الميكانيك الكمومى واس-زومينو

 نواصل مع منشورات و محاضرات (الميكانيك الكمومى على الشبكة lattice quantum mechanics) الذى تحولنا اليه بعد تردد كبير رغم اهميته القصوى من الناحية النظرية و أهميته القصوى من الناحية العميلة ايضا عكس مثلا (الحاسوبية الكمومية quantum computation) التى هى موضوع نظرى اكثر منه عملى يصعب القيام فيه بأى شيء ملموس.

هذا موضوع وجدت ان هناك تجاوب معه من المتابعين.

اذن اعتبر هنا فى هذا المنشور (الذى هو جزء من المحاضرة الثالثة) تعميم لمسألة الهزاز التوافقى harmonic oscillator هو عبارة عن الميكانيك الكمومى واس-زومينو Wess-Zumino quantum mechanics بدون اى تناظر-ممتاز supersymmetry.

التناظر-الممتاز و النظريات الفرميونية fermionic theories و اهمها تاريخيا هو الكروموديناميك الكمومى quantum chromodynamics تحتاج بالضرورة الى خوارزمية مونتى كارلو الهجينة hybrid Monte Carlo algorithm.

نطبق اذن هذه الخوارزمية على الميكانيك الكمومى واس-زومينو رغم ان هذا الاخير حذفنا منه التناظر-الممتاز للتبسيط.

خوارزمية مونتى كارلو الهجينة هى هجينة hybrid لاننا نقوم فيها بتحديث update كميات الحركة momenta باستخدام خوارزمية مختلفة عن الخوارزمية التى نستخدمها لتحديث update الاحداثيات المعممة generalized coordinates.

الخطوة الاولى هو الديناميك الجزيئ molecular dynamics. نقوم بالخصوص بشرح خوارزمية قفزة-الضفدع leap-frog algorithm وهى الخوارزمية المعيارية للديناميك الجزئى المستخدمة فى الكروموديناميك الكمومى و طريقة مونتى كارلو الهجينة وهى التى تسمح لنا بمكاملة معادلات هاميلتون للحركة.

نشرح جميع خواص هذا الديناميك الجزيئى.

الخطوة الثانية هى خوارزمية ميتروبوليس Metropolis algorithm التى تسمح لنا بالقضاء على الخطأ المنهجى systematic error الذى تسبب فيه تقريب الديناميك الجزيئى وهذا هو اللب الاول لهذه الخطوة. هذه الخوارزمية تسمح لنا ايضا بتحويل الديناميك الجزيئى من الميكانيك الكلاسيكى الى الميكانيك الكمومى وهذا هو اللب الثانى لهذه الخطوة.

الخطوة الثالثة هى خوارزمية الخزان الحرارى heat bath algorithm التى تسمح لنا القضاء على معضلة تسمى انعدام-الارغودية non-ergodocity وهى معضلة لا تتمكن منها خوارزمية الميتروبوليس رغم قوة هذه الاخيرة. نشرح هذه المعضلة و نشرح خوارزمية الخزان الحرارى.

الخطوة الرابعة تركيب الخطوات الثلاثة السابقة او بالاحرى الخطوتين السابقتين من اجل الحصول على خوارزمية مونتى كارلو الهجينة (الميتروبوليس يحرك الاحداثيات و الخزان الحرارى يحرك كميات الحركة و هذا هو سبب تسمية هذه الطريقة بالهجينة. اما الديناميك الجزيئى فيمكن فهمه حقيقة على انه جزء من خطوة الميتروبوليس).

نقدم البرهان على شرط التوازن التفصيلى condition of detailed balance الذى يجب ان تحققه الخوارزميات الثلاثة (ميتروبوليس, الخزان الحرارى و المونتى كارلو الهجين). ومن فهم هذه الخاصية و فهم فعلا البرهان عليها فهو قد فهم المعنى الاحصائى-الرياضى-الفيزيائى لجميع سلاسل ماركوف Markov chains.

بعد كل هذا نقوم باستخدام لغة الفورترون Fortran من اجل تشفير الفعل و الهاميلتونية و القوة و الديناميك الجزئى و الخزان الحرارى و الميتروبوليس من اجل الحصول فى الاخير على شفرة مونتى كارلو هجينة من اجل حالة الميكانيك الكمومى واس-زومينو.

https://drive.google.com/file/d/18g77LHgFgdZJEJ-VI4hKnF1lCbeFJT6o/view?usp=sharing

اسئلة و اجوبة حول خياراتنا فى الفيزياء و غيرها

 سؤال لماذا يا ترى تواصل دراسة الفيزياء النظرية بجد و اجتهاد و التزام?

الجواب بكل بساطة لانه ليس لدى شيء آخر اقوم به. و لاننى ببساطة اكثر لا استطيع ان اقوم بشيء آخر. بل اننى لا اعرف شيئا آخر. و اكثر من هذا لاننى ايضا اخشى الفراغ. فضغط العمل و الدراسة و البحث يبقى اكثر صحية للنفس من ضغط الفراغ.

سؤال و هل مازال لك طموح فى الفيزياء?

الجواب نعم أكيد وهو ان ينجح لى و لو بحث واحد من ابحاثى. هذا كل ما اطمح اليه. فاننى قد درست الفيزياء النظرية من اجل العلم و ليس من اجل الوظيفة و مازالت هذه هى قناعتى. و البحث شيء مهم جدا بالنسبة لى بل هو مبرر و غاية وجودى. اما التدريس فقد وصلت فيه الى نهاية الطريق و لم اعد مقتنعا به مع هذا الجيل الجديد الذين لا يحترمون لا كبيرا و لا صغير و لا عالما و لا جاهلا و لا استاذا و لا طالبا.

سؤال و لماذا لم تعد مهتما بأى شيء آخر خارج الفيزياء?

الجواب بكل بساطة لست مختصا فى اى شيء آخر. يجب الاحترام الصارم للتخصص. و اننى اذا كنت اجد صعوبة فى الفيزياء النظرية رغم تخصصى فيها فلماذا اعتقد اننى سأجد سهولة فى الميتافيزيقا أو الفلسفة أو الكلام أو الحديث او الدين او السياسة. اصبحت مقتنعا ان الخطوة الاولى الصحيحة نحو تحقيق التقدم الفردى ثم الجمعى هى احترام تخصصك بالالتزام و احترام تخصصات الآخرين بعدم الدخول فيها.

سؤال و هل ندمت على دراسة الفيزياء النظرية?

الجواب بكل صراحة نعم. لاننى قدمت للفيزياء النظرية الكثير من عمرى و وقتى و اهتمامى و لم اجد الا القليل جدا من النجاح فيها. ولهذا فاننى لا ارغب ان يدرس ابنائى الفيزياء النظرية و لا انصح اى احد بدراسة الفيزياء النظرية الا اذا كان عاشقا ولهانا لا يملك عقال قلبه.

سؤال و لو عاد بك الزمن الى الوراء. هل كنت ستدرس شيئا آخر غير الفيزياء النظرية?

الجواب بكل يقين لا. ما كان يمكن لى ان ادرس شيئا آخر غير الفيزياء النظرية. وهذا بسبب حبى الجارف لها. و اننى مازلت محبا عاشقا لها رغم ندمى الشديد على دراستى لها.

