريد قد يتطلب الاف او ملايين من السنوات و لهذا فهو غير ممكن بما هو متوفر من التقنيات اليوم.
لكن هل طور الزجاج المثالى فعلا موجود ام هو من تخيلات الفيزياء النظرية?
فهذا سؤال آخر.
هذا موضوع ممتاز فى فيزياء المادى المكثفة التى قلما نلتفت اليها ليس لقلة اهميتها لكن بسبب كثرة المشاغل الاخرى.

علوم الحاسوب+الرياضيات البحتة+الفيزياء الكمومية

مع هذه التطورات الجديدة للكورونا لم اعد اقدر على التركيز على العمل فعديد الكتب مفتوحة امامى ولدى وقت هائل وفرصة متاحة للاستدراك لكن اشعر بالعجز و بعثية اكثر من المعتاد!!!!..
(و آخر ما استطعت قراءته بهدوء و تعمق مقال بال الذى وضعته هذا الصباح على اليوتوب).
اليوم فى ايطاليا 300 شخص توفوا من المرض دفعة وحدة فى يوم واحد- و قد كنت سأسافر الى ايطاليا هذا الشهر (شهر مارس) لكن الغيت نيتى للسفر فى شهر ديسمبر و الغيت السفر رسميا شهر جانفى و كأننى شعرت بالخطر (وقد كنت احترت كيف ان ادراة مركز عبد السلام للفيزياء النظرية كان ردهم بارادا جدا على الغائى للقدوم الى المعهد و قد كانت ردودهم السابقة فى حالات مماثلة اقل ما يقال عنه انه بارد لكننى فهمت الآن فهم ايضا شعروا بالخطر المحدق).
اذن لا استطيع ان أركز.
و قد كنت اردت ان اشرح النتيجة الخارقة الجديدة فى علوم الحاسوب:
MIP*=RE
هذه نتيجة جديدة جدا و ثورية جدا فى نظرية التعقيد complexity theory تنص على ان المسائل التى يمكن ان تحل عبر الالعاب الكمومية quantum games (وليس الالعاب الكلاسيكية) وهذا هو ال MIP* ليست اصعب من معضلة الوقف halting problem لتورين Turing الشهيرة وهذا هو RE.
(وتورين هو انيتشاين هذا المجال الاول و معضلة الوقف هى المعضلة التى ابتدأت بها كل علوم الحاسوب.)
هذه النتيجة الحاسوبية النظرية ادت دون اى توقع من اى احد الى نتيجتين حارقتين اخريتين:
-الاولى فى الرياضيات البحتة تخص تخمينية كوون Connes conjecture التى تنص على انه يمكننا تقريب المؤثرات اللامتناهية بمصفوفات منتهية. الجواب الآن لا هذا غير ممكن.
-الثانية فى الفيزياء الكمومية تخص تخمينية تسيرلسون Tsirlson التى تنص على ان تعريف التشابك الكمومى المعطى عبر اخذ الجداء التنسورى و تعريف التشابك الكمومى المعطى عبر ترتيب عمليات الرصد هما تعريفان متكافئنان. الجواب الآن لا هذان تعريفان غير متكافئان.
اذن اردت ان اقوم بمراجعة مستفيضة لهذا الامر خاصة لاهتمامى الشديد بالتشابك الكمومى و عملى اليومى على المؤثرات و المصفوفات و اعجابى الدفين بعلوم الحاسوب النظرى (فهى اقرب علم بعد الرياضيات الى الفيزياء النظرية) لكن وجدتنى ذاهلا عاجزا غير قادر على التركيز بسبب هذه الكورونا والاحداث المتسارعة و هذا امر لا يمكننا عزل انفسنا عنه (مثل السياسة و الدين).
لكن اقرأوا الخبر هنا.

