## LATEX

### النوترينو و باولى و فرمى

فى هذا الجزء الرابع -وهو آخر جزء لهذا الاسبوع- سنحكى قصة اكتشاف النوترينو neutrino وكيف ان باولى Pauli اعطاهم الحل وقال لهم هذا جسيم عديم الشحنة, تقريبا عديم الكتلة و يجب ان يتفاعل بشكل ضعيف جدا و رمز له ب ν وسماه النوترون (فالنوترون لم يكن قد اكتشف بعد عام 1930) لكن لا احد صدقه.
حتى جاء فرمى Fermi بعده عام 1933 و اخذ فكرة باولى بشكل جدى و حل بها كثير من معضلات تهافت بيطا beta-decay ليس فقط معضلة الطاقة الضائعة missing energy.
فرمى سمى هذا الجسيم نوترينو (وهو تصغير النوترون بالايطالية لان النوترون كان فى هذا الوقت قد اكتشفه اندرسون Anderson وسماه نوترون اى البروتون-المحايد).
معضلة تهافت بيطا هى ان النوترون الحر لا يعيش الا 15 دقيقة فقط فهذا عمره ثم يتهافت بعدها (اى ينحل أو يتفكك او ينقسم) ليعطى بروتون و الكترون.
نطبق مبادئ انحفاظ الطاقة و الزخم على هذا التفاعل باستخدام علاقات اينتشاين للطاقة و الزخم فنجد ان الالكترون (فى معلم الاسناد العطالى inertial reference frame الذى يكون فيه النوترون ساكنا) يجب ان يخرج بطاقة تساوى 0.8 ميغاالكترون فولط (وهذه وحدات فيزياء الجسيمات الاولية).
لكن هذا ليس ما نلاحظه فى التجربه.
الذى نلاحظه ان الالكترون يمكنه ان يخرج بأى طاقة بين 0 و 0.8 ميغا اليكترون فولط. اذن الذى نلاحظه تجريبيا ان الالكترون يخرج بتوزيع طاقة energy distribution قيمته القصوى هى 0.8 ميغا الكترون فولط.
هذه مشكلة كانت عويصة جدا فى ذلك الوقت حتى ان بعضهم (يقال هو بوهر لكننى لست أصدق هذا) دعى الى التخلى عن مبدأ انحفاظ الطاقة.
لكن بكل بساطة فان باولى (الذى يؤمن بعمق بوجود النفس التى لا يمكننا رصدها. انظر منشور البارحة حول العلاقة بين باولى و جونغ) اذن باولى ببساطة قال للجميع الحل حل هذه المعضلة يكمن فى وجود جسيم ثالث مُنتج فى تهافت بيطا (بالاضافة الى الاكترون و البروتون) وهو جسيم لا نرصده لانه محايد كهربائيا, عديم الكتلة (او صغيرة جدا جدا) و ايضا غير متفاعل لا عبر القوة الكهرومغناطيسية و لا عبر القوة النووية القوية بل هو متفاعل عبر قوة ضعيفة جدا لا تسمح لنا برؤيته فى الكواشف detectors (هذه القوة نسميها اليوم القوة النووية الضعيفة weak nuclear force وهى اقل من القوة الكهرومغناطيسية بمعامل يساوى 10 للقوة -11 (اذن هذا ضعف شديد فعلا)).
هذا الجسيم الشبح هو الذى يحمل الطاقة الضائعة التى لا نراها فى الكاشف ونرى فقط الالكترون بذلك التوزيع الطاقوى الشهير (انظر المحاضرة من اجل منحنى هذا التوزيع).
اذن باولى فكر فى النوترينو مثلما يفكر فى النفس فهو فكر ان هذا جسيم موجود لكن رصده صعب جدا جدا (وهذا وجده بقية الفيزيائيين صعب على الفهم كيف لجسيم ان يكون قد انتج فى تفاعل لكننا لا نراه).
النوترينو لم يُرى مباشرة فى المسرعات حتى عام 1956 من قبل راينس Reines و كوين Cowan.
و نعرف ايضا اليوم ان الذى ينتج فى تهافت بيطا هو ليس النوترينو بل هو النوترينو-المضاد anti-neutrino.
انظروا ايضا المحاضرة من اجل شرح اسباب اختلاف النوترينو عن النوترينو المضاد. هنا يدخل مبدأ تناظر جديد هو مبدأ انحفاظ العدد اللبتونى lepton number conservation.
فى المحاضرة سنشرح ايضا ان عملية تهافت جسيم البيون pion الى جسيم الميون muon فى الاشعة الكونية cosmic rays فى الطبقات العليا من الجو هو مرفق بانبعاث نوترينو.
أما عملية تهافت جسيم الميون الى الالكترون فى الاشعة الكونية على مستوى سطح البحر فهو مرفق بنوترينو و نوترينو-مضاد.
اما لماذا لا يتهافت الميون الى الكترون مع اصدار فوتون فهذا ممنوع بمبدأى تناظر آخرين هما انحفاظ العدد الالكترونى electron number conservation و انحفاظ العدد الميونى muon number conservation وهما معا اقوى بكثير من مبدأ انحفاظ العدد اللبتونى.
هذان المبدأن هما اللذان يؤديان الى ضرورة وجود نوعان من النوترينو هما النوترينو الالكترونى electron neutrino و النوترينو الميونى muon neutrino.
فى هذه العجالة الفيزيائية-التاريخية نكون قد وصلنا الى الخمسينات و فى هذه الفترة دخلت الى العمل مسرعات جديدة اقوى بكثير وهنا وقعت ثورة جديدة فى فيزياء الجسيمات الاولية نحكيها فى اقرب فرصة ان شاء الله.

### قصة يوكاوا مع البيون و الميون

فى هذا الجزء الثالث نحكى قصة يوكاوا Yukawa و كيفية تنبئه بجسيم البيون pion و اكتشاف جسيم الميون muon معه رغم ان لا احد توقعه.
ويوكاوا هو الرائد فى نظرية التفاعلات النووية القوية وهو فيزيائى يابانى كان معزولا فى اليابان الى اقصى الحدود قبل و اثناء الحرب العالمية الثانية و رغم هذا تمكن من تصور النواة على انها حالة مرتبطة bound state تجمع بين البروتونات و النوترونات عبر القوة النووية القوية وهذا عن طريق تبادل جسيمات ثقيلة هى هذه البيونات (جمع بيون).
اذن البروتون يتنافر او يتجاذب مع البروتون او النوترون عبر تبادل جسيمات البيونات مشكلين بذلك النواة مثلما ان الالكترون يتنافر او يتجاذب مع الالكترون و البروتون عبر تبادل الفتونات مشكلين بذلك الذرة.
يوكاوا قام بحساب كتلة هذا الجسيم باستخدام مبدأ الارتياب لهايزنبرغ ووجدها بين كتلة الالكترون و بين كتلة البروتون ولهذا سماه الميزون meson اى متوسط-الكتلة. كما نعرف اليوم فان البيون هو ميزون واحد من ميزونات اخرى كثيرة.
الاكترون من الجهة الاخرى يسمى لبتون lepton اى خفيف-الكتلة اما البروتون فيسمى باريون baryon اى ثقيل-الكتلة.
اكتشاف البيون استهلك وقت طويلا وهذا بسبب انه ثقيل لا يمكن انتاجه بسهولة فى المسرعات لكنهم كانوا يتمكنون من دراسته فى الاشعة الكونية cosmic rays و ثانيا بسبب انه ينتج فى الاشعة الكونية فى الطبقات العليا من الجو و لا يعيش كثيرا و اكثر الاسباب التى عطلت اكتشافه هو ان هناك جسيم آخر تقارب كتلته كتلة البيون و ينتج ايضا فى الاشعة الكونية كان يسمى الميو-ميزون mu-meson (لانهم كانوا يعتقدون انه ميزون وهو ليس كذلك بل هو لبتون) و اصبح يسمى الآن الميون muon.
باول Powell عام 1947 حسم الامر نهائيا حيث اكتشف البيون و الميون كجسيمين مختلفين و ان جسيم يوكاوا هو البيون اما الميون الذى اخلط الاوراق لاكثر من عشر سنوات فهو لبتون لا يتفاعلا اصلا عبر القوة النووية القوية.
بل ان البيون عندما يتهافت فى الطبقات العليا فى الجو فانه يتهافت الى الميون الذى يتهافت بدوره عند سطح الارض الى الالكترونات. لكن الميون فعلا هو الشقيق الاكبر و الاثخن للالكترون اما البيون فهو وسيط القوة النووية القوية.
تفاصيل اكثر فى المحاضرة.

