LATEX

Dilaton gravity in two dimensions as a non-linear sigma model

The most general dilaton  gravity action  in two dimensions is given by (after an appropriate Weyl rescaling of the metric)
\begin{eqnarray}
S=\int d^2x\sqrt{-{\rm det} g}(\Phi R+V(\Phi)).\label{dg}
\end{eqnarray}
For example, the Jackiw-Teitelboim model coressponds to the potential $V(\Phi)=2\Lambda^2\Phi$.

There are two  physical degrees of freedom in this theory: one given by the dilaton field $\Phi$ and one contained in the metric $g_{\mu\nu}$. Indeed, in two dimensions the metric is of the generic form
\begin{eqnarray}
g_{\mu\nu}=\rho\left( \begin{array}{cc}
\alpha^2-\beta^2 &\beta \\
\beta & -1 \end{array}\right).
\end{eqnarray}
The "lapse function" $\alpha=\alpha(t,x)$ and the "shift vector" $\beta=\beta(t,x)$ are non-dynamical variables here whereas the scale factor $\rho=\rho(t,x)$ is the only metric dynamical variable in two dimensions.

The metric in two dimensions can also be rewritten in the form (with $u=(t+x)/2$ and $v=(t-x)/2$ being the conformal light-cone coordinates)
\begin{eqnarray}
ds^2=4\rho(u,v)dudv.\label{myu}
\end{eqnarray}
In other words, the metric (any metric in two dimensions) is locally conformally flat.

The above model (\ref{dg}) is completely integrable which means that it can be completely solved in terms of free fields \cite{Cavaglia:1998xj}.

We start from the equations of motion
\begin{eqnarray}
(\nabla_{(\mu}\nabla_{\nu)}-g_{\mu\nu}\nabla_{\sigma}\nabla^{\sigma})\Phi+\frac{1}{2}g_{\mu\nu}V=0. \label{em1}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
R+\frac{dV}{d\Phi}=0.\label{em2}
\end{eqnarray}
If
\begin{eqnarray}
H(g,\Phi)= \nabla_{\sigma}\Phi\nabla^{\sigma}\Phi\ne 0
\end{eqnarray}
then the equation of motion (\ref{em2}) is automatically satisfied if the equation of motion (\ref{em1}) is satisfied \cite{Cavaglia:1998xj}.

The so-called  Bäcklund transformation \cite{filippov} allows us to transform the interacting fields $\Phi$ and $g_{\mu\nu}$ into the free fields $M$ and $\psi$ as follows
\begin{eqnarray}
\nabla_{\mu}\psi=\frac{\nabla_{\mu}\Phi}{H(g,\Phi)}.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
Indeed, $\psi$ and $M$ are free fields since $\nabla_{\mu}\nabla^{\mu}\psi=0$ and $\nabla_{\mu}M=0$. These equations of motion are equivalent to the original equations of motion (\ref{em1}) and (\ref{em2}). In particular, the second equation $\nabla_{\mu}M=0$ means that the field $M$ is actually a locally conserved quantity (the ADM mass). In the conformal light-cone coordinates the solution of these free equations of motion is trivially given by
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
We can explicitly determine the dependence of the original fields $\Phi$ and $\rho$ on the free fields $\psi$ and $M$ to be given by \cite{Cavaglia:1998xj}
\begin{eqnarray}
\frac{d\psi}{d\Phi}=\frac{1}{N(\Phi)-M}~,~\rho=(N(\Phi)-M)\partial_u\psi\partial_v\psi.
\end{eqnarray}
The metric (\ref{myu}) becomes then
\begin{eqnarray}
ds^2=4(N(\Phi)-M)dUdV.
\end{eqnarray}
In other words, $U$ and $V$ appear as conformal light-cone coordinates. Thus, we introduce together with $\psi=U+V$ a timelike coordinate $T$ by $T=U-V$. The metric becomes
\begin{eqnarray}
ds^2=-(N(\Phi)-M)dT^2+\frac{d\Phi^2}{(N(\Phi)-M)}.\label{mele}
\end{eqnarray}
The dilaton field $\Phi$ appears therefore as a radial coordinate and it is the only dynamical variable appearing in the above general solution. In some sense this result generalizes Birkhoff theorem (in Einstein gravity in four dimensions with spherical symmetry the only local constant of the motion is the Schwarzschild mass).

As an example, we consider the dimensional reduction of Einstein gravity in four dimensions on a sphere of radius $R^2=4\Phi$ (spherical reduction is consistent in the case of maximal rotational invariance) . The resulting action takes the form (\ref{dg}) with a potential $V(\Phi)=1/2\sqrt{\Phi}$ and as a consequence the metric element (\ref{mele}) reduces to the radial part of the Schwarzschild solution.

By taking the derivative of equation (\ref{ADM}) we obtain
\begin{eqnarray}
\nabla_{\mu}M=V.\nabla_{\mu}\Phi-\nabla_{\mu}H.
\end{eqnarray}
By employing this result we can express the potential $V$ in terms of $M$ and $\nabla_{\mu}\Phi$ as follows
\begin{eqnarray}
V=\frac{1}{H}\nabla^{\mu}\Phi\nabla_{\mu}M+\frac{1}{H}\nabla^{\mu}\Phi\nabla_{\mu}H.\label{piece1}
\end{eqnarray}
From the other hand, the Ricci scalar in two dimensions is locally given by a total divergence, viz
\begin{eqnarray}
R=2\nabla_{\mu}A^{\mu}~,~A^{\mu}=\frac{\nabla^{\mu}\nabla^{\nu}\chi.\nabla_{\nu}\chi-\nabla_{\nu}\nabla^{\nu}\chi.\nabla^{\mu}\chi}{\nabla^{\rho}\chi.\nabla_{\rho}\chi}.
\end{eqnarray}
In this equation $\chi$ is an arbitrary scalar field which we choose to be $\chi=\Phi$. We then compute
\begin{eqnarray}
\Phi.R&=&2\Phi.\nabla_{\mu}A^{\mu}\nonumber\\ &=&2\nabla_{\mu}(\Phi.A^{\mu})-2\nabla_{\mu}\Phi.A^{\mu}\nonumber\\
&=& 2\nabla_{\mu}(\Phi.A^{\mu})-\frac{2}{H}\nabla_{\mu}\Phi.(\frac{1}{2}\nabla^{\mu}H-\nabla_{\nu}\nabla^{\nu}\Phi.\nabla^{\mu}\Phi)\nonumber\\
&=&2\nabla_{\mu}(\Phi A^{\mu}+\nabla^{\mu}\Phi)-\frac{1}{H}\nabla_{\mu}\Phi.\nabla^{\mu}H.\label{piece2}
\end{eqnarray}
By putting (\ref{piece1}) and (\ref{piece2}) together  and using the fact that $H=N(\Phi)-M$ we can show that the original dilaton gravity action (\ref{dg}) takes the form (up to a surface term)
\begin{eqnarray}
S=\int d^2x\sqrt{-{\rm det} g}\frac{\nabla_{\mu}M\nabla^{\mu}\Phi}{N(\Phi)-M}.
\end{eqnarray}
This is a non-linear sigma model.

References

%\cite{Cavaglia:1998xj}
\bibitem{Cavaglia:1998xj}
M.~Cavaglia,
Geometrodynamical formulation of two-dimensional dilaton gravity,''
Phys.\ Rev.\ D {\bf 59}, 084011 (1999)
doi:10.1103/PhysRevD.59.084011
[hep-th/9811059].
%%CITATION = doi:10.1103/PhysRevD.59.084011;%%
%24 citations counted in INSPIRE as of 12 Dec 2019

%\cite{filippov}
\bibitem{filippov}
A.~T. ~Filippov,
in: Problems in Theoretical Physics, Dubna, JINR, June 1996, p. 113;
Mod. Phys. Lett. A 11, 1691 (1996); Int. J. Mod. Phys. A 12, 13 (1997).

Lattice Quantum Field Theory (of Matrix Models)- Update I

Abstract
We attempt to systematically develop the matrix-model/quantum-theory correspondence by working out explicitly various non-trivial examples.
Semester
Fall 2019-2020
Level
Master II, Theoretical Physics, Badji-Mokhtar Annaba University.
Simulations
Simulation I- The Lattice $\Phi_2^4$.

Simulation II- Quartic Matrix Model:
Monte Carlo results: tests_multitrace.pdf
main code: matrix_four.f
eigenvalues sorting: eigen-sorting.f
eigenvalues histogram: eigen-histogram.f
Note: Results are obtained by one of our students.

Simulation III- Large number of dimensions of the BFSS Matrix Model: In progress

Background

Lattice QFT (of Matrix Models)
Phases of gauge theory in lower dimensions and the black-hole/black-string transition

AdS2 black holes and dilaton gravity

It is well known that in two dimensions all negatively curved spacetimes are locally  ${\bf AdS}^2$ and thus stable black hole solutions in two dimensions do not exist in a naive way.  This is similarly to the fact that in three dimensions all negavtively curved spacetimes are locally an ${\bf AdS}^3$ and thus stable black hole solutions in three dimensions do not  also exist in a naive way. Yet, in three dimensions the celebrated  BTZ black hole \cite{Banados:1992wn} is a stable black hole solution which differs from ${\bf AdS}^3$ by global identification and in two dimensions the SS black hole \cite{Spradlin:1999bn} is also a stable black solution which differs from ${\bf AdS}^2$ by global identification (we choose the Killing time $t$ at infinity such that the region $-\infty\lt t\lt +\infty$ does not cover all of the boundary of ${\bf AdS}^2$). These black holes are therefore locally identical with the corresponding anti-de Sitter spacetimes and differ from them only topologically.

As we will see in the following dilaton gravity in two dimensions provides another way of obtaining stable ${\bf AdS}^2$ black holes which are locally identicall to ${\bf AdS}^2$ spacetime but differ from it only globally precisely through the value of the dilaton field.

${\bf AdS}^2\times {\bf S}^2$ as a near-horizon geometry of extremal black holes

The single most important fact (in our opinion) about ${\bf AdS}^2$ geometry  is its appearance as a near-horizon geometry  of extremal black holes in both general relativity and string theory.  The typical example is Einstein gravity coupled to Maxwell electromagnetism and its celebrated four-dimensional Reissner-Nordstrom black hole given by the metric \cite{RN}
\begin{eqnarray}
ds^2=-f(r)dt^2+\frac{dr^2}{f(r)}+r^2d\Omega_2^2~,~f(r)=1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}.
\end{eqnarray}
This black hole is characterized by a mass $M$ and a charge $Q$ where $M\geq Q$ (otherwise if $M\lt Q$ a naked singularity appears which is forbidden by cosmic censorship \cite{Penrose:1969pc}).  In the Reissner-Nordstrom black hole solution the electric field (which we are not writing explicitly) plays a fundamental role by supporting the whole geometry.

The near-horizon geometry of this solution is approximately  a Rindler spacetime (recall the Schwarzschild solution) which does not solve Einstein equations. However, for extremal black holes (those with mass $M=Q$ or equivalently zero temperature $T=0$) the nera-horizon geometry is anti-de Sitter spacetime ${\bf AdS}^2$ (times a sphere ${\bf S}^2$ because of rotational invariance) which is actually an exact solution of Einstein equations. Thus, a quantum black hole with mass $M\gt Q$ will evaporate until it reaches the extremal mass $M=Q$ where the temperature vanishes and the evaporation stops , i.e. the extremal quantum black hole acts as a stable ground state in the case of a charged black hole \cite{Hawking:1974sw}.

In the extremal limit $M=Q$ (or $T=0$) the inner and outer horizons  $r_-$ and $r_+$ respectively coincide $r_+=r_-=Q$ and the horizon becomes a double zero since $f(r)=(1-Q/r)^2$. We define
\begin{eqnarray}
r=Q(1+\frac{\lambda}{z})~,~t=\frac{QT}{\lambda}.
\end{eqnarray}
The near-horizon geometry of the extremal solution is obtained by letting $\lambda\longrightarrow 0$. By substituting these definitions in the metric and taking the limit $\lambda\longrightarrow 0$ we obtain
\begin{eqnarray}
ds^2=\frac{Q^2}{z^2}(-dT^2+dz^2)+Q^2d\Omega_2^2.
\end{eqnarray}
This is the metric of ${\bf AdS}^2\times{\bf S}^2$ where the charge $Q$ appears as the radius of both factors ${\bf AdS}^2$ and ${\bf S}^2$ \cite{carter}.

${\bf AdS}^2$ black holes in dilaton gravity

\begin{eqnarray}
S=\int d^4x \sqrt{-{\rm det}g^{(4)}} e^{-2\phi}(R^{(4)}-F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}).
\end{eqnarray}
The closely related low-energy effective actions  of string theory with similar black holes physics are found in \cite{Garfinkle:1990qj,Giddings:1992kn}).

A spherically symmetric non-singular black hole solution of the equations of motion stemming from this action is given by the monopole hedgehog configuration, the black hole spacetime metric and the dilaton field \cite{Cadoni:1994uf}
\begin{eqnarray}
F_{ij}=\frac{Q_M}{r^2}\epsilon_{ijk}n_k.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
ds^2=-(1-\frac{r_+}{r})dt^2+\frac{dr^2}{(1-\frac{r_+}{r})(1-\frac{r_-}{r})}+r^2d\Omega_2^2.\label{4dBH}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
e^{2(\phi-\phi_0)}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_-}{r}}}.
\end{eqnarray}
The inner radius $r_-$ and the outer radius $r_+$ (with $r_+\geq r_-$) are given in terms of the mass $M$ and the charge $Q_M$ of the black hole by the relations \cite{Cadoni:1994uf}
\begin{eqnarray}
2M=r_+~,~ Q_M^2=\frac{3}{4}r_+r_-.
\end{eqnarray}
The temperature and the entropy of the black hole are given on the other hand by the relations \cite{Cadoni:1994uf}
\begin{eqnarray}
T=\frac{1}{4\pi r_+}\sqrt{1-\frac{r_-}{r_+}}~,~S=\pi r_+^2
\end{eqnarray}
The extremal limit $T\longrightarrow 0$ of this black hole configuration is then given by $r_+=r_-=Q=2Q_M/\sqrt{3}$ or equivalently $M=Q_M/\sqrt{3}$.

The spatial sections of this black hole solution coincide  with those of the Reissner-Nordstrom black hole. However, this solution corresponds to a non-singular black hole where the spacetime manifold is cut at $r=r_-$ while it is asymptotically flat. Indeed, the maximal extension of this metric yields a Penrose diagram identical to that of the Schwarzschild solution except that the singularity $r=0$ is replaced by the boundary of the manifold at $r=r_-$ \cite{Cadoni:1994uf}.

For the extremal solution $r_+=r_-=Q$ we introduce the coordinates
\begin{eqnarray}
r=Q(1+\frac{4\lambda^2}{z^2})~,~t=\frac{QT}{\lambda}.
\end{eqnarray}
The metric and the dilaton in the near-horizon limit $\lambda\longrightarrow 0$ take then the form
\begin{eqnarray}
ds^2=\frac{4Q^2}{z^2}(-dT^2+dz^2)+Q^2d\Omega_2^2.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
e^{2(\phi-\phi_0)}=\frac{z}{2\lambda}.
\end{eqnarray}
This shows explicitly that the near-horizon geometry of the extremal black hole is indeed ${\bf AdS}^2\times{\bf S}^2$.

