نظرية المجال الكونفورمال 2

 

(درجة صعوبة هذا المنشور 5 من 5)

مدخل الى نظرية المجال الكونفورمال 2

التحويلات الكونفورمال هى التحويلات النقطية التى يتم فيها تغيير الاحداثيات x و المترية g كما فى المعادلة الاولى من الصورة.

اذا كانت الجملة الفيزيائية صامدة invariant (اى ثابتة لا تتغير) تحت تأثير هذه التحويلات فاننا نقول انها (اى هذه الجملة) متناظرة كونفورماليا conformally symmetric او ان الجملة الفيزيائية هى جملة كونفورمالية conformal system.

وأهم نموذج عن هذه الجمل الفيزيائية الكونفورمالية هى نظريات المجال الكونوفرمالى فى بعدين two-dimensional conformal field theory.

هذه النظريات المجالية الكونفورمالية تسمح لنا بحساب الأسس الحرجة critical exponent للتحولات الطورية من الرتبة الثانية second order phase transitions و ايضا تدخل فى تكامل طريق بولياكوف Polyakov path integral الذى هو نقطة انطلاق نظريات الأوتار الممتازة (التى هى اضخم النظريات الفيزيائية قاطبة تضاهى فى ضخامتها رغم عمرها القصير نظريات المجال الكمومى).

وكمثال محدد عن نظريات المجال الكونفورمالى فى بعدين نأخذ مجال سلمى نرمز له φ كتلته معدومة.

فعل هيلبرت Hilbert action لهذه النظرية السلمية الكونفورمالية يعطى بالعبارة فى المعادلة الثانية.

سنفترض ايضا ان الفضاء-زمن اقليدى Euclidean و انه مسطح flat. اى انه فى المعادلة يجب ان نضع المترية g تساوى واحد (لكن لا نفعل ذلك حتى نُنهى الحساب).

لاننا فى فضاء اقليدى مسطح ببعدين فانه يمكننا تعويض الاحداثيتان 1^x و 2^x بالعددين المركبين z و bar{z}\ فى المستوى المركب complex plane كما فى المعادلة الثالثة.

الدوال التى تتعلق على العدد المركب z تسمى دوال هولومورفية holomorphic function وهى تقابل المجال المتحرك-يساريا lef-moving فى الفضاء-زمن.

اما الدوال التى تتعلق على العدد المركب bar{z}\ فتسمى دوال هولومورفية-عكسية anti-holomorphic و هى تقابل المجال المتحرك-يمينيا right-moving فى الفضاء-زمن.

الفضاء-زمن نحصل عليه من الفضاء الاقليدى بتعويض الاحداثية 2^x بالاحداثية i*x^0 حيث 0^x هو الزمن t و i هو العدد التخيلى المحض. هذه العملية تسمى تدوير ويك Wick rotation.

الاشتقاق فى المستوى المركب يسمى الاشتقاق الهولومورفى holomorphic derivation و هو يعطى بدلالة الاشتقاق بالنسبة للاحداثيات x بالمعادلة فى الصورة الرابعة.

وكما ذكرنا فان الفضاء-زمن اقليدى و مسطح وبالتالى فان المترية ثابتة تساوى واحد. هذا يعنى ان التحويلات الكونفورمال فى المعادلة 1 تُختزل الى تحويلات شاملة global transformations يتم فيها تغيير الاحداثيات فعلا (اى تغيير فيزيائى للاحداثيات) ونبقى المترية مثبتة كما ذكرنا).

التحويلات الكونفورمال تصبح معطاة بالشكل فى المعادلة 5. حيث نحصل على عبارة التحويل اللامتناهى فى الصغر infinitesimal transformation بأخذ الدالة ε ضعيرة جدا بالمقارنة مع 1.

فى المستوى المركب هذه التحويلات الكونفورمال تصبح التطبيقات الكونفورمال المعطاة فى المعادلة 6 اى ان العدد المركب z يتغير الى الدالة الهولومورفية f(z) و بالمثل بالنسبة للعدد المركب المرافق conjugate. هذه الدالة الهولومورفية holomorphic هى مايسمى التطبيق الهولومورفى holomorphic mapping. وهى تعبر عن تحويل كونفورمال كيفى arbitrary فى المستوى.

أهم التحويلات الكونفورمال هى الانسحابات translations و الدورانات rotations و التمطيطات dilatations و هى معطاة فى المعادلة 7. لاحظوا الفرق بين الدورانات و التمطيطات (هذه الاخيرة التى تسمى ايضا تحويلات السلم scale transformations). اذن التمطيط او تحويل السلم هو دوران لكن ليس فى دائرة اى انه ينطوى على تغيير للسلم scale (الذى هو هنا نصف القطر) و لهذا يسمى تحويل السلم.

بعد هذا التقديم المقتضب للفضاء-زمن الاقليدى المسطح فى بعدين الذى هو بالضبط المستوى المركب نرجع الى نظرية المجال السلمى عديم الكتلة فى بعدين المعطاة بالفعل فى المعادلة 2.

هذه النظرية هى ضامدة تحت تأثير التحويلات الكونفورمال المعطاة فى المعادلة 5 بمعنى ان الفعل فى المعادلة 2 لا تتغير قيمته اذا غيرنا الاحداثيات كما فى المعادلة 5.

نقول ان نظرية المجال السلمى عديم الكتلة فى بعدين هى متناظرة كونفورماليا.

وكما نعرف من الدرس الاول فى فيزياء الجسيمات الاولية (أنه اذا كان التحويل النقطى يُشكل تناظر للجملة الفيزيائية فانه سيكون مرفق بانحفاظ لمقدار فيزيائى). هذه هى مبرهة نوثر Noether's theorem.

اذن التناظر الكونفورمالى للنظرية المجالية المعطاة بالفعل فى المعادلة 2 سيؤدى الى انحفاظ لمقادير فيزيائية نُشفرها فى نظرية المجال الكمومى و النسبية العامة فى ما يسمى تنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم stress-energy-momentum tensor.

حتى نحسب هذا التنسور نقوم بالخطوات التالية:

- نعود الى التحويلات الكونفورمال فى صيغتها الاولى المعطاة بالمعادلة 1 (اى نرجع الى المترية الديناميكية).

-نكتب هذه التحويلات فى شكلها اللامتناهى فى الصغر كما يظهر فى المعادلة 8.

-التغير فى الفعل المعطى بالمعادلة 2 تحت تأثير التحويلات فى المعادلة 8 يساوى صفر لان هذه التحويلات هى ديفيومورفيزمات diffeomorphisms و النظرية بالبناء by construction متناظرة تحت هؤلاء.

-نقوم بحساب التغير فى الفعل المعطى بالمعادلة 2 تحت تاثير التحويلات المعطاة فى المعادلة 5 (اى التغير الناجم عن تغيير الاحداثيات). هذا يساوى ناقض التغير الناجم عن تغيير المترية لان التغير الناجم عن تغييرهما معا يساوى صفر كما ذكرنا فى النقطة السابقة. النتيجة الاخيرة معطاة بالمعادلة 9.

- هذه النتيجة تعطى بدلالة تنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم المكتوب فى المعادلة 10 (السطر الاول) و المحسوب ايضا فى المعادلة 10 (السطر الثانى). لاحظوا انه يجب وضع المترية تساوى واحد فى السطر الاول بعد نهاية الحساب.