### ديراك و المادة-المضادة

لا يوجد من لا يعشق فى فيزياء الجسيمات الاولية بعد ان يراها لأول مرة (وقد عشقتها شخصيا بعد ان سمعت عنها و لم اكن قد رايتها بعد).
فهو الحب الحقيقى و من النظرة الاولى فعلا.
و اسألوا اى طالب فيزياء نظرية لماذا جاء الى الفيزياء النظرية رغم صعوبتها و قلة الفرص فيها و انعدام امكانية تحصيل المال و الثراء و الشهرة فيها.
السبب هو ذلك الحب العميق لفيزياء الجسيمات الاولية.
والفينومينولوجيا phenomenology (خاصة القديمة منها و الفينومينولوجيا هى فيزياء الجسيمات فى جانبها الظواهرى الاقرب الى التجربة) اذن هذه الفينومينولوجيا هى مثل الشعر عكس التجريد الموجود فى نظريات المجال و الوتر و الحلقة و المصفوفة الذى هو مثل الفلسفة-و-الرياضيات.
نأخذ قصة اخرى من فيزياء الجسيمات هى قصة بول ديراك Paul Dirac (الصورة الاولى) اذن نأخذ قصته مع معادلته التى تحمل اسمه اى معادلة ديراك Dirac equation.
و ديراك كما يعلم الجميع هو احد عمالقة الفيزياء النظرية التايتن titan و هو يأتى فى الصف الثانى مباشرة بعد الثلاثى الفذ نيوتن و اينتشاين و بولتزمان. بعد هذا الثلاثى تجدون ديراك و اقرانه مثل بوهر و هايزنبرغ و شرودينغر و باولى و بورن و كل هؤلاء من ائمة الميكانيك الكمومى الاوائل.
ديراك مباشرة بعد عام واحد من اكتشاف هايزنبرغ للميكانيك الكمومى المصفوفى و اكتشاف شرودينغر للميكانيك الكمومى الموجى و مباركة الأب الاكبر بوهر للجميع اذن بعد عام واحد قرر ديراك ان يوحد بين هذا الميكانيك الكمومى الوليد و نظرية النسبية الخاصة.
ولان ديراك عبقرى من العيار الثقيل فانه لم يتعب كثيرا فانه وجد الحل بسرعة رهيبة عام 1927 و كانت انطلاقة الحل هى معادلة اينشتاين للطاقة (الصحيحة دائما فى جميع معالم الاسناد العطالية reference inertial frame) التى كتبت فيها منشور كامل الاسبوع الماضى. الصورة الثانية.
الفكرة ببساطة تكمن فى التخلص من المربعات فى المعادلة.
وهذا ممكن لكن مباشرة نصل الى النتيجة ان الجل لا يمكن كتابته بدلالة اعداد بل بدلالة مصفوفات وهذه المصفوفات تعرف اليوم -حتى فى الرياضيات- بمصفوفات ديراك Dirac matrices و يرمز لها ب γ و هى تحقق جبرية تسمى جبرية كليفورد Clifford algebra التى يعتبر ديراك الفيزيائى النظرى مكتشفها الحقيقى.
معادلة ديراك فى المعادلة الثالثة هى ليست الا معادلة شرودينغر فى المعادلة الرابعة الشيء الجديد الوحيد هو ان الهاميلتونية Hamiltonian او مؤثر الطاقة H يجب ان يكون نسبى و هو فعلا نسبى يمكن ان يكتب بدلالة مصفوفات ديراك و مؤثر الزخم momentum operator.
ومعادلة ديراك يجب ان تصف جسيم بعزم-لف-ذاتى (سبين) بساوى نصف و كتلة تساوى m التى تظهر فى المعادلة.
السبين يظهر تأثيره فى كون دالة الموجة ψ هى ليست دالة عادية بل هى شيء يسمى سبينور spinor والسبينور هو كائن رياضى يتميز باربعة مركبات يتحول بشكل معين تحت تأثير تحويلات لورنتز Lorentz transformations (وهو ليس بشعاع كما يتصور اغلب الطلبة).
بعد ان وجد ديراك معادلته قام بحلها.
فوجد ان هناك حلول ذات-طاقة-موجبة (تشكل طيف مستمر هو الطيف الفيزيائى المرصود) و حلول ذات-طاقة-سالبة (تشكل طيف مستمر آخر يسمى بحر ديراك Dirac sea). الصورة الخامسة.
هذا يعنى ان الالكترون الحر الذى يعطى بحالة ذات طاقة-موجبة سوف يتهافت decay او ينهار collapse نحو بحر ديراك لان الالكترون (واى جملة فيزيائية) تبحث دائما عن الحالة ذات الطاقة الاصغر. وهذا الانهيار سوف يترافق مع انبعاث طاقة هائلة بل طاقة لانهائية.
وهذا غير مرصود ابدا. فالالكترون مستقر جدا (بل هو اكثر الجسيمات الاولية استقرارا).
الحل من ديراك كان بافتراض ان بحر ديراك ليس فارغا بل هو مملوء بالالكترونات.
اذن الالكترون الحر ذو الطاقة-الموجبة لا يمكنه ان يقفز الى بحر ديراك لان بحر ديراك مملوء و حسب مبدأ باولى للاستبعاد Pauli's exclusion principle (و باولى عبقرى آخر بقصص مثيرة خاصة به) فانه لا يمكن لاى الكترونين ان يحتلا نفس الحالة الكمومية.
اذن هذا الاقتراح العبقرى حل المشكلة بالكامل لكن السؤال يبقى اين هو هذا البحر (بحر ديراك).
حسب ديراك فان الشحنة الكهربائية لهذا البحر منتظمة لانهائية و ايضا الطاقة منتظمة لا نهائية و لهذا فهو غير مرصود لانه لا يمكنه ان يؤثر على اى شيء.
بل ان شحنة الالكترون الحر نفسه و طاقته فهما محسوبان بالنسبة لشحنة و طاقة هذا البحر.
الآن تصور ان الكترون من الكترونات هذا البحر تم اخراجه الى الطيف المستمر الموجب -اى اصبح هذا الالكترون مرصود- عبر امتصاص طاقة (عل شكل فوتون).
فى هذه الحالة فان الفراغ الذى يتركه وراءه فى البحر (ويسمى ثغر hole) سوف يتميز بشحنة موجبة و كذا طاقة موجبة -تذكروا ان كل شحنة و كل طاقة سوف يقاسان بالنسبة لبحر ديراك-.
اذن الثغر الذى يتركه الالكترون المقذوف خارج البحر وراءه سوف يتصرف كجسيم كتلته كتلة الالكترون و شحنته عكس شحنة الالكترون و اكثر من هذا يتميز بطاقة موجبة.
هذا الثغر هو الالكترون-المضاد anti-electron او البوزيترون positron الذى اكتشفه اندرسون Anderson عام 1931 بعد اربعة سنوات فقط من نظرية ديراك. الصورة السادسة هى صورة اكتشاف البوزيترون الاصلية من طرف اندرسون.
البوم نحن نعرف ان (نظرية الثغر hole theory) لديراك هى نظرية خاطئة لكنه من المؤكد ان توحيد الميكانيك الكمومى مع النسبية العامة يؤدى الى ضرورة وجود المادة-المضادة antimatter.
فالبروتون-المضاد antiproton اكتشف فى عام 1955 فى مسر البيفاترون Bevatron و النوترون-المضاد antineutron اكتشف فى نفس المسرع عام 1956.
وكل جسيم فى الطبيعة يأتى معه جسيم-مضاد antiparticle الا الجسيمات المتعادلة او المحايدة neutral كهربائيا و التى ليس لها عدد باريونى baryon number (مثلا الفوتون فالجسيم-المضاد له هو نفسه اما النوترون-المضاد فهو مختلف عن النوترون (وهما محايدان كهربائيا) وهذا بسبب اختلاف العدد الباريونى فيهما).
كل هذا ملخص فى الصورة السابعة و كما ترون فانه ليس لدينا الا تفاعل انتاج الزوج الكترون-بوزيترون اى ان الطاقة الابتدائية (وهى الفوتون) ادت الى اقتلاع الالكترون (تخلق او انتاج هذا الالكترون) من بحر ديراك و يترك وراءه ثغر هو البوزيترون (اى تخلق او انتاج هذا البوزيترون).
الفراغ الكمومى quantum vacuum هو ليس الا بحر حقيقى (وليس مثل بحر ديراك الوهمى) مملوء بعدد لانهائى من عمليات تخلق او انتاج الازواج pair production (اى ازواج الالكترون-بوزيترون) انطلاقا من الفوتونات و ايضا من العمليات العكسية عمليات افناء او تلاشى الازواج pair annihilation و تخليف فوتونات وراءهم.
كل هذه الجسيمات هى جسيمات افتراضية virtual particles لا تحقق علاقة اينتشاين للطاقة الكلاسيكية بل تحقق علاقة هايزنبرغ للارتياب الكمومية (وهذه قصة اخرى).
اما التفسير الصحيح للحالات ذات الطاقة-السالبة فقد اعطاه فايمان Feynman و آخرين فى الاربعينات حيث ان الحالات ذات الطاقة-السالبة التى تتطور فى الاتجاه الموجب للزمن هى ليست الا حالات ذات طاقة-موجبة تتطور فى الاتجاه العكسى للزمن.
فالنظرية متناظرة تماما تحت تاثير تحويلات العكس فى الزمن time reversal ولهذا فلا يوجد فعلا اى فرق بين الالكترون و البوزيترون من وجهة نظر النظرية.
لكننا فى الطبيعة نلاحظ ان المادة اكثر بكثير من المادة-المضادة وهذه معضلة فى فيزياء الجسيمات الاولية و الكوسمولوجيا تسمى معضلة اللاتناظر الباريونى baryon asymmetry problem وهى من اهم معضلات الفيزياء النظرية على الاطلاق.

### البوزونات الناقلة للقوة

الفوتون photon و يرمز له ب γ هو ناقل القوة الكهرومغناطيسية.
وكون الفوتون معدوم الكتلة يعنى ان القوة الكهرومغناطيسية تتميز بمدى range لانهائى.
اى ان المجال الكهرومغناطيسى الذى تنتجه شحنة كهربائية يمكن ان يصل تأثيره الى مالانهاية.
اما الغرافيتون graviton و يرمز له ب G فهو ناقل القوة الثقالية.
وكون الغرافيتون معدوم الكتلة يعنى ان القوة الثقالية تتميز هى الاخرى بمدى لانهائى.
اى ان ان المجال الثقالى الذى تنتجه شحنة ثقالية (اى الكتلة الثقالية) يمكن ان يصل تأثيره الى مالانهاية.
و اننى عربت ال gravity بالثقالة و ليس بالجاذبية لان اساس هذه القوة هو الثقالة اى تأثير الكتلة الثقالية و ليس التجاذب لان جميع القوى فيها تجاذب و تنافر و حتى قوة الثقالة يمكنها ان تتنافر و لا تتجاذب و اشهر مثال على الاطلاق الطاقة المظلمة dark energy التى تعرف باسم الثقالة-المضادة anti-gravity لانها تؤدى الى التنافر و ليس التجاذب.
اما البوزونات الشعاعية vector bosons التى يُرمز لها ب +W و -W و Z التى اكتشفت فى الثمانينات بعد ان تنبأ بها فى الستنيات المسلم القاديانى الباكستانى عبد السلام Salam و اليهوديان الصهيونيان الامريكيان واينبرغ Weinberg و غلاشو Glashow (وهما كانا زميلان فى الثانوية) اذن هذه البوزونات الشعاعية هى ناقلة القوة النووية الضعيفة.
و لان القوة النووية الضعيفة ذات مدى قصير جدا (من رتبة نصف قطر النواة nucleus) فان البوزونات الشعاعية يجب ان تكون ذات كتلة وهى فعلا كذلك و سبب تحصلها على الكتلة هو الانكسار التلقائى spontaneous breaking للتناظر الكهروضعيف electroweak symmetry فى الدقائق الثلاثة الاولى من عمر الكون (و "الدقائق الثلاثة الاولى"" هو عنوان كتاب لواينبارغ يشرح فيه هذا الموضوع بشكل عام).
اذن المجال النووى الضعيف الذى تُنتجه الشحنة الضعيفة weak charge (وليس لها اسم مخصوص) لا يمكن ان يتعدى تأثيره نصف قطر النواة بسبب كتلة الناقلات للقوة غير المعدومة.
اما الغليونات (مفرد غليون gluon وهى ثمانية غليونات) و يرمز لها ب g فهى ناقلة القوة النووية القوية.
لكن القوة النووية القوية هى ذات مدى قصير جدا لكن من الجهة الاخرى فان الغليونات ذات كتلة معدومة بالضبط لانه ليس هناك انكسار تلقائى للتناظر المعيارى gauge symmetry فى هذه الحالة.
التفسير هنا ان المجال النووى القوى الذى تنتجه الشحنة القوية (وتسمى لون color) لا يمكن ان يتعدى مداه حدود النواة ليس لان الناقلات ذات كتلة بسبب انكسار التناظر التلقائى لكن بسبب ظاهرة اخرى تسمى الحبس اللونى color confinement وهى ظاهرة مازالت غير مفهومة الى حد كبير لحد اليوم.
والحبس اللونى كما يدل الاسم يعنى ان الشحنات اللونية محبوسة داخل البروتون و النوترون و غيرهما و لا نرى ابدا كواركات (مفرد كوارك quark) حرة فى التفاعلات النووية القوية مثلما نرى الكترونات حرة فى التفاعلات الكهرومغناطيسية.
واذا كانت فكرة (الانكسار التلقائى) ادت الى جائزة نوبل (لعبد السلام و واينبرغ و غلاشو) فان فكرة (الحبس اللونى) ستؤدى الى نوبل و اكثر يقينا لمن يستطيع ان يقدم تفسيرا نهائيا لها.
وقد حاول فيها توفهت t'Hooft وهو متحصل على نوبل و حاول فيها بولياكوف Polyakov مع محاولته ايضا فى نموذج ايزينغ وهو ما ادى به الى اكتشاف تكامل طريق الوتر string path integral.
وهى ظاهرة ذات علاقة وطيدة ب (الناقلية-الممتازة super-conductivity) لكن ليس على مستوى المادة المكثفة بل على مستوى المادة النووية الاكثر اساسية.
كل الناقلات للقوة (باسثناء الغرافيتون) هى فى الحقيقة بوزونات شعاعية (ليست فقط تلك المرفقة بالقوة النووية الضعيفة) وهذا يعنى بكل بساطة انها جسيمات ذات سبين spin او عزم-لف-ذاتى يساوى واحد وهى كلها مرفقة بمجالات معيارية gauge fields تحترم تناظرات معيارية مضبوطة مختزلة فى زمرة تناظر معيارى gauge symmetry group.
اذن عندما قلنا مثلا ان التناظر الضعيف مكسور تلقائيا فهذا لا يعنى انه ليس لدينا تناظر بل كل الذى نعنيه ان حالة الجملة الاساسية لا تتميز بالتناظر رغم ان اللاغرانجية Lagrangian او الهاميلتونية Hamiltonian او الفعل action او تكامل الطريق path integral او دوال الربط correlation functions فهى كلها متناظرة.
وهذا التناظر المعيارى شرط ضرورى و كافى من اجل تحقيق خاصيتى الاحادية unitarity و اعادة-التنظيم renormalizability و غيرها و هى بكل بساطة شروط تعنى قدرة النظرية على التنبأ.
تبقى قوة الثقالة هى القوة الاكثر مجهولية لانها القوة الوحيدة التى لا نعرف نظريتها الكمومية.
وقد تكون فى الاخير قوة الثقالة قوة كلاسيكية بالكامل (وهذه فكرة نجدها عند بوهر فى تفسيره للميكانيك الكمومى و اصراره على ما يسمى المفاهيم الكلاسيكية) واذا كان الامر فعلا كذلك فهذا يعنى رجوع الميكانيك الكلاسيكى كنظرية اساسية للطبيعة على قدم المساواة مع الميكانيك الكمومى و ليس تقريبا له.
بل يجب النظر فى هذه الحالة للميكانيك الكمومى على انه تقريب للميكانيك الكلاسيكى مثلما انه يجب النظر الى الميكانيك الكلاسيكى على انه تقريب للميكانيك الكمومى.
وهذا امر (كلاسيكية قوة الثقالة) يُصر عليه الفيزيائى المعمر فريمان ديزون Freeman Dyson الذى توفى العام الماضى عن عمر يناهز المائة تقريبا بعد اقل من شهر من كتابتى منشور عنه و عن رايه هذا هنا على الفايسبوك.
وفريمان ديزون هو ايضا اول من ناقش علم الكلام الفيزيائى فى بداية السبعينات حيث اهتم كثيرا بالمبدأ الانطروبيى و مصير الحياة فى الكون و النقطة اوميغا و غيرها من مواضيع الكلام الفيزيائى.