We can perform a spherical reduction of this solution by decomposing the metric as follows
\begin{eqnarray}
ds^2&=&g_{\mu\nu}^{(4)}dx^{\mu}dx^{\nu}\nonumber\\
\end{eqnarray}
The scalar field $\Phi$ is a dilaton field due to the spherical reduction. We compute then (see \cite{Grumiller:2001ea} and references therein)
\begin{eqnarray}
&&\sqrt{-{\rm det}g^{(4)}}=\Phi^2 \sqrt{-{\rm det}g^{(2)}}\sqrt{{\rm det}\gamma }\nonumber\\
&&R^{(4)}=R^{(2)}-\frac{2}{\Phi^2}(-1+\partial_a\Phi\partial^a\Phi)-\frac{4}{\Phi}\Delta\Phi.
\end{eqnarray}
And hence

\begin{eqnarray}
\int d^4x \sqrt{-{\rm det}g^{(4)}} R^{(4)}&=&4\pi \int d^2x \sqrt{-{\rm det}g^{(2)}} (\Phi^2 R^{(2)}+2\partial_a \Phi\partial^a\Phi+2).
\end{eqnarray}
Hence the action reduces to

\begin{eqnarray}

S&=&4\pi \int d^2x \sqrt{-{\rm det}g^{(2)}} e^{-2\phi}(\Phi^2 R^{(2)}+2\partial_a \Phi\partial^a\Phi+2-\Phi^2 F^2).
\end{eqnarray}
For Schwarzschild-like coordinates the dilaton field $\Phi$ is given by $\Phi=r$. However, in the current case the spherical reduction is performed on a sphere of constant radius $r= Q=2Q_M/\sqrt{3}$, i.e. $\Phi=Q$. We get then the action (with $\Lambda=1/2Q$)
\begin{eqnarray}
S&=&4\pi Q^2 \int d^2x \sqrt{-{\rm det}g^{(2)}} e^{-2\phi}(R^{(2)}+2\Lambda^2).
\end{eqnarray}
This is called the Jackiw-Teitelboim action \cite{JT} which is one of the most important dilatonic gravity models in two dimensions. The most general solution (see \cite{Cadoni:1993rn} and references therein) of the equations of motion stemming from the Jackiw-Teitelboim action  is given by  the metric field (in the so-called Schwarzschild coordinates)
\begin{eqnarray}
ds^2=-(\Lambda^2r^2-a^2)dt^2+\frac{dr^2}{\Lambda^2r^2-a^2}.
\end{eqnarray}
And the dilaton field (with $\Phi=\exp(-2\phi)$)
\begin{eqnarray}
e^{2(\phi-\phi_0)}=\frac{1}{\Lambda r}\iff \Phi=e^{-2\phi}=\Phi_0\Lambda r.
\end{eqnarray}
The parameter $a^2$ in the metric is an integration constant related to the mass $M$ of the solution by the relation
\begin{eqnarray}
M=\frac{\Lambda}{2}a^2\Phi_0.
\end{eqnarray}
The above metric corresponds, for all values of $a^2$, to a two-dimensional spacetime with a constant negative curvature $R=-2\Lambda^2$, i.e. an anti-de Sitter spacetime ${\bf AdS}^2$. Furthermore, it was shown in \cite{Cadoni:1994uf} that this metric in Schwarzschild coordinates describes the two-dimensional sections of the extremal four-dimensional black hole (\ref{4dBH}).

The solution for $a^2=0$ is exactly ${\bf AdS}^2$ spacetime and it plays the role of the ground state of the theory (analogous to Minkowski spacetime). For example, this solution has mass $M=0$ and the mass of the other solutions is computed with respect to this one.

The solution $a^2>0$ is our ${\bf AdS}^2$ black hole with a horizon at $r_H=a/\Lambda$ which  can not be distinguished locally from the actual ${\bf AdS}^2$ spacetime with $a^2=0$ (as we will see this is the analogue of Rindler spacetime). Indeed, by means of an appropriate coordinates transformation we can bring the solution $a^2>0$ into the form of the solution $a^2=0$. The difference between the two cases is strictly topological in character originating from the global properties of the solution encoded in the behavior of the dilaton field. To see this crucial point more explicitly we consider the coordinates transformation
\begin{eqnarray}
r^{\prime}=a\Lambda t r~,~2a\Lambda t^{\prime}=\ln\big(\Lambda^2t^2-\frac{1}{\Lambda^2 r^2}\big).
\end{eqnarray}
We can then check immediately that
\begin{eqnarray}
-(\Lambda^2r^{\prime 2}-a^2)dt^{\prime 2}+\frac{dr^{\prime 2}}{\Lambda^2r^{\prime 2}-a^2}=-\Lambda^2r^2 dt^2+\frac{dr^2}{\Lambda^2r^2}.
\end{eqnarray}
However, the dilaton field changes in a non-trivial way under the above coordinates transformation, viz
\begin{eqnarray}
\Phi_0\sqrt{\frac{\Lambda^2 r^{\prime 2}}{a^2}-1}e^{-a\Lambda t^{\prime}}=\Phi_0\Lambda r.
\end{eqnarray}
Thus, although the solution with $a^2=0$ (${\bf AdS}^2$ spacetime) is locally equivalent to the solution with $a^2 \gt 0$ (${\bf AdS}^2$ black hole) these two solutions are globally different due to the behavior of the dilaton field which effectively sets the boundary conditions on the spacetime.

Furthermore, the solution with $a^2\gt 0$ can be seen to represent really an ${\bf AdS}^2$ black hole from the fact that it must be cutoff at $r=0$ otherwise the dilaton field $\Phi=\exp(-2\phi)$ will become negative when we maximally extend the corresponding metric beyond $r=0$ which in turn will translate in four dimensions (recall that the two-dimensional theory is obtained by spherical reduction from four dimensions) into a negative value for the area of the transverse sphere which is physically unacceptable. Therefore $r=0$ is a boundary for the   ${\bf AdS}^2$ black hole with $a^2>0$ corresponding to the boundary $r=r_-$ of the extremal four-dimensional regular black hole (\ref{4dBH}).

The temperature and the entropy of this ${\bf AdS}^2$ black hole can be computed in the usual way and one finds \cite{Cadoni:1994uf}
\begin{eqnarray}
T=\frac{a\Lambda}{2\pi}~,~S=4\pi \sqrt{\frac{\Phi_0M}{2\Lambda}}.
\end{eqnarray}
The solution with the value $a^2\lt 0$ corresponds to a negative mass and although this makes sense in two dimensions (it corresponds to no naked singularities) it will translate in four dimensions into a naked singularity which is unacceptable by cosmic censorship. Hence the solution with $a^2\lt 0$ is unphysical (from the four-dimensional point of view) and should be discarded.

In summary, our ${\bf AdS}^2$ black hole (the solution with $a^2\gt 0$) is characterized by a horizon at $r_H=a/\Lambda$ and a boundary at $r=0$. For the semi-classical process of Hawking radiation the boundary at $r=0$ is not required and therefore one can work in a system of coordinates where the boundary is not accessible. We introduce then the light-cone coordinates
\begin{eqnarray}
\sigma^{\pm}=t\pm r_*
\end{eqnarray}
where $r_*$ is the tortoise coordinate defined as usual by the requirement
\begin{eqnarray}
(\Lambda^2 r^2-a^2)dr_*^2=\frac{dr^2}{\Lambda^2 r^2-a^2}\iff r_*=-\frac{1}{a\Lambda}{\rm arctanh}(\frac{a}{\Lambda r}).
\end{eqnarray}
Equivalently, we can work in the light-like coordinates $x^{\pm}$ defined by
\begin{eqnarray}
x^{\pm}=\frac{2}{a\Lambda}\tanh \frac{a\Lambda}{2}\sigma^{\pm}.\label{coc}
\end{eqnarray}
The metric and the dilaton fields in the light-like coordinates take the form (conformal gauge)
\begin{eqnarray}
ds^2&=&-\frac{a^2}{\sinh^2\frac{a\Lambda}{2}(\sigma^--\sigma^+)}d\sigma^-d\sigma^+\nonumber\\
&=&-\frac{4}{\Lambda^2}\frac{1}{(x^--x^+)^2}dx^-dx^+.\label{meme}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
e^{2(\phi-\phi_0)}&=&\frac{1}{a}\tanh\frac{a\Lambda}{2}(\sigma^--\sigma^+)\nonumber\\
&=&\frac{\Lambda}{2}\frac{x^--x^+}{1-\frac{a^2\Lambda^2}{4}x^-x^+}.
\end{eqnarray}
The ${\bf AdS}^2$ spacetime (in the conformal gauge) corresponds to setting $a^2=0$ (or equivalently $x^{\pm}=\sigma^{\pm}$) in these expressions. In other words, the coordinates $x^{\pm}$ can be thought of as describing ${\bf AdS}^2$ spacetime even for $a^2\ne 0$ since they can be easily extended to the whole of spacetime. We also observe that the boundary of ${\bf AdS}^2$ spacetime is located at $x^-=x^+$ and that we must have $x^-\geq x^+$ (corresponding to $r\geq 0$ in the Schwarzschild coordinates) in order for the dilaton field $\exp(2(\phi-\phi_0))$ to remain positive. Furthermore, it is clear that the coordinates $\sigma^{\pm}$ for $a^2\gt 0$ cover only the region $-2/a\Lambda\lt x^{\pm}\lt +2/a\Lambda$ of the  ${\bf AdS}^2$ spacetime (corresponding to the solution $a^2=0$ in the conformal gauge). This region corresponds to the region $r\gt r_H$ in the Schwarzschild coordinates whereas the boundary at $r=0$ in the Schwarzschild coordinates corresponds now to the line $1-\frac{a^2\Lambda^2}{4}x^-x^+=0$.

Another  interesting system of coordinates consists of  the Poincare coordinates $\hat{t}$ and $z$ defined for our ${\bf AdS}^2$ black hole by the change of coordinates
\begin{eqnarray}
&&\hat{t}=\frac{1}{a\Lambda}e^{a\Lambda t}\cosh a\Lambda r_*\longrightarrow t+\frac{1}{a\Lambda}~,~a\longrightarrow 0\nonumber\\
&&z=-\frac{1}{a\Lambda}e^{a\Lambda t}\sinh a\Lambda r_*\longrightarrow -r_*~,~a\longrightarrow 0
\end{eqnarray}
The metric in the Poincare patch is given by the usual form
\begin{eqnarray}
ds^2=\frac{1}{\Lambda^2 z^2}(-d\hat{t}^2+dz^2).
\end{eqnarray}
For $a=0$ (the ${\bf AdS}^2$ spacetime) the boundary is located at $z=0$  or equivalently $x^--x^+=0$ and the Poincare patch covers $z\gt 0$ or equivalently $x^--x^+\gt 0$. This result shows also that our ${\bf AdS}^2$ black hole is indeed locally equivalent to a pure ${\bf AdS}^2$ spacetime. In fact the difference between them is fully encoded in the value of the dilaton field which reflects the boundary conditions imposed on the spacetime and its consequent  topological features.

Hawking process

The relationship between the ${\bf AdS}^2$ spacetime corresponding to the solution $a^2=0$ (denoted from now on by ${\bf ADS}_0$) and the ${\bf AdS}^2$ black hole corresponding to the solution $a^2\gt 0$ (denoted from now on by ${\bf ADS}_+$) is identical to the relationship between the the two-dimensional Minkowski spacetime with metric
\begin{eqnarray}
ds^2=-dt^2+dx^2
\end{eqnarray}
and the  Rindler wedge with metric (with $-\infty<\tau,\sigma<+\infty$)
\begin{eqnarray}
ds^2=\exp(2\alpha \sigma)(-d\tau^2+d\sigma^2)
\end{eqnarray}
confined to the quadrant $x\gt |t|$. The change of coordinates $(t,x)\longrightarrow (\tau,\sigma)$ is given by

\begin{eqnarray}
t=\frac{1}{\alpha}\exp(\alpha\sigma)\sinh \alpha\tau~,~x=\frac{1}{\alpha}\exp(\alpha\sigma)\cosh \alpha\tau~, ~x>|t|.\label{cha}
\end{eqnarray}
Indeed, the parameter $a^2$ (which is proportional to the mass of the black hole) in our case  is the analogue of the acceleration $\alpha$ with which the Rindler observer is uniformly accelerating in Minkowski spacetime creating thus a horizon at $x=|t|$ separating the Rindler wedge from the rest of Minkowski spacetime.

Similarly here, a non-zero value of the parameter $a^2$ is associated with the existence of a horizon at $r=r_H=a/\Lambda$ separating the exterior of the black hole ${\bf ADS}_+$ (described by the light-like coordinates $\sigma^{\pm}$ which indeed covers only the region $r\gt r_H$) from its interior $0\lt r\lt r_H$.

The asymptotic behavior of this ${\bf AdS}^2$ black hole ${\bf ADS}_+$ is given by the ${\bf AdS}^2$ spacetime ${\bf ADS}_0$ which can be fully covered by the light-like coordinates $x^{\pm}$. The change of coordinates (\ref{coc}) which relates the two sets of coordinates $x^{\pm}$ and $\sigma^{\pm}$  (although in our case it does not correspond to any motion of physical observers and therefore is connecting two different manifolds) play exactly the role of the boost which connects the Minkwoski coordinates $(t,x)$ to the Rindler coordinates $(\eta,\sigma)$.

Therefore, quantization of fields and semi-classical considerations of Hawking radiation in the ${\bf ADS}_+$ background with ${\bf ADS}_0$ taken as a ground state should then proceed along the same steps as the analogous calculation performed in the Rindler wedge with the Minkowski spacetime taken as a ground state. As we will explain, there will be two vacuum states $|0_+\rangle$ and $|0_0\rangle$  corresponding to the two different spacetimes (observers) ${\bf ADS}_+$ and  ${\bf ADS}_0$ and as a consequence a thermal radiation will be observed in each vacuum state by the other observer associated with the other spacetime which is precisely Hawking radiation.

However, we should also recall that anti-de Sitter spacetime is not a globally hyperbolic space and thus one should be careful with the boundary conditions at infinity (transparent boundary conditions) as discussed for example in \cite{Cadoni:1993rn}.

We will use in the following a slightly different parameterization of ${\bf ADS}_+$ and ${\bf ADS}_0$ made possible by the $SL(2,R)$ symmetry of the metric (\ref{meme}) given by the transformations
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
From the first line of (\ref{meme}) the metric on the ${\bf AdS}^2$ black hole ${\bf ADS}_+$ is given by (with the change of notation $t\longrightarrow \tau$ and $r_*\longrightarrow \sigma$)
\begin{eqnarray}
ds^2=\frac{a^2}{\sinh^2 a\Lambda\sigma}(-d\tau^2+d\sigma^2).
\end{eqnarray}
The black hole coordinates $\tau$ and $\sigma$ are defined in the range $-\infty\lt \tau\lt +\infty$ and $0\lt\sigma\lt \infty$ with corresponding light-cone coordinates defined by $\sigma^{\pm}=\tau\mp\sigma$.

The metric on the ${\bf AdS}^2$ spacetime ${\bf ADS}_0$ is assumed to be of the Poincare form, viz
\begin{eqnarray}
ds^2=\frac{1}{\Lambda^2 x^2}(-dt^2+dx^2).
\end{eqnarray}
The AdS coordinates $t$ and $x$ are defined in the range $-\infty\lt t\lt +\infty$ and $0\lt x\lt \infty$ with corresponding light-cone coordinates defined by $x^{\pm}=t\mp x$.

The change of coordinates $(t,x)\longrightarrow (\tau,\sigma)$ is given explicitly by
\begin{eqnarray}
t=\frac{1}{a\Lambda}e^{a\Lambda \tau}\cosh a\Lambda\sigma~,~x=\frac{1}{a\Lambda}e^{a\Lambda \tau}\sinh a\Lambda\sigma.
\end{eqnarray}
By comparing with (\ref{cha}) we can see that $a\Lambda$ in our anti-de Sitter black hole plays the role of the acceleration $\alpha$ in Rindler spacetime (the mathematics is identical although the underlying physics is quite different).

We also compute
\begin{eqnarray}
x^{\pm}=\frac{1}{a\Lambda}e^{a\Lambda\sigma^{\pm}}.
\end{eqnarray}
These coordinates define region or quadrant I of ${\bf ADS}_0$ (the exterior of our black hole) in which the timelike Killing vector field (which generates boosts in the $x-$direction) is $\partial_{\tau}$. This Killing vector field is future-directed.  Thus, the Killing horizons lie at $x=\pm t$.

The region or quadrant IV of ${\bf ADS}_0$ in which the timelike Killing vector field (given here by $\partial_{-\tau}=-\partial_{\tau}$) is past-directed is given by the coordinates
\begin{eqnarray}
x^{\pm}=-\frac{1}{a\Lambda}e^{a\Lambda\sigma^{\pm}}.
\end{eqnarray}
The change of coordinates $(t,x)\longrightarrow (\tau,\sigma)$ in this region is given by
\begin{eqnarray}
t=-\frac{1}{a\Lambda}e^{a\Lambda \tau}\cosh a\Lambda\sigma~,~x=-\frac{1}{a\Lambda}e^{a\Lambda \tau}\sinh a\Lambda\sigma.
\end{eqnarray}
Hence ${\bf ADS}^+$ covers the region of ${\bf ADS}_0$ given by the union of the two quadrants I and IV which is specified by the condition $x^+x^-\geq 0$ with the black horizon defined by the condition $x^+x^-=0$.

