خوارزمية نيوتن-رافسون

فى هذا الفيديو ال 11 اشرح خوارزمية نيوتن-رافسون و كمثال اشرح كيف نطبق هذه الخوارزمية من اجل حل المعادلات التكعيبية التى تقبل جذر حقيقى واحد اذا كان مميزها سالب و ثلاث جذور حقيقية اذا كان مميزها موجب.
خوارزمية نيوتن-رافسون عامة جدا فهى تطبق من اجل ايجاد جذور اى معادلة من الشكل f(x)=0 حيث f هى دالة فى المجهول x بخواص معقولة مثلا الاستمرار و غيره و نقاط تقاطع هذه الدالة مع محور السينات هى بالضبط جذور المعادلة f(x)=0.
بدون برهان (وهو برهان بسيط جدا) فان خوارزمية نيوتن-رافسون تقوم بحل هذه المعادلة انطلاقا من تخمين معين x0 عن طريق تكرار الخطوة المعطاة بناقص نسبة الدالة على مشتقتها اى تكرار
'x=x-f/f
هذه الخوارزمية فعالة جدا فى ايجاد الحل و علينا فقط ان نكون اذكياء فى اختيار التخمين الاول x0 الذى تنطلق منه عملية التكرار الذى يستمر حتى ينزل الخطأ تحت نقطة معينة نسميها التسامحية tolerance.
و كنكتة اذكر هنا اننى عندما شرحت هذه الخوارزمية فى احد الاعوام سألنى احد الطلبة متذاكيا ماهو (التخمين) و سؤاله لغوى و ليس فيزيائى/رياضى. اذن هو لم يفهم اللغة العربية و يعتقد انه سيفهم الفيزياء و الرياضيات و مع هذا يظن نفسه ذكى بل يظن نفسه اذكى من غيره.
فالتخمين هو اختيار شخصى (بناءا على معطيات معينة) لنقطة الانطلاق.
مثلا تخمين يقع بينه و بين الجذر نقطة تباعد للدالة لن يصل ابدا الى الجذر بداهة.
اذن من اجل ايجاد كل الجذور (مثلا فى حالة المعادلة التكعيبية بمميز سالب توجد هناك ثلاث جذور) علينا فقط تغيير نقطة الانطلاق التى هى التخمين الاول لكن بشكل ذكى و نقصد هنا بالذكاء الذكاء العقلى و الذكاء التجريبى (فعليك ان تجرب حتى تعرف ماذا يتوجب عليك فعله).
هنا استخدمت لغة الفورترون لتنفيذ هذه الخوارزمية على المعادلات التكعيبية عدديا لكن لغة البرمجة غير مهمة فكلها ستؤدى نفس المهمة.
فى الاخير اقول ان هذه الخوارزمية فى حل هذه المسألة هى اساس كل التطبيقات الحاسوبية الموجودة مثلا الماطلاب و الماثيماثيكا و المايبل و غيرهم كثير.
لكن هناك فرق كبير (بين الثرى و الثريا) بين من يعرف اجراء الحساب بيده و ذهنه ثم يستعمل بعد ذلك البرامج الجاهزة عن بينة و بصيرة و من لا يعرف الا اجراء الحساب على الآلة الحاسبة و مع هذا يخطئ (وهذا نراه فى الاطفال الصغار فى الابتدائى و الشباب المتصاغر فى الجامعة).

فيديو اليوتوب