ما يقال و ما لا يقال من الميكانيك الكمومى

ما يقال و مالا يقال فى الميكانيك الكمومى..
وهو عنوان كتاب شهير ل جون بال اكبر فيزيائى كمومى و اكبر كمومى فلسفى وهو ايضا عنوان المقال فى الكتاب الذى اخترناه هنا للمراجعة.
هذا الكتاب هو افضل كتاب عندى فى التراث الفيزيائى مثلما ان المنقذ من الضلال هو افضل كتاب عندى فى التراث الاسلامى.
اما "ما يقال" فهو" آداة الرصد" التى يستعملها الراصد وهى يتعامل معها الميكانيك الكمومى بشكل كلاسيكى و لهذا فهى مما يقال حسب بال.
اما "مالايقال" فهى "الجملة الكمومية" قيد الرصد وهذا هو الجزء الذى يجد الميكانيك الكمومى صعوبة شديدة (وبال نفسه برهن ان الامر محال) فى الكلام عليه بشكل كلاسيكى.
جون بال فى هذا المقال يرفض ان يقر ان الميكانيك الكمومى (بارجاعه الراصد الى الادوار الاولى) قد قضى على ثورة كوبرنيكوس التى اخرجت الانسان من الطريقة العلمية و من القيام بأى دور متميز فى الكون.
وهو ايضا يصر ان الحل ليس فى الوعى و لا فى المعلومة.
بل الحل او على الاقل بداية الحل كانت ما قام به ديى بروغلى عام 1926 عندما اجاب عن السؤال (هل هى موجة او جسيم) بالقول هى (موجة و جسيم معا).
رأى ديى بروغولى تناوله بوهم فيما بعد و طوره الى ما يسمى اليوم تفسير بوهم وهو تفسير واقعى غير موضعى صراحة الوحيد الذى يتجاوز مبرهنة بال و جون بال نفسه كان من المتحمسين له.
لكن تفسير بوهم هو تفسير غير موضعى اى ان التأثير (رغم انه لا يحمل اى طاقة و لا يمكن ان يستعمل اذن فى ارسال اى اشارة) ينتشر بسرعة تفوق سرعة الضوء.
اذن من جهة فان تفسير بوهم يلغى الفرق بين آداة الرصد و الجملة الكمومية لكن من جهة اخرى فانه يكسر النسبية لانه يكسر الموضعية اذن هو يتهدد ضمنيا السببية.
اذن يصل من هنا جون بال الى معضلة التعارض المبدأى القائم بين اساسى الفيزياء الحديثة (الميكانيك الكمومى و النسبية).
من جهة اخرى يذكر بال ان الفيزيائيين النظريين لا يشعرون بأى احساس دينى امام فرضياتهم و لا يهمهم ابدا تغييرها فى اى لحظة دون اى تردد او انزعاج لكنهم ايضا لا يخطئون ابدا فى الحساب و هم يرون بوضوح الفرق بين المهم و التفاصيل ورغم كل الغموض الذى يحيط بالميكانيك الكمومى و اساسه فهم يحققون تقدما هائلا فى كل شيء فهم مثل النائم-الماشى (وهذا مدح من جانبه فالفيزيائيون الاوائل او سلف الفيزياء كانوا ايضا مثل النائم-الماشى يكتشفون دون ادراك عمق ما يكتشفون فعلا لكن الفرق ان الاوائل اى السلف كانوا متحمسين مثل المتدينين لكن الاواخر اى الخلف حماسهم براغماتى اكثر منه دينى).

اليوتوب 

سابين و الجبر او الحتمية الممتازة

سابين هوسنفيلدر Sabine Hossenfelder تعلنها صراحة و تقول انها مع الجبر الممتاز superdeterminism فى تفسير الميكانيك الكمومى. اذن جون بال John Bell اقترح الحل كما اقترح كثير من الحلول الاخرى التى هو غير مقتنع بها و توهفت 't Hooft تبنى الحل بالكامل وبدأ فيزيائيون معروفون مثل سابين فى تبنى الحل و اعلان تبنيهم له صراحة. فهى تهمة ان تتبنى الجبر الممتاز كحل لمبرهنة بال. اذن أليس Alice و بوب Bob ليسا حرين ابدا فى اختيار ما يريدان ان يرصداه وهما فى الارض و المريخ او فى جانبين مختلفين من المجرة او الكون و رغم هذا فهما ليسا حرين فى فعل ما يريدان.
هى ايضا تحكى كيف ان الفيزيائيين اكتشفوا بعد 100 سنة انهم لا يعرفون حقا نظرية الميكانيك الكمومى التى هم متزوجون منها و ان ايام "احسب و اخرس" قد ولت و ان هذه النهضة الحديثة التى يعرفها الميكانيك الكمومى منذ 20 سنة تدفعها التكنولوجيا و ليس الفلسفة فالتكنولوجيا تحتاج الى الاجوبة الفلسفية حتى يمكنها تحقيق نتائج (اما الفيزياء فعلى ما يبدو لم تكن تحتاج الى تلك النتائج ولهذا كانوا يقولون لنا احسب و اخرس).
الفراءة لسابين دائما ممتعة و مفيدة.

Wilsonian Renormalization Group

References

The primary reference for this post is the classic paper by Wilson and Kogut (the renormalization group and the $\epsilon$ expansion). Also we used the article by Fisher (renormalization group theory: its basis and formulation in statistical physics). Also the book by Huang is as always extremely helpful.

The set up

As an example we consider the Landau theory given by the Hamiltonian
\begin{eqnarray}
E[m]=\int d^dx {\cal E}(m(x))~,~{\cal E}=\frac{1}{2}(\vec{\partial}m(x))^2+\sum_{n=1}^{\infty}K_nm^n(x)+....
\end{eqnarray}
The field $m(x)$ is the order parameter (magnetization) and the dot stands for higher derivative terms. The coupling constants $K_n$ depend on the cutoff $\Lambda$. The most important example for us is the Landau-Wilson model given by
\begin{eqnarray}
{\cal E}=\frac{1}{2}(\vec{\partial}m(x))^2+\frac{1}{2}r_0 m^2(x)+u_0 m^4(x).
\end{eqnarray}

The renormalization group transformation consists of three steps:

Coarse-Graining: We integrate in the partition function over the high momentum modes.