The equation of motion is the Klein-Gordon equation in the ${\bf AdS}^2$ black hole background ${\bf ADS}_+$ which is locally equivalent to the ${\bf ADS}^2$ spacetime ${\bf ADS}_0$, i.e. the equation of motion is effectively the Klein-Gordon equation in anti-de Sitter spacetime ${\bf AdS}^2$. Furthermore, the inner product  between two solutions $\phi_1$ and $\phi_2$ of the equation of motion is defined in the usual way by ($\Sigma$ is the spacelike surface $\tau=0$ and $n^{\mu}$ is the timelike unit vector normal to it)
\begin{eqnarray}
(\phi_1,\phi_2)&=&-i\int_{\Sigma} \big(\phi_1\partial_{\mu}\phi_2^*-\partial_{\mu}\phi_1.\phi_2^*\big) d\Sigma n^{\mu}\nonumber\\
&=&-i\int \big(\phi_1\partial_{\tau}\phi_2^*-\partial_{\tau}\phi_1.\phi_2^*\big) d\sigma.
\end{eqnarray}

A positive-frequency normalized plane wave solution of this equation of motion in region I ($x\gt 0$) is given by (with $\omega=|k|$)
\begin{eqnarray}
&&g_k^{(1)}=\frac{1}{\sqrt{4\pi \omega}}\exp(-i\omega \tau+ik\sigma)~,~{\rm I}\nonumber\\
&&g_k^{(1)}=0~,~{\rm IV}.\label{pos}
\end{eqnarray}
This is positive-frequency since $\partial_{\tau}g_k^{(1)}=-i\omega g_k^{(1)}$.

A positive-frequency normalized plane wave solution in region IV is instead given by
\begin{eqnarray}
&&g_k^{(2)}=0~,~{\rm I}\nonumber\\
&&g_k^{(2)}=\frac{1}{\sqrt{4\pi \omega}}\exp(i\omega \tau+ik\sigma)~,~{\rm IV}.
\end{eqnarray}
Since $\partial_{-\tau}g_k^{(2)}=-i\omega g_k^{(2)}$.

A general solution of the Klein-Gordon equation takes then the form
\begin{eqnarray}
\phi=\int_k \big(\hat{b}_k^{(1)}g_k^{(1)}+\hat{b}_k^{(2)}g_k^{(2)}+{\rm h.c}\big).
\end{eqnarray}
This should be contrasted with the expansion of the same solution in terms of the anti-de Sitter spacetime modes $f_k\propto \exp(-i(\omega t-kx))$ with $\omega=|k|$ which we will write as
\begin{eqnarray}
\phi=\int_k \big(\hat{a}_k^{}f_k^{}+{\rm h.c}\big).
\end{eqnarray}
The ${\bf ADS}_0$ vacuum $|0_0\rangle$ and the ${\bf ADS}_+$ vacuum $|0_+\rangle$ are defined obviously by
\begin{eqnarray}
\hat{a}_k|0_0\rangle=0.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\hat{b}_k^{(1)}|0_+\rangle=\hat{b}_k^{(2)}|0_+\rangle=0.
\end{eqnarray}
In order to compute the corresponding Bogolubov coefficients we extend the positive-frequency modes $g_k^{(1)}$ and $g_k^{(2)}$ to the entire spacetime ${\bf ADS}_0$ thus replacing the corresponding annihilation operators $\hat{b}_k^{(1)}$ and $\hat{b}_k^{(2)}$ by new annihilation operators $\hat{c}_k^{(1)}$ and $\hat{c}_k^{(2)}$ which annihilate the anti-de Sitter  spacetime vacuum $|0_0>$ \cite{Unruh:1976db}.

Clearly, for $k>0$ we have in region I the behavior
\begin{eqnarray}
\sqrt{4\pi\omega}g_k^{(1)}&=&\exp(-i\omega\sigma^+)\nonumber\\
&=&(a\Lambda)^{-i\frac{\omega}{a\Lambda}}(x^+)^{-i\frac{\omega}{a\Lambda}}.
\end{eqnarray}
In region IV ($x<0$) we should instead consider
\begin{eqnarray}
\sqrt{4\pi\omega}g_{-k}^{(2)*}&=&\exp(-i\omega \sigma^+)\nonumber\\
&=&(-a\Lambda)^{-i\frac{\omega}{a\Lambda}}(x^+)^{-i\frac{\omega}{a\Lambda}}\nonumber\\
&=&e^{\frac{\pi\omega}{a\Lambda}}(a\Lambda)^{-i\frac{\omega}{a\Lambda}}e^{\frac{\pi \omega}{a\Lambda}}(x^+)^{-i\frac{\omega}{a\Lambda}}.
\end{eqnarray}
Thus for all $x$, i.e. along the surface $t=0$, we should consider for $k>0$ the combination
\begin{eqnarray}
\sqrt{4\pi\omega}\big(g_k^{(1)}+e^{-\frac{\pi\omega}{a\Lambda}}g_{-k}^{(2)*}\big)
&=&(a\Lambda)^{-i\frac{\omega}{a\Lambda}}(x^+)^{-i\frac{\omega}{a\Lambda}}.
\end{eqnarray}
A normalized analytic extension to the entire spacetime of the positive-frequency modes $g_k^{(1)}$ is given by the modes
\begin{eqnarray}
h_k^{(1)}&=&\frac{1}{\sqrt{2\sinh \frac{\pi\omega}{a\Lambda}}}\big(e^{\frac{\pi\omega}{2a\Lambda}} g_k^{(1)}+e^{-\frac{\pi\omega}{2a\Lambda}}g_{-k}^{(2)*}\big).\label{h1}
\end{eqnarray}
Similarly, a normalized analytic extension to the entire spacetime of the positive-frequency modes $g_k^{(2)}$ is given by the modes
\begin{eqnarray}
h_k^{(2)}&=&\frac{1}{\sqrt{2\sinh \frac{\pi\omega}{a\Lambda}}}\big(e^{\frac{\pi\omega}{2a\Lambda}} g_k^{(2)}+e^{-\frac{\pi\omega}{2a\Lambda}}g_{-k}^{(1)*}\big).\label{h2}
\end{eqnarray}
The field operator can then be expanded in these modes as
\begin{eqnarray}
\phi=\int_k \big(\hat{c}_k^{(1)}h_k^{(1)}+\hat{c}_k^{(2)}h_k^{(2)}+{\rm h.c}\big).
\end{eqnarray}
Obviously, the modes $h_k^{(1)}$ and $h_k^{(2)}$ share with $f_k$ the same anti-de Sitter spacetime vacuum $|0_0\rangle$, viz
\begin{eqnarray}
\hat{c}_k^{(1)}|0_0\rangle=\hat{c}_k^{(2)}|0_0\rangle =0.
\end{eqnarray}
The ${\bf ADS}_+$ number operator in region I is defined by
\begin{eqnarray}
\hat{N}_R^{(1)}(k)=\hat{b}_k^{(1)+}\hat{b}_k^{(1)}.
\end{eqnarray}
We can now immediately compute the expectation value of this number operator in region I in the anti-de Sitter vacuum $|0_0\rangle$ to find
\begin{eqnarray}
\langle 0_0|\hat{N}_R^{(1)}(k)|0_0\rangle&=&\langle 0_0|\hat{b}_k^{(1)+}\hat{b}_k^{(1)}|0_0\rangle\nonumber\\
&=&\frac{e^{-\frac{\pi\omega}{a\Lambda}}}{2\sinh\frac{\pi\omega}{2}}\langle 0_0|\hat{c}_{-k}^{(2)}\hat{c}_{-k}^{(2)+}|0_0\rangle\nonumber\\
&=&\frac{1}{e^{\frac{2\pi\omega}{a\Lambda}}-1}\delta(0).
\end{eqnarray}
This is a blackbody Planck spectrum corresponding to the temperature
\begin{eqnarray}
T=\frac{a\Lambda}{2\pi}.
\end{eqnarray}

References

Nonsingular four-dimensional black holes and the Jackiw-Teitelboim theory,''
Phys.\ Rev.\ D {\bf 51}, 4319 (1995)
doi:10.1103/PhysRevD.51.4319
[hep-th/9410041].
%%CITATION = doi:10.1103/PhysRevD.51.4319;%%
%73 citations counted in INSPIRE as of 29 Nov 2019

%\cite{carter}
\bibitem{carter}
B.~Carter,
Black holes,''
edited by C.de Witt and B.S.de Witt, (Gordon and Breach, New York, 1973).

%\cite{Penrose:1969pc}
\bibitem{Penrose:1969pc}
R.~Penrose,
Gravitational collapse: The role of general relativity,''
Riv.\ Nuovo Cim.\ {\bf 1}, 252 (1969)
[Gen.\ Rel.\ Grav.\ {\bf 34}, 1141 (2002)].
doi:10.1023/A:1016578408204
%%CITATION = doi:10.1023/A:1016578408204;%%
%1021 citations counted in INSPIRE as of 29 Nov 2019

%\cite{RN}
\bibitem{RN}
H.~Reissner,
Uber die Eigengravitation des Elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie,''
Annalen Phys.,50,106-120 (1916).
G.~Nordstrom,
On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory,''

%\cite{Hawking:1974sw}
\bibitem{Hawking:1974sw}
S.~W.~Hawking,
Particle Creation by Black Holes,''
Commun.\ Math.\ Phys.\ {\bf 43}, 199 (1975)
Erratum: [Commun.\ Math.\ Phys.\ {\bf 46}, 206 (1976)].
doi:10.1007/BF02345020, 10.1007/BF01608497
%%CITATION = doi:10.1007/BF02345020, 10.1007/BF01608497;%%
%7939 citations counted in INSPIRE as of 29 Nov 2019

%\cite{Unruh:1976db}
\bibitem{Unruh:1976db}
W.~G.~Unruh,
Notes on black hole evaporation,''
Phys.\ Rev.\ D {\bf 14}, 870 (1976).
doi:10.1103/PhysRevD.14.870
%%CITATION = doi:10.1103/PhysRevD.14.870;%%
%2308 citations counted in INSPIRE as of 02 Nov 2016

The Black hole in three-dimensional space-time,''
Phys.\ Rev.\ Lett.\ {\bf 69}, 1849 (1992)
doi:10.1103/PhysRevLett.69.1849
[hep-th/9204099].
%%CITATION = doi:10.1103/PhysRevLett.69.1849;%%
%2587 citations counted in INSPIRE as of 11 Dec 2019

Vacuum states for AdS(2) black holes,''
JHEP {\bf 9911}, 021 (1999)
doi:10.1088/1126-6708/1999/11/021
[hep-th/9904143].
%%CITATION = doi:10.1088/1126-6708/1999/11/021;%%
%127 citations counted in INSPIRE as of 11 Dec 2019

Classical and semiclassical properties of extremal black holes with dilaton and modulus fields,''
Nucl.\ Phys.\ B {\bf 427}, 669 (1994)
doi:10.1016/0550-3213(94)90644-0
[hep-th/9312171].
%%CITATION = doi:10.1016/0550-3213(94)90644-0;%%
%28 citations counted in INSPIRE as of 29 Nov 2019

%\cite{JT}
\bibitem{JT}
R.~Jackiw and C.~Teitelboim,
in: Quantum Theory of Gravity, S. Christensen ed. (Adam Hilger, Bristol, 1984).

%\cite{Garfinkle:1990qj}
\bibitem{Garfinkle:1990qj}
D.~Garfinkle, G.~T.~Horowitz and A.~Strominger,Charged black holes in string theory,''
Phys.\ Rev.\ D {\bf 43}, 3140 (1991)
Erratum: [Phys.\ Rev.\ D {\bf 45}, 3888 (1992)].
doi:10.1103/PhysRevD.43.3140, 10.1103/PhysRevD.45.3888
%%CITATION = doi:10.1103/PhysRevD.43.3140, 10.1103/PhysRevD.45.3888;%%
%1033 citations counted in INSPIRE as of 29 Nov 2019

%\cite{Giddings:1992kn}
\bibitem{Giddings:1992kn}
S.~B.~Giddings and A.~Strominger,
Dynamics of extremal black holes,''
Phys.\ Rev.\ D {\bf 46}, 627 (1992)
doi:10.1103/PhysRevD.46.627
[hep-th/9202004].
%%CITATION = doi:10.1103/PhysRevD.46.627;%%
%84 citations counted in INSPIRE as of 29 Nov 2019

%\cite{Grumiller:2001ea}\bibitem{Grumiller:2001ea}
D.~Grumiller,
Quantum dilaton gravity in two-dimensions with matter,''
gr-qc/0105078.
%%CITATION = GR-QC/0105078;%%
%33 citations counted in INSPIRE as of 25 Nov 2019

Vacuum States for AdS 2 Black Holes

The AdS/CFT Correspondence in Two Dimensions

NON-SINGULAR FOUR-DIMENSIONAL BLACK HOLES AND THE JACKIW-TEITELBOIM THEORY

Geometrodynamical Formulation of Two-Dimensional
Dilaton Gravity

ASYMPTOTIC SYMMETRIES OF AdS 2 AND
CONFORMAL GROUP IN d=1

AdS 2 Gravity as Conformally Invariant Mechanical
System

Open strings, 2D gravity and AdS/CFT correspondence

The Holographic Entanglement
Entropy of Schwarzschild Black Holes

Entanglement entropy of two-dimensional anti-de Sitter black holes

Near Extremal Black Hole Entropy
as Entanglement Entropy via AdS 2 /CFT 1

هل الثقالة كمومية ام كلاسيكية?

