سبينورات ديراك و وايل و ماجورانا

جميع الجسيمات الاولية التى تشكل المادة المضيئة luminous matter فى الكون هى فرميونات (مفرد فرميون fermion) اى تتميز بعزم لف او سبين spin يساوى نصف و بالتالى فانها تعطى رياضيا بما يسمى السبينور spinor (وهو اسم مشتق من كلمة السبين).

فيزيائيا هناك نوع واحد من السبينورات (مفرد سبينور) وهو سبينور ديراك Dirac spinor لكن رياضيا هناك فى الحقيقة ثلاثة انواع من السبينورات المختلفة جدا.

بالاضافة الى سبينور ديراك هناك سبينور وايل Weyl spinor (جسيم معدوم الكتلة) و سبينور ماجورانا Majorana spinor (جسيم معدوم الشحنة).

كما سنبين فان سبينور وايل و سبينور ماجورانا نحصل عليهما انطلاقا من سبينور ديراك باستخدام شرط وايل Weyl condition و شرط ماجورانا Majorana condition على التوالى.

سبينور ديراك يحل معادلة ديراك و هو كائن باربعة مركبات (لكنه ليس شعاع رباعى) وهو دالة موجة جسيم نقطى بسبين نصف و كتلة m و شحنة q.

أما سبينور وايل فهو سبينور بمركبتين (لكنه ليس شعاع ثنائى) و هو دالة موجة جسيم نقطى بسبين نصف لكن كتلة صفر و شحنة q.

مركبات سبينورى ديراك و وايل هى اعداد مركبة complex numbers (فى التكميم الاول فى الميكانيك الكمومى النسبى) تصبح اعداد غراسمانية Grassmannian numbers (فى التكميم الثانى فى نظرية الحقول الكمومية).

الفرق الاساسى بين ديراك و وايل هو انعدام الكتلة فى وايل و عدم انعدامها فى ديراك.

اذن عندما نجعل الكتلة تذهب الى صفر فان سبينور ديراك يتفكك الى سبينورى وايل واحد يسمى يدوانى-يمينى right-handed و الآخر يسمى يدوانى-يسارى left-handed.

انظر المعادلة الاولى فى الصورة الاولى.

و انظر ايضا الى المعادلتين الثالثة و الرابعة فى الصورة الاولى كيف يتحول سبينورى وايل اليدوانى-اليمينى و اليدوانى-اليسارى تحت تأثير تحويلات لورنتز Lorentz transformations لنظرية النسبية الخاصة.

حتى نفهم الفرق بين اليدوى-اليمينى و اليدوى-اليسارى علينا ان نقوم بتعريف المقدارين الفيزيائيين التاليين -و اغلب الطلبة و حتى الاساتذة يخلط بين هذين المقدارين و يعتقد انهما نفس الشيء-:

- الخاصية الأولى هى الهيليسينية helicity و هى مركبة او اسقاط عزم اللف او السبين على اتجاه كمية الحركة momentum.

اذا كان هذا الاسقاط موجب نقول ان الهيليسينية هى يدوانية-يمينية و اذا كان هذا الاسقاط سالب نقول ان الهيليسينية هى يدوانية-يسارية. انظر الصورة الثانية.

الهيليسينية -من التعريف- هى اذن خاصية محفوظة conserved فى الزمن او ثابت للحركة constant of the motion لان مؤثر الهيليسينية يتبادل commute مع مؤثر الطاقة او مؤثر الهاميلتونية.

-الخاصية الثانية هى الكايرالية chirality وهى تعبر عن كيفية تحول السبينور تحت تأثير تحويلات لورنتز: هل يتم التحول فى التمثيلة الدورانية-اليسارية (هذه هى بالضبط المعادلة الثالثة فى الصورة الاولى) او يتم التحول فى التمثيلة اليدوانية-اليمينية لزمرة لورنتز (هذه هى بالضبط المعادلة الرابعة فى الصورة الاولى).

و تذكروا فان زمرة لورنتز Lorentz group هى مجموعة جميع تحويلات لورنتز بالاضافة الى الدورانات.

اما تمثيلات الزمرة group representations فهى جميع الحلول الممكنة لجبرية الزمرة group algebra.

اذن من الواضح جدا ان الكايرالية على عكس الهيليسينية هى خاصية صامدة invariant تحت تأثير زمرة لورنتز.

بالفعل فان الهيليسينية يمكن عكسها بالذهاب الى معالم عطالية اسرع من الجسيم قيد الدراسة حيث ان الراصد فى هذه المعالم سوف يرى الجسيم يبتعد عنه و بالتالى فان هيليسينية الجسيم سوف تنعكس.

كما ترون فان الكايرالية هى مقدار تناظرى اما الهيلسينية فهى مقدار حركى و عليه فان الكايرالية هى اكثر اساسية.