Rescaling: We rescale the momenta back to the original domain in order to restore the original coarse-grained “picture”.

Normalization: We rescale the fields appropriately which is necessary since the relative size of the fluctuations of the rescaled magnetization is in general different from the original.

These three steps define a renormalization group transformation which  in general is not invertible  and thus we are really dealing with a semigroup structure. By repeating these steps we get then highly non-linear equations which are the renormalization group equations.

The partition function of the Landau theory in momentum space is of the form
\begin{eqnarray}
Z=\int \prod^{\prime}_{|\vec{k}|<\Lambda}[d\tilde{m}(\vec{k})][d\tilde{m}^{\dagger}(\vec{k})]\exp(-E[\tilde{m}(\vec{k})]).\label{Lambda}
\end{eqnarray}
The prime indicates that we integrate only over half of the momentum space. The energy functional in momentum space reads (with $K_2=r_0/2$)
\begin{eqnarray}
E[\tilde{m}]=\frac{1}{2}\int d^dk (\vec{k}^2+r_0)|\tilde m(\vec{k})|^2+....
\end{eqnarray}
We now apply the above stated three steps of the renormalization group transformation.

Coarse-Graining (Integration): 


We integrate in the partition function over all momentum modes which satisfy $\Lambda/b\leq |\vec{k}|\leq \Lambda$ with $b>1$. Thus the new energy functional should be defined by the expression
\begin{eqnarray}
\exp(-E^{\prime}[\tilde{m}(\vec{k})])=\int \prod^{\prime}_{\frac{\Lambda}{b}|<\vec{k}|<\Lambda}[d\tilde{m}(\vec{k})][d\tilde{m}^{\dagger}(\vec{k})]\exp(-E[\tilde{m}(\vec{k})]).
\end{eqnarray}
Clearly, the new Hamiltonian $E^{\prime}$ depends only on the fields $\tilde{m}(\vec{k})$ for which $|\vec{k}|<\Lambda/b$. This new Hamiltonian is generally of the same form as the original one but with different coupling constants, viz
\begin{eqnarray}
E^{\prime}[\tilde{m}]=\frac{1}{2}\int_{|\vec{k}|<\frac{\Lambda}{b}} d^dk (A\vec{k}^2+\tilde{r}_0)|\tilde m(\vec{k})|^2+....
\end{eqnarray}
In fact, $E^{\prime}$ will also contain additional terms which did not exist in the original action and which will be dropped (Wilson truncation). The partition function becomes 
\begin{eqnarray}
Z=\int \prod^{\prime}_{|\vec{k}|<\frac{\Lambda}{b}}[d\tilde{m}(\vec{k})][d\tilde{m}^{\dagger}(\vec{k})]\exp(-E^{\prime}[\tilde{m}(\vec{k})]).
\end{eqnarray}

Rescaling:


We rescale the momenta back to the original domain, i.e. we restore the cutoff back to $\Lambda$, as $k_i\longrightarrow k_i^{\prime}=b k_i$. The action becomes
\begin{eqnarray}
E^{\prime}[\tilde{m}]=\frac{b^{-d}}{2}\int_{|\vec{k}|<\Lambda} d^dk (\frac{A}{b^2}\vec{k}^2+\tilde{r}_0)|\tilde m(\frac{\vec{k}}{b})|^2+....
\end{eqnarray}

Normalization: 


In order to restore the canonical normalization of the kinetic term we rescale the fields as
\begin{eqnarray}
\tilde{m}^{\prime}(\vec{k})&=&\sqrt{\frac{A}{b^{d+2}}}m(\frac{\vec{k}}{b}).
\end{eqnarray}
The energy becomes
\begin{eqnarray}
E^{\prime}[\tilde{m}^{\prime}(\vec{k})]=\frac{1}{2}\int_{|\vec{k}|<\Lambda} d^dk (\vec{k}^2+{r}_0^{\prime})|\tilde m^{\prime}(k)|^2+...,
\end{eqnarray}
where the renormalized mass is given by
\begin{eqnarray}
{r}_0^{\prime}=\frac{b^2}{A}\tilde{r}_0.
\end{eqnarray}
The partition function becomes
\begin{eqnarray}
Z^{\prime}=\int \prod^{\prime}_{|\vec{k}|<\Lambda}[d\tilde{m}^{\prime}(\vec{k})][d\tilde{m}^{\prime\dagger}(\vec{k})]\exp(-E^{\prime}[\tilde{m}^{\prime}(\vec{k})]).\label{Lambda1}
\end{eqnarray}