فريمان دايزون Freeman Dyson آخر العمالقة الذين صنعوا النظرية الكمومية الحديثة عمره 96 سنة و مازال يصنع و يريد ان يصنع ثورات اخرى فى الفيزياء النظرية.
آخر شطحاته الفيزيائية العميقة هو تحديه (ومنذ العام 2001) لمسلمة فيزيائية-رياضية من اكثر المسلمات رسوخا وهى لرسوخها لا يتكلم عنها اى احد فهى عقيدة فيزيائية من نوع عقائد "ايمان او فيزياء العجائز".
فالمسلمة ان الجميع يسلم تسليما مطلقا لا تفكير معه ان كل الواقع المادى بدون استثناء هو كمومى اى انه يجب ان يخضع لقوانين الميكانيك الكمومى.
اذن القوى الكونية الاربعة (الكهرومغناطيسية و النووية الصغرى و النووية الكبرى) هى كلها قوى كمومية بالاساس و هذا تم البرهان عليه نظريا و تجريبيا بما لا يدع اى مجال للشك. لكن ايضا قوة الجذب الثقالى (وهى القوى الرابعة و اقدم القوى اكتشافا) يجب ان تكون هى الاخرى قوة كمومية.
هذه هى المسلمة. المسلمة ان كل شيء مادى و من بين ذلك قوة الجذب الثقالى يجب ان يخضع لقوانين الميكانيك الكمومى.
لكن الصعوبات الهائلة التى يجدها الفيزيائيون فى عملية تكميم القوة الثقالية هى صعوبات غير مسبوقة فى تاريخ الفيزياء النظرية و العجز عن ايجاد هذه القوة الكمومية للثقالة هو عجز شامل رغم كثرة العباقرة و الاذكياء الذين حاولوا و يحاولون و منذ حوالى 100 سنة و ايضا فان الاقتراحات و البرامج المطروحة لحل هذا المشكل (ايجاد ما يسمى "الثقالة الكمومية" او "نظرية كل شيء" و هو الاسم الشعبى) لا تعد و لا تحصى لكنها كلها فاشلة و فشلت فى تقديم اى حل مقبول (ومن هذه الاقتراحات نظرية الاوتار string theory و الثقالة الكمومية الحلقية loop quantum gravity و الهندسة غير التبديلية noncommutative geometry و النماذج المصفوفية matrix models و التثليت الديناميكى dynamical triangulation و المجموعات السببية causal sets و غيرها كثير جدا لا يمكن ان يحصيها المقام).
اذن السؤال الذى بدأ يطرحه الفيزيائيون هل هذا العجز و الفشل راجع الى عدم توفر الادوات و كذا الفهم المناسبين لحل هذه المعضلة ام انه راجع الى كون المعضلة غير قابلة للحل اصلا لان الثقالة كلاسيكية اصلا ليس لها اى علاقة بالكمومى?
(انظر مثلا ستيافن كارليب Stephan Carlip وهو رجل ذو نظرة خاصة به فى هذا المجال الذى راجع هذه النقطة بشكل مقتضب فى مقال بعنوان (هل الثقالة الكمومية ضرورية?
انظر هنا
https://arxiv.org/abs/0803.3456)
الجواب الذى يعطيه دايزون ابن ال 96 سنة هو لا.
الثقالة الكمومية ليست ضرورية.
لان قوة الجذب الثقالى هى بالاساس قوة كلاسيكية عكس باقى القوى.
و على هذا الرأى فان الكون تحكمه ثنائية duality (وهذا امر تقمته الفيزياء و الفلسفة معا).
فمن جهة هناك الميكانيك الكمومى الذى هو النظرية المضبوطة لكل شيء فى الكون باستثناء قوة الثقالة و هناك النسبية العامة الكلاسيكية التى تحكم بشكل مضبوط قوة الجذب الثقالى.
وهذا رأى وجيه جدا فى رايى.
وقد ذهب روجر بنروز Roger Penrose فى تفسيره للميكانيك الكمومى (وايضا المجرى لايوس ديوسى Lajos Diosi) الى شيء من هذا القبيبل بالقول ان عملية انهيار دالة الموجة collapse of the wave function هى عملية ديناميكية (ولهذا يسمى هذا التفسير بتفسير الانهيار الموضوعى objective collapse) تتسبب فيه بالضبط بنية الفضاء-زمن الكلاسيكية المستمرة الصلبة. و هذا قد يعنى ضمنيا ان الفضاء-زمن لا يمكن ان يدخل او يكون متراكبا خطيا linearly superposed مثلما يحدث للمادة اى انه لا يمكن للفضاء-زمن ان يكون منحنيا بشكل معين و منحنيا بشكل آخر فى نفس الوقت فى تركيب خطى.
لكن السؤال يبقى فعلا. هل الثقالة كلاسيكية ام كمومية من الناحية التجريبية المحضة. فالفيزياء علم مادى و تبقى طريقته الاساسية فى الحسم هو الحس و ليس العقل. اذن هل يمكن القيام بالتجربة.
الجواب كما تبين مؤخرا نعم يمكن القيام بالتجربة و هى تجربة معقدة جدا من الناحية التكنولوجية لان قوة الثقالة ضعيفة جدا على مستوى المسافات النى نعيش فيها (قوة الثقالة تصبح هائلة و تصبح هى المهيمنة فقط على مستوى الكون ككل و مستوى الثقوب السوداء). و هذا الضعف يتسبب فى صعوبات مستحيلة تقريبا فى قياس و رصد اثار هذه القوة فى المختبرات.
لكن الجواب يبقى نعم و التجربة فعلا اصبحت ممكنة و قابلة للاجراء خلال السنوات العشر القادمة ان شاء الله.
انظروا مقال الكوانطا quanta magazine (اروع مجلة علمية فى التاريخ كله) من أجل وصف الاقتراحات و ذكر المراجع هنا
https://www.quantamagazine.org/physicists-find-a-way-to-se…/
نلخص خطوات هذه التجربة كما يلى.
اولا نعتبر كرتان صغيرتان من الماس وهما كرتان كلاسيكيتان اى تتصرفان بشكل كلاسيكى.
نحول كل كرة ماس الى جسيم كمومى عن طريق غرس ذرة نيتروجين فى قلب الكرة مكان احدى ذرات الكربون بجوار شغور vacancy فى البنية الشبكية lattice structure للماس. هذا الشغور عبارة عن عيب نقطى point defect فى شبكة الماس (تذكروا ان الماس هو بلور من الناحية الذرية عبارة عن شبكة من ذرات الكربون) اى لا توجد ذرة كربون اين كان يجب ان تكون ذرة كربون.
اذن ندخل على كرة الماس عيب يسمى عيب نقطى عبارة عن جملة نيتروجين-شغور nitrogen-vacancy system كما فى الصورة الثانية.
ثانيا نُشع على كل كرة ماس (و جملة النيتروجين-شغور التى فى مركزها) نبضة ميكروية microwave pulse و هذا من اجل اثارتها to excite. اذن الالكترون الذى يدور حول جملة النيتروجين-شغور اما انه يمتص هذا الاشعاع النبضة او لا يمتص لانه جسيم كمومى. وهكذا تصبح كرة الماس كمومية لانها تصبح فى حالة تركيب خطى لسبينين (مفرد سبين spin و هو عزم اللف). فاذا امتص الاكترون النبضة فان جملة النيتروجين-شغور تصبح مثارة و عندها يصبح السبين لجملة كرة الماس علوى spin-up و اذا لم يمتص الالكترون النبضة فان جملة النيتروجين-شغور تبقى فى الحالى الاساسية و يبقى عندها سبين جملة كرة الماس سفلى spin-down.
ثالثا نضع كرتا الماس فى حقل مغناطيسى. اذن الحقل المغناطيسى سيجعل كرة الماس اذا كانت حالتها هى السبين العلوى تنحرف فى حركتها الى اليمين اما اذا كانت حالتها هى السبين السلفى فهى ستنحرف فى حركتها الى اليسار.
اذن تصبح كل كرة ماس فى حالة تركيب خطى لمسارين مختلفين.
رابعا اذن الكرتان ستتجاذبان ثقاليا. هنا تدخل طبيعة الثقالة هل هى كلاسيكية حقيقة ام هى كمومية مثل باقى القوى الاساسية للطبيعة.
اذن كرة الماس الاولى (الحمراء مثلا) هى فى حالة تداخل خطى لمسارين و كرة الماس الثانية (الزرقاء مثلا) هى ايضا فى حالة تداخل خطى لمسارين. اذن قوة قوة الجذب الثقالى بين الكرتين ستتعلق بمكان كل كرة فى تركيبها الخطى. اذن هناك اربعة امكانيات.
-الحمراء انحرفت الى اليمين و الزرقاء انحرفت الى اليمين. فهذه قوة ما.
-الحمراء انحرفت الى اليمين و الرزقاء انحرفت الى اليسار فهذه قوة مختلفة.
-الحمراء انحرفت الى اليسار و الزرقاء انحرفت الى اليمين فهذه قوة ثالثة مختلفة.
-الحمراء انحرفت الى اليسار و الزرقاء انحرفت الى اليسار فهذه قوة رابعة مختلفة.
اذن يصبح سبين او عزم لف جملة النيتروجين-شغور الموجودة فى مركز الكرة الحمراء مرتبطا correlated ب سبين او عزم لف جملة النيتروجين-شغور الموجودة فى مركز الكرة الزرقاء.
خامسا اذا كانت قوة الثقالة كمومية فعلا فان حالة الجملة الكلية (كرة الماس الحمراء+ كرة الماس الزرقاء) متشابكة تشابكا كموميا quantum entanglement وهى ظاهرة كمومية مخصوصة جدا. بعبارة اخرى تصبح الكرتان فعلا غير مستقلتان تماما بل تشكلان معا جملة واحدة توصف بحالة واحدة.
اما اذا كانت قوة الثقالة كلاسيكية فعلا فان انهيار دالة الموجة سيقع و هذا يعنى ان كرة الماس الحمراء اما ان تكون هناك او هنا و كرة الماس الزرقاء ستكون اما هنا او هناك و يقع التجاذب الثقالى بينهما على حسب ما وُجد فعلا فى الواقع.
اذن اما ان نحصل على حالة تشابك كمومى (حالة الثقالة الكمومية) او نحصل على توزيع احصائى عادى (حالة الثقالة الكلاسيكة).
سادسا بعد سقوط الكرتان جنبا الى جنب لوقت معين يتم ادخالهما الى حقل مغناطيسى ثانى عكسى من اجل دمج المسارات مجددا التى تم تفريقها فى الخطوة الثالثة.
سابعا آخر خطوة هى ما يسمى بروتوكول "شاهد التشابك" entanglement witness الذى يسمح لنا بقياس او رصد حالة الكرتان و التأكد من ماهيتها (هل هى تشابك كمومى اذن هى ثقالة كمومية ام هى توزيع احصائى اذن هى نسبية عامة كلاسيكة).
كل هذه الخطوات فى الصورة الثالثة.

Matrix models and noncommutative gravity

Yang-Mills matrix models

Yang-Mills matrix models play a crucial role in noncommutative gravity and emergent geometry. As an example we will consider noncommutative ${\bf AdS}^2_{\theta}$ which can be obtained as the classical background solution of the following $D=3$  matrix model
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
The ambient metric is $\eta=(-1,+1,+1)$, $D_a=(D_a)^{\dagger}$ are three matrices in ${\rm Mat}(\infty,\mathbb{C})$ and $f_{abc}$ are the structure constants of $SO(1,2)$. Hence this model is invariant under $SO(1,2)$ rotations as well as under gauge transformations $X_a\longrightarrow UX_aU^{\dagger}$ and under  translations $X_a\longrightarrow X_a+c$.

The variation of the action and the equation of motion are given by
\begin{eqnarray}
\delta S=-Tr\delta D^a[D^b,F_{ab}]\equiv 0\Rightarrow F_{ab}=[D_a,D_b]-i\kappa f_{abc}D^c\equiv 0.\label{eom}
\end{eqnarray}
A solution of these equations of motion is given by
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
The $J^a$ are the generators of the Lie group $SO(1,2)$ in the irreducible representation given by the discrete series $D_j^{\pm}$ which are labeledby an integer $j\gt 1$. The $\hat{X}^a$ are thus precisely the coordinate operators on noncommutative ${\bf AdS}^2_{\theta}$ and as a consequence we have
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
In other words, the radius $R$ of  noncommutative ${\bf AdS}^2_{\theta}$, the integer $j$ labeling the discrete series $D_j^{\pm}$ and the coupling constant $\kappa$ of the corresponding Yang-Mills matrix model (\ref{YM}) are related by the condition

\begin{eqnarray}
R^2=\kappa^2j(j-1).
\end{eqnarray}
Therefore, the commutative limit $\kappa\longrightarrow 0$ corresponds to the large representation limit  $j\longrightarrow \infty$. The geometric commutative limit can be thought of as the semi-classical limit.

In noncommutative gravity the fundamental degrees of freedom of the theory are given by the hermitian  matrices $D^a$ and not by the metric $g_{\mu\nu}$ which can only emerge in the semi-classical/commutative limit $\kappa\longrightarrow 0$ (or equivalently $j\longrightarrow \infty$) as outlined in \cite{Steinacker:2008ri,Steinacker:2010rh}.

Furthermore, the noncommutativity tensor $\theta^{ab}$ (or equivalently the Poisson structure  $\theta^{\mu\nu}$ of the underlying symplectic manifold ${\bf AdS}^2$) is generically a function of the matrices $D^a$ (or equivalently of the local coordinates $x^{\mu}$ on ${\bf AdS}^2$) and plays also a more fundamental role than the emergent metric $g_{\mu\nu}$. This tensor is given explicitly by
\begin{eqnarray}
[D^a,D^b]=i\kappa\theta^{ab}(D).\label{commutator}
\end{eqnarray}
Clearly, in the classical (classical with respect to the matrix model) configurations $D^a\equiv \hat{X}^a$ we must have $\theta^{ab}(D)\equiv f^{abc}\hat{X}_c$.

The matrix coordinates $D_a=\hat{X}^a$ behave in the commutative limit as $D_a \sim X^a$ which are the embedding coordinates of ${\bf AdS}^2$. These coordinates can always be decomposed into tangential and normal coordinates on ${\bf AdS}^2$. This can be seen  by considering for example the neighborhood of the "north pole", viz $X^3\equiv\phi\simeq R$, $X^{1}\equiv x^1 \lt\lt R$ and $X^2\equiv x^2\lt\lt R$ where $x^{1}$ and $x^{2}$ are local coordinates on ${\bf AdS}^2$. The commutator (\ref{commutator}) around the "north pole" becomes then $[\hat{x}^{\mu},\hat{x}^{\nu}]=i\kappa \theta^{\mu\nu}$ where $\theta^{\mu\nu}=Rf^{\mu\nu 3}$.

We decompose then the matrices $D^a\equiv \hat{X}^a$ into tangential and normal components as
\begin{eqnarray}
\hat{X}^a=(\hat{x}^{\mu},\hat{\phi}).
\end{eqnarray}
From the requirement (\ref{casimir}) we can see that $\phi$ is a function of $\hat{x}^{\mu}$, $\mu=1,2$, i.e.

\begin{eqnarray}
\hat{\phi}=\hat{\phi}(\hat{x}).
\end{eqnarray}
Hence, the commutator (\ref{commutator}) becomes
\begin{eqnarray}
[\hat{x}^{\mu},\hat{x}^{\nu}]=i\kappa\theta^{\mu\nu}(\hat{x})~,~\theta^{\mu\nu}\equiv f^{\mu\nu3}\hat{\phi}(\hat{x}).
\end{eqnarray}
The quantized derivations (parallel and normal) on noncommutative ${\bf AdS}^2_{\theta}$ and their commutative counterparts  on  ${\bf AdS}^2$ are then given by
\begin{eqnarray}
\hat{e}^a(F)=-i[D^a,F]\longrightarrow e^a(F)=\kappa\theta^{\mu\nu}\partial_{\mu}x^a\partial_bF.
\end{eqnarray}
Next, we introduce the covariant form of the action (\ref{action}) by
\begin{eqnarray}
S[D,\hat{\Phi}]=\frac{2\pi R \kappa}{2}Tr\bigg(-\frac{1}{R^2\kappa^2}[D^a,\hat{\Phi}][D_a,\hat{\Phi}]+m^2\hat{\Phi}^2\bigg).\label{actioncov}
\end{eqnarray}
We can now compute in the configurations $D_a=\hat{X}^a$ the kinetic term

\begin{eqnarray}
-\eta_{ab}[D^{a},\hat{\Phi}][D^{b},\hat{\Phi}]&=&\eta_{ab}\hat{e}^{a}(\hat{\Phi})\hat{e}^{b}(\hat{\Phi})\nonumber\\
&\sim &\kappa^{2}\theta^{\mu\mu^{\prime}}\theta^{\nu\nu^{\prime}}{g}_{\mu\nu}{\partial}_{\mu^{\prime}}\Phi{\partial}_{\nu^{\prime}}\Phi\nonumber\\
&\sim &{G}^{\mu^{\prime}\nu^{\prime}}{\partial}_{\mu^{\prime}}\Phi{\partial}_{\nu^{\prime}}\Phi.
\end{eqnarray}
The quantity $G^{\mu\nu}$ is the induced metric which couples to matter fields and which is given explicitly by
\begin{eqnarray}
{G}^{\mu^{\prime}\nu^{\prime}} &=&\kappa^{2}\theta^{\mu\mu^{\prime}}\theta^{\nu\nu^{\prime}}{g}_{\mu\nu}.
\end{eqnarray}
Whereas $g_{\mu\nu}$ is  the embedding metric (the metric on ${\bf AdS}^2$ viewed as a Poisson manifold) given explicitly by
\begin{eqnarray}
{g}_{\mu\nu}&=& \eta_{ab}{\partial}_{\mu}x^{a}{\partial}_{\nu}x^{b}.
\end{eqnarray}
The kinetic action is then given by
\begin{eqnarray}
-Tr [D_{a},\hat{\Phi}][D^{b},\hat{\Phi}]
&\sim &\frac{1}{2\pi}\int d^2x\rho(x){G}^{\mu^{\prime}\nu^{\prime}}{\partial}_{\mu^{\prime}}\Phi{\partial}_{\nu^{\prime}}\Phi.\label{kaction}
\end{eqnarray}
We introduced in this last equation a scalar density $\rho$, which  defines on the quantized  Poisson manifold ${\bf AdS}^2_{\theta}$ a local non-commutativity scale, by the relation
\begin{eqnarray}
\rho=\frac{1}{\sqrt{{\rm det}{\kappa \theta^{\mu\nu}}}}.\label{sd1}
\end{eqnarray}
The kinetic action (\ref{kaction}) does not have the canonical covariant form which can be reinstated by a rescaling of the metric as follows

\begin{eqnarray}
\tilde{G}^{ab}=\exp(-\sigma)G^{ab}.\label{sd2}
\end{eqnarray}
And imposing the condition
\begin{eqnarray}
\rho G^{ab}=\sqrt{{\rm det}\tilde{G}_{ab}}\tilde{G}^{ab}\Rightarrow \rho=\sqrt{{\rm det}G_{ab}}.\label{sd3}
\end{eqnarray}
By using equations  (\ref{sd1}) and (\ref{sd3}) we can show that the scalar density $\rho$ can also be written in the form $\rho=\sqrt{{\rm det}g_{ab}}$. Hence, we must have
\begin{eqnarray}
G_{ab}\equiv g_{ab}.
\end{eqnarray}
And by substituting in (\ref{sd2}) we obtain
\begin{eqnarray}
\tilde{G}^{ab}\equiv e^{-\sigma} g^{ab}.
\end{eqnarray}We get immediately in the semi-classical limit $\kappa\longrightarrow 0$ the kinetic action
\begin{eqnarray}
-Tr [D_{a},\hat{\Phi}][D^{b},\hat{\Phi}]
&\sim &\frac{1}{2\pi}\int d^2x\sqrt{{\rm det}G_{\mu\nu}}{G}^{\mu^{\prime}\nu^{\prime}}{\partial}_{\mu^{\prime}}\Phi{\partial}_{\nu^{\prime}}\Phi\nonumber\\
&\sim & \frac{1}{2\pi}\int d^2x\sqrt{{\rm det}\tilde{G}_{\mu\nu}}{\tilde{G}}^{\mu^{\prime}\nu^{\prime}}{\partial}_{\mu^{\prime}}\Phi{\partial}_{\nu^{\prime}}\Phi.
\end{eqnarray}
The conformal factor $e^{-\sigma}$ remains therefore undetermined since in two dimensions Weyl transformations of the metric $G^{\mu\nu}\longrightarrow e^{-\alpha}G^{\mu\nu}$ are  in fact symmetries of the action \cite{Jurman:2013ota}.