من الجهة الاخرى فان الكايرالية هى ليست ثابت للحركة مثل الهيليسنية. بالفعل فان جسيم يدوانى-يمينى يمكن ان يتطور فى الزمن الى جسيم يدوانى-يسارى.

الكايرالية و الهيليسينية ينطبقان على بعضهما البعض فقط من اجل الجسيمات معدومة الكتلة (وهذا هو مصدر الخلط الموجود فى فهم و تمييز هذين المقدارين).

من اجل هذه الجسيمات معدومة الكتلة التى تتحرك ضرورة بسرعة تساوى سرعة الضوء فان الهيليسنية تصبح صامد لورنتزى لانه لا يوجد راصد يمكن ان يتحرك بسرعة اكبر من سرعة الضوء.

لهذا فانه عندما تنعدم الكتلة فان سبينور ديراك يتفكك كما ذكرنا الى سبينورى وايل مستقلان تماما عن بعضهما البعض لا يمكن لاحدهما ان يتطور فى الزمن نحو الاخر مادامت الكتلة معدومة كلاسيكيا و بافتراض انها تبقى معدومة كموميا.

فى هذه الحالة نقول انه لدينا صمود كايرالى chiral invariance حيث ان الهيلسينية هى بالضبط الكايرالية وهما (مقدار ثابت للحركة محفوظ) و فى نفس الوقت هما (مقدار صامد تحت تأثير زمرة لورنتز).

التحويلات الكايرالية chiral transformations تولدها مصفوفة ديراك الخامسة γ5 (وتنطق غاما-فايف gamma-five) وهى ربما مصفوفة ديراك الاشهر.

فى الحقيقة فان الكايرالية هى بالضبط القيمة-الذاتية eigenvalue لمصفوفة ديراك الخامسة γ5 التى تسمى مؤثر الكايرالية chirality operator.

اذن السبينور اليدوانى-اليمينى يتميز بكايرالية تساوى +1 (قيمة ذاتية لغاما-فايف تساوى +1) اما السبينور اليدوانى-اليسارى فيتميز بكايرالية تساوى -1 (قيمة ثانية لغاما-فايف تساوى -1).

استخدم المعادلة فى الصورة الثالثة لتبيان هذا الامر (تذكر ان مربع غاما-فايف يساوى واحد).

من هذه المعادلة فى الصورة الثالثة يمكننا ايضا تعريف سبينور وايل انطلاقا من سبينور ديراك بالتأثير على هذا الاخير بالمسقطات projectors اليدوانية-اليمينية PR و اليدوانية-اليسارية PL و المعادلة التى نحصل عليها تسمى شرط وايل Weyl condition.

الصمود الكايرالى chiral invariance هو مكسور بالشذة الكايرالية chiral anomaly فى نظرية الحقول الكمومية و هذا التناظر يلعب احد ادوار البطولة فى الفيزياء النظرية.

آخر انواع السبينورات هو سبينور ماجورانا وهو سبينور حقيقى يصف جسيم بدون شحنة.

اذن الانتقال من سبينور ديراك الى سبينور ماجورانا يتطلب اعدام الشحنة الكهربائية مثلما ان الانتقال من سبينور ديراك الى سبينور وايل يتطلب اعدام الكتلة.

سبينور ماجورنا يعطى باربعة مركبات حقيقية كما فى الصورة الاخيرة حيث نقوم اولا بتعريف السبينور مصروف الشحنة charge conjugated spinor اى السبينور الذى نحصل عليه بتطبيق مؤثر تصريف الشحنة charge conjugation الذى نرمز له ب C.

السبينور مصروف الشحنة يعبر عن جسيم يتميز بجميع خواص السبينور الاول باستثناء ان شحنته تأتى معكوسة. اذن هو يعبر عن الجسيم المضاد للجسيم الاول.

نقوم الآن بمساواة السبينور (الجسيم) بالسبينور مصروف الشحنة (الجسيم المضاد) و النتيجة هو سبينور محايد كهربائيا اى لا يحمل اى شحنة كهربائية.هذه المساواة هى الشرط الشهير باسم شرط ماجورانا Majorana condition.

هذا هو سبينور ماجورانا (الذى يتميز باربعة مركبات حقيقية) وهو حل لمعادلة اخرى للسبينورات تسمى معادلة ماجورانا Majorana equation وهو يمكن ان يعطى ايضا بدلالة سبينور وايل (الذى يتميز بمركبتين مركبتين) الذى هو حل لمعادلة اخرى للسبينورات هى معادلة وايل Weyl equation.

كل هذه الامور التى ذكرناها تصلح فى اربعة ابعاد و لو قمنا بتغيير الابعاد فان كثير من هذه الاشياء التى ذكرناها سوف تتغير فالسبينور -على عكس بقية الحقول- حساس جدا للبعد الذى يعيش فيه.