الخاصيتان الاساسيتان لتنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم هما الانحفاظ conservation و معدومية-الاثر tracelessness:

-اولا تنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم منحفظ conserved كما تنص عليه مبرهنة نوثر (اذا كان التحويل النقطى تناظر للجملة فان هناك مقدار فيزيائى مرفق به محفوظ فى الزمن). كون تنسور الضغظ-و-الطاقة-الزخم محفوظ تعبر عليه المعادلة رقم 11 التى نستخرجها مباشرة من المعادلة رقم 9.

-ثانيا تنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم معدوم-الاثر traceless وهذه خاصية اكثر اساسية من سابقتها وهى ناجمة عن الصمود تحت تأثير تحويل السلم للمترية. انظر المعادلة 12.

هذه الخاصية (الصمود تحت تأثير تحويلات السلم للمترية و كون تنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم معدوم الاثر) هى أهم خاصية للنظريات الكونفورمالية فهى خاصية يصعب جدا جدا الحفاظ عليها كموميا (اى بعد تكميم النظرية) رغم تحققها فى النظرية الكلاسيكية.

فى الاخير نذكر انه فى المستوى المركب نكتب مركبات تنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم و خاصيتى الانحفاظ و معدومية-الاثر كما فى المعادلة 13.

لاحظوا ان المركبة T دالة هولومورفية اى لا تتعلق الا ب z و ان المركبة bar{T}\ هى مركبة هولومورفية-عكسية bar{z}\.

 

Conformal field theory 1

Introduction

Conformal symmetry is a crucial ingredient in:

-Statistical mechanics (second order phase transitions, critical exponents)

-Quantum field theory (fixed points of the renormalization group equation).

-String theory (Polyakov path integral, AdS/CFT correspondence). 

A conformal field theory is a quantum field theory with conformal symmetry, i.e. there is no preferred length scale.

 

 

 

Conformal field theory

Conformal transformations are:

\begin{eqnarray}x^{\alpha}\longrightarrow \tilde{x}^{\alpha}(x)~\Rightarrow ~g_{\alpha\beta}(x)\longrightarrow\tilde{g}_{\alpha\beta}(\tilde{x})=\Omega^2(x)g_{\alpha\beta}(x).\end{eqnarray}

Here there are two possible interpretations:

-The metric is dynamical. In this case conformal transformations are diffeomorphisms, i.e. local gauge transformations which can be undone by Weyl transformations.

-The metric is fixed. In this case conformal transformations are global transformations which physically change the point $x$ to the point $\tilde{x}$. 

In here we are interested in the second interpretation.

A typical example is two-dimensional massless scalar field $\phi$. The Hamilton action is:

\begin{eqnarray}S=\frac{1}{4\pi\alpha^{'}}\int d^2x \sqrt{g}\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi.\end{eqnarray}

The coordinates of the flat and Euclidean spacetime are:

\begin{eqnarray}z=x^1+ix^2~,~\bar{z}=x^¹-ix^2.\end{eqnarray}

We have then a complex plane. The holomorphic derivatives:

\begin{eqnarray}\partial_z=\partial=\frac{1}{2}(\partial_1-i\partial_2)~,~\partial_{\bar{z}}=\bar{\partial}=\frac{1}{2}(\partial_1+i\partial_2).\end{eqnarray}

Conformal transformations in a flat background (the metric is fixed)

\begin{eqnarray}x^{\mu}\longrightarrow \tilde{x}^{\mu}(x)=x^{\mu}+\epsilon^{\mu}(x) \label{conf}\end{eqnarray}

become in the complex plane the conformal mappings:

\begin{eqnarray}z\longrightarrow {z}^{'}=f(z)~,~\bar{z}\longrightarrow \bar{z}^{'}=\bar{f}(\bar{z}).\end{eqnarray}

The most important conformal transformations are:

\begin{eqnarray}&&z\longrightarrow z^{'}=z+a~,~{\rm Translations}\nonumber\\&&z\longrightarrow z^{'}=\zeta z~,~|\zeta|=1~,~{\rm Rotations}\nonumber\\&&z\longrightarrow z^{'}=\zeta z~,~|\zeta|\neq 1~,~{\rm Dilatations}.\end{eqnarray} 

The stress-energy-momentum tensor

Infinitesimal diffeomorphisms (used in the computation of the stress-energy-tensor):

\begin{eqnarray}x^{\mu}\longrightarrow x^{\mu}+\epsilon^{\mu}~,~g_{\mu\nu}\longrightarrow g_{\mu\nu}+\partial_{\mu}\epsilon_{\nu}+\partial_{\nu}\epsilon_{\mu}.\end{eqnarray}

The variation of the action under the conformal transformations  (\ref{conf}):

\begin{eqnarray}\delta S=\frac{1}{2\pi}\int d^2x T^{\alpha\beta}\partial_{\alpha}\epsilon_{\beta}.\end{eqnarray}

The stress-energy-momentum tensor:

\begin{eqnarray}T_{\alpha\beta}&=&-\frac{4\pi}{\sqrt{g}}\bigg(\frac{\delta S}{\delta g^{\alpha\beta}}\bigg)_{g=\delta}\nonumber\\&=&-\frac{1}{\alpha^{'}}(\partial_{\alpha}\phi\partial_{\beta}\phi-\frac{1}{2}\delta_{\alpha\beta}(\partial\phi)^2).\end{eqnarray}

The stress-energy-momentum tensor is conserved (Noether's theorem):

\begin{eqnarray}\partial^{\alpha}T_{\alpha\beta}=0.\end{eqnarray}

The stress-energy-tensor is traceless (which is due to the invariance under scale transformations):

\begin{eqnarray}g_{\mu\nu}\longrightarrow \epsilon g_{\mu\nu}~,~S\longrightarrow S+\delta S~:~\delta S=0\Rightarrow T_{\alpha}^{\alpha}=0.\end{eqnarray}

In the complex plane:

\begin{eqnarray}&&T(z)=T_{zz}(z)=-\frac{1}{\alpha^{'}}\partial \phi\partial\phi~,~\bar{\partial}T=0\nonumber\\&&\bar{T}(\bar{z})=T_{\bar{z}\bar{z}}(\bar{z})=-\frac{1}{\alpha^{'}}\bar{\partial} \phi\bar{\partial}\phi~,~{\partial}\bar{T}=0\nonumber\\&&T_{z\bar{z}}=0.\end{eqnarray}

 

Noether's currents (For generic conformal transformations $z\longrightarrow z+\epsilon(z)$, $\bar{z}\longrightarrow \bar{z}+\bar{\epsilon}(\bar{z})$):

 \begin{eqnarray}&&2J_z={J}^{\bar{z}}={T}({z}){\epsilon}({z})~,~\bar{\partial} {J}^{\bar{z}}=0\nonumber\\&&2\bar{J}_{\bar{z}}=\bar{J}^z=\bar{T}(\bar{z})\bar{\epsilon}(\bar{z})~,~\partial \bar{J}^z=0.\end{eqnarray}

 

Ward Identities: The operator product expansion (OPE)

After quantization the conservation of Noether's  currents $J^{\mu}$ is replaced as:

\begin{eqnarray}&&\partial_{\mu}J^{\mu}=0~,~{\rm Classical}\nonumber\\&& \Rightarrow-\frac{1}{2\pi}\int_{\epsilon\neq 0}\sqrt{g}d^2x \partial_{\mu}\langle 0| T\bigg( J^{\mu}(x)O_1(x_1)...O_N(x_N)\bigg)|0\rangle=\langle 0|T\big(\delta O_1(x_1)...O_N(x_N)\big)|0\rangle~,~x\longrightarrow x_1~,~{\rm Quantum}.\end{eqnarray} 

These are Ward identities.