In summary, the coupling constants $K=(K_2,K_3,...)$ in the original Hamiltonian $E$ will be mapped under the renormalization group transformation to new coupling constant $K^{\prime}=(K_2^{\prime},K_3^{\prime},...)$ in the renormalized Hamiltonian $E^{\prime}$. The coupling constants $K^{\prime}$ are called renormalized coupling constants. We also say that the coupling constants of the theory "flow" under a change of the energy scale. If we denote the renormalization group transformation by $R$ then this mapping can be written as ($K=K^{(0)}$, $K^{\prime}=K^{(1)}$)
 \begin{eqnarray}
K^{(1)}=R(K^{(0)}).
\end{eqnarray}
This step can be iterated an arbitrary number of times. The renormalization group transformation is the same for all iterations and as a consequence we can write after $i+1$ iterations the renormalization group transformation
\begin{eqnarray}
K^{(i+1)}=R(K^{(i)}).\label{fundamental}
\end{eqnarray}
By inspection, since the partition functions (\ref{Lambda}) and (\ref{Lambda1}) are given by the same function except for the replacement $K\longrightarrow  K^{\prime}$, the free energy should satisfy the relation
\begin{eqnarray}
f(K)=f_0(K)+f(K^{\prime}).
\end{eqnarray}
Next, since the volumes (numbers of degrees of freedom) before and after the renormalization group transformation are related by $(\Lambda^{\prime}/\Lambda)^d=b^{-d}$, the free energy per degrees of freedom must satisfy the relation
\begin{eqnarray}
F(K)=F_0(K)+b^{-d}F(K^{\prime}).\label{fundamental1}
\end{eqnarray}

Formalism


We are interested in the most general properties of the following renormalization group transformation
\begin{eqnarray}
K^{(i+1)}=R(K^{(i)}).
\end{eqnarray}
A fixed point  $K^*$ in the coupling-constant space is a point which does not move, i.e. it is invariant, under the successive action of the above renormalization group transformation. Thus we must have
 \begin{eqnarray}
K^{*}=R(K^{*}).
\end{eqnarray}
Many points $K$ in the coupling-constant space will approach the fixed point under a large number of iterations of the renormalization group transformations. We write this as
\begin{eqnarray}
K^{(i)}\longrightarrow K^*~,~i\longrightarrow\infty.
\end{eqnarray}
The fixed point $K^*$ describes the system at the critical temperature $T=T_c$. At this point the system becomes scale invariant, i.e. it becomes invariant under a change of length scale. This can also be expressed by the fact that correlation length $\xi$ (inverse mass) diverges at the fixed point.

Now we linearize the above  renormalization group equation around the fixed point  $K^*$ by writing
\begin{eqnarray}
K^{(i+1)}_{\alpha}-K^{*}_{\alpha}=(K^{(i)}-K^{*})_{\alpha}=W_{\alpha\beta}(K^{(i)}_{\beta}-K^{*}_{\beta}).
\end{eqnarray}
The linearized renormalization group transformation is given by
\begin{eqnarray}
W_{\alpha\beta}=\frac{\partial R_{\alpha}}{\partial K_{\beta}}|_{K=K^{*}}.
\end{eqnarray}
The origin of the coupling-constant space is chosen to be $K^{*}$. The left eigenvectors $\phi$ of the renormalization group matrix $W$ are defined by
\begin{eqnarray}
\phi_{\beta}W_{\beta\alpha}=\lambda\phi_{\alpha}.
\end{eqnarray}
For each left eigenvector $\phi$ we define a scaling field $v$ by the relation
\begin{eqnarray}
v^{(i)}=\sum_{\alpha}\phi_{\alpha}(K^{(i)}-K^{*})_{\alpha}.
\end{eqnarray}
It satisfies under the renormalization group transformation the crucial property
\begin{eqnarray}
v^{(i+1)}=\lambda v^{(i)}.
\end{eqnarray}
We say that $v$ scales under the renormalization group transformation with a factor of $\lambda$. Thus the scaling field $v$ increases if $\lambda>1$ and decreases if $\lambda<1$. In other words, the eigenvalue $\lambda$ associated with the left eigenvector $\phi$ is what controls the flow behavior of the corresponding scaling field. Recall that under the renormalization group transformation the length scales as $L\longrightarrow bL$, i.e. it increases since $b>1$. Thus, if the eigenvalue $\lambda$ increases under the renormalization group transformation then we may write $\lambda=b^{y}$ where $y>0$ whereas for $y<0$ the eigenvalue $\lambda$ decreases. The exponent $y$ is called the dimension of the scaling field $v$. The scaling fields are in some sense the proper coupling constants whereas their exponents are their quantum mass dimensions.

Hence we will choose in the coupling-constant space the origin at  $K^{*}$ whereas the preferred directions are given by the scaling fields $v$. The fundamental equation (\ref{fundamental1}) reads in terms of the scaling fields
\begin{eqnarray}
F(v_1,v_2,...)=F_0(v_1,v_2,...)+b^{-d}F(\lambda_1 v_1,\lambda_2 v_2,...).
\end{eqnarray}
The function $F_0$ is regular at the fixed point (critical temperature) whereas the second term gives the singular part of the free energy.

Some definitions are now in order.