By going through the same steps we can now show that the Yang-Mills term (quartic term) of the matrix model (\ref{YM}) reduces, in the semi-classical/commutative limit $\kappa\longrightarrow 0$ (or equivalently $j\longrightarrow \infty$), not to the Einstein equations but to the cosmological term \cite{Jurman:2013ota}. A matrix form of the Einstein equations can also be written down but this is not necessary within the formalism of noncommutative gravity since the condensation of the geometry of ${\bf AdS}^2_{\theta}$ is in fact driven by the Myers-Chern-Simons term (cubic term)  of  (\ref{YM}) \cite{Myers:1999ps}.

Indeed, the ${\bf AdS}^2_{\theta}$ solution (\ref{ads2}) of the equation of motion (\ref{eom}) is not unique and this solution can be made more stable by adding a potential term the action (\ref{YM}) which implements explicitly the constraint (\ref{casimir}) such as the term \cite{CastroVillarreal:2004vh}
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
The action (\ref{YM})+(\ref{potential}) will then admit for large and positive values of $M^2$ a unique solution given by the ${\bf AdS}^2_{\theta}$ background (\ref{ads2}) which satisfies the constraint (\ref{casimir}) by construction. The expansion of the scalar action (\ref{actioncov})  around the AdS solution becomes more reliable since this background in the limit $M^2\longrightarrow \infty$ is  completely stable. Therefore, the action (\ref{YM})+(\ref{potential}) acts effectively within noncommutative gravity as an Einstein-Hilbert action.

References

%\cite{Steinacker:2008ri}
\bibitem{Steinacker:2008ri}
H.~Steinacker,
Emergent Gravity and Noncommutative Branes from Yang-Mills Matrix Models,''
Nucl.\ Phys.\ B {\bf 810}, 1 (2009)
%doi:10.1016/j.nuclphysb.2008.10.014
[arXiv:0806.2032 [hep-th]].
%%CITATION = doi:10.1016/j.nuclphysb.2008.10.014;%%
%74 citations counted in INSPIRE as of 22 Mar 2019

%\cite{Steinacker:2010rh}
\bibitem{Steinacker:2010rh}
H.~Steinacker,
Emergent Geometry and Gravity from Matrix Models: an Introduction,''
Class.\ Quant.\ Grav.\  {\bf 27}, 133001 (2010)
%  doi:10.1088/0264-9381/27/13/133001
[arXiv:1003.4134 [hep-th]].
%%CITATION = doi:10.1088/0264-9381/27/13/133001;%%
%138 citations counted in INSPIRE as of 27 Mar 2019

%\cite{Myers:1999ps}
\bibitem{Myers:1999ps}
R.~C.~Myers,
Dielectric branes,''
JHEP {\bf 9912}, 022 (1999)
doi:10.1088/1126-6708/1999/12/022
[hep-th/9910053].
%%CITATION = doi:10.1088/1126-6708/1999/12/022;%%
%1285 citations counted in INSPIRE as of 16 Nov 2019

%\cite{CastroVillarreal:2004vh}\bibitem{CastroVillarreal:2004vh}
A Gauge-invariant UV-IR mixing and the corresponding phase transition for U(1) fields on the fuzzy sphere,''
Nucl.\ Phys.\ B {\bf 704}, 111 (2005)
doi:10.1016/j.nuclphysb.2004.10.032
[hep-th/0405201].
  %%CITATION = doi:10.1016/j.nuclphysb.2004.10.032;%%
%54 citations counted in INSPIRE as of 16 Nov 2019

وحدة الوجود عند بولتزمان

منشور قديم من افضل ما قدمت (عثرث عليه عندما كنت بصدد حذف منشورات 2016).
بولتزمان يقدم حلا عبقريا (لا يلتفت اليه الفيزيائيون اليوم لسبب مجهول او بالاحرى لسبب لا استطيع ان افهمه) لمعضلة السهم فى الزمن لكنه فى نفس الوقت يقدم دون ان يدرك (بل ربما هو مدرك لكنه لا يصرح) نموذجا لوحدة الوجود.
الخط المستقيم هو الله (على مصطلح ابن عربى) او طبيعة الطبيعة (على مصطلح سبينوزا) اما التقلبات (الحرارية هنا و فى النظرية الاساسية ستصبح كمومية) فهى التجليات (على مصطلح ابن عربى) او الطبيعة الطبيعية (على مصطلح سبينوزا).
اذن الخط المستقيم لا يتميز بزمن و لا بانتطروبى بل هو ثابت لانهائى قديم باقى.
اما التقلبات (المثلثات الخارجة) فهى تتميز بزمن و بسهم للزمن و هى حادثة و هى منتهية. كل تقلب يمثل عالم او كون. اذن هناك عدد لانهائى من الاكوان لان هناك عدد لانهائى من التقلبات دون ان يتغير الخط المستقيم فى شيء.
اذن الخلق مستمر لان التجليات مستمرة.
وهى تجليات ليست فى هذا العالم فقط بل هى تجليات عبر العوالم.
والخلق المستمر فى اطار عالم واحد هى فكرة غزالية معقدة مركبة.
لكن هنا هو خلق مستمر للعوالم وهى فكرة اعقد بكثير وهى فكرة تيمية (قدم النوع و حدوث العين) لا يمكن ابدا ان تتناسق الا فى اطار فلسفة ابن عربى.
وها قد وحد بولتزمان لكم بين الشيخ الاكبر ابن عربى و حجة الاسلام الغزالى و شيخ الاسلام ابن تيمية.

منشور من 16 جويلية 2016

السهم فى الزمن خاصة بولتزمان..
اعمق نظرة للزمن فى المنحنى البسيط فى الصورة...
هذه النظرة ترجع للرقم ثلاثة فى الفيزياء بولتزمان Boltzmann..
هذه النظرة اعمق فى رأيى حتى من نظرة نسبية الزمن..
ويمكننى ان ادافع عن هذا الموقف فيزيائيا اقصد..
العالم هائل وليس فقط الكون الذى نراه و ليس بسبب متعدد العوالم manyworlds الكمومى و لا متعدد العوالم multiverse الكوسمولوجى...
فى الحقيقة بولتزمان يميز بين العالم-الفلسفى- و الكون-الفيزيائى المشاهد-..
فالكون جزء صغير جدا من العالم..
العالم جملة معزولة لكن الكون لا...
اذن انتروبى هذه الجملة يجب ان يكون ثابت مع الزمن..كما ترون فى الصورة الخط المستقيم..
لان العالم قديم جدا فإنه توجد تقلبات نادرة جدا لكن أكيد تحدث, لان عمر العالم الطويل يسمح, اين يقفز الكون-اين نوجد نحن- الى حالة ذات انتروبى منخفض جدا..
انظروا المنحدر العميق فى الصورة..
الآن الكون سيحاول الرجوع الى حالة التوازن الترموديناميكى للعالم-الخط الافقى-..
سيفعل ذلك..
خلال اقترابه من حالة التوازن فإن الانتروبى لا يمكن الا أن يتزايد مع الزمن..
وهذا هو القانون الثانى للترموديناميك-الانتروبى لا يمكن الا ان يتزايد فى الزمن-...
نحن الآن فى النقطة A من الصورة..والانتروبى سيبقى يتزايد حتى نصل الى حالة التوازن الحرارى للكون اين سينتهى كل شيئ: الموت الحرارى..
وبسبب اتجاهنا فى الزمن عند النقطة A فإن السهم فى الزمن يبدو لنا موجه باتجاه جهة تزايد الانتروبى...اى المستقبل نحو اليمين و الماضى نحو اليسار..
بولتزمان يؤكد انه يمكن ان تتواجد اكوان أخرى..مثلا عند النقطة B ..وبالنسبة للكائنات التى تعيش هناك فإن الانتروبى يتزايد ايضا لكن الزمن يبدو لهم بحيث ان المستقبل موجه نحو اليسار و الماضى نحو اليمين..
بعض الناس يريد ان يستنتج ان السهم فى الزمن ليس له حقيقة موضوعية..
شخصيا استنتج ان السهم فى الزمن نسبى...

تحذير:
هذا النموذج فيه رائحة مسألة قدم العالم...لا تقلقوا بشأن هذا الامر..
الرجل اى بولتزمان من الفيزيائيين القلائل الذين لم تكن تحكمهم الميتافيزيقا و العقيدة و الايديولوجية..هو فقد اراد ان يفسر لماذا الترموديناميك غير متناظر تحت تأثير العكس فى الزمن-بسبب القانون الثانى-رغم انه مستخرج من ميكانيك نيوتن الذى هو متناظر تماما تحت تأثير التناطر فى الزمن..الحل فى رأى بولتزمان هو حل احصائى يكمن فى المبرهنة H وفى نماذج احصائية مثل هذا النموذج الذى قدمته اليوم...
ملحوظة:
لاحظوا ايضا اننى لم اشرح النقطة C فى المنحنى..
ملحوظة:
ايضا لقد تصرفت فى الترجمة حسب مارأيته اقرب الى المعنى بالعربية..
فعند بولتزمان الكون universe هو الذى يحتوى على العالم world..لاحظوا اعلاه اننى عكست المصطلحين...اى أن العالم-اى الوجود-هو الذى يحتوى على الكون..

كتاب اميو و مارلو فى الميكانيك التحليلى

كتاب اميو Amiot و مارلو Marleau حول الميكانيك الكلاسيكى فى الرابط و هو كتاب وجدته اكثر من رائع و اكثر من بيداغوجى (واننى مقل فى البيداغوجيا ومقصر فيها و اكثر من هذا قليل الصبر عليها).
اذن هذا كتاب شامل فى الموضوع (بالاضافة الى الجزء التربوى البيداغوجى) وهذا شيء يندر خاصة فى المراجع الناطقة بالفرنسية للفيزياء النظرية.
اذن هو يتناول اهم موضوعين فى هذا العلم الفيزيائى الاساسى وهما صياغة لاغرانج التفاضيلة و صياغة هاميلتون التكاملية بكثير من المنهجية و التفصيل مع كثير من التمرينات و المسائل.
بالاضافة الى ذلك فانه يتناول الكثير من التطبيقات مثل الاهتزازات و نظرية الجسم الصلد و نظرية الاضطرابات و ميكانيك الموائع وحتى نظرية الحقل الكلاسيكى.
المهم هو انه فى الموضوعين الاساسيين (لاغرانج و هاميلتون) فان الترتيب هو نفسه الترتيب و المنهجية الذى تبنيتهما فى كتابى حول الموضوع (الفيزياء الاساسية) وهو كتاب بالعربية وقد كنت تابعت فيه كل من لانداو Landau و غولدشتاين Glodstein..
علي ايضا ان انبه الى كتاب غراينار Greiner الذى توفى منذ فترة قصيرة جدا وهو ايضا كتاب ممتاز بيداغوجيا و شامل لكل المواضيع و هو كتاب بالالمانية (فالرجل استاذ المانى) و ايضا توجد نسخة انجليزية من المؤلف نفسه.
هذه الكتب الثلاثة يمكن تحميلها من على صفحتى القديمة هنا

اذن اننى راضى جدا عن هذا الكتاب الكندى (كتاب اميو و مارلو) و اننى انصح به الطلبة و الاساتذة على قدر سواء و عيبه الوحيد انه بالفرنسية و بالتالى فقط فان طلبة المغرب العربى يمكنهم الاستفادة منه. لكن وجبت الاستفادة من كل مرجع مفيد لا شك فى ذلك فوجب التنبيه.
واننى شخصيا استعمله الآن فى استكمال محاضراتى العربية و ترجمتها الى الفرنسية بعد ان اضطررت هذه السنة الى التدريس بالفرنسية لسبب وجود ثلاثة طلبة افارقة بين الجمهور.
(وهو الحصار اللغوى الذى يعانى منه الاستاذ الجزائرى و اسوء منه يعانى منه الطالب الجزائرى لكن لا مفر منه الا بالتماشى مع الواقع مع عدم التناسى ان ذلك الواقع ليس هو الواقع الذى كان يجب ان يكون.
فالاستاذ المعرب-الانجلوفونى يجب عليه التدريس بالفرنسية اما الاستاذ الفرنكفونى فلا يجب عليه ابدا التدريس بالعربية.
وهى معضلة متناقضة لان الدستور ينص على العكس اما الواقع فهو كما ترون.
اذن هذا يبقى من اعظم متناقضات هذه البلاد.
ثم يتسائل الجميع لماذا الجميع فاشلون. والفشل كان ابتداءا فى تحديد اللغة الاضافية التى هى دائما لغة عبء لانها بكل بساطة اللغة الاضافية لكن العباقرة من القائمين على الامور عندنا اختاروا ثلاث او اربع لغات اضافية و ليست لغة و احدة رغم ان الفرنسية تبقى حبهم الاول و الاخير.
اذن نحن نعانى من حصار لغوى (اربع لغات و كأننا عباقرة او لدينا اى وقت) بالاضافة الى الحصار التعليمى (مع الاولاد) و الحصار العلمى (مع البحث الفردانى) و الحصار الوظيفى (مع الادارة) و الحصار الفكرى (لولا المدونة و الفايسبوك و اصدقائنا عليهما لما وجدت مع من اتكلم معه فى ما يهمنى).
لم يبقى اذن حل الا اعادة الهجرة (فهى الافيد للاولاد و للعلم و للفكر) وهذا متى اتيحت الفرصة.

طريقة النقطة السرج او النزول الحاد او الطور المستقر

الهدف هو تقديم الطريقة المشهورة باسم طريقة النقطة السرج saddle point method او طريقة الطور المستقر method of stationary phase او طريقة النزول الحاد method of steepest descent.
الهدف فى هذه الطريقة هو حساب التكامل فى الصورة الاولى.

وهو تكامل يظهر بقوة فى الرياضيات التطبيقية (دوال غاما Gamma functions و دوال بيسال Bessel functions و غيرها) و فى الفيزياء النظرية (نظرية الحقول الكمومية و نظرية الأوتار الممتازة و نظرية المصفوفات).
اذن لدينا دالة تحليلية analytic function نرمز لها ب F(z,t) حيث z هو المتغير المُعرف فى المستوى المركب complex plane و t هو وسيط parameter تتعلق عليه الدالة.
طريق المكاملة path integration (اى مجال تعريف التكامل) هو C وهو منحنى يكون معرف عموما فى المستوى المركب.
اذن تكامل F(z,t) على الطريق C فى المتغير z يعطى دالة لا تتعلق الا بالوسيط t نرمز لها ب f(t) كما هو موضح فى الصورة الاولى.
عموما نحن مطلوب منا حساب التكامل فقط فى النهاية لما يذهب الوسيط t الى زائد مالانهاية.
اذن هذا هو الشرط الاول لهذه الطريقة.

الشرط الثانى هو ان الدالة F يجب ان تكون تحليلية (والتحليلية يعنى انها دالة قابلة للاشتقاق فى المستوى المركب عدد لانهائى من المرات).
يمكننا كتابة هذه الدالة كما يلى
\begin{eqnarray} F(z,t)=\exp(w(z,t))=\exp(u(z,t)).\exp(iv(z,t)). \end{eqnarray} اذن الدالة w(z,t) هى لوغاريتم الدالة الاصلية F(z,t) اما الدوال u(z,t) و v(z,t) فهى الاقسام الحقيقية real و التخيلية imagniary للدالة w(z,t).
كون F هى دالة تحليلية فان هذا يعنى ان الدوال u و v لا تقبل قيم قصوية extremum values (اى اصغرية minimal او اعظمية maximal) على مجال التعريف. وهذا يعرف تحت مسمى مبرهنة جنسن Jensen's theorem.
الدالة u بالخصوص التى تعطى ب
\begin{eqnarray} u=\ln|F|. \end{eqnarray} (حيث |F| هى طويلة الدالة F) لا تقبل اى قيمة قصوية على مجال تعريف الدالة F.
لكن u رغم انها لا تقبل قيم قصوية فهى تقبل قيم حرجة critical values.
تذكروا ان القيمة القصوية هى القيم الاصغرية او القيمة الاعظمية فى كل الاتجاهات.
اما القيمة الحرجة فهى قد تكون قيمة اصغرية او اعظمية فى اتجاه لكنها ليست كذلك فى الاتجاه الآخر.
انظر مثلا النقطة الحمراء على السطح فى الصورة الثانية فتلك نقطة حرجة. اما النقطة السوداء على السطح فى الصورة الثالثة فهى نقطة قصوية اعظمية. اما نقطة المبدأ على السطح فى الصورة الرابعة فهى نقطة قصوية اصغرية.