In deriving this equation we have assumed that the support of the conformal transformation $\epsilon(x)$ includes only the operator insertion $O_1(x_1)$. 

The variation of the field $\phi$ and the operator insertions $O_i(x)$ under conformal transformations are  defined by $\phi\longrightarrow \phi+\epsilon \delta \phi$ and $O_i(x)\longrightarrow O_i(x)+\epsilon\delta O_i(x)$ respectively.

The above result is true for any $\epsilon(x)$. Thus we have actually the operator identity 

\begin{eqnarray}-\frac{1}{2\pi}\int_{\epsilon\neq 0}\sqrt{g}d^2x \partial_{\mu} \bigg(J^{\mu}(x)O_1(x_1)...O_N(x_N)\bigg)=\delta O_1(x_1)...O_N(x_N).\end{eqnarray}  

However, the expectation values of time-ordered products of operators computed using the Feynman path integral are implicitly understood if and when needed (for example the operator insertions all compute).

In two dimensions we can use Stokes' theorem (we can reduce to a contour integral) and for conformal transformations the Noether's currents are holomorphic or anti-holomorphic functions (we can use the residue theorem). We get then the result (for $z\longrightarrow w$)

\begin{eqnarray}\frac{i}{2\pi}\oint_{\partial\epsilon} dz J_z(z)O_1(w,\bar{w})=-{\rm Res}(J_zO_1)\Rightarrow \delta O_1(w,\bar{w})=-\frac{1}{2}{\rm Res}(\epsilon(z)T(z)O_1(w,\bar{w})).\end{eqnarray}

We have then the behavior 

\begin{eqnarray}J_z(z)O_1(w,\bar{w})=...+\frac{{\rm Res}(J_z(z)O_1(w,\bar{w}))}{z-w}+...\end{eqnarray}

This is an example of an operator product expansion (OPE). 

We conclude that if we know the OPE of an operator with the stress-energy-momentum tensor we can determine the transformation law of this operator under conformal transformations. 

References:

David Tong, String Theory.

انجازات الفيزياء عام 2020

 

أهم الانجازات فى الفيزياء هذا العام حسب مجلة كوانطا هى الاكتشافات الستة التالية:

اولا حل معضلة اشعاع هاوكينغ و ضياع المعلومات فى الثقب الاسود وهذه تزعمها بامتياز الاماراتى أحمد المهيرى. اذن الثقب الاسود يتصرف بشكل احادى unitary يحترم الميكانيك الكمومى و ليس كما ذهبت اليه النسبية العامة فى الحساب التاريخى لهاوكينغ. اما كيف فعلا تعود المعلومات الى الخروج من الثقب قبل تبخره بالكامل فهذا هو الحساب المذهل الذى لا يعرفه الا العارفون بالفيزياء فعلا.

ثانيا حل معضلة السهم فى الزمن arrow of time عن طريق ادخال اللاحتمية undeterministic الى الميكانيك الكلاسيكى (اذن اللاحتمية لم تعد قاصرة على الميكانيك الكمومى) و هذا الادخال تتم عبر تعويض رياضيات هيلبرت Hilbert الطاغية على الرياضيات و الفيزياء و غيرها من العلوم اليوم برياضيات براور Bruower صاحب ما يسمى الرياضيات الحدسية intutionistic mathematics التى ترفض التعامل مع اى مالانهاية فى الرياضات لانه لا توجد حسب براور المالانهاية فى الواقع. اذن الكون-الكتلة bloack-universe وهو النموذج الذى طغى على الفيزياء و على الفلسفة بخصوص السهم فى الزمن (منذ اكتشاف النسبية) هو نموذج غير صحيح -حسب الرياضيات الحدسية و اللاحتمية الكلاسكية- بل الصحيح هو مانراه فى الواقع فى ان هناك حاضر present و ان هناك تدفق للزمن time passage من الماضى الى المستقبل عبر الحاضر (وهذا هو السهم).

ثالثا اكتشاف الناقلية-الممتازة superconductivity فى درجة حرارة الغرفة (مثلا عند درجة حرارة 15 مائوية يمكن ان يكون لدينا ناقل-ممتاز) وهذا انجاز تجريبى مذهل ذو ابعاد تكنولوجية لا يمكن حتى تصورها.

رابعا اكتشاف الأنيونات (مفرد انيون anyon) وهى جسيمات موجودة فى بعدين لا هى فرميونية (مثل الجسيمات المشكلة للمادة) و لا هى بوزونية (مثل الجسيمات الحاملة للقوى) بل هى وسط بين الاثنين. و الأنيون قد تنبأت به النظرية فى الثمانينات من القرن الماضى.

خامسا اكتشاف الماغنيتار magnetar وهو نجم نيوترونى عالى المغنطة هو الذى تصدر منه الرشقات الراديوية السريعة fast radio bursts الغامضة جدا التى بدأ رصدها ابتداءا من عام 2007.

سادسا اكتشاف مجالات مغناطيسية كوسومولوجية (عبر ملايين السنوات الضوئية من الفضاء الفارغ) التى يمكنها تفسير الخلاف فى قياس ثابت هابل Hubble constant الذى نجده من النظر الى الكون القديم و الى الكون الشاب.

من اجل تفاصيل ضافية و من اجل المراجع الاصلية انظروا مقال كوانطا (والمراجع الاصلية هى فى مقالات كوانطا اذن الذى لا يجدها -مثل المرات الماضية- فهو تقصير منه وليس تقصير منا).

 

https://www.quantamagazine.org/quantas-year-in-physics-2020-20201223/ 

كيف نذهب من تكامل الطريق لفايمان الى دالة تقسيم المجموعة القانونية

 

(درجة صعوبة هذا المنشور 5 من 5)

لو ذهبنا الى الميكانيك الكمومى فان ما يسمى سعة الانتقال transition amplitude من النقطة q فى اللحظة الزمنية t الى النقطة 'q فى اللحظة الزمنية 't يساوى الجداء السلمى للشعاعين |q,t> و |q,'t'> فى فضاء هيلبرت للحالات.

هذان الشعاعان يعبران عن حالة الجملة الكمومية فى النقطتين المذكورتين.

وطويلة مربع سعة الاحتمال يعطى الاحتمال.

هذه السعة يمكن كتابتها بدلالة مؤثر التطور evolution operator الذى يعطى بدلالة الهامليتونية Hamiltonian (مؤثر الطاقة) و يمكن بعد ذلك كتابتها بدلالة الحالات الذاتية eigenstate لمؤثر الهاميلتونية و ايضا بدلالة القيم الذاتية eigenvalue التى يرمز لها ب E_n لمؤثر الهاميلتونية (اى قيم الطاقة). كل هذه الامور موجودة فى المعادلة 6.94.

يمكننا ان نبين بعد ذلك ان هذه السعة تعطى ايضا بدلالة تكامل الطريق لفايمان Feynman path integral وهذه هى المعادلة 6.95 (البرهان طويل ليس هذا مجاله).