وهذه هى قمة التناقض الذى نعيشه (العشق الشديد للفيزياء النظرية من جهة و الندم المر علىسؤال لماذا يا ترى تواصل دراسة الفيزياء النظرية بجد و اجتهاد و التزام? الجواب بكل بساطة لانه ليس لدى شيء آخر اقوم به. و لاننى ببساطة اكثر لا استطيع ان اقوم بشيء آخر. بل اننى لا اعرف شيئا آخر. و اكثر من هذا لاننى ايضا اخشى الفراغ. فضغط العمل و الدراسة و البحث يبقى اكثر صحية للنفس من ضغط الفراغ. سؤال و هل مازال لك طموح فى الفيزياء? الجواب نعم أكيد وهو ان ينجح لى و لو بحث واحد من ابحاثى. هذا كل ما اطمح اليه. فاننى قد درست الفيزياء النظرية من اجل العلم و ليس من اجل الوظيفة و مازالت هذه هى قناعتى. و البحث شيء مهم جدا بالنسبة لى بل هو مبرر و غاية وجودى. اما التدريس فقد وصلت فيه الى نهاية الطريق و لم اعد مقتنعا به مع هذا الجيل الجديد الذين لا يحترمون لا كبيرا و لا صغير و لا عالما و لا جاهلا و لا استاذا و لا طالبا. سؤال و لماذا لم تعد مهتما بأى شيء آخر خارج الفيزياء? الجواب بكل بساطة لست مختصا فى اى شيء آخر. يجب الاحترام الصارم للتخصص. و اننى اذا كنت اجد صعوبة فى الفيزياء النظرية رغم تخصصى فيها فلماذا اعتقد اننى سأجد سهولة فى الميتافيزيقا أو الفلسفة أو الكلام أو الحديث او الدين او السياسة. اصبحت مقتنعا ان الخطوة الاولى الصحيحة نحو تحقيق التقدم الفردى ثم الجمعى هى احترام تخصصك بالالتزام و احترام تخصصات الآخرين بعدم الدخول فيها. سؤال و هل ندمت على دراسة الفيزياء النظرية? الجواب بكل صراحة نعم. لاننى قدمت للفيزياء النظرية الكثير من عمرى و وقتى و اهتمامى و لم اجد الا القليل جدا من النجاح فيها. ولهذا فاننى لا ارغب ان يدرس ابنائى الفيزياء النظرية و لا انصح اى احد بدراسة الفيزياء النظرية الا اذا كان عاشقا ولهانا لا يملك عقال قلبه. سؤال و لو عاد بك الزمن الى الوراء. هل كنت ستدرس شيئا آخر غير الفيزياء النظرية? الجواب بكل يقين لا. ما كان يمكن لى ان ادرس شيئا آخر غير الفيزياء النظرية. وهذا بسبب حبى الجارف لها. و اننى مازلت محبا عاشقا لها رغم ندمى الشديد على دراستى لها. وهذه هى قمة التناقض الذى نعيشه (العشق الشديد للفيزياء النظرية من جهة و الندم المر على دراستى لها من جهة اخرى). لكن هو تناقض من تناقضات كثيرة تعلمنا العيش معها و بها الى حد ما يبدو مقبولا من الخارج. لكن ايضا اقول ان الذى كان يمكن ان اقوم به لو عاد بى الزمن الى الوراء هو اما تغيير الاتجاه فى الفيزياء النظرية (والفرصة الحقيقية كانت عندما بدأت تحضير رسالة الدكتوراة حينها -اقول اليوم بكل ثقة- اننى لم اوفق تماما فى الاختيار) او تغيير الاتجاه فى الحياة المهنية (والفرصة اضعتها عندما قررت الدخول الى الجامعة الجزائرية و ترك الجامعة الايرلندية). دراستى لها من جهة اخرى).

لكن هو تناقض من تناقضات كثيرة تعلمنا العيش معها و بها الى حد ما يبدو مقبولا من الخارج.

لكن ايضا اقول ان الذى كان يمكن ان اقوم به لو عاد بى الزمن الى الوراء هو اما تغيير الاتجاه فى الفيزياء النظرية (والفرصة الحقيقية كانت عندما بدأت تحضير رسالة الدكتوراة حينها -اقول اليوم بكل ثقة- اننى لم اوفق تماما فى الاختيار) او تغيير الاتجاه فى الحياة المهنية (والفرصة اضعتها عندما قررت الدخول الى الجامعة الجزائرية و ترك الجامعة الايرلندية).

الفيزياء النظرية -فى اطار الفيزياء الحاسوبية-

 هناك عدة خطوات عند القيام بالفيزياء النظرية -فى اطار الفيزياء الحاسوبية- كما افهمها شخصيا.

اولا علينا فهم الفكرة و التصور و المفهوم الفيزيائى.

ثانيا علينا التحكم التام فى الرياضيات التى نؤسس عليها الفكرة الفيزيائية الاساسية.

ثالثا علينا تحويل النظرية الفيزيائية و الرياضيات التى تقوم عليها النظرية الفيزيائية الى نموذج منطقى حسابى عددى.

رابعا علينا التحكم الرياضى فى الخوارزميات التى سوف تقوم بحل النموذج المنطقى الحسابى العددى. اذا كان الهدف هو اجراء محاكاة عددية (اى تجربة افتراضية) للنظرية الفيزيائية فليس هناك مناص من سلاسل ماركوف و طرق مونتى كارلو.

خامسا علينا تشفير الخوارزميات باستعمال احدى لغات البرمجة. و اذا كان الهدف هو اجراء محاكاة عددية (اى تجربة افتراضية) فانه يجب استعمال احدى لغات التشفير الاعلى او ما يسمى الاوتوكود.

سادسا الانجاز و التنفيذ. هل الشفرة تؤدى الى فيزياء يمكن فهمها و تفسيرها ام ان العملية قد فشلت.

وجدت طلبة و اساتذة يأتون اليك بعد أن يكتبوا شفرة و يقولون لك (قد كتبنا شفرة). الهدف ليس هو كتابة الشفرة فى حد ذاتها. الهدف هو التحصل على فيزياء يمكن فهمها و تفسيرها. الهدف هو الانجاز و التنفيذ. اما الكتابة فالجميع يكتب. الهدف هو كتابة شيء يحمل معنى و غاية و قيمة.

All reactions

الميكانيك الكمومى المصفوفى

 فى الصورة الاولى نكتب الميكانيك الكمومى المصفوفى BFSS وهو ميكانيك كمومى درجات حريته degrees of freedom هى 9 مصفوفات هرميتية Hermitian matrices هى الاحداثيات غير-التبديلية non-commutative coordinates للجسيمات الممتازة super-particles المعروفة باسم براينات (مفرد براين) D0.

و البراينات branes هى جسيمات تحقق الشروط الحدية لدريشليه Dirichlet boundary conditions و من هنا اتى الحرف D (فهى ليست جسيمات عادية).

هذا الميكانيك الكمومى المصفوفى يحتوى ايضا على حقل معيارى gauge field متضمن فى المشتقة الكوفارينتية covariant derivative فى الزمن D_t. هذا الميكانيك الكمومى هو اذن نظرية معيارية gauge theory.

اهم من هذا فان هذا الميكانيك الكمومى المصفوفى يمتاز بتناظر ممتاز supersymmetry كبير جدا يعطى ب 16 شحنة ممتازة supercharges وهو اقصى تناظر ممتاز ممكن و هو التناظر الممتاز الذى يميز فضاء-زمن ب 11 بعد.

هذا احد الاسباب التى تجعلنا نفهم هذا الميكانيك الكمومى المصفوفى على انه يصف النظرية M فى 11 بعد وهى النظرية الموحدة للنظريات الوترية الممتازة الخمسة التى تعيش فى 10 ابعاد.

فى الصورة الاولى لم نكتب القسم الفرميونى fermionic part للفعل action و هو قسم ضرورى من اجل ان يكون لدينا تناظر ممتاز.

فى الصورة الثانية نعطى مترية البراين الاسود black brane الثنوى dual لهذا الميكانيك الكمومى المصفوفى.

البراين الاسود هو ثقب اسود متشكل من ذرات هى عبارة عن الجسيمات الممتازة التى يصفها هذا الميكانيك الكمومى المصفوفى اى تلك البراينات D0.

هذه هى الثنائية الثقالية-المعيارية gauge-gravity duality التى يوفرها هذا الميكانيك الكمومى المصفوفى.

اذن يمكننا حساب خواص هذا الثقب الاسود (او بالاحرى هذا البراين الاسود) انطلاقا من نظرية معيارية متناظرة بامتياز هى هذا الميكانيك الكمومى المصفوفى.

وهذا الحساب هو حساب غير-اضطرابى non-perturbative بالاساس يعتمد على محاكاة هذا الميكانيك الكمومى المصفوفى باستخدام طرق مونتى كارلو Monte Carlo methods.

اذن يمكننا حساب تبخر الثقب الاسود black hole evaporation و التأكد من ضياع المعلومات information loss فى الثقب او عدم ضياعها و هذا انطلاقا من نظرية حقلية هى هذا الميكانيك الكمومى المصفوفى.

هذا هو المقصود من الثنائية الثقالية-المعيارية. نستخدم النظرية المعيارية بصورة غير-اضطرابية لحساب النظرية الثقالية (وهذا باستخدام طرق مونتى كارلو او اى طريقة اخرى غير-اضطرابية).

و قد نستخدم النظرية الثقالية لحساب النظرية المعيارية (وهذا مثلا يستخدم فى اجراء حسابات فى الكروموديناميك الكمومى quantum chromodynamics انطلاقا من النظرية الثقالية الثنوية له).

لكن يبقى الاتجاه الاول هو الاكثر اهمية لان النظرية الثقالية الكمومية هى أكبر مجهول فى الفيزياء النظرية.

الهزاز التوافقى على الشبكة

 لا يوجد ابسط من مسألة الهزاز التوافقى harmonic oscillator problem فى الفيزياء.

بل ان هذه المسألة تقع فى قلب الميكانيك (بكل انواعه كلاسيكى و احصائى و نسبى و كمومى).