### حول مادة الميكانيك التحليلى

عندما بدأت تدريس مادة (الميكانيك التحليلى) منذ اقل من عشر سنوات كان من المفروض ان نتناول المواضيع السبعة التالية التى اختزلت بفعل ماقبل-الحراك و الحراك و الكوفيد و التفويج بالاضافة الى البريكولاج الجزائرى الى موضوع واحد يتيم لا نستطيع حتى القيام به جيدا.
هذه المواضيع الاصلية السبعة هى كما يلى:
- اولا الصياغة اللاغرانجية Lagrangian formulation و اهم ما فيها قوانين الانحفاظ conservation laws, القيود constraints و الاحداثيات المعممة generalized coordinates, اللاغرانجية Lagrangian, الحساب التغايرى variational calculus و الداليات functionals, معادلات اولر-لاغرانج للحركة, مبدأ دالبمارات D'Alembert principle للعمل الافتراضى virtual work, الفعل action و مبدأ الفعل الاصغرى principle of least action لهاميلتون.
ثانيا الصياغة الهاميلتونية Hamiltonian formulation واهم مافيها الزخم المعمم generalized momentum, المتغيرات المترافقة conjugate variables, تحويل لوجوندر Legendre transformation من فضاء التشكيلات configuration space الى فضاء الطور phase space, الهاميلتونية Hamiltonian, معادلات هاميلتون للحركة, مبدأ الفعل الاصغرى المعمم, مبرهنة ليوفيل Liouville's theorem.
ثالثا الصياغة السمبليكتية symplectic formulation و أهم ما فيها التحويلات القانونية canonical transformations, طريقة المولد generator method, اقواس بواسون Poisson brackets, الشرط السمليكتى symplectic condition و الزمرة السمبليكتية symplectic group, معادلات هاميلتون للحركة المعممة.
رابعا معادلة جاكوبى-هاميلتونى Hamilton-Jacobi equation و الدالة الرئيسية principal function لهاميلتون, مدخل الى التكميم quantization و الميكانيك الكمومى.
خامسا المجال الكهرومغناطيسى كنظرية ميكانيكية يقيود.
سادسا النسبية الخاصة.
سابعا مدخل الى الفوضى.
اذن كان هذا هو البرنامج.
لكن لم نتمكن فى السنتين الاوليتين الا من القيام بالفصول الاربعة الاولى بسبب تآكل النظام التعليمى و النظام العام الذى هو ظاهرة طبيعية فى الجزائر منذ 1962.
ثم وجدنا ان الفصلين الثالث و الرابع فصول صعبة جدا على الطلبة ليس هناك اى امل فى ان يفهمونها فتخلصت منهما ايضا.
ثم جاءت سنتى الحراك و الكوفيد فاكملت الفصل الثانى بصعوبة شديدة مع التخلص من كثير من تعقيدات الفصل الاول (مثل الحساب التغايرى, فأصبحت أجرى الحساب التغايرى variational calculus و كأنه حساب تغيرات calculus of variation عادى من اجل التسهيل و التقدم).
اما هذه السنة (سنة الدراسة عبر الافواج) فاننى تنازلت عن الفصل الثانى بالكامل.
ولا ادرى هل ساضطر الى التنازل عن الفصل الاول العام القادم اذا قدر لنا الله ان ندخل فى هذه التجربة مرة اخرى.
لكن اقول ان نظرية الميكانيك التحليلى هى نظرية اساسية لفهم الفيزياء بل هى اساس الميكانيك الكمومى و نظرية المجالات الكمومية و النسبية العامة و لهذا فاننى انصح فى التحكم في كل عناصرها بدون تنازل و بدون تساهل هذا اذا كانت الفيزياء تهمكم بطبيعة الحال.
وهذه المادة هى مادة (من بين مواد اخرى) تم الغاؤها فى برنامج ال LMD فى صيغته الاولى لان جميع الاساتذة يتهربون منها بسبب ضعوبتها و-بحثهم المتواصل عن السهل- فلم يدافع عنها احد ولم تجد من يكتبها فى البرنامج الرسمى حتى تمت مراجعته بعد ضغط ممن يعرفون الفيزياء بشكل صحيح -وهم قلة فى الجزائر-.
والذى جعلنى اشعر بملل اكثر من تدريس هذه المادة و تدريس هذا المستوى هو الجبر على التدريس بالفرنسية بسبب وجود طالب واحد افريقى فى القسم.
اذن فى هذه الجزائر على الاستاذ ان يتنازل لغويا حتى يُرضى ضيوف الجزائر و اتذكر اننى كنت ادرس بالعربية فاشتكتنى طالبة افريقية الى القسم -رغم اننى ادرس لها على انفراد يالفرنسية- فجاءنى مسؤول البيداغوجيا فى القسم ينفش ريشه علي فنتفته له -لكننى ندمت بعد ذلك لانه لا يوجد افضل فى الجزائر من الصبر على الاذى من الزملاء و تحمل صدماتهم وهذا بالتجربة-.
اذن فى الجزائر مازلت الفرنسية و التدريس بالفرنسية مثل الورم السرطانى الذى لا يريد ان يقتلنا و لا نستطيع علاجه.
و نحن درسنا فى امريكا و غيرها و لم يتنازل لنا اى احد لغويا فنحن سعينا و اجتهدنا حتى نتقن لغة الاستاذ الذى نحن ندرس فى بلاده و جامعته.
اما فى الجزائر فالقوم مازالوا يحلمون او بالاحرى هم مازالوا يهلوسون ان الدراسة بالفرنسية هى المفتاح نحو التقدم و هى ليست الا مفتاج نحو مزيد من التميع و التدهور و البريكولاج حتى يقع الانهيار النهائى الذى سيبتلعنا فى ثقب اسود النسيان التاريخى.

### النسبية الخاصة 5: مترية الفضاء-زمن (النسبية الخاصة) هى اول موضوع اساسى فى (نظرية المجال الكمومى). فهى الارضية التى يقوم عليها بناء هذه الاخيرة.
فى هذه الفيديوهات الستة نُقدم نظرية النسبية الخاصة theory of special relativity باقتضاب شديد و نُركز على الامور التى نحتاجها فى نظرية المجال الكمومى quantum field theory و بالخصوص مسألة التناظر الاساسى underlying symmetry الذى يحكم نظرية النسبية الخاصة وهو تناظر لورنتز المعطى بزمرة لورنتز لجميع التحويلات النقطية للورنتز.
اذن نناقش مسلمتى النسبية الخاصة و كيف وصل اينتشاين اليهما.
اولا مبدأ النسبية relativity principle المأخوذ من الميكانيك الكلاسيكى مع تعويض زمرة غاليليو Galileo group بزمرة لورنتز Lorentz group الذى ينص على ان جميع القوانين الفيزيائية تأخذ نفس الشكل (صامدة invariant او محفوظة-الشكل covariant) بالنسبة الى جميع معالم الاسناد العطالية inertial reference frames.
و ثانيا مسلمة الضوء اى ثبات سرعة الضوء بالنسبة الى جميع معالم الاسناد العطالية.
ثم نقوم باشتقاق التأثيرات النسبية (نسبية التزامن relativity of simultaneity, تمدد الزمن time dilation و تقلص لورنتز Lorentz contraction للاطوال) من المسلمتين فى اطار تجربة فكرية Gedanken experiment هى تجربة القطار-و-المحطة.
بعد ذلك نقوم باشتقاق تحويلات لورنتز Lorentz transformations الناجمة من هذه التأثيرات النسبية. بالخصوص نقوم باشتقاق الدفوعات boosts التى هى الحركات العطالية inertial motions فى الفضاء-زمن. تحويل لورنتز بصفة عامة هو تركيب دفوع boost مع دوران rotation. اذن زمرة الدورانات SO(3) هى زمرة جزئية subgroup لزمرة لورنتز SO(3,1).
بعد ذلك نُعرف الشعاع-الرباعى four-vector فى الفضاء-زمن و نعرف الجداء السلمى scalar product للاشعة-الرباعية الذى هو صامد تحت تأثير تحويلات لورنتز ثم نعرف المجال interval وهو مربع المسافة فى الفضاء-زمن و نناقش المخروط-الضوئى lightcone الذى يختزل السببية فى الفضاء-زمن.
اذن ما بداخل المخروط-الضوئى وهو ما يسمى الشبيه-بالزمن timelike هى الحوداث events المرتبطة سببيا بالمبدأ. المخروط-الضوئى الامامى هو المستقبل الذى يمكن ان يؤثر فيه الجسيم الموجود فى المبدأ. اما المخروط-الضوئى الخلفى فهو الماضى الذى يمكن ان يؤثر فى الجسيم الموجود فى المبدأ. مسار الجسيم فى الفضاء-زمن وهو يسمى الخط-الكونى worldline يجب اين يكون محصورا بداخل المخروط-الضوئى.
اما ما بخارج المخروط-الضوئى فهو يسمى الشبيه-بالفضاء spacelike وهى مجموع الحوادث المستقلة سببيا عن الجسيم فى المبدأ وهذا يعرف الحاضر.
النقاط على حدود المخروط-الضوئى فهى تسمى الشبيه-بالضوء lightlike وهى الحوداث المرتبطة باشارة سرعتها سرعة الضوء بالجسيم فى المبدأ.
نُعرف فى الاخير المجال اللامتناهى فى الصغر infinitesimal interval الذى يربط الحوادث فى الفضاء-زمن اللامتناهية فى القرب infinitesimally close من بعضها البعض. هذا المجال اللامتناهى فى الصغر يسمى المترية metric (تساهلا). لكن من هذا المجال فعلا نستخرج تنسور المترية metric tensor.
نُبين فى الاخير ان هذه المترية (المجال اللامتناهى فى الصغر) صامدة تحت تأثير تحويلات لورنتز. من هذا الصمود نستخرج الشرط الذى يُعرف زمرة لورنتز المتشكلة من جميع تحويلات لورنتز.
التأثيرات النسبية
تحويلات لورنتز
المخروط-الضوئى
مترية الفضاء-زمن
Lorentz transformations