تكامل الطريق يكتب هو الآخر بدلالة ما يسمى الفعل action الذى يرمز له ب S الذى هو تكامل اللاغرانجية Lagrangian التى يرمز لها ب L على الزمن هذه الاخيرة (اى اللاغرانجية) هى الفرق بين الطاقتين الحركية و الكامنة للجملة. هذه هى المعادلة 6.96.

نقوم الآن بالذهاب الى الفضاء الاقليدى عن طريق تدوير الزمن بالعلاقة t_E=it حيث t هو الزمن اللورنتزى Lorentzian time و t_E هو الزمن الاقليدى Euclidean time و i هو العدد التخيلى المحض pure imaginary number. هذه العملية تسمى تدوير ويك Wick rotation.

نعتبر ايضا فى تكامل الطريق (الذى هو تكامل على طرق q=q(t) و ليس على اعداد) الطرق المغلقة اى الطرق التى من اجلها q'=q(t_E+β) و q=q(t_E) حيث q'=q اى ان β هى دور period هذه الطرق المغلقة.

اذا كاملنا سعة الاحتمال المكتوبة على شكل تكامل الطريق فى المعادلة 6.95 على المتغير q فاننا نحصل مباشرة على دالة تقسيم partition function المجموعة القانونية canonical ensemble للميكانيك الاحصائى. البرهان فى المعادلة 6.97.

تكامل الطريق بعد تدوير ويك نحو الاشارة الاقليدية يصبح مكتوب بدلالة الفعل الاقليدى S_E=-iS كما فى المعادلة 6.98.

اما الفعل الاقليدى فيكتب بدلالة اللاغرانجية الاقليدية L_E=-L كما فى المعادلة 6.99 حيث يصبح التكامل على الزمن الاقليدى t_E مقصور على دور واحد β.

النتيجة الاساسية ان تكامل الطريق لفايمان بزمن اقليدى دورى هو بالضبط دالة تقسيم الميكانيك الاحصائى بدرجة حرارة تساوى بالضبط مقلوب الدور β.

اذن التوازن الحرارى thermal equilibrium هو مكافئ الى اخذ المجموع على جميع التشكيلات configurations الدورية فى الزمن الاقليدى.

الصورة مأخوذة من كتابى حول النسبية العامة و الكوسمولوجيا و الثقوب السوداء الكمومية.

 

 

نظرية المجال الكونفورمال 1

 

(درجة صعوبة هذا المنشور 5 من 5)

نظرية المجال الكونفورمال conformal field theory تدخل فى ثلاثة مواضيع اساسية فى الفيزياء النظرية:

اولا فى الميكانيك الاحصائى statistical mechanics حيث تسمح لنا بوصف الظواهر الحرجة critical phenomena مثلا التحولات الطورية من الرتبة الثانية second order phase transition.

ثانيا فى نظرية المجال الكمومى quantum field theory حيث تعطى ما يسمى النقاط الثابتة fixed points لمعادلة زمرة اعادة التنظيم renormalization group equation.

ثالثا نظرية الأوتار الممتازة superstring theory حيث تدخل فى تكميم quantization الوتر الاساسى fundamental string تكميما قانونيا canonical quantization او عبر تكامل الطريق لبولياكوف Polyakov path integral ثم تدخل بعد ذلك كأحد وجهى الثنائية الثقالية-المعيارية gauge-gravity duality المعروفة باسم التقابل CFT/AdS اى التقابل correspondence بين فضاءات AdS و نظرية المجال الكونفورمال التى يرمز لها ب CFT.

نظرية المجال الكونفورمال هى نظرية مجال كمومى تتميز بالتناظر symmetric تحت تأثير التحويلات الكونفورمالية conformal transformations التى تأخذنا من الاحداثيات coordinates التى نرمز لها هنا σ الى احداثيات جديدة tilde{σ}\ التى هى دالة فى σ و فى نفس الوقت تُغير (أى هذه التحويلات) المترية (σ)g كما فى المعادلة الاولى فى الصورة.

اذا كان فعل هيلربت Hilbert action للنظرية و كذا تكامل الطريق لفايمان Feynman path integral للنظرية صامدان invariant تحت تأثير التحويلات النقطية فى المعادلة الاولى فاننا نقول ان النظرية متناظرة كونوفرماليا conformally invariant.

نظرية المجال الكونفورمال لا تتميز اذن بأى سلم طول length scale (أى لا يوجد سلم طول مختار) فالنظرية تظهر بنفس الطريقة من اجل كل الاطوال و لا تعنيها الا الزوايا (اذن النظرية ستظهر بدون أى تغيير تحت اى عدسة اى مجهر او عبر عدسة اى تلسكوب).

قارنوا بالنظريات المتناظرة دورانيا (وهى كل النظريات المجالية الكونية باستثناء نظريات المجال غير-التبديلى non-commutative) فهى نظريات لا تتميز باتجاه مختار preferred direction فى الفضاء بالمثل فان النظريات المتناظرة كونوفرماليا لا تتميز بطول مختار preferred length scale فى الفضاء-زمن.

التحويلات الكونفورمالية فى المعادلة الاولى تقبل تفسيرين مختلفين حسب طبيعة مترية الفضاء-زمن:

-اذا كانت المترية متغير ديناميكى (مثل مترية الورقة-الكونية worldsheet فى نظرية الوتر مثلا) فان هذه التحويلات هى عبارة عن ديفيومورفيزمات diffeomorphisms (مثل تحويلات النسبية العامة) وهى اذن ستلعب دور تحويلات معيارية موضعية local gauge transformations تحتاج لى ما يسمى التثبيت المعيارى gauge fixing (لان هناك تكرار غير-فيزيائى فى الفيزياء فى التناظرات المعيارية يجب التخلص منه قبل ان نحسب اى شيء).

-اما اذا كانت المترية عبارة عن خلفية ثابتة fixed background فان التحويلات فى الصورة تعبر عن تحويل حقيقى يأخذنا من النقطة σ الى النقطة tilde{σ}(σ)\ و اذن فى هذه الحالة هذه التحويلات تمثل تحويل شامل global transformation و ليس تحويل موضعى local transformation. وككل تناظر شامل (تذكروا فيزياء الجسيمات الاولية) فان هناك تيار محفوظ conserved current مرفق به وهذا التيار هو الذى سيسمح لنا بتعريف تنسور الطاقة-و-الزخم energy-momentum tensor الذى يلعب دورا محوريا فى نظريات المجال الكونفورمال.

لكنه على كل حال فان كل نظرية ثقالة فى بعدين تتمتع بالتناظرات تحت تأثير الديفيومورفيزمات و تحت تأثير تحويلات وايل (اى الوضعية الاولى) سوف تُختزل الى نظرية مجال كونفورمالى عندما يتم تثبيت المترية عبر التثبيت المعيارى لهذه التناظرات.

تذكروا ان تحويل وايل Weyl transformation هو تحويل يتم فيه تحويل المترية كما فى المعادلة الاولى فى الصورة لكن بدون تحويل الاحداثيات بل هذه الاخيرة تبقى ثابتة (اذن هذه تحويلات مختلفة جذريا عن الديفيومورفيزمات).

بالمثل فان اى نظرية مجال كونفورمال يمكن قرنها coupled بنظرية ثقالة و تحويلها بذلك الى نظرية اين تكون فيها المترية ديناميكية.