Irrelevant, relevant and marginal fields: For $\lambda<1$ the scaling field is called irrelevant (decreases in the RG transformation) whereas for $\lambda>1$ it is called relevant (increases in the RG transformation). Thus if we want to remain on a fixed point we must set the relevant scaling fields to zero. The case $\lambda=1$  corresponds to marginal fields.

Critical surface and fixed point: The fixed point lies on a hypersurface called the critical surface in the coupling-constant space. The critical surface is defined by setting all the relevant scaling fields to zero. Thus starting from any point on the critical surface we will approach the fixed point under a large number of iterations of the renormalization group transformation whereas starting from any point off the critical surface we will diverge from the fixed point. All actions (physical systems) located on the critical surface define collectively a so-called universality class. See figure.

Critical exponents: The eigenvalues $\lambda$ determine the critical exponents $y$. All systems in the same universality class have the same critical exponents.
\end{itemize}




Critical exponents


The correlation length $\xi$ behaves around the critical temperature as
\begin{eqnarray}
\xi\sim |t|^{-1/D_t}~,~D_t=\frac{1}{\nu},
\end{eqnarray}
where $\nu$ is the mass critical exponent and $D_t$ is the temperature critical exponent. The gap (order parameter) critical exponent $\beta$ and the magnetic field critical exponent $D_h$ are given by
 \begin{eqnarray}
M|_{H=0}\sim |t|^{\beta}~,~\beta=\frac{d-D_h}{D_t}.
\end{eqnarray}
The anomalous exponent $\eta$ is defined by the behavior of the $2-$point function at the critical temperature given by
\begin{eqnarray}
\Gamma(x)\sim \frac{1}{r^p}\exp(-r/\xi)~,~p=d-2+\eta=2d-2D_h.
\end{eqnarray}
There are three more critical exponents which can be determined solely in terms of $D_t$ and $D_h$ (scaling relations). These are $\alpha$ (specific heat), $\gamma$ (susceptibility), $\delta$ (magnetization at non-zero magnetic field).

Exercise


Consider the Landau-Wilson energy functional in a constant magnetic field
\begin{eqnarray}
{E}[m]=\int d^dx\bigg[\frac{1}{2}(\vec{\partial}m(x))^2+\frac{1}{2}r_0 m^2(x)+u_0 m^4(x)\bigg]+\int d^dx h m(x).
\end{eqnarray}
We will integrate over a small momentum shell characterized by $b\simeq 1$, i.e. over the spherical shell of radius $\Lambda$ and thickness $\delta k=\tau.\Lambda$ where $\tau=\ln b$. We expand the field as
\begin{eqnarray}
m(x)=\bar{m}(x)+\delta m(x)~,~\delta m(x)=\sum_{i=1}^Nc_i\phi_i(x).
\end{eqnarray}
The $N$ wave packets (plane waves!!) $\phi_i(x)$ are of spatial size $\delta x= 1/\delta k$ and they are localized in the momentum shell $\delta k$. They are orthonormal and they also satisfy
\begin{eqnarray}
\int d^dx (\phi_i(x))^{2n+1}=0.
\end{eqnarray}
The background $\bar{m}$ is assumed to be constant over wave packets.

Question 1: Show that the RG-transformed energy functional (by integrating out the background at one-loop) is given by
\begin{eqnarray}
{E}^{\prime}[\bar{m}]={E}[\bar{m}]+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\log\bigg(1+\frac{r_0}{\Lambda^2}+\frac{12u_0}{\Lambda^2}\bar{m}^2(x_i)\bigg),
\end{eqnarray}
where $x_i$ is the center of mass of the wave packet $i$.

Question 2: We approximate the sum over $x_i$ by an integral $\int dx$ and then we expand the logarithm. Show that we obtain
\begin{eqnarray}
E^{\prime}[\bar{m}]=\int d^dx\bigg[\frac{1}{2}(\vec{\partial}\bar{m}(x))^2+\frac{1}{2}\tilde{r}_0 \bar{m}^2(x)+\tilde{u}_0 \bar{m}^4(x)\bigg]+\int d^dx h \bar{m}(x).
\end{eqnarray}
Determine the values of $\tilde{r}_0$ and $\tilde{u}_0$ in terms of $r_0$ and $u_0$.

Question 3: By performing the second step (rescaling) and the third step (normalization) of the renormalization group transformation show that we can express the RG transformation as
\begin{eqnarray}
r_0^{\prime}-r_0=\bigg[2r_0+12C_d(\Lambda^{d-2}u_0-\Lambda^{d-4}r_0u_0)\bigg]\ln b.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
u_0^{\prime}-u_0=\bigg[(4-d)u_0-36C_d\Lambda^{d-4}u_0^2)\bigg]\ln b.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
h^{\prime}=b^{\frac{d+2}{2}}h.
\end{eqnarray}

Question 4: Determine the magnetic field critical exponent $D_h$.