وتذكروا ايضا ان الفيزياء هى ميكانيك ليس شيئا آخر. و كل معضلات الميكانيك الكمومى هى مقاومة هذا الاخير فى ان يكون ميكانيك و رغبته الجامحة الى تحوله الى علم نفس و علم وعى. وهذا ما يرفضه الفيزيائيون و ترفضه الفيزياء.

اذن مسألة الهزاز تقع فى قلب الميكانيك. و النموذج الفيزيائى هو النواس البسيط simple pendulum او النابض المرن elastic spring.

بل اننى اؤكد لكم ان مسألة الهزاز التوافقى تقع فى قلب الطبيعة و الكون و العالم المادى.

فكل شيء (اضطرابى perturbative) فى الكون هو فى المحصلة اضطرابات حول هزاز توافقى بشكل او بآخر. الاستثناء هو الظواهر غير-الاضطرابية non-perturbative فى الطبيعة التى رغم اهميتها القصوى الا انها ظواهر تقع فى صف الاقلية بالمقارنة مع الظواهر الاضطرابية.

الجميع يعرف ايضا كيف يتم حل معضلة الهزاز التوافقى فى الميكانيك الكلاسكيى و فى الميكانيك الكمومى بالخصوص.

لكن اتوقع ان القليل هم من نظر الى حل معضلة الهزاز التوافقى على الشبكة lattice harmonic oscillator (اى هزاز توافقى فى زمن متقطع discrete دورى periodic حرارى thermal و ليس فى زمن مستمر continuous لانهائى infinite نسبى relativistic).

اقدم حل هذه المسألة هنا.

ثم اقدم حل هذه المسألة باستخدام خوارزمية ميتروبوليس Metropolis algorithm.

ثم باستخدام خوارزمية مونتى كارلو الهجين hybrid Monte Carlo algorithm.

هنا لدينا حل تحليلى مضبوط exact analytical solution على الشبكة اذن جميع المحاكيات العددية numerical simulations يجب ان تعطى هذه النتائج النظرية.

هذه المسألة تستخدم فى الحقيقة لموازنة calibration خوارزميات ميتروبوليس و مونتى كارلو الهجينة.

https://drive.google.com/file/d/1tEZpyanUgmJVE-LMpbvdK17r74U-38vP/view?usp=sharing

عمل تطبيقى مادة (نظرية الحقل على الشبكة)

 هذا هو نص العمل التطبيقى TP الذى قدمته عام 2021 لطلبة الماستر النظرى 2 فى اطار مادة (نظرية الحقل على الشبكة lattice field theory).

فى هذا ال TP (وهو الثانى فى موضوعه لكن السادس من نوعه) نشرح بهدوء خوارزميات الميتروبوليس Metropolis و المونتى كارلو الهجين hybrid Monte Carlo و المونتى كارلو الهجين العقلانى rational hybrid Monte Carlo و طريقة التدريج المرافق conjugate gradient method و خوارزمية ريماز Rimze algorithm و خوارزمية الخزان الحرارى heat bath algorithm و طريقة الجاكانايف Jackknife method و طريقة الفرميونات-المزيفة pseudo-fermion method و هذا كله فى اطار الميكانيك الكمومى العادى و المصفوفى -اى انه لدينا زمن فقط و ليس لدينا فضاء-.

لو اضفنا الفضاء لتحصلنا على نظرية الحقل على الشبكة و لو حذفنا الزمن لتحصلنا على النماذج المصفوفية.

اذن الميكانيك الكمومى هو وسط بين نظرية الحقول الكمومية من جهة و النماذج المصفوفية من جهة اخرى و لهذا فاننى رجعت اليه و الى الايمان به بالكامل.

هناك ايضا بعض الحلول و كذا كثير من الاكواد codes النموذجية. هنا فقط للتنبيه نؤكد على انه لا يمكننا ضمان عمل اى من هذه الاكواد رغم اننا نقول انها كانت تعمل فى آخر مرة قمنا بتشغيلها.

هذا ال TP سيكون مساعد جدا لمن يستطيع التحكم فيه من اجل الانطلاقة نحو الميكانيك الكمومى المتناظر-بامتياز supersymmetric quantum mechanics على الشبكة.

للأسف اقول ان هذا العمل العلمى الهائل الموجود فى هذه المحاضرات لم يستفد منه قيد انملة طلبة الماستر فى ذلك العهد و الدليل ان جميعهم بدون استثناء هرب من هذه المواضيع عندما جاء وقت تحضير المذكرة نحو خربشات و خرافات لا تمت بصلة لا من قريب و لا من بعيد بالفيزياء النظرية.

اذن اضعت جهدا عظيما على هذه المحاضرات و فى الاخير وجدت نفسى و كأننى انا الدخيل على ماستر الفيزياء النظرية الذى كنت مؤسسه الاساسى عندما دخلت الى الجزائر و اننى اتحدى من يقول غير ذلك.

https://drive.google.com/file/d/1BWmfTqzc2cmo4Ck8e-CO5HQ7XH16iDeb/view?usp=sharing

طرق مونتى كارلو الهجينة

 هذا مقال آخر من ماسانورى هانادا Masanori Hanada و هو فيزيائى نظرى يابانى أشاركه الفلسفة العامة فى الفيزياء النظرية و هى محاولة (ارجاع نظرية الاوتار الممتازة superstring theory الى حضن الطريقة العلمية للفيزياء و الفيزياء النظرية وهذا عن طريق اخضاع نتائجها الى طرق نظرية الحقل على الشبكة lattice field theory).

فى هذا المقال يقدم المؤلف مدخل سريع جدا و فعال الى طرق مونتى كارلو Monte Carlo method المستخدمة فى نظرية الحقل على الشبكة.

اولا يقدم سلاسل ماركوف Markov chain بصفة عامة جدا. وهى التأسيس الرياضى-الاحصائى لطرق مونتى كارلو.

ثم يقدم خوارزمية ميتروبوليس Metropolis algorithm التى تقع فى قلب طرق مونتى كارلو.

ثم يقدم خوارزمية مونتى كارلو الهجينة hybrid Monte Carlo algorithm فى اطار النماذج البوزونية bosonic models.

ثم يقدم خوارزمية مونتى كارلو الهجينة العقلانية rational hybrid Monte Carlo algorithm فى اطار النماذج الفرميونية fermionic models.

وتذكروا فان الحقول البوزونية هى الحقول ذات عزم-اللف spin الصحيح integer و الحقول الفرميونية هى الحقول ذات عزم-اللف نصف-الصحيح half-integer.

مثال عن الفرميونات الالكترون و الميون و الكوارك ( اى المادة) و مثال عن البوزونات الفوتون و الغليون و الغرافيتون (اى الاشعاع).

و خوارزمية مونتى كارلو الهجينة و خوارزمية مونتى كارلو الهجينة العقلانية هما الخوارزميتان الاساسيتان المستخدمتان فى الكروموديناميك الكمومى quantum chromodynamics و فى النظريات المعيارية gauge theories و فى نظريات يانغ-ميلز Yang-Mills theories و فى نظريات التناظر-الممتاز supersymmetric theories و فى النماذج المصفوفية matrix models و فى الميكانيك الكمومى على الشبكة lattice quantum mechanics و فى نظرية الحقل على الشبكة lattice field theory بصفة عامة.

المؤلف يقارن بالخصوص بين الكروموديناميك الكمومى (وهو المثال التاريخى الانجح فى هذا المجال و الذى ابتدا فى السبعينات و ابتدأت به نظرية الحقول على الشبكة) و بين نظريات يانغ-ميلز الممتازة (لانه المثال الاهم بالنسبة لنظرية الاوتار الممتازة التى تحتويها كجزء اساسى فى بنيتها الرياضية) و كيفية تطبيق خوارزمية مونتى كارلو الهجينة العقلانية على هذه الاخيرة.

هذه الخوارزمية هى خوارزمية معقدة جدا يقع فى قلبها خوارزمية ميتروبوليس التى يتم على اساسها رفض reject او قبول accept التحديث update الذى نقترحه.

لكن من اين يأتى الاقتراح proposal الذى يتم قبوله او رفضه. هنا تفترق خوارزمية ميتروبوليس العادية عن خوارزمية مونتى كارلو الهجينة فى ان هذه الاخيرة تستخدم حل معادلات هاميلتون للحركة Hamilton equations of motion من اجل تقديم حل هذه الاخيرة كاقتراح لخوارزمية ميتروبوليس حتى تقبله او ترفضه.

معادلات هاميلتون للحركة يتم حلها عن طريق الديناميك الجزيئى molecual dynamics وهذا باستخدام مثلا خوارزمية قفزة-الضفدع leap-frog algorithm.