اى اننا يمكننا دائما الانتقال من حالة المترية الديناميكية الى حالة المترية التى هى خلفية ثابتة و العكس.

الوضعية الثانية (المترية هى خلفية ثابتة لا تتغير فى الفضاء-زمن) هى الوضعية المهمة بالنسبة لنا هنا و سنفترض ايضا ان الفضاء-زمن مسطح flat و انه فضاء-زمن ثنائى البعدين two-dimensional و انه ايضا فضاء اقليدى Euclidean.

و أهم شيء نريد ان نبينه هنا هو الدور الذى يلعبه تنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم stress-energy-momentum-tensor فى النظرية المجالية الكونفورمال.

لكن ننبه ان النظرية المجالية الكونفورمال هى نظرية مجال كمومى لا شك فى ذلك الا انها نظرية مجال كمومى غير عادية بالمرة لانها تحتاج الى لغة مختلفة جذريا من اجل بناءها (فمثلا لا تحتوى مطلقا على مفهوم الجسيم و مفهوم الكتلة) و لهذا لا احد يدرسها عندنا (يقينا) و قليل حتى من يدرسها فى الغرب.

المرجع التاريخى لهذه النظرية هو مقال بالافان Belavin و بولياكوف Polayokv و زامالادشيكوف Zamalodchikov فى عام 1984.

Belavin, Polyakov and Zamalodchikov, “Infinite Conformal Symmetry in Two-Dimensional Quantum Field Theory”, Nucl. Phys. B241 (1984).

يتبع ان شاء الله.

 

حول فلسفة اينشتاين 2

 

فلسفة اينشتاين 2

ومن أهم انجازات اينشتاين الفلسفية (فى الابيستيمولوجيا او نظرية المعرفة) هو تمييزه بين ما سماه (نظرية المبادئ principle theory) و ما سماه (النظرية البنائية constructive theory).

اما (نظرية المبادئ) فهى النظرية التى تعتمد على مجموعة من التعميمات الاومبيريكة empirical generalization او المسلمات التجريبية experimental postulates التى تلعب دور المبادئ التى ننطلق منها فى بناء النظرية.

هذه المبادئ لا تعتمد على اى مفاهيم نظرية لكنها تسمح لنا بادخال المفاهيم النظرية فى مرحلة موالية و بالتالى فهى تسمح لنا بالتحقق مباشرة من النتائج التجريبية.

اما (النظرية البنائية) فهى النظرية التى ننطلق من افتراض عدد من المفاهيم النظرية المجردة ثم تحاول و ضف الظواهر الطبيعية باستعمال هذه المفاهيم النظرية و افتراض ايضا علاقات مناسبة بينها.

(النظرية البنائية) حسب اينتشاين هى اذن نظرية اكثر اساسية من (نظرية المبادئ) فهى تسمح لنا بالتنبؤ بالنتائج التجريبية قبل اجراء التجربة و ليس فقط بالتحقق من تلك النتائج بعد اجراء التجربة.

بعبارة اخرى فان الذى يفسر الظواهر الطبيعية هو فعلا (النظرية البنائية) اما (نظرية المبادئ) فهى لا تفعل الا ان تقدم وصفا للطبيعة (وايضا تسمح لنا كما سنرى بتقييد مجال النظريات البنائية الممكنة و الا فان عدد النظريات البنائية هو لانهائى لو لا تحدد لنا الامكانيات الممكنة نظريات المبادئ).

اذن رغم ان المبادئ او المسلمات الاومبيريكية فى نظرية المبادئ لا تعول تماما على المفاهيم النظرية الا انها مع ذلك لا تشكل فى المحصلة تفسيرا نهائيا للظواهر الطبيعية (التفسير حسب اينستاين يتطلب ضرورة تدخلا فعالا للتنظير العقلى المجرد).

المثال النموذجى الذى يعتبره اينتشاين لنظرية المبادئ هو (الترموديناميك او الديناميك الحرارى).

فاننا فى الترموديناميك ننطلق من مبادئ اومبيريكة عامة وهى (استحالة بناء الآلات الحرارية ذات الحركة المؤبدة perpetual motion thermal machines) ثم بناءا على هذا التعميم الاومبيريكى نقوم بادخال مفهومين نظريين اساسيين هما (الطاقة energy) و (الانطروبى entropy) ونقوم بتحويل هذ المبدأ الاومبريكى المحض (استحالة الالات الحرارية ذات الحركة المؤبدة) الى مبادئ او مسلمات تجريبية هما القانون الاول للترموديناميك (الذى ينص على انحفاظ الطاقة) و القانون الثانى للترموديناميك (الذى ينص على الانطروبى لا يمكن الا ان يزيد او ان اللانظام disorder هو فى حالة تزايد مستمر فى الطبيعة).

اذن الترموديناميك هو (نظرية مبادئ) اما (النظرية البنائية) الخاصة به او المقابلة له فهى (النظرية الحركية kinetic theory للغازات) التى تسمح لنا باشتقاق القانونين الاول و الثانى للترموديناميك من حركة الذرات و خضوعها لتوزيع ماكسويل-بولتزمان Maxwell-Boltzmann distribution هذه الاخيرة المشتقة من معادلة بولتزمان التى تصل ظواهر النقل transport phenomena اى كيف يقترب الغاز من التوزازن الترموديناميكى.

اذن المبادئ الاومبيريكة لنظرية المبادئ هى تعميمات المستوى-الاحفض اما المبادئ التجريبية او المسلمات فى النظرية البنائية فهى تعميمات المستوى-الاعلى.

و هذا مصطلح (المستوى-الاخفض low-level و المستوى-الاعلى high-level) من علوم الحاسوب. اذن استحالة الحركة -الحرارية الابدية هو تعميم اومبيريكى على المستوى-الاخفض (لانه لا يحتاح الى اى مفهوم نظرى) اما قانونى الترموديناميك الاول و الثانى فهو تعميم تجريبى على المستوى-الاعلى (لانهما يتطلبان تعريف الطاقة و الانطروبى). لكن التعميمان متكافئين فيزيائيا فقط الاول وصفى-تحققى اما الثانى فهو تفسيرى-تنبئى.

اذن النظرية البنائية هى التفسير النهائى للطبيعة لكن حتى نصل اليها فاننا نحتاج الى قيود constarints اومبيركية و تجريبية تُقيد و تُحدد و تُضيق من مجالات بحثنا الرياضية و النظرية و هذه القيود هى بالضبط تلك الشروط التى توفرها نظريات المبادئ.

وكمثال على هذا نأخذ (نظرية المبادئ) التى هى الميكانبك الاحصائى فى صيغة قانون بولتزمان Boltzmann law الذى ينص على ان الانطروبى يساوى لوغاريتم عدد الحالات الميكروسكوبية (و هذا يسمى ايضا المجموعة الميكروقانونية microcanonical ensemble) و الذى يربط بين الترموديناميك و النظرية الحركية للغازات.

هذا القانون الجميل جدا (فى الصورة التى هى من شاهد قبر بولتزمان) يُحققه تجريبيا الاشعاع الكرومغناطيسى للجسم الاسود blackbody فى ما يسمى منطقة فين Wein regime من الطيف. و بالتالى استنتج اينشتاين من هذا ان الذى يحدث فعلا هو ان الاشعاع الكهرومغناطيسى مشكل من جسيمات او كمات اولية تسمى فوتونات (مسلمة الكمومى quantum postulate) و بالتالى فان قانون بولتزمان لعب هنا بالضبط دور نظرية المبادئ التى ادت الى النظرية البنائية للاشعاع الكهرومغناطيسى التى هى الميكانيك الكمومى.