Question 5: Show that the linearized renormalized group transformation can be put into the differential form
\begin{eqnarray}
\frac{dr}{d\tau}=2r+12C_d(\Lambda^{d-2}u-\Lambda^{d-4}ru)~,~\frac{du}{d\tau}=(4-d)u-36C_d\Lambda^{d-4}u^{2}.
\end{eqnarray}


The Landau-Wilson model


In the above differential equations we change the variables as

\begin{eqnarray}
x=\frac{r}{\Lambda^2}~,~y=C_d\frac{u}{\Lambda^{4-d}}.
\end{eqnarray}
We obtain then the RG equations
\begin{eqnarray}
\frac{dx}{d\tau}=2x+12y-12xy~,~\frac{dy}{d\tau}=\epsilon y-36y^{2}.
\end{eqnarray}
The fixed point $(x_*,y_*)$ is defined by
\begin{eqnarray}
0=2x_*+12y_*-12x_*y_*~,~0=\epsilon y_*-36y_*^{2}.
\end{eqnarray}
We have the two solutions
\begin{eqnarray}
&&(x_*,y_*)=(0,0)~,~{\rm Gaussian}\nonumber\\
&&(x_*,y_*)=(-\epsilon/6,\epsilon/36)~,~{\rm Wilson-Fisher}
\end{eqnarray}
Linearizing the RG transformation around the fixed point by writing $x=x_*+\delta x$ and $y=y_*+\delta y$ we obtain the differential equations
\begin{eqnarray}
\frac{d\delta x}{d\tau}=(2-12y_*)\delta x+(12-12x_*)\delta y~,~\frac{d\delta y}{d\tau}=(\epsilon -72y_*)\delta y.
\end{eqnarray}
The RG matrix $W$ is given by
\begin{eqnarray}
W= \left( \begin{array}{cc}
2-12y_* & 12-12x_*  \\
0 & \epsilon-72y_*  \end{array} \right)
\end{eqnarray}
with eigenvalues given respectively by $\lambda_1=2-12y_*$ and $\lambda_2=\epsilon-72y_*$. The corresponding left eigenvectors are given  by
\begin{eqnarray}
\phi_1= \left( \begin{array}{c}
a   \\
\frac{12(1-x_*)a}{2-\epsilon+60y_*}   \end{array} \right)~,~\lambda_1=2-12y_*.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\phi_2= \left( \begin{array}{c}
0   \\
1   \end{array} \right)~,~\lambda_1=\epsilon-72y_*.
\end{eqnarray}
The scaling fields are given respectively by
\begin{eqnarray}
v_1=a.\delta x+\frac{12(1-x_*)a}{2-\epsilon+60y_*}.\delta y~,~\lambda_1=2-12y_*.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
v_2=0.\delta x+1.\delta y~,~\lambda_2=\epsilon-72y_*.
\end{eqnarray}
These are given explicitly as follows.


Gaussian fixed point $(x_*,y_*)=(0,0)$:
\begin{eqnarray}
&&v_1=\delta x+6\delta y~,~\lambda_1=2\nonumber\\
&&v_2=\delta y~,~\lambda=\epsilon.
\end{eqnarray}

Wilson-Fisher fixed point $(x_*,y_*)=(-\epsilon/6,\epsilon/36)$:
\begin{eqnarray}
&&v_1=\delta x+(6-\epsilon)\delta y~,~\lambda_1=2-\frac{\epsilon}{3}\nonumber\\
&&v_2=\delta y~,~\lambda_2=-\epsilon.
\end{eqnarray}

The scaling fields satisfy
\begin{eqnarray}
\frac{dv_i}{d\tau}=\lambda_iv_i.
\end{eqnarray}
The solution is given by
\begin{eqnarray}
v_i=v_0b^{\lambda_i}.
\end{eqnarray}
Let us assume now that $d<4$ and close to $4$ ($\epsilon>0$ and small). In this case we have $\lambda_1=2-\epsilon/3>1$ and thus $v_1$ is a relevant scaling field whereas $\lambda_2=-\epsilon<1$ and thus $v_2$ is an irrelevant scaling field.


The critical surface corresponding to the Wilson-Fisher fixed point is determined by setting the relevant  scaling field, i.e. $v_1$, to zero. This of equivalent to the line in the $x-y$ plane given by
\begin{eqnarray}
y-y_*=-\frac{1}{6-\epsilon}(x-x_*).
\end{eqnarray}
To the linear order of $\epsilon$ this line passes by the other trivial fixed point at the origin. This line or critical surface represents our first preferred direction in the $x-y$ plane.

The critical surface $v_1=0$ represents the critical temperature $T=T_C$. This can be seen as follows. The other independent preferred direction should be obtained by setting the irrelevant variable $v_2$ to $0$. This gives $\delta y=0$ (the direction is parallel to the $x$ axis) and $v_1=\delta x=\delta r/\Lambda^2$ (this is the direction of increase or decrease of the temperature away from the critical value $T_c$).