رياضيا بالنسبة للنقطة القصوية او النقطة الحرجة فان المشتقة الاولى يجب ان تنعدم فى كل الاتجاهات.
المشتقة الثانية فى اتجاه معين عندما تكون موجبة هى تعنى نقطة اصغرية فى ذلك الاتجاه (هو اتجاه تناقص).
اما اذا كانت المشتقة الثانية فى اتجاه معين سالبة فهى نقطة اعظمية فى ذلك الاتجاه (هو اتجاه تزايد).

الشرط الثالث و هو مهم جدا هو افتراض ان الدالة u تقبل نقطة حرجة نرمز لها ب z0. هذه النقطة الحرجة معرفة بانعدام المشتقة الاولى ل u او بالمقابل انعدام المشتقة الاولى ل w اى $w^{'}=0$.
الدالة w (التى هى لوغاريتم F) تقبل اذن نشر تايلور Taylor series الذى فى الصورة الخامسة.
تذكروا فان نشر تايلور لدالة حول نقطة ما هو عملية تقريب للدالة بكثير حدود. فى هذه الحالة لان المشتقة الاولى انعدمت بالشرط اعلاه فاننا قد قربنا فى الحقيقة الدالة w (وبالتالى الدالة F) بالدالة التربيعية quadratic function فى الصورة الخامسة.

لتكن α و θ عمد arguments الاعداد المركبة $w^{''}$ و $z-z0$ اى
\begin{eqnarray}
&&w0^"=|w0^"|\exp(iα)\nonumber\\
&&z-z0=r\exp(iθ).
\end{eqnarray}
اذن المعادلة فى الصورة الخامسة يمكن كتابتها على الشكل الموجود فى الصورة السادسة.

هنا الآن نصل الى خاصية مهمة جدا تحتاج الى برهان قصير موجود على الصفحة 587 من كتاب أرفكين Arfken.
الدالة u حول النقطة الحرجة z0 تتناقص بسرعة شديدة فى الاتجاهين المتعاكسين المعرفين بالمعادلة
\begin{eqnarray} θ=(-α+π)/2~,~θ=(-α+3π)/2. \end{eqnarray}
اى ان النقطة الحرجة z0 هى نقطة اعظمية حول هذين الاتجاهين.
اذن عندما نبتعد من النقطة الحرجة من الجهتين المتعاكستين اعلاه فان الدالة u تتناقص اى تنزل قيمتها بشكل حاد. ولهذا سميت هذه الطريقة بطريقة النزول الحاد method of steepest descent.
ايضا من اجل هذين الاتجاهين فان الدالة v (وهى القسم التخيلى ل w) تبقى ثابتة و هذا يعنى ان الطور exp(iv) يبقى ثابت خلال عملية الابتعاد من النقطة الحرجة من الاتجاهين المتعاكسين اعلاه مما يؤدى الى الحفاظ على استقرار stability الحل العددى numerical solution بسبب نعدام اى تصرف اهتزازى oscillatory behavior. ولهذا تسمى هذه الطريقة ايضا بطريقة الطور المستقر stationary phase method.

الشرط الرابع يجب ان يمر طريق المكاملة C من النقطة الحرجة z0 فى الاتجاهين اعلاه. واذا لم يمر هذا الطريق من النقطة الحرجة فانه علينا تشويهه (اى تشويه deform او تحوير الطريق وهذا ممكن لان الدالة الاصلية F دالة تحليلية فى المستوى المركب) بحيث يصبح الطريق C يمر من z0 فى اتجاهى النزول الحاد المعرفين بالمعادلة السابقة اعلاه.
وﻷن u اعظمية فى النقطة الحرجة فى الاتجاهين المتعاكسين للنزول الحاد فان الدالة |F(z,t)| هى دالة اعظمية على الطريق C الذى نختاره يحيث يمر من النقطة الحرجة فى الاتجاهين المتعاكسين للنزول الحاد.
ايضا لان النقطة الحرجة هى فى اغلب الحالات المهمة هى على شكل سرج حصان (انظر الصورة الثانية مرة اخرى) فانها تسمى ايضا النقطة السرج saddle point و هذه الطريقة تسمى اذن بطريقة النقطة السرج saddle point method و هو الاسم الاكثر شهرة.

الشرط الخامس بعد كل هذه الاعتبارات فانه يمكننا الآن اجراء التكامل فى الصورة الاولى كما يلى.
لان الوسيط t يذهب الى مالانهائية فان المساهمة المهيمنة dominant contribution على التكامل سوف تنتمى الى مجال صيق جدا ل z حول النقطة السرج z0. هذا المجال يعطى بالشرط  ان $r=|z-z0|$ محصور بين 0 و $a$.

ولأن هناك اتجاهين متعاكسين سيكون هنا مشاركتين متساويتين و لهذا نضرب ب 2 فى المعادلة فى الصورة السابعة التى استعملنا فيها ايضا نشر تايلور الذى فى الصورة الخامسة.

فى النهاية عندما يذهب t الى زائد مالانهاية فانه يمكننا تعويض a بزائد ما لانهاية لنحصل على النتيجة فى الصورة الثامنة.

وبهذا يكتمل البرهان على واحدة من اقوى طرق حساب التكاملات فى الرياضيات و الفيزياء النظرية و هى تستعمل بالخصوص لحساب تكاملات الطريق المعقدة جدا فى نظرية الحقول الكمومية.

الطرق الرياضية للفيزياء: كتاب أرفكين

كتاب أرفكين الموسوعى فى الطرق الرياضية للفيزياء الذى درسنا منه عندما كنا طلبة دكتوراة فى امريكا و قمنا بالتدريس منه عندما درسنا المادة فى ايرلندا و نصحنا به كل طالب فيزياء نظرية فى الجزائر سألنا حول الموضوع وآخرهم الاسبوع الماضى فى حصة نظرية الحقل الشبكى حيث سُئلت عن طريقة النقطة الحرجة التى يجب ان تكون طريقة بديهية لكل فيزيائى نظرى .
وصراحة هذا كتاب بسيط لكن البداية تحتاج دائما شيئا بسيطا.

النظرية المصفوفية هى الثقالة الكمومية

و الثقالة الكمومية هى النظرية الفيزيائية (بل الرياضية) التى يتم فيها توحيد:
اولا القوى الاساسية الثلاثة للنموذج القياسى (القوة الكهرومغناطيسية و القوة النووية الضعيفة الاشعاعية و القوة النووية القوية للربط النووى)
ثانيا مع قوة الجذب الثقالى و الفضاء-زمن (الموحدين كلاسيكيا فى النسبية العامة)
ثالثا مع توحيد الفضاء و الزمن (فى زمن اقليدى دهرى مثلا على طريقة بولتزمان قديما او طريقة هارتل وهاوكينغ حديثا)
رابعا و توحيد المادة و الوعى (لان دالة موجة الكون ستحتاج الى رصد وراصد للذهاب بها الى الميكانيك الكلاسيكى و الراصد سيحتاج الى وعى).
اذن الثقالة الكمومية هى "نظرية كل شيء" التى تريد توحيد هذه الامور الاربعة فى معادلة واحدة تخضع لتناظر (او شيء اعلى منه) واحد يجب ان يعانى (اى هذا التناظر) من انكسار خلال تطور الكون و لهذا نجد فرقا اليوم فى الطبيعة بين القوى الاربعة و بين الفضاء و الزمن و بين المادة و الوعى فكل هذه الفروق ناجمة عن انكسار تناظر الثقالة الكمومية انكسارا تلقائيا.
و نظرية الثقالة هى نظرية مجهولة اليوم.
لكن اكبر المرشحين لاحتلال هذا المنصب المرموق هى نظرية الوتر.
لكن الذى ساعرضه فى ما تبقى من هذا المنشور هى نظرية اخرى للثقالة الكمومية تسمى "النظرية المصفوفية" وهى ايضا مستمدة من نظرية الوتر لكنها تعتمد اكثر على الهندسة التفاضلية غير-التبديلية و على النماذج المصفوفية وفيها يتم اتباع الوصفة التالية:
اولا اختيار الفضاء-زمن الكلاسيكى (اى الخلفية الكلاسيكية) الذى سيتم تعريف الثقالة الكمومية حوله.
ثانيا تكميم هذا الفضاء-زمن تكميما قانونيا للحصول على فضاء-زمن غير-تبديلى وتحديد النهاية الكلاسيكية له. هذا هو التكميم الاول وهو يؤدى بنا الى تحديد بنية الفضاء-زمن على انه يجب ان يكون فضاء بواسون و ليس شيئا آخر.
ثالثا تحديد النموذج المصفوفى الذى يعطى حله الكلاسيكى بالفضاء-زمن غير-التبديلى الذى تحصلنا عليه فى الخطوة الثانية. هذا النموذج المصفوفى سيعطى بدلالة فعل يُعرف التصرف الكلاسيكى للثقالة الكمومية.
رابعا الثقالة الكمومية حول فضاء بواسون قيد الدراسة يعطى بدلالة تكامل الطريق (وهذا هو التكميم الثانى) باستخدام الفعل الذى تحصلنا عليه فى الخطوة الثالثة. وهذا هو ما يسمى النظرية المصفوفية وهى معرفة رياضيا تماما.
اذن الفضاء-زمن غير-تبديلى سينبعث من هذا النموذج انبعاثا ديناميكيا مع كل التناظرات المميزة له و التقلبات الكمومية حول هذا الفضاء هى ما يؤدى الى انبعاث الغرافيتون وهو الجسيم الاولى الناقل لقوة الجذب الثقالى.
الفكرة الاساسية هنا اننا ننطلق من تكامل طريق مضبوط (هو الثقالة الكمومية بالتعريف) ثم نتحقق هل سنحصل على النسبية العامة ام لا كنهاية كلاسيكية. فى اغلب الحالات لا نحصل على نظرية اينشتاين لكن نحصل على انواع اخرى من نظريات الثقالة. لكن هذا لا يجب ان يردعنا لان الثقالة الكمومية فى هذه المقاربة معرفة لا-اضطرابيا وهو شيء نادر جدا.
الرابط يحتوى على خلاصة للثقالة الكمومية حول فضاء دى سيتر الضدى (الاقليدى او اللورنتزى على قدر سواء) ببعدين فقط وهو احد اهم فضاءات نظرية الوتر الذى يمكننا ان نطبق عليه الوصفة اعلاه بشكل مباشر لانه فضاء بواسون.

Noncommutative geometry

We consider Euclidean ${\bf AdS}^2$ (a pseudosphere in Minkowski spacetime  with metric $\eta=(-1,+1,+1)$) given by the embedding relation
\begin{eqnarray}
-X_1^2+X_2^2+X_{3}^2=-R^2.\label{emb}
\end{eqnarray}
The Poincare coordinates $(t,z)$ and  the canonical coordinates $(x,y)$ are defined by the metric
\begin{eqnarray}
ds^2&=&\frac{R^2}{z^2}(dz^2+dt^2)\nonumber\\
&=&R^2dx^2+(dy-ydx)^2.\label{metric}
\end{eqnarray}
The relation between $(t,z)$ and $(x,y)$ is given explicitly by
\begin{eqnarray}
z=R\exp(-x)~,~t=\exp(-x)y.
\end{eqnarray}
$z$ is the radial coordinate of ${\bf AdS}^2$ whereas $u=1/z$ is the energy scale of the conformal field theory   ${\bf CFT}_1$ living on its boundary at $z\longrightarrow 0$ or equivalently $u\longrightarrow\infty$ which is a timelike curve parameterized by $t$. In fact, in the case of ${\bf AdS}^2$we have actually two disconnected one-dimensional boundaries located at $u\longrightarrow\pm \infty$.

The explicit relation between the global  embedding coordinates $X_a$ and the local coordinates $(x,y)$ is given by
\begin{eqnarray}
X_3&=&\frac{1}{2R}e^{-x}y^2+\frac{R}{2}e^{-x}-\frac{R}{2}e^x\nonumber\\
X_2&=&y\nonumber\\
X_1&=&\frac{1}{2R}e^{-x}y^2+\frac{R}{2}e^{-x}+\frac{R}{2}e^x.\label{co}
\end{eqnarray}
The radius $z=1/u$ is given in terms of the  global  embedding coordinates $X_a$ by the relation
\begin{eqnarray}
&&u=\frac{1}{z}=\frac{X_1-X_3}{R^2}.
\end{eqnarray}
The generators of the $SO(1,2)$ isometry group of Euclidean ${\bf AdS}^{2}$ are given by

\begin{eqnarray}
iK^1&=&-\frac{1}{R}e^{-x}y\partial_x-X_3\partial_y\nonumber\\
iK^2&=&\partial_x\nonumber\\
iK^3&=&\frac{1}{R}e^{-x}y\partial_x+X_1\partial_y.\label{Ks}
\end{eqnarray}
These are the generators of the conformal group on the boundary of Euclidean ${\bf AdS}^2$ which satisfy the algebra (with $f^{ab}~_c=\epsilon^{ab}~_c$)

\begin{eqnarray}
[K^a,K^b]=if^{ab}~_cK^c.\label{lie}
\end{eqnarray}
${\bf AdS}^2$ is the co-adjoint orbit $SO(1,2)/SO(2)$ which is a symplectic manifold and thus the canonical quantization of the corresponding Poisson structure, which is given by the inverse of the symplectic form on ${\bf AdS}^2$, produces the noncommutative ${\bf AdS}^2_{\theta}$.

See \cite{Ho:2000fy,Ho:2000br,Jurman:2013ota,Pinzul:2017}.

The noncommutative ${\bf AdS}^2_{\theta}$ is given by the embedding relation
\begin{eqnarray}
-\hat{X}_1^2+\hat{X}_2^2+\hat{X}_{3}^2=-R^2.\label{well1}
\end{eqnarray}
This is a noncommutative space in which the coordinate operators $\hat{X}^a$ are found to satisfy the commutation relations
\begin{eqnarray}
[\hat{X}^a,\hat{X}^b]=i\kappa f^{ab}~_c\hat{X}^c.\label{well2}
\end{eqnarray}
More explicitly, the coordinate operators $\hat{X}^a$ are given by
\begin{eqnarray}
\hat{X}^a=\kappa J^a.
\end{eqnarray}
The $J^a$ are the generators of the Lie group $SO(1,2)=SU(1,1)$ in the irreducible representations of the Lie algebra (\ref{lie}) given by the discrete series $D_j^{\pm}$ with $j=\{1/2,1,2/3,2,3/2,...\}$ (we will only consider integer values of $j$) \cite{barg}. These  are infinite dimensional unitary irreducible representations corresponding to the lowest  and highest weight states given respectively by the Hilbert spaces

\begin{eqnarray}
{\cal H}_j^+=\{|jm\rangle; m=j,j+1,j+2,...\}.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
{\cal H}_j^-=\{|jm\rangle; m=-j,-j-1,-j-2,...\}.
\end{eqnarray}
The Casimir is given by $C=-J_1^2+J_2^2+J_3^2=-j(j-1).{\bf 1}$ whereas the action of the generators $J^1$ and  $J^{\pm}=J^{2}\pm iJ^3$ is given by

\begin{eqnarray}
&&J^1|jm\rangle =m|jm\rangle\nonumber\\
&&J^+|jm\rangle=\sqrt{m(m+1)-j(j-1)}|jm+1\rangle\nonumber\\
&&J^-|km\rangle=\sqrt{m(m-1)-j(j-1)}|km-1\rangle.
\end{eqnarray}
The requirement that the Casimir operator must be negative removes the integer value $j=1$ and thus  $j=\{2,3,...\}$. Indeed, the   integer $j$ is such that \cite{Pinzul:2017wch}
\begin{eqnarray}
\frac{R^2}{\kappa^2}=j(j-1).
\end{eqnarray}
The commutative limit $\kappa\longrightarrow 0$ corresponds therefore to $j\longrightarrow\infty$.

The radius operator is obviously defined by
\begin{eqnarray}
&&\hat{u}=\frac{1}{\hat{z}}=\frac{\hat{X}_1-\hat{X}_3}{R^2}.
\end{eqnarray}
We compute immediately the expectation value $\langle jm|\hat{u}|jm\rangle=-\kappa m/R^2$ which approaches $\mp \infty$ (corresponding to the two boundaries of noncommutative ${\bf AdS}^2_{\theta}$) as $m\longrightarrow \pm\infty$ (corresponding to the two representations $D_j^{\pm}$). Indeed, in the representation $D_j^+$ and $D_j^-$ we find as eigenvalues of $\hat{u}$ the commutative values $u\leq 0$ and $u\geq 0$ respectively. Hence, near the boundaries we have very large values of $m$ \cite{Pinzul:2017wch}.