اذن بالنسبة للترموديناميك الميكانيك الاحصائى هو نظرية بنائية لكن بالنسبة للميكانيك الكمومى فان الميكانيك الاحصائى هو ليس الا نظرية مبادئ.

رغم هذا فان بوهر مثلا كان بعتقد ان الميكانيك الكمومى نفسه او ما يسمى تفسير كوبنهاغن للميكانيك الكمومى (مبدأ التكامل complementarity principle و مبدأ الارتياب و الثنائية موجة-جسيم) هو ليس الا نظرية مبادئ وخاصة ان مبدأ التقابل عند بوهر يلعب فى الميكانيك الكمومى دورا مماثلا للدور الذى يلعبه مبدأ حدية سرعة الضوء فى النسبية الخاصة.

بالفعل فان اينشتاين نفسه كان يفكر فى (النسبية الخاصة) على انها (نظرية مبادئ) و ليست (نظرية بنائية) فغهى تعتمد على مسلمات او مبادئ اومبيريكة لا تحتاج الا الى القليل جدا من المفاهيم النظرية. هذه المسلمات او هاتان المسلمتان هما مسلمة االنسبية (نسبية المعالم العطالية relativity of inertial frames) و مسلمة الضوء (حدية سرعة الضوء).

هذا التمييز بين نظريات المبادئ و النظريات البنائية عند اينشتاين ترجع جذوره الى نقاشات عمالقة الفيزياء النظرية الكلاسكيين ماكسويل و بلانك و لورنتز و بوانكريه و سومارفالد فى اواخر القرن التاسع عشر فى اطار نظرية الالكتروديناميك الكلاسيكى classical electrodynamics.

مثلا لورنتز و بوانكريه قدما التمييز بين (فيزياء النماذج physics of models) (فيزياء المبادئ physics of principles) اما بلانك فهو كان يدافع عن (تطبيق المبادئ practice of principles) اما سومارفالد فهو كان يعارض (فيزياء التمرينات physics of problems).

 

حول فلسفة اينشتاين 1

 

حول فلسفة اينشتاين

يقول اينشتاين (النص الاول):

لقد قالوا كثيرا وبالتأكيد ليس بدون مبرر أن رجل العلم لا يمكن ان يكون الا فيلسوفا ضعيفا.

اذن لماذا لا يكون من الصواب أن يترك الفيزيائي المجال للفيلسوف ليتفلسف فى العلم كما يشاء?

قد يكون هذا هو الموقف الصحيح بالفعل في الوقت الذى كان يعتقد فيه الفيزيائي أن لديه تحت تصرفه نظاما صارما من المفاهيم الأساسية والقوانين الأساسية الراسخة بحيث لا يمكن لأى موجة من موجات الشك الفلسفية و العلمية الكثيرة أن تصل إليها.

لكن لا يمكن أن يكون هذا موقفا صحيحًا اليوم في هذا الوقت الذى أصبحت فيه أسس الفيزياء نفسها معضلة فلسفية كما هي عليه اليوم (يقصد الميكانيك الكمومى).

في هذا الوقت الراهن, عندما تجبرنا التجربة الحسية على البحث عن أساس أحدث وأكثر صلابة ، فان الفيزيائى لا يستطيع ببساطة أن يُسلم للفيلسوف راية التأمل النقدي حول الأسس النظرية, لأنه (اى الفيزيائى) يعرف افضل (يقصد من الفيسلوف) و من المؤكد انه يشعر أكثر منه من اين يقرص الحذاء.

في البحث عن أساس جديد يجب أن يحاول (الفيزيائى) أن يوضح في ذهنه تماما مدى قبول التبريرات التى تقوم عليها المفاهيم التي يستخدمها وما هي ضروراتها المنطقية و غيرها.

من كتاب (الفيزياء و الواقع) للفيزيائى النظرى الاول فى هذا العصر ألبرت اينتشاين صفحة 349 ترجمة بتصرف.

اذن اينشتاين صراحة ينض على انه لا يمكن ترك التفلسف فى الفيزياء للفيلسوف لان الفيزياء (عكس الرياضيات مثلا و لو ان الرياضات وصلت هى الاخرى اليوم الى نفس المطب) لم تعد اسسها واضحة متينة كما كان يُعتقد فى العهد بين نيوتن الى غاية اكتشاف الميكانيك الكمومى.

اما نوع فلسفة الفيزياء التى يدعوا اليها اينتشاين فهى ذلك النوع من الانطولوجيا و الابيستيمولوجيا المقيد تماما بنتائج الفيزياء و ليست فلسفة حرة تحليلية شاملة على شاكلة هيوم و كانط و هيغل و لا هى فلسفة انسانية ادبية على شاكلة نيتشة و لا هى فلسفة منطقية على شاكلة راسل و فيتغنستاين.

يقول اينشتاين (النص الثانى):

إن العلاقة المتبادلة بين الابيستيمولوجيا والعلم هي علاقة جديرة بالملاحظة.

فهما يعتمدان على بعضهما البعض. فالابيستيمولوجيا بدون احتكاك بالعلم هى نظام فارغ اما العلم بدون الابيستيمولوجيا -اذا كان هذا ممكن من الاصل- فهو بدائي مشوش.

ومع ذلك فان الفيلسوف الذي كان يبحث عن نظام (معرفى) واضح، لا يصدق ان يجد طريقه نحو هذا النظام ، حتى تجده يميل إلى تفسير المحتوى الفكرى للعلم فى اطار نظامه (اى بما يخدم نظاه المعرفى) ورفض كل شيء آخر مما لا يتناسب مع نظامه (اى تطويع العلم لخدمة الانظمة المعرفية و ليس العكس).

أما العالم فانه لا يستطيع السعى نحو المنهجية-الشاملة الابيستيمولوجية بدون حدود (اى انه لا يستطيع تحمل الالتزام بنظام معرفى واحد فى كل شيء). فتجده يقبل بامتنان التحليل المفاهيمي المنهجى (الذى يوفره النظام المعرفى). لكن الظروف الخارجية التي حددتها له الحقائق التجريبية لا تسمح له بأن يترك نفسه مقيدا كثيرا في بناء عالمه المفاهيمي من خلال التمسك بنظام معرفي واحد.

اذن سيظهر العالم للفيسلوف المنهجى-الشامل كنوع من الانتهازيين عديمي الضمير.

لكن فى الحقيقة فان العالم سيظهر كواقعى بقدر ما يسعى لوصف عالم مستقل عن أفعال الإدراك, او كمثالي بقدر ما ينظر إلى المفاهيم والنظريات على أنها اختراعات حرة للروح البشرية (لا يمكن اشتقاقها منطقياً مما يُعطى تجريبياً), و سيظهر كإيجابي بقدر ما يعتبر مفاهيمه ونظرياته مبررة فقط بمدى تقديمها تمثيلًا منطقيًا للعلاقات بين التجارب الحسية.

لكن العالم قد يظهر ايضا حتى على أنه أفلاطوني أو فيثاغورسى بقدر ما يعتبر وجهة نظر البساطة المنطقية كأداة لا غنى عنها وفعالة لأبحاثه.