### الفوتون و الفوتونات

جواب على سؤال:
لا يوجد معلم اسناد عطالى يكون بالنسبة اليه الفوتون ساكن لان الفوتون معدوم الكتلة بسبب التناظر المعيارى.
ركزوا جيدا فهذا موضوع بسيط جدا من النسبية الخاصة و الجميع يخطئ فيه وهذا منذ عهد اينشتاين و كانوا يخطئون فيه و اينشتاين حى.
هناك جسيمات اولية فى الطبيعة ليس لديها كتلة اى ان كتلتها صفر وهذه الجسيمات هى (الجسيمات الشعاعية البوزونية الحاملة للقوة). اولا اشرح هذه المصطلحات بشكل مقتضب.
اول و اشهر هذه الجسيمات الشعاعية البوزونية هو الفوتون photon وهو حامل للقوة الكهرومغناطيسية (بكل بساطة الفوتون هو الضوء).
اى انه عندما يتفاعل جسمان او جسيمان او جملتان كهرومغناطيسيا (اى عبر الكهرباء و المغناطيسية) فانهما فى الحقيقية يتبادلان كمات quanta هى هذه الفوتونات و لهذا نقول ان الفوتون هو حامل للقوة الكهرومغناطيسية.
الآن الفتون كتلته عند السكون تجريبيا صفر باخطاء تجريبية فى غاية الصغر.
اما نظريا فان الفتون كتلته هى الصفر الرياضى و الا انكسر التناظر المعيارى gauge symmetry (الذى هو الزمرة التبديلية U(1)) للقوة الكهرومغناطيسية و اذا انكسر هذا التناظر فان نظرية الالكتروديناميك الكمومى quantum electrodynamics تنهار بالكامل فهى تفقد خاصيتيين رياضياتين-فيزيائيتين اساسيتين (لن اشرحهما هنا فهما فى غاية التعقيد) هما خاصية اعادة-التنظيم renormalizability و خاصية الاحادية unitarity (و تذكروا ان الالكتروديناميك الكمومىة او ال QED هو المكون الاول الذى يدخل فى النموذج القياسى standard model للجسيمات الاولية).
اذن الفوتون هو حامل للقوة الكهرومغناطيسية. نقول رياضيا ان الفوتون هو المجال المعيارى guage field الكهرومغناطيسى وهو مجال شعاعى vector field (اى عزم-لف يساوى 1) واما تسميته بالجسيم البوزونى bosonic particle فهذا لأن عزم-اللف هو عدد صحيح (وليس كسر مثل الالكترون الذى عزم-لفه يساوى نصف و لهذا الالكترون يسمى فرميونى fermionic و ليس بوزونى bosonic).
الآن كون الفوتون هو مجال معيارى هو بالضبط لماذا يجب ان يكون الفوتون بدون كتلة.
والكتلة نقصد بها كتلة عند السكون. ولا معنى ابدا للكتلة عند الحركة فتلك طاقة و ليس كتلة.
و كون الفوتون معدوم الكتلة او بدون الكتلة فان هذا يعنى انه لا يوجد معلم عطالى يمكن ان يكون الفوتون بالنسبة اليه ساكن (وتذكروا فان المعلم العطالى او بالاحرى معلم الاسناد العطالى inertial reference frame هو اى راصد يُطبق بالنسبة اليه القانون الاول لنيوتن).
هذا يعنى ان الفوتون لا يمكن ان نطبق عليه علاقة اينشتاين الشهيرة (الطاقة تساوى الكتلة فى السرعة مربع). المعادلة الاولى.
بالعكس هذه العلاقة غير صحيحة تماما بل علاقة اينشتاين الصحيحة هى ان الطاقة تساوى الجذر التربيعى لمجموع (الزخم فى سرعة الضوء) مربع زائد (الكتلة فى السرعة مربع) مربع. المعادلة الثانية.
اذن علاقة اينشتاين الشهرية (المعادلة الاولى) تفترض ضمنيا انه لدينا جسيم بكتلة غير معدومة ثم تفترض انه يمكننا ان نذهب الى معلم الاسناد العطالى اين يكون ذلك الجسيم ساكن (اى ان الزخم يساوى صفر) و منه فان المعادلة الصحيحة (المعادلة الثانية) تختزل الى المعادلة الشهيرة (المعادلة الاولى) و فقط بهذا المعنى فان هذه المعادلة صحيحة.
اذن بالنسبة الى الفوتون فانه لا يوجد معلم اسناد عطالى اين يكون الفوتون ساكن لانه اى الفوتون معدوم الكتلة تماما (و هذا صحيح ايضا بالنسبة لكل جسيم بوزونى شعاعى آخر فى الطبيعة وهم 8 جسيمات أخرى هى الغليونات gluons الناقلة للقوة النووية الكبرى strong nuclear force).
اذن بالنسبة للفوتون نرجع الى المعادلة الصحيحة (المعادلة الثانية) و نعوض بالكتلة المعدومة فنجد ان الطاقة تساوى الزخم فى سرعة الضوء. المعادلة الثالثة.
ولان الفوتونات هى كمات القوة الكهرومغتاطيسية فهى يجب ان تخضع لمسلمة التكميم ل بلانك و اينشتاين و بوهر اى ان الطاقة تساوى ثابت بلانك فى التواتر او التردد frequency (و التواتر يساوى سرعة الضوء تقسيم طول-الموجةwave-length). من هنا ايضا نستخرج ان الزخم يساوى ثابت بلانك تقسيم طول-الموجة. المعادلة الرابعة.
فى المعادلة الخامسة نعيد كتابة العلاقة الصحيحة لاينتشاين (المعادلة الثانية) بشكل يحترم تحويلات لورنتز Lorentz transformations للنسبية الخاصة. اذن نكتبها بدلالة الشعاع-الرباعى للزخم four-vector momentum الذى يساوى الكتلة ضرب الشعاع-الرباعى للسرعة four-vector velocity مثلما ان الزخم العادى يساوى الكتلة صرب السرعة العادية.
الآن كيف يشعر الفوتون و الجسيمات البوزونية الاخرى معدومة الكتلة بالمجال الثقالى و يحدث لها ذلك الانحناء المقاس تجريبيا.
هنا نرجع الى معادلات اينشتاين للنسبية العامة فنجد ان الطرف الايمن لهذه المعادلات هو تنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم stress-energy-momentum tensor الذى يرمز له ب T وهذا التنسور يحتوى على جميع اشكال الطاقة و الكتلة الموجودة فى الفضاء-زمن. انظر المعادلة السادسة.
اذن مترية الفضاء-زمن لا تقترن couples بالكتلة (هذا لا يحترم تناظرات الديفيومورفيزم diffeomorphisms للنسبية العامة) بل المترية تقترن بتنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم.
ولهذا فان الفوتون (واى شكل طاقة او مادة آخر) سوف يقترن بالمترية اى ان انه سوف يخضع لتأثير المجال الثقالى و ينحنى يكفى ان يكون لدينا تنسور ضغط-و-طاقة-و-زخم.
ومن هنا تكمن اهمية هذا التنسور وقد كنت قدمته فى سلستى النسبية العامة و الكوسمولوجيا و حتى فى سلسلة النظرية المجالية الكونفورمال و نظرية الوتر. فهذا التنسور هو الطريقة الوحيدة التى يمكن بها لاى مادة حتى لو كانت معدومة الكتلة ان تتفاعل مع الثقالة بشكل يحترم جميع تناظرات الفضاء-زمن.
و اشهر تنسور صغط-و-طاقة-و-زخم هو تنسور المائع المثالى perfect fluid وهذا التنسور هو التنسور الذى يصف توزيع المادة فى الكون باكمله وهو لا يتعلق الا على كثافة المادة ρ و الضغط p. المعادلة السابعة.

$E=m.c^2~,~{\rm massive~particle}~,~{\rm rest~frame}$

$E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}~,~{\rm general~particle}~,~{\rm general~frame}$

$E=pc~,~{\rm photon}~,~{\rm massless~particle}$

$E=h \nu=h\frac{c}{\lambda}, p=\frac{h}{\lambda}~,~{\rm quantum~postulate}$

$p_{\mu}p^{\mu}=-m^2c^2~,~p^{\mu}=mu^{\mu}=\gamma(mc^2,\vec{p})~,~\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}~,~{\rm general~relativity}.$

$T_{\mu\nu}=(\rho+\frac{p}{c^2})u_{\mu}u_{\nu}+p\eta_{\mu\nu}~,~{\rm perfect~fluid}~,~{\rm stress-energy-momentum~tensor}$