The operators $\hat{x}$ and $\hat{y}$ associated with the canonical coordinates $x$ and $y$ are found to satisfy the canonical commutation relation
\begin{eqnarray}
[\hat{x},\hat{y}]=i\kappa.\label{MW}
\end{eqnarray}
This structure allows us to introduce a Weyl map \cite{weyl} and a Moyal-Weyl star product \cite{Moyal:1949skv2,Groenewold:1946kpv2} in the usual way.

The weyl map $\pi$ allows us to map operators $\hat{F}(\hat{x},\hat{y})$ in the Hilbert spaces ${\cal H}_j^{\pm}$ back to functions $\pi(\hat{F})(x,y)$ on the commutative ${\bf AdS}^2$ such that the operator product $\hat{F}.\hat{G}$ of two operators $\hat{F}$ and $\hat{G}$ is mapped to the star product $\pi(\hat{F})*\hat{\pi}(\hat{G})$ of the two corresponding functions $\pi(\hat{F})$ and $\hat{\pi}(\hat{G})$, namely
\begin{eqnarray}
\pi(\hat{F}.\hat{G}(\hat{x},\hat{y}))=\pi(\hat{F})*\hat{\pi}(\hat{G})(x,y).
\end{eqnarray}
By construction the map of the canonical operators $\hat{x}$ and $\hat{y}$ is precisely the canonical coordinates $x$ and $y$, viz
\begin{eqnarray}
\pi(\hat{x})=x~,~\pi(\hat{y})=y.
\end{eqnarray}
The star product is given explicitly by  (with $(\bar{x}^1,\bar{x}^2)=(x,y)$ and $\bar{\theta}^{ab}=\kappa \epsilon^{ab}$)

\begin{eqnarray}
f\bar{*}g(\bar{x})&=&\exp(\frac{i}{2}\bar{\theta}^{ab}\frac{\partial}{\partial\xi^a}\frac{\partial}{\partial\eta^b})f(\bar{x}+\xi)g(\bar{x}+\eta)|_{\xi=\eta=0}.
\end{eqnarray}
Or equivalently

\begin{eqnarray}
f\bar{*}g(\bar{x})&=&f({x},y)\exp\big(\frac{i\kappa}{2}(\overleftarrow{{\partial}}_x\overrightarrow{{\partial}}_y-\overleftarrow{{\partial}}_y\overrightarrow{{\partial}}_x)\big)g({x},y).
\end{eqnarray}
In particular, we have for $f=f(x)$ the results

\begin{eqnarray}
f\bar{*}g(\bar{x})=f(x+\frac{i\kappa}{2}\overrightarrow{{\partial}}_y)g(x,y)~,~ g\bar{*}f(\bar{x})=g(x,y)f(x-\frac{i\kappa}{2}\overleftarrow{{\partial}}_y).\label{star1}
\end{eqnarray}
Similarly, we have for $g=g(y)$ the results

\begin{eqnarray}
g\bar{*}f(\bar{x})=g(y-\frac{i\kappa}{2}\overrightarrow{{\partial}}_x)f(x,y)~,~ f\bar{*}g(\bar{x})=f(x,y)g(y+\frac{i\kappa}{2}\overleftarrow{{\partial}}_x).\label{star2}
\end{eqnarray}

The relation between the embedding coordinate operators $\hat{X}_a$ and the canonical coordinate operators $\hat{x}$ and $\hat{y}$ is given from (\ref{co}) by the equations
\begin{eqnarray}
\hat{X}_3&=&\frac{1}{2R}\hat{y}e^{-\hat{x}}\hat{y}+\frac{R}{2}e^{-\hat{x}}-\frac{R}{2}e^{\hat{x}}\nonumber\\
\hat{X}_2&=&\hat{y}\nonumber\\
\hat{X}_1&=&\frac{1}{2R}\hat{y}e^{-\hat{x}}\hat{y}+\frac{R}{2}e^{-\hat{x}}+\frac{R}{2}e^{\hat{x}}.\label{ord}
\end{eqnarray}
It is then straightforward to check  (using $[\exp(\pm \hat{x}),\hat{y}]=\pm i\kappa\exp(\pm \hat{x})$) that
\begin{eqnarray}
[\hat{X}^3,\hat{X}^2]=i\kappa\hat{X}^1~,~[\hat{X}^1,\hat{X}^2]=i\kappa\hat{X}^3~,~[\hat{X}^3,\hat{X}^1]=i\kappa\hat{X}^2.
\end{eqnarray}
These are precisely equations (\ref{well2}). In the same manner we can verify equation (\ref{well1}). This shows explicitly that the operator ordering chosen in (\ref{ord}) is the correct one.

The derivation operators $\hat{\partial}_x$ and $\hat{\partial}_y$ associated with the canonical operators $\hat{x}$ and $\hat{y}$ are given immediately (since (\ref{MW}) defines a Moyal-Weyl plane) by
\begin{eqnarray}
\hat{\partial}_x=-\frac{1}{i\kappa}[\hat{y},]~,~\hat{\partial}_y=\frac{1}{i\kappa}[\hat{x},].
\end{eqnarray}
The derivation operator $\hat{K}^2$ associated with the coordinate operator $\hat{X}_2=\hat{y}$ is then given by
\begin{eqnarray}
i\hat{K}^2=\frac{i}{\kappa}[\hat{X}_2,]=\frac{i}{\kappa}[\hat{y},]=\hat{\partial}_x.
\end{eqnarray}
By construction this has the correct commutative limit $i\hat{K}^2\longrightarrow iK^2=\partial_x$. Similarly, the derivation operators $\hat{K}^1$ and $\hat{K}^3$ should be defined by the relations
\begin{eqnarray}
i\hat{K}^1=\frac{i}{\kappa}[\hat{X}_1,]~,~i\hat{K}^3=\frac{i}{\kappa}[\hat{X}_3,].
\end{eqnarray}
We have explicitly (where the arrow indicates the Weyl map)
\begin{eqnarray}
i\hat{K}^{1,3}(\hat{f})&=&\frac{i}{\kappa}[\hat{X}_{1,3},\hat{f}]\nonumber\\
&=& \frac{i}{\kappa}\bigg(\frac{1}{2R}[\hat{y}e^{-\hat{x}}\hat{y},\hat{f}]+\frac{R}{2}[e^{-\hat{x}},\hat{f}]\pm \frac{R}{2}[e^{\hat{x}},\hat{f}]\bigg)\nonumber\\
&\longrightarrow &\frac{i}{\kappa}\bigg(\frac{1}{2R}[{y}*e^{-{x}}*{y},{f}]_*+\frac{R}{2}[e^{-{x}},{f}]_*\pm \frac{R}{2}[e^{{x}},{f}]_*\bigg).
\end{eqnarray}
It is not difficult to check explicitly (by using (\ref{star1}) and (\ref{star2})) that this definition of $\hat{K}^1$ and $\hat{K}^3$ will tend in the commutative limit $\kappa\longrightarrow 0$ to the generators $K^1$ and $K^3$ given explicitly in equation (\ref{Ks}). In other words, the generators $\hat{K}^a$ are the noncommutative  ${\bf AdS}^2_{\theta}$ Killing vectors  in the same way that the generators $K^a$ are the commutative ${\bf AdS}^2$ Killing vectors.

Action and commutative limit

We are now in a position to write down an action principle for scalar fields $\hat{\Phi}$ on  noncommutative  ${\bf AdS}^2_{\theta}$ using the Killing vectors $\hat{K}^a$ as outer derivations. See in particular \cite{Pinzul:2017wch}. First we note the dimension of the various objects: $[t],[z]\sim R$, $[x]\sim 1$, $[y]\sim R$, $[\kappa]\sim R$ and $[X^a]\sim R$. In particualr note that $x$ is dimensionless and thus the noncommutativity parameter $\bar{\theta}^{ab}\equiv \kappa\epsilon^{ab}$ is of dimension length and not of dimension area. The scalar field $\hat{\Phi}$ in two dimension is canonically of dimension $0$. We can then write down immediately the free action
\begin{eqnarray}
S=\frac{2\pi R \kappa}{2}Tr\bigg(-\frac{1}{R^2\kappa^2}[\hat{X}^a,\hat{\Phi}][\hat{X}_a,\hat{\Phi}]+m^2\hat{\Phi}^2\bigg).\label{action}
\end{eqnarray}
The Weyl map takes the trace $Tr$ to the integral on ${\bf AdS}^2$ as follows (the metric $g$ in the canonical coordinates is read from the second line of (\ref{metric}) and it is clear that $\sqrt{{\rm det}g}=1$)
\begin{eqnarray}
2\pi Tr\longrightarrow \int \frac{dx dy}{\sqrt{{\rm det}\bar{\theta}}}=\int \frac{dx dy}{\kappa}.
\end{eqnarray}
Recall that the integral over a symplectic manifold ${\cal M}^{d}$, such as    ${\bf AdS}^2$, is given in terms of its symplectic structure $\omega$, which is here $\omega=-dx\wedge dy/\kappa$, by the formula (where $d=2n$)
\begin{eqnarray}
(2\pi)^nTr \longrightarrow \int \frac{\omega^n}{n!}=\int \frac{d^{2n}x}{\sqrt{{\rm det}\bar{\theta}}}.
\end{eqnarray}
In terms of the star product the above action reads then (where ${\cal X}^a=\pi(\hat{X}^a)$)
\begin{eqnarray}
S&=&\frac{R}{2}\int dx dy\bigg(-\frac{1}{R^2\kappa^2}[{\cal X}^a,\Phi]_**[{\cal X}_a,\Phi]_*+m^2\Phi*\Phi\bigg).\label{actionstar}
\end{eqnarray}
Recall that ${\bf AdS}^2$ is a manifold with two boundaries in which boundary terms play an important role. However, for simplicity we start by neglecting boundary terms. Thus, the integral over the star product of two functions $f$ and $g$ is equal (up to boundary terms)  to the integral over the ordinary product of these  two functions, viz
\begin{eqnarray}
\int dx dy f*g(x,y)=\int dx dy f(x,y).g(x,y)+{\rm boundary~ terms}.
\end{eqnarray}
By concentrating on the bulk fields for the moment we can use this equation to obtain the action
\begin{eqnarray}
S
&=&\frac{1}{2R\kappa^2}\int dx dy\bigg([{\cal X}^1,\Phi]_*^2-[{\cal X}^2,\Phi]_*^2-[{\cal X}^3,\Phi]_*^2+R^2\kappa^2m^2\Phi^2\bigg)\nonumber\\
&=& \frac{1}{2R\kappa^2}\int dx dy\bigg([y*e^{-x}*y,\Phi]_*[e^x,\Phi]_*+R^2[e^{-x},\Phi]_*[e^{x},\Phi]_*-[y,\Phi]_*^2+R^2\kappa^2m^2\Phi^2\bigg).
\end{eqnarray}

A relatively short calculation using (\ref{star1}) and (\ref{star2}) gives the results
\begin{eqnarray}
[y,\Phi]_*=-i\kappa\partial_x \Phi.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
[e^{\pm x},\Phi]_*=\pm i\kappa e^{\pm x}\Delta_y \Phi.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
[y*e^{-x}*y,\Phi]_*=-i\kappa e^{-x}\bigg[2yS_y\partial_x\Phi -\frac{\kappa^2}{4}\partial_x^2\Delta_y\Phi+y^2\Delta_y\Phi+\frac{\kappa^2}{4}\Delta_y\Phi\bigg].
\end{eqnarray}
The operators $\Delta_y$ and $S_y$ are given explicitly by
\begin{eqnarray}
\Delta_y=\frac{2}{\kappa}\sin \frac{\kappa}{2}\partial_y~,~S_y=\cos \frac{\kappa}{2}\partial_y.
\end{eqnarray}
We get then the action
\begin{eqnarray}
S
&=& \frac{1}{2R}\int dx dy\bigg((\partial_x\Phi)^2+(R^2+\frac{\kappa^2}{4}+y^2)(\Delta_y\Phi)^2+2y\Delta_y\Phi S_y\partial_x\phi -\frac{\kappa^2}{4}\Delta_y\Phi\partial_x^2\Delta_y\Phi+R^2m^2\Phi^2\bigg).
\end{eqnarray}
We use now the identity $1=S_y²+\kappa^2 \Delta_y^2/4$ or equivalently
\begin{eqnarray}
\int dxdy (\partial_x\Phi)^2&=&\int dx dy\partial_x\Phi S_y^2\partial_x\Phi+\frac{\kappa^2}{4}\int dx dy \partial_x\Phi\Delta_y^2\partial_x\Phi\nonumber\\
&=& \int dx dy (S_y\partial_x\Phi)^2-\frac{\kappa^2}{4}\int dx dy (\Delta_y\partial_x\Phi)^2.
\end{eqnarray}
In the last line we have neglected boundary terms and used the results
\begin{eqnarray}
&&\int dxdy f(x,y).\Delta_yg(x,y)=-\int dxdy \Delta_yf(x,y).g(x,y)+{\rm boundary~terms}\nonumber\\
&&\int dxdy f(x,y).S_yg(x,y)=\int dxdy S_yf(x,y).g(x,y)+{\rm boundary~terms}.\end{eqnarray}
The action then becomes

\begin{eqnarray}
S
&=& \frac{1}{2R}\int dx dy\bigg((S_y\partial_x\Phi+y\Delta_y\Phi)^2+(R^2+\frac{\kappa^2}{4})(\Delta_y\Phi)^2+R^2m^2\Phi^2\bigg).
\end{eqnarray}
The classical equation of motion follows directly from this action. We get (the operators $\partial_x$ and $S_y$ commute but the order of the operators $\Delta_y$ and $y$ matters)

\begin{eqnarray}
(\partial_xS_y+\Delta_yy)(S_y\partial_x+y\Delta_y)\Phi+(R^2+\frac{\kappa^2}{4})\Delta_y^2\Phi-R^2m^2\Phi=0.\label{eom}
\end{eqnarray}
In the commutative limit we have $\kappa\longrightarrow 0$ and thus $\Delta_y=\partial_y+O(\kappa^2)$, $S_y=1+O(\kappa^2)$. As a consequence the above action reduces to
\begin{eqnarray}
S
&=& \frac{1}{2R}\int dx dy\bigg((\partial_x\Phi+y\partial_y\Phi)^2+R^2(\partial_y\Phi)^2+R^2m^2\Phi^2\bigg).
\end{eqnarray}
This read in the Poincare coordinates

\begin{eqnarray}
S
&=& \frac{1}{2R}\int \frac{1}{R}\sqrt{g}dt dz\bigg(z^2(\partial_z\Phi)^2+z^2(\partial_t\Phi)^2+R^2m^2\Phi^2\bigg)\nonumber\\
&=& \frac{1}{2}\int \sqrt{g}d^2x\bigg((\partial_a\Phi)(\partial^a\Phi)+m^2\Phi^2\bigg).
\end{eqnarray}
This is the correct commutative action.