The critical surface $v_1=0$ corresponds  therefore precisely to the critical temperature $T=T_C$.  Hence, starting at a point $A$ with $v_1<0$, i.e. with $T<T_C$, the system under RG will approach the low temperature phase where the symmetry is spontaneously broken. Whereas starting at a point $B$ with $v_1>0$, i.e. with $T>T_C$, the system will approach under successive RG transformations the high temperature phase. See figure.

The mass critical exponent is directly deduced to be  ($v_1$ is the relevant scaling field identified as the temperature and it behaves as $v_1\sim b^{\lambda_i}$)
\begin{eqnarray}
D_t=\lambda_1=2-\frac{\epsilon}{3}\Rightarrow \nu=\frac{1}{D_t}=\frac{1}{2}+\frac{\epsilon}{12}.
\end{eqnarray}
The magnetic field scaling field was shown in the exercise to be given by the mean field value:
\begin{eqnarray}
D_h=\frac{d+2}{2}.
\end{eqnarray}
From these two critical exponents we can calculate all other exponents as we have shown in the previous section.

The last remark concerns the dimensions $d>4$. In this case the two scaling fields are both relevant and therefore the Wilson-Fisher fixed point is unstable. The theory is actually dominated by mean field.






المنقذ من الضلال (حجة الاسلام الغزالى) -4- حقيقة النبوة و اسباب ضعف الايمان

الجزء الاخير من (المنقذ من الصلال) للغزالى يناقش فيه الغزالى حقيقة النبوة و اسباب ضعف ايمان العوام.

أهم برهان على ضرورة النبى يقدمه الغزالى يقوم على فكرة ان العلوم (يأخذ
مثال الطب و النجوم) لا بد ان يكون لها اصل او معلم يعلمها للانسان و ذلك
الاصل او المعلم الاول هو النبى.
هذا امر كنت قد ناقشته مطولا هنا و
على المدونة تحت عنوان (واين هم انبياء اليونان و الرومان) وهو من انجح
المنشورات على المدونة. و قد اخذه البعض على انه تشكيك فى النبوة رغم اننى
قد قصدت منه التشكيك فى اصل العلم و انه لا يمكن ان ينبع من العقل المحض و
يجب ان يكون له مبتدأ هو النبى. اذن كما ترون هى فكرة الغزالى و لو أننى لم
اكن اعلم بذلك عندما كتبتها اول مرة.
و انسج اكثر على منوال الغزالى واقول ان افضل برهان على امكانية النبوة هو امكانية العبقرية و الاكتشاف فى العلم.

فهناك عباقرة فى الرياضيات و الفيزياء النظرية و مكتشفون فى الفيزياء و
العلوم اتوا بأشياء جديدة سبقوا بها اترابهم. و بعض تلك الاشياء مبدعة جدا
بل فى قمة الابداع (مثلا النسبية العامة لاينشتاين) لا ندرى حقيقة كيف
أُُلهمت لاصحابها اول مرة.
و تجد الرياضيون او الفيزيائيون النظريون
يدرسون معا نفس الشيء لكن الابداع و العبقرية و الالهام (وبعضه منقطع جدا و
مفرد اى ليس له نظير و مثيل سابق عليه) لا يُتاح و لا يُتوفر الا لاحدهم
رغم تساويهم كلهم فى التكوين و الدراسة و الثقافة و المعرفة.
اذن هذا
ما اسميه دليل العبقرية فى العلم. فاذا كانت العبقرية الملهمة المبدعة
المفردة ممكنة و تؤدى الى اكتشافات عجيبة غريبة لا تخطر على بال من لا
يتميز بهذه العبقرية رغم كل الادوات المتوفرة لهم مثل توفرها للعبقرى
الملهم و ربما اكثر.
فان هذه النبوة و هى طور اعلى وراء طور العقل يتيح
للنبى رؤية الغيب و رؤية ما لا يمكن للعقل ان يدركه مثلما انه يمكن للعقل
ان يدرك اشياءا وراء طور الحس و التمييز لا يمكن للحس و التمييز ادراكها.
اذن هذه النبوة ممكنة جدا للبعض الاندر مثلما ان العبقرية ممكنة للبعض النادر.

لكن الفرق يبقى شاسع بينهما فالعبقرية هى كلها ضمن طور العقل (ورغم هذا
لا نفهم كيف لنيوتن ان يكون نيوتن او كيف لاينتشاين ان يكون اينتشاين و لا
يمكن لى و لغيرى كثير جدا رغم ما نتوفر عليه من العلم ان نكون نيوتن او
اينشتاين).
بنفس الطريقة فان الروحانية و الايمان و الولاية و غيرها
يتوفر عليها البعض لكن يندر جدا (لكن ممكن جدا فى آن معا) ان تحدث قفزة
طورية نحو طور النبى و يقع الانكشاف المطلق لذلك الطور الذى يوجد وراء طور
العقل و هذا ممكن التحقق جدا (وقد تحقق بالفعل) للبعض ممن يختارهم الله من
بين عباده.
وهذا دليل العبقرية الذى انسجه على منوال الغزالى.
فى الجزء الثانى يناقش الغزالى اسباب ضعف ايمان العوام و يحدد اربعة اسباب.
الاول راجع الى الفلسفة و تشكيكاتها الكثيرة وهو يوفر القسط الاكبر فى الرد لانها الاخطر و الاذكى حسب ما يعتقد.
الثانى راجع الى التصوف و تطبيقاته المغلوطة التى تدعى ان الحقيقة كافية عن الشريعة مغنية عنها.