و كما تعلمون فان خوارزمية الديناميك الجزيئى تحتوى على اخطاء منهجية systematic errors تقوم خوارزمية ميتروبوليس باعدامها بالكامل وهذا هو النجاح الخارق للعادة الذى تم اكتشافه عندما تم اكتشاف خوارزمية مونتى كارلو الهجينة التى هى فى الحقيقة مزيج فى غاية القوة و الدقة لخوارزمية ميتروبوليس مع خوارزمية الديناميك الجزيئى.

اذن خوارزمية مونتى كارلو الهجينة مثلها مثل خوارزمية ميتروبوليس لا تحتوى على اى اخطاء منهجية systematic errors (التى هى اخطاء رياضية ناجمة عن التقريب لا تريدها الفيزياء) بل تحتوى فقط على اخطاء احصائية statistical errors (وهذه اخطاء مقبولة جدا لانها اخطاء من نوع الاخطاء التجريبية).

يتم حساب هذه الاخطاء باستخدام طرق اومبيركية empirical methods اهمها على الاطلاق طريقة الجاكنايف Jackknife method و هى طريقة يشرحها ايضا المؤلف.

خوارزمية مونتى كارلو الهجينة تحتوى ايضا على خوارزمية الخزان الحرارى heat bath algorithm التى تسمح لنا بتوليد كميات الحركة momentum من توزيع غوسى Gaussian distribution و هذا من اجل ضرورة تفادى ما يسمى المعضلة الارغودية ergodic problem (وهو عجز بعض الخوارزميات عن سبر جميع اجزاء فضاء الطور phase space).

الآن عندما نقوم بادخال الفرميونات الى الموضوع اى ادخال محدد مؤثر ديراك determinant of Dirac operator الى الموضوع فان درجة تعقيد الموضوع تزيد مثل الذى بين السماء و الارض. هذه فعلا هى اصعب نقطة ولولا هذه النقطة لما كان هناك اى صعوبة فى الموضوع.

عند الاضطرار الى حساب محدد مؤثر ديراك (وهذه هى حالة جميع النظريات التى ذكرتها فى البداية بدون استثناء) فان خوارزمية مونتى كارلو الهجينة تصبح تسمى خوارزمية مونتى كارلو الهجينة العقلانية لانها تستخدم 3 خوارزميات اضافية من اجل حساب محدد ديراك.

اولا محدد ديراك يأتى عموما مرفوعا الى اس power معطى بعدد عقلانى rational number اى عدد كسرى. هذا صعب جدا للحساب فى حد ذاته و اذن نستخدم ما يسمى التقريب المينيماكس minimax approximation من اجل التعبير عن هذا الاس الكسرى بدلالة كثير حدود polynomial. من الناحية العملية هذا التقريب المينيماكس يتم حسابi باستخدام خوارزمية ريماز Remez algorithm الشهيرة.

ثانيا محدد ديراك لا يتم حسابه مباشرة فهذا هو لب صعوبة هذا الامر الصعب. ولهذا فاننا نقوم بالتعبير عنه باستخدام حقول تسمى الفرميونات-المزيفة pseudo-fermions وهى حقول تمتلك جميع الاعداد الكمومية quantum numbers للفرميونات (سبينورات ديراك Dirac spinors) لكنها ليست سبينورات بل هى بوزونات سلمية scalar bosons. هذه الطريقة تسمى طريقة الفرميونات-المزيفة pseudo-fermion method.

ثالثا نجد بعد الحساب ان هذه الفرميونات-المزيفة ترتبط بحقول غوسية Gaussian fields (وهذا من اسهل الحقول على الاطلاق) عن طريق مصفوفة تساوى مؤثر ديراك مرفوع لاس كسرى آخر.

هنا نستخدم التقريب المينيماكس و خوارزمية ريماز مرة اخرى.

ونستخدم ايضا خوارزمية الخزان الحرارى مرة اخرى لتوليد الحقول الغوسية.

لكن اهم من كل هذا -وهو اللب الآخر لخوارزمية مونتى كارلو الهجينة العقلانية- هو ضرورة استخدام ما يسمى خوارزمية التدريج المرافق conjugate gradient method وهى خوارزمية معقدة و قوية جدا تسمح لنا بحساب مقلوب inverse مصفوفة (هنا مؤثر ديراك) بدون ان نحسب فعلا هذا المقلوب.

و بعد كل هذا فانه لا يجب ان ننسى انه يجب ايضا استخدام خوارزمية الديناميك الجزئى و خوارزمية ميتروبوليس على محدد ديراك بعد اجراء كل تلك العمليات الآنفة الذكر.

كل هذه الخوارزميات مركبة مع بعضها البعض -هى عبارة عن ذكاء اصطناعى artificial intelligence فى غاية الذكاء- يستعمل منذ التسعينات فى نظريات الحقول المعيارية و مازال يستخدم اليوم فى نظريات التناظر-الممتاز و نظريات الثقالة الكمومية وهذا قبل ان تخرج اصلا موضة الذكاء الاصطناعى فى علوم الحاسوب فى هذا الزمان.

https://drive.google.com/file/d/1lgHmPeTp9WUklZZQm8w6hTYrzW69E9-p/view?usp=sharing

محاضرات فى الميكانيك الكمومى

 هذه مجموعة من المحاضرات فى الميكانيك الكمومى وهى غير منشورة كنت قد قدمتها منذ اكثر من عشر سنوات مع احدى دفعات الماستر النظرى الاولى.

أهم ميزة لهذه المحاضرات هى السرعة الشديدة التى غطيت بها اهم مواضيع الميكانيك الكمومى (الذى هو موضوع شاسع جدا) فى مساحة ضيقة جدا من الوقت و الصفحات.

لاحظوا ايضا ان هذه المحاضرات هى مكتوبة باللغة الانجليزية لاننا درسنا للطلبة باللغة الانجليزية منذ البداية فى الماستر (و درسنا بالعربية فى الليسانس و قد كنت الوحيد الذى يقوم بذلك لمدة تزيد الآن على 13 سنة).

وهم مازالوا فى عام 2023 يتناقشون هل هى فرنسية ام انجليزية -وكأنها قضية هل انا افكر اذن هل انا موجود- و هذا من شدة التخلف الذهنى للثقافة الجزائرية و الجامعة الجزائرية.

هذه المحاضرات بالانجليزية هى الاصل الذى بنيت عليه بعد ترجمته الى اللغة العربية القسم الثالث من كتاب (الفيزياء الاساسية).

الآن اهم شيء بالنسبة لشخص يريد ان يدرس الميكانيك الكمومى بسرعة هو الآتى:

-فضاء هيلبرت و الوصول الى معادلة شرودينغر.

-التناظر الدورانى و الوصول الى جبرية الزمرة SO(3) التى هى زمرة العزم الحركى.

-حل معادلة شرودينغر بالنسبة لذرة الهيدروجين و الوصول الى علاقة بوهر -التى اكتشفها بوهر قبل ان يكتشف الميكانيك الكمومى بأكثر من 7 سنوات-.

-نظرية الاضطراب غير-المتعلقة بالزمن حتى يمكننا حساب البنية الدقيقة لذرة الهيدروجين و طاقة ذرة الهيليوم. هذه النظرية تسمح لنا حتى بحساب البنية الهايبر-دقيقة لذرة الهيدروجين.

-نظرية الاضطراب المتعلقة بالزمن حتى يمكننا حساب كيفية امتصاص و ارسال الاشعاع من الذرة -الذى هو اساس ما يسمى التفاعل الكهرومغناطيسى بين المادة و الاشعاع-.

انظروا ايضا الى مجموعة الامتحانات فى آخر الكتاب.

فهى تحدى حقيقى عندما كانت الامتحانات امتحانات و كان الطلبة طلبة يقبلون التحدى و اذا ربحوا فرحوا و اذا خسروا فانهم يعيدون الكرة.

مثلا الامتحان الثالث هو امتحان منزلى قدمت فيه تجربة ال EPR و مبرهنة Bell بعد ان منهجت الفيزياء و الرياضيات بالكامل.

ورغم ان الطلبة أخذوا 15 يوم فى عطلة الشتاء فى المنزل و الامتحان معهم لكن لا احد استطاع الاجابة و الاجابة موجودة فى كل مكان من الواب و الكتب.