### نموذج المهيرى-و-بولشينسكى

وهذا المنشور الاول من سلسلة من المنشورات تخص التفصيلات الحسابية التى تخص معضلة اشعاع هاوكينغ Hawking radiation و ضياع المعلومات information loss فى الثقب الأسود black holes.
وهو منشور استهلك حوالى الشهر و النصف من الحساب و الكتابة و القراءة.
وتحتاجون قراءة او استماع ما ذكرناه بخصوص نظرية المجال الكونفورمال conformal field theory. فتلك اول مراجعة اساسية.
تحتاجون الى مراجعتين اخريتين:
-ماهى معضلة ضياع المعلومات فى الثقب.
لكن بخصوص هذا الموضوع اتوقع ان يكون هناك على الاقل 5 منشورات اخرى تخص المواضيع التالية:
-كيفية حساب انطروبى التشابك entanglement entropy فى نظريات المجال الكونفورمال و علاقة ريو-و-تكاياناغى Ruy-Takayanagi formula و تخمينية الجزيرة island conjecture (هذه ايضا مراجعة فى الحقيقة).
-انطروبى التشابك فى بداية تبخر الثقب و حدسية هايدن-براسكل Hyden-Preskill conjecture فى المعلوماتية الكمومية quantum information. وهذا الحساب هو بالاساس نتيجة هاوكينغ التى تحصل عليها فى السبعينات. الجديد هو ربطها بالمعلوماتية الكمومية. وهذا هو الانجاز الاول.
-انطروبى التشابك بعد زمن بايج Page time و خروج المعلومات من الثقب. وهذا هو الانجاز الاساسى لاحمد المهيرى و زملاءه.
حيث سيتضح ان اشعاع هاوكينغ مرتبط عبر ابعاد اضافية extra dimensions بما بداخل الثقب وهذا تتفيذ مباشر لحدسية ال ER=EPR الشهيرة لساسكيند Susskind و مالداسينا Maldacena.
-العلاقة بنموذج ساشداف-و-يى-و-كايتاف Sachdev-Ye-Kitaev model (والحكاية قد بدأت من هنا فى الحقيقة).
-الذهاب الى تكامل الطريق الثقالى gravitational path integral بدون تقابل AdS/CFT و التحول الطورى نحو الثقوب الدودية wormhole عند زمن بايج.
فى هذا المنشور اقدم بطريقتى الخاصة نموذج المهيرى-و-بولشينسكى Polchinski-Almheiri الذى يعتمد عليه الحل وقد قُدم هذا النموذج عام 2014 من طرف احمد المهيرى و جوزيف بولشينسكى فى البحث رقم 1402.63334.
نموذج المهيرى-و-بولشينسكى هو نموذج ثقالة ديلاطونية dilaton gravity فى بعدين بكمون potential معين يسمح لنا بالحصول على فضاء-زمن دى سيتر-العكسى anti de-Sitter spacetime كخلفية مستقرة و بسبب وجود مجال سلمى scalar field فى النظرية وهو الديلاطون dilaton فان هذا النموذج يقبل ايضا ثقوب سوداء مستقرة لكنها متوازنة حراريا لان اشعاع هاوكينغ ينعكس فى حد boundary الفضاء دى سيتر-العكسى و يرجع نحو الثقب.
فضاء دى سيتر-العكسى الذى يرمز له ب AdS يسمح لنا باستخدام التقابل AdS/CFT اى ان الديناميك الثقالى داخل الفضاء AdS يعطى بنظرية ميكانيك كونفورمال conformal quantum mechanics على الحد boundary الذى هو فى هذه الحالة خط يُعبر عن الزمن.
ايضا ننبه انه فى نموذج المهيرى-و-بولشينسكى فان المادة تعطى بنظرية مجال كونفورمال لا تتفاعل مع الديلاطون الا عبر المترية.
نموذج المهيرى-بولشينسكى هو نموذج مرتبط بشكل عميق بنموذج ساشاداف-و-يى-و-كايتاف (الذى يقوم فى الثقوب السوداء بنفس الدور الذى يقوم به نموذج ايزينغ فى التحولات الطورية من الدرجة الثانية).
فنموذج المهيرى -و-بولشينسكى يوصف بنظرية حدية (اى تعيش على الحد) توصف بالمشتقة الشوارزية Schwarzian derivative مثل نموذج ساشداف-و-يى-و-كايتاف.
فى الفقرة الاولى نقوم بحساب هذه الثقوب السوداء (اى المترية و الديلاطون) ثم نقوم بحساب درجة حرارة هاوكينغ.
هذا الثقب الاسود يسمى ثقب اسود خالد eternal لانه حل رياضى لم ينشأ من انهيارات ثقالية gravitational collapses كما تتشكل الثقوب السوداء فى الواقع.
فى الفقرة الثانية نقوم بحل معادلات الحركة و حساب الثقب الاسود المتشكل من انهيار ثقالى عبارة عن سقوط موجة مادية تنطلق من حد الفضاء لتسقط داخل الثقب.
نحسب مرة اخرى طاقة الثقب و درجة حرارة هاوكينغ و العلاقة بينهما.
فى الفقرة الثالثة نبدأ باستخدام البحث 1905.08762 لاصحابه المهيرى و انجلهارت Engelhardt (وهى امرأة) و مارولف Marolf و ماكسفيلد Maxfield وهو البحث الذى ابتدأ فعليا فيه هذا الحل.
اذن فى الفقرة الثالثة نصف كيف يتم تحويل الثقب الاسود فى فضاء دى سيتر-العكسى الى ثقب اسود حقيقى عن طريق لصق gluing فضاء دى سيتر-العكسى بخزان حرارى heat bath عبارة عن نظرية مجال كونفورمال فى بعدين.
اشعاع هاوكينغ يهرب من الثقب و يخرج عبر الحد الى هذا الخزان الحرارى (هذه هى الفكرة الفيزيائية).
اذن الشروط الحدية يتم تغييرها من شروط عاكسة reflecting عند حد الفضاء الى شروط شفافة transparent (تسمح بمرور الاشعاع).
نقوم ايضا بتحديد الحالة الابتدائية للجملة (ثقب اسود دي سيتر-العكسى+ الخزان الحرارى) التى تعطى بتكامل الطريق الاقليدى Euclidean path integral على نصف الخط المستقيم بحد مشوه deformed boundary.
نقوم بحساب الديفيومورفيزم diffeomorphism الذى نرمز له f الذى يسمح لنا باختزال الجملة لنصف الخط المستقيم (هذه نقطة صعبة تحتاج الى الكثير من التأمل و الحساب معا).
نقوم ايضا بحساب التصحيح الكمومى quantum correction لتنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم stress-energy-momentum tensor للمادة باستخدام الشذة الكونفورمالية conformal anomaly وهنا تدخل الشحنة المركزية central charge لنظرية المجال الكونفورمال و المشتقة الشوارزية للديفيومورفيزم f بالنسبة للزمن t.
ثم نعين التصحيح الكمومى للديلاطون.
فى الفقرة الرابعة نقوم بحساب النظرية الحدية و نجد كما ذكرنا انها تعطى بدلالة المشتقة الشوارزية ثم نحسب التصحيح الكمومى لطاقة الثقب و درجة حرارة هاوكينغ.

## Inrtroduction

In this note we describe the Almheiri-Polchinski (AP) model \cite{Almheiri:2014cka} which is a particular Jackiw-Teitelboim (JT) model \cite{Jackiw:1984je,Teitelboim:1983ux} of dilaton gravity in two dimensions with striking similarities to the Sachdev–Ye–Kitaev (SYK) model \cite{Kitaev:2015, Sachdev-Ye:1993} (everything is encoded in the boundary theory which is given by a Schwarzian action).

In here we will mainly follow \cite{Almheiri:2014cka, Almheiri:2019psf} but also \cite{Engelsoy:2016xyb,Maldacena:2016upp}.

## Eternal ${\rm AdS}^2$ Black hole

The APJT model is a dynamical theory of gravity in two dimensions with no local excitations, i.e. the value of the metric tensor $ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$, which is a dynamical variable here (as opposed to pure gravity in two dimensions),  and the value of the dilaton field $\phi$, which plays a crucial role in the existence of stable black hole configurations in two dimensions,  is uniquely fixed in terms of the stress-energy-momentum tensor of the matter field $f$ (through the equations of motion). We will mostly assume that the matter theory is given by a conformal field theory which can also be holographic. We will also assume that the matter field $f$ interacts with dilaton field $\Phi$ only through the metric tensor and not directly. The action reads explicitly

\begin{eqnarray} S[g,\Phi,f]&=& S_{JT}[g,\Phi]+D_{\rm CFT}[g,f]\nonumber\\ &=&\frac{1}{16\pi G}\int d^2x\sqrt{-g}(\Phi^2 R-V(\Phi))+S_{\rm CFT}[g,f]. \label{action}\end{eqnarray}

The AP potential $V$ is given explicitly by

\begin{eqnarray} V(\Phi)=2-2\Phi^2.
\end{eqnarray}

This potential guarantees that spacetime has a constant negative scalar curvature (integrate out $\phi=\Phi^2$ to obtain the delta function $\delta (R+2))$, i.e. we must have $R=-2$. In other words, spacetime is precisely  anti-de Sitter spacetime  ${\bf AdS}^2$. In fact this potential also guarantees that the matter action does not depend directly on the dilaton field but depends on it only indirectly through the metric tensor. The dilaton filed itself is the crucial ingredient allowing  the existence of black hole configurations on this two-dimensional ${\rm AdS}$ background.

We check these facts more explicitly as follows. First, we write the metric in the conformal gauge as follows

\begin{eqnarray}ds^2=-e^{2\omega(u,v)}du dv\end{eqnarray}

The light-cone coordinates $u$ and $v$ will also be denoted as $u=x^+$ and $v=x^-$ where $x^{\pm}=t\pm z$.

The equations of motion (by varying the dilaton field and the metric tensor) will then read

\begin{eqnarray}4\partial_u\partial_v\omega+e^{2\omega}=0.\label{eom1}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}-e^{2\omega}\partial_u(e^{-2\omega}\partial_u\Phi^2)=8\pi G T_{uu}.\label{eom2}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}-e^{2\omega}\partial_v(e^{-2\omega}\partial_v\Phi^2)=8\pi G T_{vv}.\label{eom3}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}2\partial_u \partial_v \Phi^2+e^{2\omega}(\Phi^2-1)=16\pi G T_{uv}.\label{eom4}\end{eqnarray}

The stress-energy-momentum tensor of the matter field is given by the usual formula

\begin{eqnarray}T_{ab}=-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{\rm CFT}[g,f]}{\delta g^{ab}}.\end{eqnarray}

For conformal matter, such as a massless free scalar field $f$ given by the Klein-Gordon action $S_{\rm CFT}=\frac{1}{32\pi G}\int d^2x \sqrt{-g}(\nabla f)^2$, the off-diagonal component $T_{uv}$ of the stress-energy-momentum tensor vanishes classically.  We also recall that in this case $T_{uu}=T_{++}=\frac{1}{16\pi G}\partial_+f\partial_+f$ and $T_{vv}=T_{--}=\frac{1}{16\pi G}\partial_-f\partial_-f$.

The most general solution of (\ref{eom1}) is the ${\rm AdS}^2$ metric, i.e. $e^{2\omega}=4/(u-v)^2$.  We have explicitly the metric

\begin{eqnarray}ds^2=-\frac{4}{(x^+-x^-)^2}dx^+dx^-=\frac{1}{z^2}(-dt^2+dz^2)~,~x^{\pm}=t\pm z.\label{sol1}\end{eqnarray}

The gravitational sector will be treated semi-classically. In other words, we replace the stree-energy-momentum tensor by its expectation value, viz

\begin{eqnarray}T_{ab}=\langle T_{ab}\rangle.\end{eqnarray}

For $\langle T_{ab}\rangle=0$ the most general solution of the equations of motion (\ref{eom2}), (\ref{eom3}) and (\ref{eom4}) is given by the dilaton field

\begin{eqnarray}\Phi^2=1+\frac{a-\mu x^+x^-}{x^+-x^-}.\label{sol2}\end{eqnarray}

This dilaton field represents an eternal black hole with two asymptotic boundaries.

The case $a=0$ represents pure ${\rm AdS}^2$ or more precisely the Poincaré patch of ${\rm AdS}^2$ whereas the solution with $a>0$ (and $\mu>0$) represents an ${\rm AdS}^2$ black hole  (it is the Rindler wedge of the Poincaré patch).