ترجمة بتصرف عن أينشتاين. من مجموعة شيلب Schilpp منشورة عام 1949 صفحة 665-688.

اذن بالنسبة لاينتشاين لا تهم الأنظمة الفلسفية (فهو سيأخذ منهم جميعا و قد أخذ بالفعل منهم جميعا) بقدر ما يهم المشروع العلمى.

و المشروع العلمى الذى كان يؤسس للنظرة الفسلفية لاينشتيان هو (نظرية المجال التوحيدية) التى يتم فيها توحيد القوتين الكهرومغناطيسية و الجذب الثقالى على نمط نظرية النسبية العامة وهو مشروع فشل فيه اينشتاين ومع هذا لم يتركه الفيزيائيون النظريون بعده فهو مشروعهم الاساسى المعروف اليوم باسم (نظرية الثقالة الكمومية) او (نظرية كل شيء).

نموذج ساشداف-و-يى-و-كايتاف و الثقوب السوداء

 

الجميع يعرف نموذج ايزينغ Ising model لصاحبه ايزينغ Ising الذى اقترحه عليه استاذه لانز Lenz فى العشرينات من القرن الماضى كنموذج للفيرومغناطيسية اى كيف تتحول المعادن (تلقائيا او تحت تأثير تغييرات خارجية لدرجة الحرارة او المجال المغناطيسى) من الحالة او الطور الفيرومغناطيسي ferromagnetc -اى الطور الممغنط- الى الطور البارامغناطيسيى paramagnetic -اى الطور الحديدى-.

الآن نموذج ايزينغ هو جوهرة من جواهر فيزياء المادة المكثفة و الفيزياء النظرية و نظرية المجال الكمومى و الميكانيك الاحصائى و علوم العصبونات و الفيزياء الحاسوبية و نموذج المصفوفات و غيرها من المجالات الفيزيائية العميقة.

فنموذج ايزينغ مثلا يصف جميع التحولات الطورية من الرتبة الثانية second order phase transitions فى الكون و ليس فقط الفيرومغناطيسية.

وقد تمكن اونساغر Onsager -وهو كيميائى نظرى- من حل هذا النموذج فى بعدين و الحصول على نوبل فى الكيمياء عام 1968 على هذا الانجاز الفيزيائى النظرى -وليس الكيميائى و لا حتى الفيزيائى-.

ثم حاول بولياكوف Polyakov و غيره من عباقرة الفيزياء النظرية حل هذا النموذج فى ثلاثة ابعاد لكن فشلت كل تلك العبقرية و عجز كل ذلك الكشف العبقرى فى تحقيق هذا الهدف لحد اليوم و البعض يعتقد ان نموذج ايزينغ غير قابل للحل (فى علوم الحاسوب هذا النموذج فى 3 ابعاد بقع فى صنف التعقيد complexity class الذى يضم معضلة الوقف halting problem).

و اذكر ايضا ان بولياكوف يقول فى كتابه الانيق (المجالات المعيارية و الاوتار gauge fields and strings) -وهو من افضل كتب الفيزياء قاطبة الثانى مما قرأت بعد كتاب جول بال John Bell حول الميكانيك الكمومى اما الثالث فهو كتاب ليونارد ساسكيند Leonard Susskind حول الثقوب السوداء- اذن يقول بولياكوف فى كتابه الفذ هذا ان احد اسباب اكتشافه لتكامل الطريق لبولياكوف Polyakov path integral الذى هو اساس نظرية الوتر هو محاولته حل نموذج ايزينغ فى 3 ابعاد.

و نكتة اخرى اشير اليها هنا ان تكامل الطريق يسمى عموما تكامل الطريق لفايمان Feynman path integral حتى نصل الى نظرية الوتر فيصبح ذلك التكامل يسمى تكامل الطريق لبولياكوف لعظم قدر هذا الاكتشاف رغم ان بولياكوف لم يغير شيئا فى الفكرة الاساسية لهذا التكامل لكنه فقط تمكن من توسيع تطبيقه من الجسيمات الاولية و المجالات الى الاوتار الممتازة و غير الممتازة.

اذن هناك دائما مجال للابداع العبقرى فوق اى ابداع عبقرى حتى لا تنسوا ذلك.

اذن هذا هو نموذج ايزينغ.

لكن اليوم فعلا اريد ان اقدم نموذجا آخر من المادة المكثفة سيلعب فى المستقبل القريب -وهذا مؤكد- اذن سيلعب هذا النموذج فى فيزياء الثقوب السوداء و نظرية الهولوغرافيا و نظرية الاوتار و نظرية المعلومات الكمومية نفس الدور الذى لعبه نموذج ايزينغ فى المجالات الفيزيائية التى ذكرتها اعلاه.

هذا النموذج هو نموذج ساشداف Sachdev و يى Ye و كايتاف Kitaev او اختصارا نموذج ال SYK وهو نموذج يلعب دورا اساسيا فى الوصف الهولوغرافى-الفوضوى للثقوب السوداء مثل الدور الذى يلعبه نموذج ايزينغ فى الوصف الاحصائى-المجالى للتحولات الطورية من الدرجة الثانية.

نموذج ال SYK اكتشفه اولا ساشداف و كايتاف فى التسعينات من القرن الماضى فى اطار ما يسمى المعادن الغريبة strange metals ثم تنبه اليه -بعد تغييرات مهمة- كايتاف منذ خمسة سنوات فقط بعد ان ربط بينه و بين دراسات الفوضى chaos الخاصة بالثقب الاسود ثم اقترحه كنموذج للهولوغرافيا holography.

اغلب الكبار من الفيزيائيين النظريين الوتريين مهتم جدا جدا بهذا النموذج و منهم بولشينسكى Polchinski رحمه الله الذى كتب فيه مقالا مهما جدا قبل وفاته بعام فقط بنى فيه نظرية كايتاف بشكل رياضى مضبوط (عبر حسابه لدالة الاربع-نقاط four-point function).

هذا النموذج نموذج ساشاداف و يى و كايتاف او ال SYK هو نموذج يحتوى على N جسيم فرميونى fermions تتفاعل مع بعضها البعض عبر تفاعل رباعى quartic interaction من الجميع-الى-الجميع all-to-all اى ان كل فرميون يتفاعل مع بقية الفرميونات عبر ثوابت اقتران عشوائية random coupling constants مختارة حسب التوزيع الاعتيادى لغوس Gauss normal distribution.

الهاميلتونية Hamiltonian (مؤثر الطاقة) و ثوابت الاقتران فى المعادلتين فى الصورة.

حسب بولشينكسى فان اهم شيء يجذبنا الى نموذج ال SYK هو تميزه بالخواص الفيزيائية الثلاثة التالية:

- ان النموذج قابل للحل المضبوط exactly solvable عند ثوابت الاقتران الكبيرة strong coupling. وهذا شيء نادر جدا لان ثوابت الاقتران عندما تكون كبيرة فهذا يعنى الانهيار الكامل لطريقة الاضطرابات perturbation الاساسية فى حل النماذج الفيزيائية. لكن فى هذا النموذج نعرف الحل المضبوط من اجل جميع ثوابت الاقتران كبيرة كانت او صغيرة.