انظر مثلا الامتحان الرابع الذى يحتوى على تصادمات و من لم يفهم التصادمات فى الميكانيك الكلاسيكى فهو لن يفهمها فى الميكانيك الكمومى و من لم يفهم التصادمات فى الميكانيك الكمومى فهو لن يفهمها فى نظرية الحقول الكمومية (اذن تيقنوا من هذا الامر. و اذهبوا فى هذا الامر خطوة خطوة و بهدوء. هذا الامر هو ما يسمى مصفوفة التصادم فى نظرية الحقول و هو موضوع محورى و بعضهم -مثلا واينبرغ- قال ان نظرية الحقل بأجمعها هى مصفوفة تصادم. شخصيا لا اتفق مع هذا الرأى لكن هذا واينبرغ و ليس شخصا آخر).

انظروا ايضا الامتحان النهائى الذى يحتوى على زهرة من كل بستان.

امتحان الاستدراك كان هدية.

اما امتحان العام الموالى فقد كان تحديا حقيقيا لكنه فى المستوى لكن لم يستطع ان يجيب فيه اى احد رغم اننى اؤكد انه فى المتناول تماما. ليس تعجيزيا ابدا. امتحان مبرهنة بال قد يكون تعجيزيا و لهذا اعطيته فى البيت و مع هذا كان تعجيزيا.

هذه المحاضرات تصلح جدا جدا ان تنشر ككتاب و قد نسيتها تماما بسبب المشاغل الكثيرة.

https://drive.google.com/file/d/1irNkcqj1l69TWLqVoW_6JgWpHl34QzW7/view?usp=sharing

الميكانيك الكمومى على الشبكة 2

 الفيزياء هى أم العلوم و اقدمها. بل الفيزياء هى التى جاءت بالطريقة العلمية.

والفيزياء النظرية هى قلب و عقل الفيزياء.

لكن الفيزياء النظرية قد توغل فى الرياضيات الى الحد الذى ننسى فيه الطريقة العلمية و لا يتبقى معنا الا الطريقة الرياضية.

لكن هناك مجال فى الفيزياء النظرية يتميز بالامرين معا: هو لا يخشى ان يوغل فى الرياضيات لكنه لا ينسى ابدا الطريقة العلمية.

وللأسف فان كثير من الطلبة لا يفهم هذا الامر و يعتقد ان هذا المجال هو (فيزياء عددية) او بالاحرى (بريكولاج عددى) لا اقل و لا اكثر.

هذه فيزياء نظرية فى ذروة الرياضيات (الطريقة الرياضية) و الفيزياء (الطريقة العلمية) فى آن معا.

هذا هو مجال (نظرية الحقول على الشبكة lattice field theory).

ونظرية الحقول على الشبكة صعبة جدا لانها تتعامل بكل بساطة مع حقول نسبية كمومية تحقق الكثير من التناظرات.

اما الميكانيك الكمومى على الشبكة lattice quantum mechanics فهو حالة خاصة من نظرية الحقول على الشبكة و هو اسهل نسبيا منها لكنه ليس سهل ابدا و الا فان الجميع كان قد قام به.

الميكانيك الكمومى على الشبكة لا يتعامل مع حقول نسبية بل يتعامل مع جسيمات نسبية (وهذا اسهل نسبيا) لكنه ينطوى على نفس القدر من التناظرات وهذا يجعله صعب فى حد ذاته الى حد كبير.

نظرية الحقول على الشبكة تسمح لنا باجراء التجارب الافتراضية virtual experiments على الحواسيب باستخدام خوارزميات مونتى كارلو Monte Carlo algorithm وهذا يسمح لنا بسبر غور اعقد النظريات الرياضية للحقول التى تصف التفاعلات الكونية الثلاثة (كهرومغناطيسية و النووية اللونية القوية strong nuclear color و الديناميك الذوقى الضعيف weak flavor dynamics).

وكنا نعتقد سابقا انه من اجبل سبر اغوار نظرية الثقالة الكمومية theory of quantum gravity فاننا نحتاج الى نظرية الحقول على الشبكة او شيء اعقد منها مثلا نظرية الاوتار على الشبكة lattice string theory.

لكن اليوم نحن نعرف ان جزء معتبر جدا من نظرية الثقالة الكمومية يكفى من اجل سبر اغواره استخدام الميكانيك الكمومى على الشبكة.

الميكانيك الكمومى على الشبكة هو اسهل من نظرية الحقول على الشبكة لكنه ليس سهل ابدا و الا فان الجميع كان تمكن من القيام به.

لب صعوبة نظرية الحقول على الشبكة و كذا الميكانيك الكمومى على الشبكة هو كيفية وضع التناظرات الفيزيائية physical symmetries على الشبكة.

والشبكة lattice للتذكير هو الفضاء-زمن مقطع discrete و متناهى finite لان هذا هو الشيء الذى يمكن ان يفهمه الحساب و الحواسيب و المنطق و الخوارزميات و لغات التشفير.

واهم التناظرات التى يجب الحفاظ عليها على الشبكة هى التناظرات المعيارية gauge symmetries و التناظرات الممتازة supersymmetries و التناظرات الكايرالية chiral symmetries.

فى هذه المحاضرة لن نواجه التناظرات المعيارية و هى الاسهل وضعا على الشبكة كما بين ذلك العبقرى ويلسون Wilson فى السبعينات.

فى هذه المحاضرة الثانية نقدم (الميكانيك الكمومى المتناظر-بامتياز على الشبكة supersymmetric quantum mechanics on the lattice).

هذا النموذج هو من نوع نماذج واس-زومينو Wess-Zumino models و هو اول نموذج متناظر بامتياز تم وضعه على الشبكة بنجاح و محاكاته باستخدام طرق مونتى كارلو.

سنواجه معضلة المضاعفة الفرميونية fermion doubling problem و نقوم بحلها. وهذا موضوع ذى علاقة بالتناظر الكايرالى على الشبكة و قد كنا ناقشناه من قبل و نقوم فى هذه المحاضرة بانهائه.

وسنواجه ايضا معضلة وضع التناظر-الممتاز على الشبكة و نقوم بحلها عبر ما يسمى التناظر-الممتاز الملتوى twisted supersymmetry الذى يمت بصلة وثيقة لنظرية الحقول الطوبولوية topological field theory.

الفكرة هو انه يكفى الحفاظ على جزء فقط من التناظر-الممتاز على الشبكة من اجل الحصول على النهاية المستمرة continuum limit الصحيحة بدون الحاجة الى دوزنة fine tuning المؤثرات التى تتطلبها معادلة زمرة اعادة-التنظيم renormalization group equation.

ثم نقوم ايضا بحل معضلة الاشارة الفرميونية fermion sign problem لمحدد determinant مؤثر ديراك Dirac operator و قد كنا اشرنا الي هذه المعضلة عدة مرات. اذن نشرح هنا هذه المعضلة بشكل دقيق و نبين كيف اننا نتفادها بالكامل فى اطار الميكانيك الكمومى الممتاز (وهذا لحسن الحظ).

نقدم ايضا ملخص قصير حول الاعداد الغراسمانية Grassmann numbers و المحدد determinant و الفافيان Pfaffian التى تلعب دورا اساسيا فى تكميم الحقول الفرميونية fermion fields و منها هذه الحقول-الممتازة superfields.

هذه المحاضرة الثانية موجودة على هذه الصفحة على البوابة البحثية للتحميل. المحاضرة الاولى موجودة ايضا على هذه الصفحة على البوابة البحثية للتحميل.

https://www.researchgate.net/project/Lattice-Matrix-Quantum-Mechanics-and-Lattice-Matrix-Quantum-Gravity/update/63f22f6797e2867d508128a1

الميكانيك الكمومى المصفوفى هو ميكانيك اغشية ام ميكانيك جسيمات

 الفرق بين الميكانيك الكلاسيكى classical mechanics و النسبية العامة general relativity هو الفرق بين الهندسة السمبليكتية symplectic geometry و الهندسة الريمانية Riemannian geometry.

نحن نعلم ان تكميم الهندسة السمبليكتية يعطينا جبريات المؤثرات operator algebras و فضاءات هيلبرت Hilbert spaces و الميكانيك الكمومى quantum mechanics و الهندسة غير-التبديلية non-commutative geometry.

لكننا لا نعلم ماهو تكميم النسبية العامة.

علينا اعادة صياغة الهندسة الريمانية على شكل هندسة سمبليكتية ثم التركيز على الهيئة السمبليكتية symplectic form عوض المترية metric و بالتالى التركيز على المساحات areas عوض الاطوال lengths فنصل الى ضرورة اعتبار الاغشية membranes عوض الاوتار strings و الجسيمات particles.

من هذه الملاحظة نقول ان تكميم النسبية العامة هو الميكانيك الكمومى بشكل او بآخر وهى نتيجة وصلت اليها نظرية الاوتار الممتازة super string theory منذ عشرين سنة لكنها لم تركز عليها بالشكل الصحيح وهو الميكانيك الكمومى المصفوفى matrix quantum mechanics.