The most general solution of the equations of motion is a conformal transformation $x=f(y)$ of (\ref{sol1}) and (\ref{sol2}), viz

\begin{eqnarray}ds^2=-\frac{4f^{\prime}(y^+)f^{\prime}(y^-)dy^+dy^-}{(f(y^+)-f(y^-))^2}~,~\Phi^2=1+\frac{a-f(y^+)f(y^-)}{f(y^+)-f(y^-)}.\end{eqnarray}

A static form of this black hole configuration is obtained by means of the conformal transformation

\begin{eqnarray}x=f(y)=\frac{1}{\sqrt{\mu}}\tanh \sqrt{\mu} y.\label{diffeo}\end{eqnarray}

The black hole solution reads then (we set $a=1$)

\begin{eqnarray}ds^2=-\frac{4\mu dy^+dy^-}{\sinh^2\sqrt{\mu}(y^+-y^-)}~,~\Phi^2=1+\sqrt{\mu}\coth\sqrt{\mu}(y⁺-y^-).\end{eqnarray}

The $x$ coordinates cover the whole geometry of the spacetime manifold whereas the $y$ coordinates cover only the exterior of the black hole.  At high temperature ($\mu \longrightarrow 0$) we can make the identification

\begin{eqnarray}z=\frac{y^+-y^-}{2}.\end{eqnarray}

Thus, the boundary $z=0$ of ${\rm AdS}^2$ is  located in the $y$ coordinates at $y^+-y^-=0$. On the other hand, the horizon $z\longrightarrow \infty$ of ${\rm AdS}^2$ corresponds in the $y$ coordinates either to the future horizon $y^+\longrightarrow +\infty$ (or equivalently $x^+\longrightarrow 1/\sqrt{\mu}$) or to the past horizon  $y^-\longrightarrow -\infty$ (or equivalently $x^+\longrightarrow -1/\sqrt{\mu}$).

This black hole configuration after Euclidean rotation becomes periodic in the variable $y^+-y^-$ with period $\beta_0=1/T_0$ given by

\begin{eqnarray}2\sqrt{\mu}=\frac{2\pi}{\beta_0}\Rightarrow T_0=\frac{\sqrt{\mu}}{\pi}.\end{eqnarray}

This is Hawking temperature. This can also be checked in the Schwarzschild coordinates defined by

\begin{eqnarray}\rho=\sqrt{\mu}\coth \sqrt{\mu}(y^+-y^-)~,~T=\frac{y^++y^-}{2}.\end{eqnarray}

The metric and the dilaton take then the form

\begin{eqnarray}ds^2=-4(\rho^2-\mu)dT^2+\frac{d\rho^2}{\rho^2-\mu}~,~\Phi^2=1+\rho.\end{eqnarray}

The Hawking temperature is then given by

\begin{eqnarray}T_0&=&\frac{1}{4\pi}\partial_{\rho}\sqrt{-\frac{g_{TT}}{g_{\rho\rho}}}|_{\rho=\sqrt{\mu}}\nonumber\\&=&\frac{\sqrt{\mu}}{\pi}.\label{T_Hawking}\end{eqnarray}

## ${\rm AdS}^2$ Black hole formed from gravitational collapse

We look at the equations of motion more carefully. First, we trivially check that $\exp(2\omega)=4/(x^+-x^-)^2$ solves the equation of motion (\ref{eom1}). Next, in terms of the ansatz $\Phi^2=M/(x^+-x^-)$ we write the constraints (\ref{eom2}) and (\ref{eom3}) in the form

\begin{eqnarray}\partial_+^2M=-8\pi G(x^+-x^-)T_{++}(x^+)~,~ \partial_-^2M=-8\pi G(x^+-x^-)T_{--}(x^-).\label{eom5}\end{eqnarray}

The final equation of motion (\ref{eom4}) reads

\begin{eqnarray}\partial_+\partial_-M+(\partial_+M-\partial_-M-2)/(x^+-x^-)=8\pi G(x^+-x^-)T_{+-}.\label{eom6}\end{eqnarray}

The most general solution of (\ref{eom5}) is

\begin{eqnarray}M=a+bx^++cx^-+dx^{+}x^--I^++I^-.\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}I^{\pm}=8\pi G\int_{x_0^{\pm}}^{x^{\pm}}dx^{\prime\pm}(x^{\prime \pm}-x^{\mp})(x^{\prime\pm}-x^{\pm})T_{\pm\pm}(x^{\prime\pm}).\end{eqnarray}

For conformal theory we have $T_{+-}=0$. The solution of (\ref{eom6}) is given by the requirement

\begin{eqnarray}b-c=2.\end{eqnarray}

The solution is then (with $b=b^{\prime}+1$)

\begin{eqnarray}\Phi^2=1+\frac{a+b^{\prime}(x^++x^-)+dx^+x^-}{x^+-x^-}-\frac{I^+-I^-}{x^+-x^-}.\label{res0}\end{eqnarray}

For $T_{uv}=\langle T_{uv}\rangle =0$ we get the solution

\begin{eqnarray}\Phi^2=\frac{a+b^{\prime}(x^++x^-)+dx^+x^-}{x^+-x^-}.\label{eom7}\end{eqnarray}

By an ${\rm SL}(2,R)$ symmetry which acts as $t\longrightarrow t^{\prime}=(at+b)/(ct+d)$ with $ad-cb=1$ we can bring this solution to the form

\begin{eqnarray}\Phi^2=1+\frac{a-\mu x^+x^-}{x^+-x^-}.\label{eom8}\end{eqnarray}

This is the dilaton profile corresponding to an eternal ${\rm AdS}^2$ black hole.

Next, we would like to derive the black hole solution formed from gravitational collapse. We consider then the effect of an infalling matter pulse into the black hole, i.e. the effect of a schokwave of energy $E_S$ traveling on the null curve $x^-=0$ starting from the boundary $z=0$ at time $t=0$. The stress-energy-momentum tensor is given by

\begin{eqnarray}T_{--}=\langle T_{--}\rangle =E_S\delta (x^-).\end{eqnarray}

We compute immediately $I^+=0$, $I^-=8\pi G E_S x^+x^-$. The dilaton profile becomes then

\begin{eqnarray}\Phi^2=\frac{a+b^{\prime}(x^++x^-)+(d+8\pi GE_S) x^+x^-}{x^+-x^-}.\end{eqnarray}

By an ${\rm SL}(2,R)$ symmetry we can bring this solution to the form

\begin{eqnarray}\Phi^2=\frac{a-(\mu+8\pi GE_S) x^+x^-}{x^+-x^-}.\label{res2}\end{eqnarray}

We can deduce from this formula the relationship between the mass of the black hole and its temperature. If we start from a pure ${\rm AdS}^2$ space we can set $\mu=0$ and thus we obtain

\begin{eqnarray}\Phi^2=\frac{a-8\pi GE_S x^+x^-}{x^+-x^-}.\label{eom9}\end{eqnarray}

By comparing (\ref{eom9}) and (\ref{eom8}) and using (\ref{T_Hawking}) we deduce the relationship between the energy and temperature as

\begin{eqnarray}8\pi GE_S=\mu_S=(\pi T_S)^2.\end{eqnarray}

Thus for the eternal ${\rm AdS}^2$ black hole we obtain the relationship

\begin{eqnarray}8\pi GE_0=\mu_0=(\pi T_0)^2.\end{eqnarray}

By considering now the  effect of an infalling matter pulse into the black hole (black hole formed by gravitational collapse) we obtain

\begin{eqnarray}8\pi GE_1=\mu_1=(\pi T_1)^2.\end{eqnarray}

The energy $E_1$ is simply given by the energy $E_0$ of the eternal black hole plus the energy $E_S$ of the infalling matter, viz $E_1=E_0+E_S$. Thus, the relationship between the the new temperature $T_1$, the old temperature $T_0$ and the energy of the pulse $E_S$ is given by

\begin{eqnarray}(\pi T_1)^2=(\pi T_0)^2+8\pi G E_S.\end{eqnarray}

## Quantum correction and coupling to a heat bath

The next step is to add quantum corrections which in the case of a conformal theory are encoded in the conformal anomaly.  The  Almheiri-Polchinski (AP) model is really characterized by transparent boundary conditions at the boundary as opposed to the reflecting boundary conditions characterizing the usual Jackiw-Teitelboim (JT) model. In other words, the (right) boundary of ${\rm AdS}^2$ is coupled to a heat bath at zero temperature into which Hawking radiation can escape and hence we have a simulated black hole evaporation process with the associated Hawking radiation and the consequent black hole information loss problem.

The matter sector which is independent of the dilaton field (and only interacts with it through the constraints) is treated as a conformal field theory on a fixed ${\rm AdS}^2$ background in the coordinates $x$. The fields are subjected to reflecting boundary conditions. In the external heat bath ${\rm M}^2$ we have the same conformal field theory in the coordinates $y$. The coupling between the ${\rm AdS}^2$ space and the heat bath occurs at $t=0$, i.e. at $x^-=0$ which results in a shokwave of energy $E_S$ infalling from the boundary into the black hole. We have the following metrics

The boundary conditions of the metric $ds^2_{\rm AdS^2}=(-dt^2+dz^2)/z^2$ and the dilaton $\Phi^2=1+(1-\mu(t^2-z^2))/2z$, i.e. their values at the boundary $z=\epsilon$  are given by (where $u$ is the time variable on the boundary)

\begin{eqnarray}g_{tt}|_{\rm boundary}=\frac{1}{\epsilon^2}=\frac{-t^{\prime 2}+z^{\prime 2}}{z^2}~,~\Phi^2|_{\rm boundary}=\frac{1}{2\epsilon}.\end{eqnarray}

The diffeomorphism $x=f(y)$ is chosen such that the boundary is simple at constant value in the $y$ coordinates, viz

\begin{eqnarray}\epsilon=\frac{y^+-y^-}{2}.\end{eqnarray}

Of course before the coupling between the ${\rm AdS}^2$ and the heat bath ${\rm M}^2$ is turned on at $t=0$ this diffeomorphsim is given by  (\ref{diffeo}) which corresponds to the static form of the eternal black hole solution.

Approaching the future/past horizon $y^{\pm}\longrightarrow\pm\infty$ on the boundary $y^+-y^-=0$ means that $u=T|_{\rm boundary}=\frac{y^++y^-}{2}|_{\rm boundary}\longrightarrow \pm\infty$ which in the $x$ coordinates is equivalent to spending the times $\pm t_{\infty}={\rm lim}_{u\longrightarrow\pm\infty}f(u)$. Before the coupling between ${\rm AdS}^2$ and the heat bath these times $\pm t_{\infty}$ are precisely the future/past horizon times $\pm t_{\infty}=f(\pm \infty)=x^{\pm}=\pm 1/\sqrt{\mu_0}=\pm 1/\pi T_0$. After the coupling the temperature changes to $T_1$ and in order for the wormhole to remain not traversable  the new event horizon is required to lie outside the original horizon and hence it can be reached in less time, i.e. $t_{\infty}$ after the coupling must satisfy $t_{\infty}\lt 1/\pi T_0$. The idea is that the so-called Averaged Null Energy Condition (ANEC) on the horizon must always be satisfied in order to maintain boundary causality \cite{Maldacena:2018lmt,Galloway:2018dak}.

Let us now introduce the Euclidean time $\tau=i t$ and the Euclidean (complex) coordinates $x$ and $\bar{x}$ by

\begin{eqnarray}x^+=\bar{x}=t+z~,~x^-=-x=t-z.\end{eqnarray}

Thus, $t=(x^++x^-)/2=(\bar{x}-x)/2$ and $z=(x^+-x^-)/2=(\bar{x}+x)/2$. The ${\rm AdS}^2$ boundary is at $z=0$ whereas the bulk is $z>0$. The initial state at $t=0$ is therefore the Hartle-Hawking state on ${\rm AdS}^2$ which is given by the vacuum on the half-line $z>0$.  The heat bath is another half-line $z<0$ with the same CFT prepared in the same vacuum state. The physical time (time on the boundary and in the heat bath) is $u$ and not $t$ (which is the bulk time). They are related by a diffeomorphism $t=f(u)$ (we choose $0=f(0)$).