In the near-boundary limit $z\longrightarrow 0$ we have  $\Delta_y=\frac{z}{R}\partial_t+O(z^3)$ and $S_y=1+O(z^2)$ since $\partial_y=\frac{z}{R}\partial_t$ (recall that $z=R\exp(-x)$ and $t=zy/R$). Thus, $S_y\partial_x+y\Delta_y=\partial_x+t\partial_t+O(z^2)=-z\partial_z+O(z^2)$. We obtain then the near-boundary action
\begin{eqnarray}
S
&=& \frac{1}{2R}\int \frac{1}{R}\sqrt{g}dt dz\bigg(z^2(\partial_z\Phi)^2+(1+\frac{\kappa^2}{4R^2})z^2(\partial_t\Phi)^2+R^2m^2\Phi^2\bigg)\nonumber\\
&=& \frac{1}{2}\int \sqrt{g^{\prime}}d^2x^{\prime}\bigg((\partial_a^{\prime}\Phi)(\partial^{\prime a}\Phi)+m^2\Phi^2\bigg).\label{nb}
\end{eqnarray}
The primed coordinates are given by $x^1=t^{\prime}$ and $x^2=z$ where the rescaled time parameter  $t^{\prime}$ is related to the original Poincare time $t$ by the relation
\begin{eqnarray}
t^{\prime}=\frac{t}{\sqrt{1+\frac{\kappa^2}{4R^2}}}.\label{time}
\end{eqnarray}
In order to take into account the effect of boundary terms in the classical equation of motion we return to the original action (\ref{action}) and compute the variation
\begin{eqnarray}
\delta S&=&2\pi R \kappa Tr\delta\hat{\Phi}\bigg(\frac{1}{R^2\kappa^2}[\hat{X}^a,[\hat{X}_a,\hat{\Phi}]]+m^2\hat{\Phi}\bigg)\nonumber\\
&+& \pi R \kappa Tr\bigg(-\frac{2}{R^2\kappa^2}[\hat{X}^a,\delta\hat{\Phi}[\hat{X}_a,\hat{\Phi}]]-\frac{1}{R^2\kappa^2}[[\hat{X}^a,\hat{\Phi}],[\hat{X}_a,\delta\hat{\Phi}]]\nonumber\\
&+&m^2[\hat{\Phi},\delta\hat{\Phi}]\bigg).\label{var}
\end{eqnarray}
The first line produces the equation of motion of bulk fields given by  (\ref{eom}) which can then also be put in the form
\begin{eqnarray}
\frac{1}{R^2\kappa^2}[\hat{X}^a,[\hat{X}_a,\hat{\Phi}]]+m^2\hat{\Phi}=0.
\end{eqnarray}
The second line of  (\ref{var}) represents boundary terms. These terms are all given by the trace of a commutator which should vanish identically if the trace were finite dimensional. It is straightforward to check that these boundary terms (at least up to order $\kappa^2$) yields the commutative result \cite{Pinzul:2017wch}

\begin{eqnarray}
-\int dt (\delta \Phi\partial_z\Phi)|_{z=0}.
\end{eqnarray}

Conformal field theory and the ${\bf AdS}_2/{\bf CFT}_1$ correspondence

The near-boundary action (\ref{nb}) can be equivalently interpreted as an action over a commutative ${\bf AdS}^2$ with Poincare coordinates $x^1=t$ and $x^2=z$ and a rescaled field $\Phi^{\prime}$ given by
\begin{eqnarray}
\Phi^{\prime}=(1+\frac{\kappa^2}{4R^2})^{1/4}\Phi.\label{nc2c}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
S&=& \frac{1}{2}\int \sqrt{g}d^2x\bigg((\partial_a\Phi^{\prime})(\partial^a\Phi^{\prime})+m^2\Phi^{\prime2}\bigg).\label{nb1}
\end{eqnarray}
The near-boundary action is therefore an ordinary free scalar field theory on commutative ${\bf AdS}^2$ (with rescaled fields). This means in particular that noncommutative ${\bf AdS}^2_{\theta}$ is asymptotically a commutative ${\bf AdS}^2$ (since the bounadry limit $z\longrightarrow 0$ corresponds to $x,y\longrightarrow \infty$ keeping the time $t=\exp(-x)y$ fixed).

Furthermore, it should be noted that the near-boundary action  (\ref{nb1}) is in fact exact in $\kappa$ and as such we will take it as our  first approximation of the original free scalar field theory on noncommutative ${\bf AdS}^2_{\theta}$ given by the action (\ref{action}).

The equation of motion which follows from action (\ref{nb1}) is the commutative limit of the equation of motion  (\ref{eom}). This is given explicitly by
\begin{eqnarray}
z^2(\partial_z^2+\partial_t^2)\Phi^{\prime}-m^2R^2\Phi^{\prime}=0.\label{nb1eom}
\end{eqnarray}
We will assume that the mass $m^2$ satisfies the so-called Breitenlohner-Freedman  bound $m^2>-1/4R^2$. The solution near the boundary $z=\epsilon$  is then given by \cite{Ramallo:2013bua}

\begin{eqnarray}
\Phi^{\prime}(t,z=\epsilon)= A(t)\epsilon^{1-\Delta}.\label{div}
\end{eqnarray}
The exponent $\Delta$ is the so-called scaling dimension of the field and it is given by
\begin{eqnarray}
\Delta=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+m^2R^2}.
\end{eqnarray}
For $m^2>0$ the exponent $1-\Delta$ is negative and hence the field (\ref{div}) is divergent. The quantum field theory source $\varphi^{\prime}(t)$, i.e. the scalar field living on the boundary, is then identified with $A(t)$, viz
\begin{eqnarray}
\varphi^{\prime}(t)={\rm lim}_{\epsilon\longrightarrow 0}\epsilon^{\Delta-1}\Phi^{\prime}(t,\epsilon).\label{bva}
\end{eqnarray}
$\varphi^{'}(t)$ is the scalar field representing  the  anti-de Sitter scalar field $\Phi^{\prime}(t,z)$ at the boundary $z=0$, i.e. the boundary field $\varphi^{\prime}$ is the holographic dual of the bulk field $\Phi^{\prime}$. The scaling dimension of the source $\varphi^{\prime}$ is given by $1-\Delta$.

Let ${\cal O}^{\prime}(t,z)$ be the dual operator of the scalar field $\Phi^{\prime}(t,z)$. Their coupling is a boundary term of the form (by using also equation (\ref{nc2c}))
\begin{eqnarray}
S_{\rm bound}&=&\int dt\sqrt{\gamma}\Phi^{\prime}(t,\epsilon){\cal O}^{\prime}(t,\epsilon)\nonumber\\
&=&(1+\frac{\kappa^2}{4R^2})^{1/2}\int dt\sqrt{\gamma}\Phi^{}(t,\epsilon){\cal O}^{}(t,\epsilon).\label{bt0}
\end{eqnarray}

Obviously, we must have
\begin{eqnarray}
{\cal O}^{\prime}(t,z)=(1+\frac{\kappa^2}{4R^2})^{1/4}{\cal O}(t,z). \label{nc2c1}
\end{eqnarray}
It is clear that by rescaling the time coordinate in  (\ref{nb1}) we obtain the bulk action (\ref{nb}) whereas rescaling time in (\ref{bt0}) yields a canonically normalized boundary term. The time rescaling is naturally given by (\ref{time}).

The boundary term (\ref{bt0}) can also be rewritten  in terms of the dual operator ${\cal O}^{\prime}(t)$ of the scalar field $\varphi^{\prime}(t)$ as
\begin{eqnarray}
S_{\rm bound}
&=&\int dt \frac{R}{\epsilon} \epsilon^{1-\Delta}\varphi^{\prime}(t){\cal O}^{\prime}(t,\epsilon)\nonumber\\
&=&R \int dt \varphi^{\prime}(t){\cal O}^{\prime}(t).\label{bt}
\end{eqnarray}
Where
\begin{eqnarray}
{\cal O}^{\prime}(t,\epsilon)=\epsilon^{\Delta}{\cal O}^{\prime}(t).
\end{eqnarray}
This is the wave function renormalization of the operator ${\cal O}^{\prime}$ as we move into the bulk. This also shows explicitly that $\Delta$ is the scaling dimension of the dual operator ${\cal O}^{\prime}$ since going from $z=0$ to $z=\epsilon$ is a dilatation operation in the quantum field theory.

The boundary term (\ref{bt}) can be written in terms of the noncommutative scalar field $\varphi(t)$ and its dual operator ${\cal O}(t)$ as
\begin{eqnarray}
S_{\rm bound}
&=&R \int dt \varphi^{}(t){\cal O}^{}(t).\label{bt1}
\end{eqnarray}
The noncommutative boundary scalar field $\varphi(t)$ and its dual operator ${\cal O}(t)$ are related to the boundary scalar field $\varphi^{\prime}(t)$ and its dual operator ${\cal O}^{\prime}(t)$ by equations (\ref{nc2c}) and (\ref{nc2c1}) respectively.

The CFT living on the boundary is completely determined by the correlation functions
\begin{eqnarray}
\langle{\cal O}^{\prime}(t_1)...{\cal O}^{\prime}(t_n)\rangle.
\end{eqnarray}
On the boundary with lagrangian ${\cal L}$ the calculation of these correlation functions  proceeds as usual by introducing the generating functional
\begin{eqnarray}
Z_{\rm CFT}[J]=\int ~\exp({\cal L}+\int dt J(t){\cal O}^{\prime}(t))=\langle\exp(\int dt J(t){\cal O}^{\prime}(t))\rangle .
\end{eqnarray}
Then we have immediately
\begin{eqnarray}
\langle{\cal O}^{\prime}(t_1)...{\cal O}^{\prime}(t_n)\rangle=\frac{\delta^n\log Z_{CFT}[J]}{\delta J(t_1)...\delta J(t_n)}|_{J=0}.
\end{eqnarray}
The operator ${\cal O}^{\prime}(t)$ is sourced by the scalar field $\varphi^{\prime} (t)$ living on the boundary which is related to the boundary value of the bulk scalar field $\Phi^{\prime}(t,z)$ by the relation (\ref{bva}). The boundary scalar field $\Phi_0^{\prime}(t)$ is actually divergent and it is simply defined by
\begin{eqnarray}
\Phi_0^{\prime}(t)=\Phi^{\prime}(t,0).
\end{eqnarray}
The AdS/CFT correspondence \cite{Gubser:1998bc,Witten:1998qj} states that the CFT generating functional with source $J=\Phi_0^{\prime}$ is equal to the path integral on the gravity side evaluated over a bulk field which has the value $\Phi_0^{\prime}$ at the boundary of AdS. We write
\begin{eqnarray}
Z_{\rm CFT}[\Phi_0^{\prime}]\equiv Z_{\rm grav}[\Phi^{\prime}\longrightarrow\Phi_0^{\prime}] =\int_{\Phi^{\prime}\longrightarrow \Phi_0^{\prime}} {\cal D}\Phi^{\prime}\exp(S_{\rm grav}[\Phi^{\prime}]).
\end{eqnarray}
In the limit in which classical gravity is a good approximation the gravity path integral can be replaced by the classical amplitude given by the classical on-shell gravity action, i.e.

\begin{eqnarray}
Z_{\rm CFT}[\Phi_0^{\prime}]=\exp(S_{\rm grav}^{\rm on-shell}[\Phi^{\prime}\longrightarrow\Phi_0^{\prime}]).
\end{eqnarray}
Typically the on-shell gravity action is divergent requiring holographic renormalization  \cite{Henningson:1998gx,deHaro:2000vlm,Skenderis:2002wp}. The on-shell action gets renormalized and the above prescription becomes
\begin{eqnarray}
Z_{\rm CFT}[\Phi_0^{\prime}]=\exp(S_{\rm grav}^{\rm renor}[\Phi^{\prime}\longrightarrow\Phi_0^{\prime}]).
\end{eqnarray}
The correlation functions are then renormalized as

\begin{eqnarray}
\langle{\cal O}^{\prime}(t_1)...{\cal O}^{\prime}(t_n)\rangle=\frac{\delta^n S_{\rm grav}^{\rm renor}[\Phi^{\prime}\longrightarrow\Phi_0^{\prime}]}{\delta\varphi^{\prime}(t_1)...\delta\varphi^{\prime}(t_n)}|_{\varphi^{\prime}=0}.
\end{eqnarray}
In our case the bulk action $S_{\rm grav}$ is proportional (with a proportionality constant denoted by $-\eta$) to the near-boundary action  (\ref{nb1})  which is an  approximation of the action (\ref{action}) of free scalar fields on noncommutative ${\bf AdS}^2_{\theta}$.

The on-shell action $S_{\rm grav}^{\rm on-shell}$ is a boundary term obtained from $S_{\rm grav}$ by substituting the solution of the classical equation of motion (\ref{nb1eom}) (which is also required to be a regular solution in the IR limit $z\longrightarrow\infty$).

The on-shell action is found to be divergent requiring the addition of a counter term in the form of a quadratic local term living on the  boundary of AdS space given explicitly by \cite{Ramallo:2013bua}
\begin{eqnarray}
S^{}_{\rm ct}
&=&\frac{\eta}{2}\eta_1 \int_{} \sqrt{\gamma}dt \phi^2.
\end{eqnarray}
After some calculation we find that $\eta_1=-(1-\Delta)/R$ and as a consequence the  renormalized action reduces to
\begin{eqnarray}
S^{\rm renor}_{\rm grav}
&=&-\frac{\eta}{2}(2\Delta -1)\frac{\Gamma(1-\nu)}{\Gamma(1+\nu)}\int_{} \frac{d\omega}{2\pi} \varphi^{\prime}(\omega)(\frac{\omega}{2})^{2\nu}\varphi^{\prime}(-\omega).
\end{eqnarray}
The exponent $\nu$ is given by
\begin{eqnarray}
\nu^2=\frac{1}{4}+m^2R^2=(\Delta-\frac{1}{2})^2.
\end{eqnarray}
The two-point function is then given immediately by

\begin{eqnarray}
\langle{\cal O}^{\prime}(t){\cal O}^{\prime}(0)\rangle=\frac{2\nu \eta}{\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma(\frac{1}{2}+\nu)}{\Gamma(-\nu)}\frac{1}{|t|^{2\Delta}}.
\end{eqnarray}
This is the correct behavior of a conformal field of scaling dimension $\Delta$, i.e. the exponent $\Delta$ is indeed the scaling dimension of the boundary operator ${\cal O}^{\prime}(x)$.

The final step is to substitute the operator rescaling (\ref{nc2c1}) to obtain the noncommutative two-point function

\begin{eqnarray}
\langle{\cal O}^{}(t){\cal O}^{}(0)\rangle=(1+\frac{\kappa^2}{4R^2})^{-1/2}\frac{2\nu \eta}{\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma(\frac{1}{2}+\nu)}{\Gamma(-\nu)}\frac{1}{|t|^{2\Delta}}.
\end{eqnarray}
By exapnding in powers of $\kappa^2$ and setting $m^2=0$ we obtain the result of \cite{Pinzul:2017wch} which was directly computed from the noncommutative action (\ref{actionstar}) $\kappa-$expanded up to the order of $\kappa^2$.

References

%\cite{barg}
\bibitem{barg}
V. ~Bargmann,
“Irreducible unitary representations of the Lorentz group,”
Ann. Math.48 (1947) 568.

%\cite{Ho:2000fy}
\bibitem{Ho:2000fy}
P.~M.~Ho and M.~Li,
Large N expansion from fuzzy AdS(2),''
Nucl.\ Phys.\ B {\bf 590}, 198 (2000)
%  doi:10.1016/S0550-3213(00)00540-X
[hep-th/0005268].
%%CITATION = doi:10.1016/S0550-3213(00)00540-X;%%
%24 citations counted in INSPIRE as of 17 Jun 2019

%\cite{Ho:2000br}
\bibitem{Ho:2000br}
P.~M.~Ho and M.~Li,
Fuzzy spheres in AdS / CFT correspondence and holography from noncommutativity,''
Nucl.\ Phys.\ B {\bf 596}, 259 (2001)
%doi:10.1016/S0550-3213(00)00594-0
[hep-th/0004072].
%%CITATION = doi:10.1016/S0550-3213(00)00594-0;%%
%61 citations counted in INSPIRE as of 17 Jun 2019

%\cite{Jurman:2013ota}
\bibitem{Jurman:2013ota}
D.~Jurman and H.~Steinacker,
2D fuzzy Anti-de Sitter space from matrix models,''
JHEP {\bf 1401}, 100 (2014)
%doi:10.1007/JHEP01(2014)100
[arXiv:1309.1598 [hep-th]].
%%CITATION = doi:10.1007/JHEP01(2014)100;%%
%22 citations counted in INSPIRE as of 17 Jun 2019

%\cite{Pinzul:2017wch}
\bibitem{Pinzul:2017wch}
A.~Pinzul and A.~Stern,
Non-commutative $AdS_2/CFT_1$ duality: the case of massless scalar fields,''
Phys.\ Rev.\ D {\bf 96}, no. 6, 066019 (2017)
%doi:10.1103/PhysRevD.96.066019
[arXiv:1707.04816 [hep-th]].
%%CITATION = doi:10.1103/PhysRevD.96.066019;%%
%2 citations counted in INSPIRE as of 17 Jun 2019

%\cite{weyl}
\bibitem{weyl}
H.~Weyl,
The Theory of Groups and Quantum Mechanics,''
Dover, New York (1931).

%\cite{Moyal:1949skv2}
\bibitem{Moyal:1949skv2}
J.~E.~Moyal,
Quantum mechanics as a statistical theory,''
Proc.\ Cambridge Phil.\ Soc.\  {\bf 45}, 99 (1949).
%doi:10.1017/S0305004100000487
%%CITATION = doi:10.1017/S0305004100000487;%%
%965 citations counted in INSPIRE as of 09 Feb 2019

%\cite{Groenewold:1946kpv2}
\bibitem{Groenewold:1946kpv2}
H.~J.~Groenewold,
On the Principles of elementary quantum mechanics,''
Physica {\bf 12}, 405 (1946).
%  doi:10.1016/S0031-8914(46)80059-4
%%CITATION = doi:10.1016/S0031-8914(46)80059-4;%%
%446 citations counted in INSPIRE as of 09 Feb 2019