بل ان الميكانيك الكمومى المصفوفى توصل اليه الفيزيائيون فى اواخر الثمانينات قبل ثورة الاوتار الثانية فى اواسط التسعينات عندما اكتشفوا ان الغشاء النسبى الممتاز relativistic super-membrane يجب ان يتحرك فى 11 بعد مثلما ان الوتر النسبى الممتاز relativistic super-string يجب ان يتحرك فى 10 ابعاد.

واكتشفوا ايضا ان هذا الغشاء النسبى الممتاز يصفه بالضبط الميكانيك الكمومى المصفوفى.

النظرية الوحيدة الاخرى التى تعيش فى 11 بعد هى الثقالة الممتازة supergravity فى 11 بعد وهى ايضا تحتوى على اغشية مشهورة باسم البراينات M2-brane (الجسيم الكهربائى) و M5-brane (الجسيم المغناطيسى).

اذن الميكانيك الكمومى المصفوفى هو نظرية الطاقات العليا مثلما ان نظرية الثقالة الممتازة هى نظرية الطاقات الدنيا وهما نهايتان لنفس النظرية التى يجب ان تعيش ايضا فى 11 بعد و التى تسمى النظرية M و يرمز لها M-theory و الحرف M كان يعتقد انه يرمز الى الاغشية membrane لكن اليوم يعتقد انه يرمز الى المصفوفات matrices.

بالفعل فان الاكتشافات التى جاءت فيما بعد جعلت الفيزيائيين يغيرون موقفهم (درجات الحرية الاساسية للنظرية M هى ليست اغشية كما كان يعتقد بل هى جسيمات موصوفة بمصفوفات).

بالفعل جاءت نظرية الاوتار الممتازة فى اواخر التسعينات و اكتشفت ان حركة الجسيمات الممتازة super particles فى مايسمى الفضاءات-زمن الموجية pp-wave spacetime تعطى بالضبط بهذا الميكانيك الكمومى المصفوفى.

نظرية الاوتار اكتشفت ايضا ان هذه الجسيمات الممتازة هى فى الحقيقية جسيمات دريشليه Dirichlet particles او البراينات (مفرد براين) D0-branes التى تشكل الجسيمات الذرية المشكلة للثقوب السوداء.

اذن الميكانيك الكمومى المصفوفى يصف الثقوب السوداء. وهذا كان نموذج آخر للثنائية الثقالية-المعيارية gauge-gravity duality مختلف عن نموذج ال AdS/CFT.

بالفعل هذا الميكانيك الكمومى المصفوفى نحصل عليه ايضا من الاختزال البعدى dimensional reduction لنظريات يانغ-ميلز Yang-Mills theories فى عشرة ابعاد.

هذه البراينات D0-branes هى فى الحقيقة انماط كالوزا-كلاين Kaluza-Klein modes (الناجمة عن الاختزال البعدى) للغرافيتون graviton فى 11 بعد.

اذن الميكانيك الكمومى المصفوفى هو ميكانيك جسيمات (حركة جسيمات-ممتازة) لكنه ايضا ميكانيك اغشية نسبية وهو ايضا يصف الثقوب السوداء و الغرافيتون و الحقول المعيارية يانغ-ميلز و الهندسة غير-التبديلية للفضاء-زمن و اشياء اخرى كثيرة.

الاعداد الغراسمانية

 مؤثر ديراك Dirac operator عندما يظهر فى تكامل الطريق فايمان Feynamn path integral فانه يظهر ضرورة مضروب فى اعداد غراسمانية Grassmann numbers و ليس اعداد مركبة complex numbers كما تبينه المعادلة 7.17 او 7.20 و النهاية الكلاسيكية 7.18.

الاعداد الغراسمانية هى اعداد فرميونية عكس الاعداد المركبة التى هى اعداد بوزونية.

هذا يعنى ان اهم خاصية للاعداد الغراسمانية هى انها اعداد ضد-تبادلية anti-commuting و بالتالى فان مربعها صفر بالضرورة (المعادلة 7.18).

هناك خواص اخرى كثيرة مثلا فان دالة كيفية فى عدد غراسمانى هى بالضرورة دالة خطية و التكامل على العدد الغراسمانى مكافئى تماما للتفاضل على العدد الغراسمانى.

الاعداد الغراسمانية يمكن ان تكون مركبة و قد تكون حقيقية بالمعنى المتعارف عليه. اى انه اذا كان الارفاق المركب complex conjugation للعدد الغراسمانى يعطينى نفس العدد فان هذا العدد الغراسمانى هو عدد غراسمانى حقيقى و الا فهو عدد غراسمانى مركب.

أهم شيء بالنسبة للتكامل الفرميونى على الاعداد الغراسمانية (تكامل طريق فايمان على سبينورات ديراك) هى النتيجة 7.40 و قارنوا هذه النتيجة مع التكامل البوزونى على الاعداد المركبة النتيجة 7.41.

المصفوفة M تلعب دور مؤثر ديراك اذن نحصل على محدد determinant مؤثر ديراك اى det M عكس التكامل البوزونى اين نحصل على محدد مقلوب M وهذا فرق هائل جدا بين الحقول الفرميونية (سبين نصف صحيح) و الحقول البوزونية (سبين صحيح).

لو كانت الاعداد الغراسمانية هى اعداد غرامسانية حقيقية فاننا نحصل على الفافايان Pffafian عوض المحدد و الفافيان هو الجذر التربيعى للمحدد (تقريبا). حساب الفافيان اصعب عموما من حساب المحدد و حساب المحدد هو اصعب عملية مصفوفية قاطبة.

هذا المحدد او هذا الفافيان الديراكى هو نقطة انطلاق نظرية الحقول على الشبكة التى تحتاج الى محاكاة الجسيمات و الحقول الفرميونية او محاكاة التناظر الممتاز supersymmetry.

https://drive.google.com/file/d/1sHb1ftsYe3f7AdKC5ax2EKdHbr2MQYfp/view?usp=sharing

كود نموذج الميكانيك الكمومى المصفوفى

هذا دليل تفصيلى حول كتابة كود (شفرة) لنموذج الميكانيك المصفوفى لنظرية الثقالة الكمومية M-theory.

اولا هذا الكود مكتوب بالفورترون لكن ننصح ايضا باستخدام C و C++ (اللغات المفسرة interpreted لن تصلح).

ثانيا هذا الكود مكتوب بالتوازى parallel على الشبكة lattice و على المصفوفة matrix وهذا باستخدام MPI (لا تستخدم open MP).

قبل تحقيق التوازى (الخطوة الثانية) عليكم تحقيق التسلسل (الخطوة الاولى).

ثالثا الخوارزمية المستعملة هى المونتى الكارلو الهجينة hybrid Monte Carlo وهى الخوارزمية المعيارية فى محاكياة ال QCD (لا يوجد الى غاية اليوم بديل لهذه الخوارزمية اذن لا تتعبوا انفسكم فى البحث فى هذه النقطة).

المؤلف نفسه انطلق من هذا الكود من اجل بناء تعاونية collaboration ضخمة مشكلة من عدة فيزيائيين من جامعات مختلفة تعمل على نموذج الميكانيك الكمومى المصفوفى لنظرية الثقالة الكمومية M-theory فهذا عمل جماعى بالاساس و ليس فردى. وهذا يدل ايضا على الاهمية القصوى للميكانيك الكمومى المصفوفى وصعوبته البالغة ايضا.

المؤلف يدعى انك لن تحتاج الا الى رياضيات مستوى الثانوى من اجل كتابة و فهم هذا الكود. هذه مبالغة و شطط و غرور من جانبه لا تلتفتوا اليها. الامر ليس هين. هو يدعى ذلك لانه وجد حوله خبراء فى المجال من اليابانيين الذين صرفوا نصف اعمارهم على هذه الامور قبل ان يأتى المؤلف و يلتحق بهم.

انظر المنشورات السابقة.

انظر المنشورات السابقة.

https://drive.google.com/file/d/1zLcOkC5IuTdxfZBSn9YJkqNdJUkyddj4/view?usp=sharing

تكامل الطريق فايمان, تدوير وييك, الشبكة و الميكانيك الكمومى المصفوفى

 الجميع يعرف ان الميكانيك الكمومى ينطلق من معادلة شرودينغر.

لكن بالنسبة للمسائل الاكثر أساسية (الثقالة الكمومية quantum gravity, الحقول المعيارية gauge fields, الثقوب السوداء black holes, كوسمولوجيا الانفجار الاعظم big bang cosmology, التحولات الطورية phase transition للمادة و الفضاء-زمن و ما شابه ذلك) فان نقطة انطلاق الميكانيك الكمومى هى ليست معادلة شرودينغر بل نقطة الانطلاق هى تكامل الطريق فايمان Feynman path integral الذى اكتشفه فايمان فى رسالته للدكتوراة فى الاربعينات.