الثالث راجع الى الباطنية و يسميهم الغزالى اهل التعليم الذين وقفوا كل
العلم على وجود الامام المعصوم مما يعوق العقل امام حتى فكرة التقدم.

الرابع راجع الى علماء الشريعة الذين دخلوا حسب ما يؤكد الغزالى كلهم فى
الدنيا من اوسع اوبابها و سعوا فى بلاط الحكام جريا وراء المال و السلطة و
الشهوات و المغانم.
و الغزالى كما اكرر مرارا و تكرارا هو من اصدق
مفكرى و فلاسفة الحضارة الاسلامية فهو يؤكد ان حياته هو شخصيا قبل مرحلة
الكشف و التصوف التى اكتشف فيها حقيقة الدين و معنى الايمان كانت من هذا
القبيل كلها سعيا وراء الدنيا و السمعة و الصيت.

المنقذ من الضلال (حجة الاسلام الغزالى) -3- نقد الباطنية و التجربة الصوفية للغزالى

طريق التصوف هو الطريق الذى ابتدأ به النبى رحلته نحو الوحى..وهو طريق يعتمد على التذوق و ليس على العلم..اى انه يعتمد على العبادة و العمل و ليس البحث العقلى و التحليل النمهجى..
اما اهل الظاهر (او ما نسميه اليوم طريق التسلف) فهو طريق لم يتبعه ابدا النبى و اذا ارتأينا الدقة اكثر فان البداية عندهم هو النبى فى ظاهره و ليس فى روحه و فى باطنه و فى حقيقته .
طريق الباطن من الجهة الاخرى (او ما نسميه اليوم طريق الامام المعصوم) فهو طريق لم يتبعه ايضا النبى بل النبى هو نقطة انطلاقه ثم ان العصمة لا يمكن ان تنسب الا الى النبى (و حتى هنا فانها تنسب اليه و بصعوبة عقلية). و فى هذا الطريق فان كل العلم باطن و ليس فيه ابدا اى ظاهر (عكس طريق التسلف الذى يؤكد ان كل العلم ظاهر و ليس فيه اى باطن)..
اذن الغزالى بعد ان يقدم نقدا لطريقة الباطن (او ما يسميها الغزالى طريقة التعليم) يرجح طريقة التصوف لانها تقوم على الظاهر و الباطن معا فهى الطريقة الوحيدة التى ادركت حقيقة الدين الاولى وهى الروحانية بدون افراط فى الشكل و المظهر (التسلف) و لا تفريط فى الحرية و العقل (الباطنية).
استمعوا الى الغزالى شخصيا فى هذا الفيديو يقدم نظرته الشاملة بخصوص الباطنية و التصوف (والغزالى لا يعقد فصلا منفصلا لاهل الظاهر لكنه يعاود كل مرة و ينتقدهم فى طيات حديثه).
ال 14 دقيقة الاولى هى نقد لمذهب الباطنية و فكرة الامام المعصوم رغم قبول الغزالى لفكرة التعليم و فكرة المعلم المعصوم الذى هو النبى محمد صلى الله عليه و سلام.
فى ال 14 دقيقة الموالية يحكى الغزالى تجربته الروحية على طريقة التصوف و يؤكد فى الاخير ان الولاية هى اول طرق النبوة (هذا لا يعنى ان الولى يمكن ان يكون نبى بل هو هناك قفزة طورية لا تجسر بين الحالين) و ان الكرامة هى اول طريق المعجزة. و لهذا فان اى نظرية للنبوة يجب ان تمر بالضرورة بمحاولة فهم الولاية او ما اسماها ابن عربى فيما بعد نظرية الانسان الكامل. وحسب الغزالى فانه لا يمكن ابدا فهم ظاهرة النبوة بشكل عقلى صرف بل عنصر الذوق و الممارسة الذى نجده عند الزهاد و المتصوفة و الروحانيين هو عنصر مهم فى تحقيق الفهم الحقيقى الصحيح و هو يقدم مقارنات و مقاربات رائعة فى هذا المجال.
خلاصة قول الغزالى ان الايمان ثلاث درجات:
-برهان عقلى (وهذا دائما ضرورى).
-و ذوق شخصى (وهذا نحتاج اليه لتقرير ايماننا بعيدا عن ضيق العقل لكن ايضا لفهم حالة النبى).
-و ايمان عجائز او ما يسميه الغزالى "القبول من السمع بحسن الظن" (وهذا اسم افضل غير منفر).

استمع الى الفيديو على اليوتوب