We must therefore go from the coordinates $x$ (defined on ${\rm AdS}^2$) to the coordinates $y$ (defined on the heat bath) by the diffeomorphism $f$, viz $x=f(y)$ and $\bar{x}=f(\bar{y})$. The boundary is simple in the $y$ coordinates located at $y+\bar{y}=0$ while the physical time is $T=(\bar{y}-y)/2$ (we choose $f(y)=-f(-y)$).

At the initial time $t=u=0$ we have $y=\bar{y}=f^{-1}(z)$ and ${\rm AdS}^2$ corresponds to the right half-line $y>0$ whereas the heat bath corresponds to the left half-line $y<0$ . In general, ${\rm AdS}^2$ corresponds to the right half-plane $y+\bar{y}>0$ whereas the heat bath corresponds to the left half-plane $y+\bar{y}<0$.

The initial quantum state of the heat bath is therefore given by the Euclidean path integral on the left lower half-plane (the half-line vacuum). On the other hand, the initial quantum state of ${\rm AdS}^2$ is given by an Euclidean path integral on the right lower half-plane with a deformed boundary (a Virasoro descendant of the usual CFT vacuum on the half-line). In conclusion, we have in the $y$ coordinates a combined coupled system evolving in the physical time by the usual Hamiltonian of conformal field theory on the line.

The initial state is then time-reflection symmetric given by an Euclidean path integral over a simply connected space with a single boundary. Therefore it is a descendent of the half-line vacuum. The Cauchy surface at $t=0$ can thus be mapped by a means of an appropriate diffeomorphism to a half-line parameterized by a coordinate $w\in [0,\infty[$, i.e. we can map our initial quantum state to the half-line vacuum.

The goal is to derive the diffeomorphism $w=w(x)$ (in the ${\rm AdS}^2$ region $x>0$), the diffeomorphism $w=w(y)$ (in the heat bath ${\rm M}^2$ region $y<0$), the stress-energy-momentum tensor of the conformal matter in both regions and the energy $E_S$ of the initial shockwave due to the turning on of the coupling between ${\rm AdS}^2$ and ${\rm M}^2$ at time $t=0$. This will allow us to determine the quantum corrections to the Hawking temperature.

First, at $t=0$ the stress-energy-momentum tensor of ${\rm AdS}^2$ is zero in the physical coordinates $y$, and also zero in the Poincare coordinates $x$ since the Weyl anomaly between $x$ and $y$ is zero ($x=x(y)$ is an $SL(2,R)$ transformation). Similarly, the heat bath ${\rm M}^2$ is at zero tempertaure and thus the corresponding stress-energy-momentum tensor is also zero. We have then

\begin{eqnarray}\langle T_{xx}(x)\rangle=0~(x>0)~,~\langle T_{yy}(y)\rangle=0~ (y<0)~,~t=0\end{eqnarray}

At later times we use the transformation law of the stress-energy-momentum tensor under the diffeomorphism $w$, viz

\begin{eqnarray}(\frac{dw}{dx})^2\langle T_{ww}(w)\rangle=\langle T_{xx}(x)\rangle-\frac{c}{24\pi}S(w,x).\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}(\frac{dw}{dy})^2\langle T_{ww}(w)\rangle=\langle T_{yy}(y)\rangle+\frac{c}{24\pi }S(w,y).\end{eqnarray}

The number $c$ is the central charge of the conformal field theory and $S$ is the so-called Schwarzian which is defined by

\begin{eqnarray}S(w,x)=\{w,x\}&=&\frac{w^{\prime\prime\prime}(x)}{w^{\prime}(x)}-\frac{3}{2}\frac{w^{\prime\prime 2}(x)}{w^{\prime 2}(x)}\nonumber\\&=&(\frac{w^{\prime\prime}}{w^{\prime}})^{\prime}-\frac{1}{2}(\frac{w^{\prime\prime}}{w^{\prime}})^2.\end{eqnarray}

We take the diffeomorphism $w$ to be an $SL(2,R)$ transformation of the relevant coordinates, i.e.  a Mobius map which guarantees the vanishing of the stress-energy-momentum tensor  in the $w$ coordinates. Hence, we obtain the energy-momentum tensor

\begin{eqnarray}\langle T_{xx}(x)\rangle=-\frac{c}{24\pi}S(w,x).\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\langle T_{yy}(y)\rangle=-\frac{c}{24\pi }S(w,y).\end{eqnarray}

We go back to the initial time $t=0$. The diffeomorphism (or conformal transformation) $w$ will map the ${\rm AdS}^2$ region $x>0$ to the interval $[0,w_0]$ while it will map the heat bath ${\rm M}^2$ region $y<0$ to the interval $[w_0,\infty[$ and it is given explicitly by \cite{Almheiri:2019psf}

\begin{eqnarray}w(x)=\frac{w_0^2}{w_0+x}~,~x>0.\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}w(y)=w_0+f^{-1}(-x)~,~x<0.\end{eqnarray}

We write this

\begin{eqnarray}w(x)=\frac{w_0^2}{w_0+x}\theta(x)+(w_0-y)\theta(-x).\end{eqnarray}

We compute (using $f(0)=0$)

\begin{eqnarray}w^{\prime}(x)=-\frac{w_0^2}{(w_0+x)^2}\theta(x)-y^{\prime}(x)\theta(-x).\end{eqnarray}

Then we compute (using $y^{\prime}(x)=1/f^{\prime}(y)$ and $f^{\prime}(0)=1$ where primes denote derivatives with respect to the appropriate variable)

\begin{eqnarray}w^{\prime\prime}(x)=\frac{2w_0^2}{(w_0+x)^3}\theta(x)-y^{\prime\prime}(x)\theta(-x).\end{eqnarray}

Hence

\begin{eqnarray}\frac{w^{\prime\prime}(x)}{w^{\prime}(x)}=-\frac{2}{w_0+x}\theta(x)+\frac{y^{\prime\prime}(x)}{y^{\prime}(x)}\theta(-x).\end{eqnarray}

As a consequence we have (using $y^{\prime\prime}/y^{\prime}=-f^{\prime\prime}/f^{\prime 2}$ and hence $\frac{y^{\prime\prime}}{y^{\prime}}|_{x=0}=\frac{y^{\prime\prime}}{y^{\prime}}|_{y=0}=-f^{\prime\prime}(0)$)

\begin{eqnarray}(\frac{w^{\prime\prime}(x)}{w^{\prime}(x)})^{\prime}=\frac{2}{(w_0+x)^2}\theta(x)+(\frac{y^{\prime\prime}(x)}{y^{\prime}(x)})^{\prime}\theta(-x)-\frac{2}{w_0}\delta(x)+f^{\prime\prime}(0)\delta(x).\end{eqnarray}

We get then the Schwarzian and the energy-momentum tensor

\begin{eqnarray}S(w,x)=\{w,x\}=\{y,x\}\theta(-x)-(\frac{2}{w_0}-f^{\prime\prime}(0))\delta(x).\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\langle T_{xx}(x)\rangle=-\frac{c}{24\pi}\{y,x\}\theta(-x)+\frac{c}{24\pi}(\frac{2}{w_0}-f^{\prime\prime}(0))\delta(x).\label{res1}\end{eqnarray}

Thus, we can make the identification

\begin{eqnarray}E_S= \frac{c}{24\pi}(\frac{2}{w_0}-f^{\prime\prime}(0)).\end{eqnarray}

However,  ${\rm AdS}^2$ is dual to a conformal quantum mechanics at the boundary and thus it is more natural to map the ${\rm AdS}^2$ region to a single point. In other words, we must take the limit $w_0\longrightarrow 0$ and hence $E_S\longrightarrow \infty$. As it turns out, this is indeed the physically sensible limit in order to avoid acausal correlations \cite{Almheiri:2019psf}. The diffeomorphism $w$ becomes a mapping to the upper-half plane given by

\begin{eqnarray}w(x)=(\frac{12\pi E_S}{c})^{-1}\frac{1}{x}\theta(x)+f^{-1}(-x)\theta(-x).\end{eqnarray}

We also write the result (\ref{res1}) in the form

\begin{eqnarray}\langle T_{x^-x^-}(x⁻)\rangle=-\frac{c}{24\pi}\{y^-,x^-\}\theta(x^-)+E_S\delta(x^-).\end{eqnarray}

We use this result in (\ref{res0}). We compute $I^+=0$ as before but now

\begin{eqnarray}I^-=8\pi GE_S x^+x^--\frac{k}{2}\int_0^{x^-}dt(x^+-t)(x^--t)\{u,t\}~,~t=f(u)~,~k=\frac{c.G}{3}.\end{eqnarray}

The dilaton field, including quantum corrections, becomes (compare with equation (\ref{res2}) and subsequent equations)

\begin{eqnarray}\Phi^2&=&\frac{1-(\mu_0+8\pi GE_S)x^+x^-+\frac{k}{2}\int_0^{x^-}dt(x^+-t)(x^--t)\{u,t\}}{x^+-x^-}\nonumber\\&=&\frac{1-(8\pi T_1)^2x^+x^-+\frac{k}{2}I(x^+,x^-)}{x^+-x^-}.\end{eqnarray}

## The boundary theory

The  Schwarzian plays a crucial role in this problem since the underlying dynamics is one-dimensional on the boundary. Indeed, the space ${\rm AdS}^2$ is characterized by a boundary and the action should be enhanced by a boundary term, viz

\begin{eqnarray} S[g,\Phi,f]\longrightarrow S[g,\Phi,f]&=& S_{JT}[g,\Phi]+D_{\rm CFT}[g,f]+S_{b}[g,\Phi]\nonumber\\ &=&\frac{1}{16\pi G}\int_{\cal M} d^2x\sqrt{-g}(\Phi^2 R-V(\Phi))+S_{\rm CFT}[g,f]+S_{b}[g,\Phi]. \end{eqnarray}

The boundary term is given by

\begin{eqnarray}S_{b}[g,\Phi]=\frac{1}{8\pi G}\int_{\partial\cal M} du\sqrt{-\gamma}\Phi^2K.\end{eqnarray}

$K$ is the scalar extrinsic curvature. More precisely, $K=g^{\mu\nu}K_{\mu\nu}=\gamma^{\mu\nu}K_{\mu\nu}$ where $\gamma_{\mu\nu}$ is the induced metric at the boundary and the extrinsic curvature tensor $K_{\mu\nu}$ describes how the boundary ${\partial \cal M}$ is curved with respect to the manifold ${\cal M}={\rm AdS}^2$ in which it is embedded.

Since the equation of motion of the dilaton enforces the ${\rm AdS}^2$ geometry the bulk action is zero and we only need to focus on the boundary term.