تكامل الطريق فايمان مكافئ تماما لمعادلة شرودينغر وهما مكافئان تماما لمعادلة هايزنبرغ.

لكن تكامل الطريق فايمان يعطينى المنتشر propagator بين نقطتين فى الفضاء-زمن بدلالة جميع الطرق الرابطة بين النقطتين وهذا هو مبدأ التراكب الخطى superposition principle فى ابهى صوره والذى يقوم عليه جميع بناء الميكانيك الكمومى.

الجسيم الكمومى بين نقطتين سوف يمر عبر جميع الطرق الرابطة بين النقطتين فى نفس الوقت (لا محالة) وهذا عكس كل الوهم الكلاسيكى المترسخ فى الانسان.

فى هذه المحاضرة القصيرة نبرهن على تكامل الطريق فايمان. هذه هى الخطوة الاولى.

فى الخطوة الثانية نقوم بتدوير وييك Wick rotation للزمن من اجل ادخال درجة الحرارة. سنرى ان الطرق التى يسلكها الجسيم اصبحت مغلقة و ان مقلوب درجة الحرارة inverse temperature هو بالضبط دور الزمن الاقليدى period of Euclidean time ويتحول بذلك تكامل طريق فايمان الى دالة تقسيم بولتزمان Boltzmann partition function اى يتحول الميكانيك الكمومى الى ميكانيك احصائى.

اذن الميكانيك الكمومى الاقليدى (المدور) هو فى الحقيقة ميكانيك كمومى حرارى اى ان درجة الحرارة لا تنعدم فيه.

رغم اننا قمنا بتدوير الزمن نحو متغير اقليدى الا ان الميكانيك الكمومى مازال غير معرف رياضيا بالشكل الكافى.

فى الخطوة الثالثة نقوم بوضع الميكانيك الكمومى على الشبكة و بهذا نحصل على ميكانيك كمومى على الشبكة lattice quantum mechanics و هو كما سترون ليس الا نوع من انواع نموذج ايزينغ Ising model و بالتالى فهو معرف رياضيا بالكامل.

نؤكد هنا اننا لم نحدد بعد طبيعة التفاعل فالكمون potential مازال كيفى الى اقصى حدود لكن الميكانيك الكمومى على الشبكة يتصرف بالكامل مثل جمل السبين او جمل عزوم-اللف spin system وهذا معرف فيزيائيا و رياضيا بالكامل يمكننا ان نطبق عليه مباشرة طرق مونتى كارلو Monte Carlo methods.

فى الخطوة الرابعة نطبق خوارزمية ميتروبوليس Metropolis algorithm على هذا الميكانيك الكمومى على الشبكة. و سترون فان الامر سهل جدا. مرة اخرى الكمون مازال غير محدد و القضية عامة جدا.

فى الخطوة الاخيرة نعمم نحو الميكانيك الكمومى المصفوفى و سترون ان كل ما ذكر سابقا مازال صالحا.

https://drive.google.com/file/d/16hS0dgGN8aevVlvmjwtOpi1950y-Pzw6/view?usp=sharing

الميكانيك الكمومى المصفوفى و الميكانيك الكمومى على الشبكة

 من الصعب جدا ايجاد منفذ الى البحث فى الفيزياء النظرية و بالضبط فانه يصعب جدا ايجاد منفذ سريع او اكيد الى البحث.

اقترح هنا موضوع (الميكانيك الكمومى المصفوفى matrix quantum mechanics) و موضوع (الميكانيك الكمومى على الشبكة lattice quantum mechanics) وهما توجهين غير مرتبطين بالضرورة لكن حسب ما اقترحه هنا فان هناك ارتباط وثيق جدا بينهما.

هذا مجال جديد وحتى المصطلح فانه غير معروف جدا.

لكن اهم و اول (بل هو اشهر من نار على علم) نموذج ميكانيك كمومى مصفوفى هو نموذج ال BFSS المعروف ايضا باسم نموذج النظرية-المصفوفية او M-(atrix) theory الذى اقترحه ساسكيند Susskind و زملائه فى اواخر التسعينات كتعريف لما يسمى (النظرية المصفوفية Matrix theory او اختصارا M-theory) التى تعيش فى 11 بعد و الموحدة للنظريات الوترية الخمسة التى تعيش فى عشرة ابعاد.

النظرية-المصفوفية M-(atrix) theory تلعب فى الطاقات العليا الدور الذى تلعبه فى الطاقات الدنيا نظرية الثقالة الممتازة فى 11 بعد بالنسبة للنظرية المصفوفية المجهولة M-theory و التى هى رسميا (نظرية الثقالة الكمومية).

هذا النموذج هو نموذج مصفوفى يانغ-و-ميلز Yang-Mills matrix model وهو يهتم بالثقالة الكمومية quantum gravity و براينات ديرشليه Dirichlet branes و الثنائية الثقالية-المعيارية gauge-gravity duality.

نموذج النظرية-المصفوفية موجود فى ابعاد 10 و 6 و 4 و 3 و 2. وهذه النماذج هى نماذج ميكانيك كمومى مصفوفى يانغ-و-ميلز وهذا هو سر قوتها الاكبر بالاضافة الى اهم ما يميزها و هو التناظر الممتاز supersymmetry. هذه النماذج من الميكانيك الكمومى المصفوفى الاهم موجودة فى الجدول مع تحديد التناظر الدورانى و التناظر الممتاز فى كل حالة.

واما الميكانيك الكمومى على الشبكة فأهميته برزت عندما تم و لأول مرة وضع نموذج ميكانيك كمومى متناظر-بامتياز على الشبكة lattice وضعه بنجاح كاترال Catteral و زملائه على الشبكة فى اواخر التسعينات.

هذا النموذج هو نموذج واس-و-زومينو Wess-Zumino model الشهير. وهو كما ذكرت اول نموذج تم وضعه على الشبكات مع الحفاظ على قدر كبير من التناظر الممتاز عبر ما يسمى اليوم التناظر الممتاز الملتوى twisted supersymmetry. وهو ليس نموذج مصفوفى لكن كيف نضع التناظر الممتاز على الشبكة كان فى ذلك الوقت هو الهدف.

عندما نرجع الى نموذج يانغ-و-ميلز فاننا نجده يتميز بالخاصيتين مصفوفى و تناظرى ممتاز و الخاصية الثانية اصعب على الشبكة دائما.

هذا كان و مازل انجاز كبير لان التناظر الممتاز هو تناظر مفصلى من الناحية الفيزيائية و هو ايضا من اصعب التناظرات من ناحية التقريب الحاسوبى و الحسابى.

و اذكر هنا اننى قد كنت هناك فى تلك الفترة فى جامعة سيراكيوس Syracuse University عندما بدأ كاترال هذا المشروع و حقق خطواته الاولى فيه.

اذن كنت هناك لكننى لم افكر فى العمل مع كاترال رغم توفر الامكانية امامى و رغم اننى ذهبت اختياريا و اخذت معه كورس بعنوان العلوم و الحاسوب computer and science و كان هذا اول تعرض لى شخصيا للفيزياء الحاسوبية computational physics.

اذن كدت افهم الموضوع فى ذلك الوقت لكن لم افهم الموضوع تماما. وقد اتضح فيما بعد ان هذا هو الموضوع الذى اريد العمل عليه.

و كما قلت فان الاختيار الاول الذى يختاره الطالب فى البداية سوف يحدد نجاحه الساحق من فشله الساحق.

اليوم كاترال هو الرائد الاول فى العالم فى دراسة النظريات المتناظرة بامتياز -بجميع انواعها- على الشبكات.

واهم النظريات المتناظرة بامتياز هى نماذج الميكانيك المصفوفى ليانغ-و-ميلز. وهو احد اكبر دارسى هذا النوع ايضا.

اذن الميكانيك الكمومى المصفوفى ليانغ-و-ميلز (و ايضا الميكانيك الكمومى لواس-و-زومينو) بل الميكانيك الكمومى المصفوفى بصفة عامة هو شيء محورى فى الثقالة الكمومية و نظريات الحقول المعيارية وهو مجال خصب جدا و اهم شيء يميز هذا الميكانيك الكمومى هو التناظر الممتاز.

و التناظر الممتاز لهذه النماذج مع كونها مصفوفية هو المدخل الى الثقالة الكمومية الوترية-المصفوفية و من اهم وسائل دراستها هى الميكانيك الكمومى على الشبكة.

الميكانيك الكمومى على الشبكة هو حالة خاصة من نظرية الحقول على الشبكة lattice field theory و على هذا فهو اسهل بكثير رغم اهميته الاكبر بالنسبة للثقالة الكمومية.

و كمدخل لدراسة الميكانيك الكمومى على الشبكة انظر هذا المقال لسايمون كاترال فى كيفية وضع التناظر الممتاز على الشبكة بشكل مضبوط.

https://arxiv.org/abs/0903.4881

ماذا يمكن ان يقوم به النظريون الشبكيون لنظرية الاوتار الممتازة و النظرية المصفوفية?

هذا مدخل ممتاز و فى المتناول جدا لفكرة الميكانيك الكمومى المصفوفى matrix quantum mechanics و الميكانيك الكمومى على الشبكة lattice quantum mechanics التى اقترحتهما البارحة للبحث فى مستوى الدكتوراة.

المقترح الذى يتناوله هنا ماسانورى هانادا Masanori Hanada هو اعم من اقتراحى لانه يقترح دراسة مواضيع تخرج من اطار الميكانيك الكمومى المصفوفى الى الاطار الاعم اطار نظرية التقابل الثقالى-المعيارى gauge-gravity duality و بالتالى فان وسيلة الدراسة تخرج من اطار الميكانيك الكمومى على الشبكة الى الاطار الاعم نظرية الحقل على الشبكة lattice field theory.

النظريات الاربعة الاساسية للتقابل الثقالى-المعيارى التى يناقشها المؤلف هى:

-التقابل AdS5/CFT4 وهى نظرية كونفورمالية conformal theory تعيش فى اربعة ابعاد وهى اول نظريات ال AdS/CFT اكتشافا.

-نظرية ABJM وهى تعيش فى ثلاثة ابعاد وتصف الفضاء-زمن حول البراين-الثنائى الاسود black two-brane مثلما ان الحالة الاولى تصف الفضاء-زمن حول البراين-الثلاثى الاسود black three-brane.

-التحول الطورى phase transition من الثقب الاسود black hole الى الوتر الاسود black string وهى تعيش فى بعدين. و الوتر الاسود هنا هو كينونة مختلفة عن البراين-الاحادى الاسود black one-brane.

-نموذج BFSS او النظرية-المصفوفية M-(atrix) theory و هذا هو الميكانيك الكمومى المصفوفى الذى يعيش فى بعد واحد.

https://arxiv.org/abs/1604.05421

كن ان يقوم به النظريون الشبكيون لنظرية الاوتار الممتازة و النظرية المصفوفية?

هذا مدخل ممتاز و فى المتناول جدا لفكرة الميكانيك الكمومى المصفوفى matrix quantum mechanics و الميكانيك الكمومى على الشبكة lattice quantum mechanics التى اقترحتهما البارحة للبحث فى مستوى الدكتوراة.

المقترح الذى يتناوله هنا ماسانورى هانادا Masanori Hanada هو اعم من اقتراحى لانه يقترح دراسة مواضيع تخرج من اطار الميكانيك الكمومى المصفوفى الى الاطار الاعم اطار نظرية التقابل الثقالى-المعيارى gauge-gravity duality و بالتالى فان وسيلة الدراسة تخرج من اطار الميكانيك الكمومى على الشبكة الى الاطار الاعم نظرية الحقل على الشبكة lattice field theory.

النظريات الاربعة الاساسية للتقابل الثقالى-المعيارى التى يناقشها المؤلف هى:

-التقابل AdS5/CFT4 وهى نظرية كونفورمالية conformal theory تعيش فى اربعة ابعاد وهى اول نظريات ال AdS/CFT اكتشافا.

-نظرية ABJM وهى تعيش فى ثلاثة ابعاد وتصف الفضاء-زمن حول البراين-الثنائى الاسود black two-brane مثلما ان الحالة الاولى تصف الفضاء-زمن حول البراين-الثلاثى الاسود black three-brane.

-التحول الطورى phase transition من الثقب الاسود black hole الى الوتر الاسود black string وهى تعيش فى بعدين. و الوتر الاسود هنا هو كينونة مختلفة عن البراين-الاحادى الاسود black one-brane.

-نموذج BFSS او النظرية-المصفوفية M-(atrix) theory و هذا هو الميكانيك الكمومى المصفوفى الذى يعيش فى بعد واحد.

All reac

مستويات النجاح

 النجاح مستويات متعددة و البعض يتكلم عن النجاح دون ان يدرك و يعى ان للنجاح مستويات مختلفة بل ان النجاح الحقيقى لا يستطيع البعض ادراكه و رؤيته على حقيقته بل هو شيء مضبب غامض عندهم ليس له كينونة محددة ثابتة.

واننى هنا اتكلم عن العلم اما الحياة فهى شيء اكبر من العلم و ليس لى اى دخل بها بل اننى اصراحكم و اقول اننى لا افهم فيها فعلا.

هنا ادعى و اقول ان هناك على الاقل اربعة مستويات مختلفة من النجاح: النجاح الوظيفى و النجاح الاكاديمى و النجاح العلمى و النجاح الابداعى.

اولا هناك النجاح الوظيفى فى تحقيق النقاط و تحقيق الشهادات و تحقيق الوظائف و تحقيق الرتب. هذا كله نوع واحد لا فرق بين النقطة و الشهادة و الوظيفة و الرتبة. هذا نجاح ادارى قانونى لا اقل و لا اكثر. وهو سهل جدا لكل جاد مجد و جيد وهذا بشرط ان لا توضع عثرات غير طبيعية من المعرقلين الطفيلين المدخولين فى طريق الجاد و المجد و الجيد.

ثانيا لكن هناك ايضا النجاح الاكاديمى فى تحقيق الابحاث من الناحية الكمية و النوعية. وهذا نجاح جاف ميكانيكى قد يكون صعب التحقيق لكنه فى متناول كل جاد و مجد و جيد. وهو ضرورى و خطوة مهمة فى الطريق لكنه ليس نهاية الطريق كما يعتقد الجميع. و من اجل تحقيق هذا النجاح يكفى ان تجد الدائرة الاكاديمية التى تُنتج فيها و معها و لها فتتحقق بذلك الاستمرارية العقيمة.

ثالثا لكن هناك ايضا النجاح العلمى الذى يتميز بتحقيق تخصص موسوعى و ثقافة شاملة و فهم عميق مترابط غائى لذلك المجال العلمى. وهو قد يترافق و قد لا يترافق مع النجاح الاكاديمى. لكن اذا ترافق مع النجاح الاكاديمى الجاف الميكانيكى فانه ينتج عنه نجاح علمى خصب و حيوى رائع يمكنك ان تقدم عبره لغيرك الكثير. غير ذلك فاننى شخصيا افضل النجاح العلمى على النجاح الاكاديمى ويمكنك ان تقدم ايضا عبر النجاح العلمى لغيرك الكثير و بشكل افضل بكثير. لكن فى الواقع قد يصعب جدا الجمع بين النجاح الاكاديمى الميكانيكى و النجاح العلمى الحيوى و النجاح العلمى هو بطبيعته اصعب بكثير فى التحقيق لانه يتميز بمصداقية و صدق كاملين و ليس فيه تنازل عن اى قيمة من قيم العلم.

رابعا اما المستوى الاخير فهو النجاح الابداعى. وهو ان تُبدع الجديد و تأتى بالاصيل فى ذلك العلم و تصبح حجة فى المجال يرجع اليك الجميع من اصجاب النجاح الوظيفى و النجاح الاكاديمى و النجاح العلمى. الناجح ابداعيا هو فى العموم ذلك من استطاع تحقيق النجاح الاكاديمى بسهولة شديدة ثم استطاع تحقق النجاح العلمى بصعوبة قليلة ثم تعدى هذه المرحلة بمراحل الى مرحلة الابداع وهى اصعب بكثير.

هذه الفئة كما ذكرت فى منشور قديم هم 1 فى المائة -او ربما اقل بكثير- فى كل جيل. وتذكروا سلم لانداو الذى تكلمت عنه فى منشور آخر قديم الذى يرتب فيه اصحاب هذا المستوى فى مراتب. فمثلا نيوتن و اينتشاين و بولتزمان و بوهر هم مستوى لوحدهم و غيرهم يأتون فى مستويات ادنى منهم لكنهم كلهم حققوا النجاح الابداعى.

اذا قارنا بما نعرفه فاننى اقول ان النجاح الوظيفى هو مثل الفقيه او المتكلم المقلدان اما النجاح الاكاديمى فهو مثل المجتهد العالم فى الشريعة اما النجاح العلمى فهو مثل المتصوف العارف بالحقيقة اما النجاح الابداعى فهو مثل حالة النبى (وللنبى المثل الاعلى) الذى عنده حبل من الله مباشرة.