Let us consider the Euclidean metric $ds^2=(dt^2+dz^2)/z^2$. The boundary conditions become

\begin{eqnarray}g_{tt}|_{\rm boundary}=\frac{1}{\epsilon^2}=\frac{t^{\prime 2}+z^{\prime 2}}{z^2}~,~\Phi^2|_{\rm boundary}=\frac{1}{2\epsilon}\Rightarrow \epsilon=\frac{z}{\sqrt{t^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}.\end{eqnarray}

We can solve explicitly in powers of the cutoff $\epsilon$ to find

\begin{eqnarray}z=\epsilon t^{\prime}+O(\epsilon^2).\end{eqnarray}

We compute then

\begin{eqnarray}z^{\prime}=\epsilon t^{\prime\prime}+O(\epsilon^2)~,~z^{\prime\prime}=\epsilon t^{\prime\prime\prime}+O(\epsilon^2).\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\epsilon^{\prime}=\frac{z^{\prime}}{\sqrt{t^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}-\frac{z(t^{\prime}t^{\prime\prime}+z^{\prime}z^{\prime\prime})}{(t^{\prime 2}+z^{\prime 2})^{3/2}}=0+O(\epsilon^2).\end{eqnarray}

The primes are derivatives with respect to $u$ which is the time parameter on the boundary. The tangent vector at the boundary is $e^{\mu}=\partial_{u}x^{\mu}=(t^{\prime},z^{\prime})$ whereas the normal vector is $n^{\mu}=\epsilon(z^{\prime},-t^{\prime})$. By construction these two vectors are orthogonal, i.e. $n_{\mu}e^{\mu}=0$ and furthermore $n^{\mu}$ is normalized, i.e. $n_{\mu}n^{\mu}=1$.

We compute the scalar curvature by the formula

\begin{eqnarray}K=\nabla_{\mu}n^{\mu}&=&\partial_{\mu}n^{\mu}+\Gamma_{\mu\nu}^{\mu}n^{\nu}\nonumber\\&=&\partial_{\mu}n^{\mu}+\frac{1}{2}g^{\mu\beta}\partial_{\nu}g_{\beta\mu} n^{\nu}\nonumber\\&=&-\frac{t^{\prime 2}-z^{\prime 2}}{t^{\prime}\sqrt{t^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}+\frac{2z}{(t^{\prime 2}+z^{\prime 2})^{3/2}}(z^{\prime\prime}t^{\prime}-t^{\prime\prime}z^{\prime})+2\frac{t^{\prime 2}-z^{\prime 2}}{t^{\prime}\sqrt{t^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}\nonumber\\&=&-\frac{z}{\epsilon t^{\prime}}+\frac{2}{(t^{\prime 2}+z^{\prime 2})^{3/2}}(t^{\prime}(zz^{\prime\prime}+t^{\prime 2}+z^{\prime 2})-z z^{\prime}t^{\prime\prime})\nonumber\\&=&1+2\epsilon^2\{t,u\}.\end{eqnarray}

So the extrinsic curvature to leading order in $\epsilon^2$ is equal to the Schwarzian. Note, that in going from the second line to the third line we have replaced in both terms the derivatives $\partial_t$ and $\partial_z$ with $\partial_u/t^{\prime}$ and $\partial_u/z^{\prime}$ respectively.

The boundary term becomes

\begin{eqnarray}S_{b}[g,\Phi]&=&(-1)(\frac{1}{2})\frac{1}{8\pi G}\int_{\partial\cal M} du\frac{1}{\epsilon}\frac{1}{2\epsilon}. 2\epsilon^2\{t,u\}\nonumber\\&=&-\frac{1}{16\pi G}\int du \{t,u\}.\end{eqnarray}

The minus sign is due to the Euclidean signature whereas the factor $1/2$ is due to the fact that the boundary of ${\rm AdS}^2$ is constituted of two identical disconnected segments.

Thus, we have spontaneous symmetry breaking of conformal symmetry along the boundary down to the $SL(2,R)$ Mobius transformations $t\longrightarrow (at+b)/(ct+d)$ with $ad-cb=1$. Indeed, the Schwarzian is only invariant under these transformations, viz

\begin{eqnarray}\{\frac{at+b}{ct+d},u\}=\{t,u\}.\end{eqnarray}

The field $t=t(u)$ acts as the corresponding pseudo Nambu Goldstone modes associated with this spontaneous breaking \cite{Maldacena:2016upp}.

The ADM energy associated with boundary translations $u\longrightarrow u+\delta u$ is immeidately given from the above action by the Schwarzian, viz

This can be obatined by varying the boundary metric and computing the corresponding stress-energy-momentum tensor \cite{Almheiri:2014cka}.

We can check that for $u<0$, where the diffeomorphism $t=f(u)=\frac{1}{\pi T_0}\tanh (\pi T_0 u)$, this ADM energy $E(u)$ is precisely equal to the energy of the eternal black hole $E_0=\pi T_0^2/8G$.

## Exercises

Exercise $1$: Calculate the equations of motion (\ref{eom1}), (\ref{eom2}), (\ref{eom3}) and (\ref{eom4}). Determine the constraints.

Exercise $2$: Show by using an ${\rm SL}(2,R)$ symmetry that we can bring the solution (\ref{eom7}) to the form (\ref{eom8}).

Exercise $3$: By varying the boundary metric compute the boundary stress-energy-momentum tensor and show that the ADM energy is given by equation (\ref{ADM}).

Exercise $4$: Show that for $u<0$ the ADM energy $E(u)$ is precisely equal to the energy of the eternal black hole $E_0=\pi T_0^2/8G$.

## References

%\cite{Almheiri:2014cka}
\bibitem{Almheiri:2014cka}
A.~Almheiri and J.~Polchinski,
Models of AdS$_{2}$ backreaction and holography,''
JHEP \textbf{11}, 014 (2015)
doi:10.1007/JHEP11(2015)014
[arXiv:1402.6334 [hep-th]].
%326 citations counted in INSPIRE as of 10 Dec 2020

%\cite{Jackiw:1984je}
\bibitem{Jackiw:1984je}
R.~Jackiw,
Lower Dimensional Gravity,''
Nucl. Phys. B \textbf{252}, 343-356 (1985)
doi:10.1016/0550-3213(85)90448-1
%541 citations counted in INSPIRE as of 10 Dec 2020 

%\cite{Teitelboim:1983ux}
\bibitem{Teitelboim:1983ux}
C.~Teitelboim,
Gravitation and Hamiltonian Structure in Two Space-Time Dimensions,''
Phys. Lett. B \textbf{126}, 41-45 (1983)
doi:10.1016/0370-2693(83)90012-6
%529 citations counted in INSPIRE as of 10 Dec 2020 

%\cite{Kitaev:2015}
\bibitem{Kitaev:2015}
A.~Kitaev,
A simple model of quantum holography,''
KITP strings seminar and Entanglement 2015 program (Feb.12, April 7, and May 27, 2015).
http://online.kitp.ucsb.edu/online/entangled15/

 %\cite{Sachdev-Ye:1993}
\bibitem{Sachdev-Ye:1993}
S.~Sachdev, J.~Ye,
Gapless spin-fluid ground state in a random quantum Heisenberg magnet,''
Phys.Rev.Lett. 70 (May, 1993) 3339-3342.


%\cite{Maldacena:2016upp}
\bibitem{Maldacena:2016upp}
J.~Maldacena, D.~Stanford and Z.~Yang,
Conformal symmetry and its breaking in two dimensional Nearly Anti-de-Sitter space,''
PTEP \textbf{2016}, no.12, 12C104 (2016)
doi:10.1093/ptep/ptw124
[arXiv:1606.01857 [hep-th]].
%493 citations counted in INSPIRE as of 10 Dec 2020 

%\cite{Engelsoy:2016xyb}
\bibitem{Engelsoy:2016xyb}
J.~Engels\"oy, T.~G.~Mertens and H.~Verlinde,
An investigation of AdS$_{2}$ backreaction and holography,''
JHEP \textbf{07}, 139 (2016)
doi:10.1007/JHEP07(2016)139
[arXiv:1606.03438 [hep-th]].
%307 citations counted in INSPIRE as of 10 Dec 2020 

%\cite{Almheiri:2019psf}
\bibitem{Almheiri:2019psf}
A.~Almheiri, N.~Engelhardt, D.~Marolf and H.~Maxfield,
The entropy of bulk quantum fields and the entanglement wedge of an evaporating black hole,''
JHEP \textbf{12}, 063 (2019)
doi:10.1007/JHEP12(2019)063
[arXiv:1905.08762 [hep-th]].
%159 citations counted in INSPIRE as of 10 Dec 2020 

%\cite{Maldacena:2018lmt}
\bibitem{Maldacena:2018lmt}
J.~Maldacena and X.~L.~Qi,
Eternal traversable wormhole,''
[arXiv:1804.00491 [hep-th]].
%167 citations counted in INSPIRE as of 23 Dec 2020 

%\cite{Galloway:2018dak}
\bibitem{Galloway:2018dak}
G.~J.~Galloway and M.~Graf,
Rigidity of asymptotically $AdS_2 \times S^2$ spacetimes,''
Adv. Theor. Math. Phys. \textbf{23}, no.2, 403-435 (2019)
doi:10.4310/ATMP.2019.v23.n2.a3
[arXiv:1803.10529 [gr-qc]].
%7 citations counted in INSPIRE as of 23 Dec 2020 

### لماذا يجب ان ندرس نظرية الاوتار الممتازة

هناك اربعة اسباب.
اولا سبب الفيزياء النظرية. نظرية الاوتار الممتازة هى نظرية ثقالة كمومية. و نظرية الثقالة الكمومية هى النظرية التى يتم فيها توحيد مبادئ الميكانيك الكمومى مع مبادئ النسبية العامة من اجل وصف القوى الثقالية عند طاقات بلانك (الثقب الاسود و الانفجار الاكبر).
ثانيا سبب الطبيعة. نظرية الاوتار الممتازة هى قد تكون نظرية الثقالة الكمومية الصحيحة. و مما يؤيد هذا الامر الحل الاخير المقترح للمعضلة العويصة لاشعاع هاوكينغ و ضياع المعلومات فى الثقب الذى يعتمد على التقابل AdS/CFT هذا الاخير وُلد من رحم نظرية الوتر.
ثالثا سبب التجربة. نظرية الاوتار الممتازة توفر منظوريانية perspective جديدة جول النظريات المعيارية gauge theories للجسيمات الاولية المؤكدة تجريبيا. وتذكروا فان النموذج القياسى standard model للجسيمات الاولية هو نظرية معيارية ولو لم يكن نظرية معيارية لما كان نجح رياضيا لكنه ايضا مؤكد تجريبيا الى اقصى حدود الدقة المتاحة اليوم.
رابعا سبب الرياضيات. نظرية الاوتار الممتازة كانت سببا فى عديد الاكتشافات فى الرياضيات البحتة. ألم يحصل ويتن Witten و هو اكبر فيزيائى وترى على جائزة فيلدز Fields medal التى تقوم مقام نوبل فى الرياضيات.
وهذا منشور كان اطول بكثير من هذا فقد كنت كتبته مرتين و أضاعه على الفايسبوك مرتين و قد كنت لخصت فيه (فى صيغته الاولى) المواضيع الاساسية الاربعة فى نظرية المجال الكونفورمال التى قدمتها مؤخرا على البلوغر و اليوتوب.
وكما تعلمون فان نظرية المجال الكونفورمال هى اللغة الاساسية و بامتياز لنظرية الاوتار الممتازة.
فى الصورة اقدم الشذة الكونفورمالية بدلالة الشحنة المركزية و المشتقة الشوارزية (اجمل مشتقة فى الفيزياء و الرياضيات).
للاسف ضاع الشرح بالعربية الذى كنت كتبته حول هذا الموضوع مرتين و ايضا شرح المواضيع الثلاثة الاخرى (تنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم, جداءات ال OPE و المؤثرات الاصلية).
اذن لم يتبقى امامكم الا الاطلاع على منشورات البلوغر و اليوتوب حول الموضوع.
Conformal field theory 1
Conformal field theory 2
The stress-energy-momentum tensor
The operator product expansion
Primary operators
The conformal anomaly