-الخاصية الثانية هى تميز نموذج ال SYK بفوضى قصوية maximal choas يعطى ما يسمى معامل ليوبانوف Lyapunov الخاص بها بالقيمة 6,28*T حيث T هى درجة الحرارة و هذه القيمة القصوية هى بالضبط معادل ليوبانوف الخاص بالثقوب السوداء. اذن كل من نموذج ال SYK و الثقوب السوداء هى جمل فوضوية قصوية اى يأخذ فيها معامل ليوبانوف القيمة القصوية.

-الخاصية الثالثة لنموذج ال SYK هو انبعاث emergence التناظر الكونفورمالى conformal symmetry عند الطاقات المنخفضة فى دالة النقطتان two-point function. و هذا شيء اندر من سابقيه.

اذن نموذج SYK يبدأ بدون تناظر كونوفرمالى و تحت تأثير معادلة زمرة اعادة التنظيم renormalization group equation (وهى معادلة حركة النموذج فى فضاء النظرية) فان هذا النموذج يُطور -اى تنبعث منه بشكل ديناميكى تلقائى- تناظر كونفورمالى عند الطاقات المنخفضة (وليست العليا) وهذا المدهش. و التناظر الكونفورمالى هو من اقوى انواع التناظر فهو تعميم لتناظرات بوانكريه Poincare (الانسحاب+الدوران+النسبية الخاصة) الذى يصبح يحتوى بالاضافة الى هذه التناظرات على تحويلات السلم scale transformations وهو تحاكى اى ان مفهوم الاطوال و الازمان و كذا مفهوم الجسيمات كل هذا يتلاشى و تعوضه اشياء اخرى تأتى بها نظرية المجال الكونفورمال اهمها التقابل حالة-مؤثر state-operator correspondence.

للاستزادة حول هذا الموضوع أبدأوا مع مقال بولشينسكى مع تلميذه الآخر

aXiv:1601:06768

 

 

ماهو الجسيم

 

كل شيء فى الكون يتشكل من جسيمات بل هو يتشكل من جسيمات اولية لا تقبل القسمة اكثر من ذلك.

وهذه نتيجة لا جدال فيها فى الفيزياء من اجل كل الطاقات المسبورة لغاية يومنا هذا انطلاقا من طاقات الفيزياء الذرية وصولا الى طاقات الفيزياء النووية و حتى نصل الى الطاقات العليا لفيزياء الجسيمات الاولية (وحتى الطاقات الاعلى للاشعة الكونية).

لكن ماهو الجسيم?

نعطى ستة اجوبة من الميكنيك الكمومى quantum mechanics, نظرية المجال الكمومى quantum field theory, نظرية التناظر theory of symmetry, نظرية الاوتار الممتازة superstring theory, نظرية المعلومات الكمومية theory of quantum information و الفيزياء التجريبية.

ولا يوجد اى صراع او تناقض بين هذه الاجوبة فهى تعبر عن نفس الحقيقة من زوايا مختلفة (اذن لا داعى للبحث عن الخلاف و الشقاق بين النظريات الفيزيائية لانه لا يوجد الا وئام و تناغم).

اول جواب هو جواب (الميكانيك الكمومى): الجسيم هو دالة موجة منهارة collapsed wavefunction. وهذا يعتمد على الثنائية موجة-جسيم wave-particle duality احد أهم امثلة مبدأ التكامل لبوهر Bohr's complementarity principle وهى مؤكدة تجريبيا (تجربة الخيار المؤجل delayed choice experiment) لويلر Wheeler.

هذه الثنائية تنص على ان الالكترون (مثلا) يوصف بدالة موجة موجودة فى كل مكان من الفضاء لكن تلك الموجة عندما نقوم برصد (مثلا) موضع الالكترون فانها ستنهار الى نقطة معينة من الفضاء اين سنجد الالكترون (الالكترون لم يكن هناك قبل الرضد لانه لم يكن هناك الكترون قبل الرصد الذى كان قبل الرصد هو دالة موجة الالكترون).

ثانى جواب تعطيه (نظرية المجال الكمومى) التى يتم فيها توليف مبادئ (الميكانيك الكمومى) مع مبادئ (النسبية الخاصة): الجسيم هو عبارة عن تقلب flcutuation او استثارة excitation كمومية للمجال المرفق بذلك الجسيم. مثلا الفوتون الذى هو عبارة عن كمات quanta الضوء هو عبارة عن تقلب او استثارة (هذه هى التى نسميها كمات) فى المجال الكهرومغناطيسى.

بالمثل فان الالكترون نرفق به مجال ديراك سبينورى spinorial Dirac field وهذا المجال يخضع لمعادلة حركة ديراك. اذن الالكترون هو فقط تقلب كمومى فى هذا المجال اى خروج المجال من وقت الى آخر عن حالته الكلاسيكية المستقرة.

الجواب الثالث تعطيع (نظرية التناظر) لنظرية الميكانيك الكمومى او النظرية الاعم نظرية المجال الكمومى: الجسيم هو تمثيلة غير قابلة للاختزال irreducible representation لزمرة بوانكريه Poincare group لتناظرات الفضاء-زمن التى تضم الانسحابات فى الفضاء و الانسحابات فى الزمن و الدورانات فى الفضاء و تحويلات النسبية الخاصة التى تسمى دوفوعات boosts (التى هى من الناحية الرياضية ليست الا دورانات بين الفضاء و الزمن الاقليدى).

الجواب الرابع تعطيه (نظرية الأوتار الممتازة): الجسيم هو نمط mode من انماط اهتزاز الاوتار الاساسية. نظرية الاوتار هى نظرية ميكانيك كمومى للاوتار اى ان الذى يتحرك هنا هو وتر (قد يكون مفتوح او مغلق) وعندما نكتب الميكانيك الكمومى الذى يخضع له هذا الوتر نحصل على نظرية الاوتار الممتازة (كملة ممتازة ترجع الى التناظرات الممتازة supersymmetries التى هى ضرورية من الناحية الرياضية حتى تحترم هذه الاوتار زمرة بوانكريه للتناظرات).

الجواب الخامس تعطيه (نظرية المعلومات الكمومية) التى هى فى هذا العصر الوريث الشرعى و الوريث الاقوى للميكانيك الكمومى: الجسيم هو تشويه deformation فى محيط oscean الكيوبيتات (و الكيوبيتات qubits هو جمع مفرده كيوبت qubit و الكيوبت هو البت الكمومى quantum bit و البت bit هو وحدة المعلومات). وهذه الفكرة كان قد بدأها ويلر Wheeler بشعاره الفلسفى-الفيزياء (الشيء من المعلومة it from bit) اى اى الوجود المادى من المعلومات و ليس من المادة او الاشعاع.

و البت الذى هو وحدة المعلومات هو حالة كمومية quantum state عبارة عن تركيب خطى linear superposition لوضعيتين فيزيائيتين مختلفتين. واشهر مثال هو عزم اللف او السبين spin الخاص بالالكترون الذى يمكن ان يكون اما علوى بقيمة نصف او سفلى بقيمة ناقص نصف. و الالكترون هو دائما فى حالة تركيب خطى لهاتين الحالتين حتى يتم رصده و عندها فانه ينهار. اذن التشوه فى محيط الكيوبيتات هو نفسه او هو مرتبط بشدة بانهيار دالة الموجة.

الجواب السادس هو الذى تعطيه (الفيزياء التجريبية): الجسيم هو الذى نرصده فى كواشف detectors المسرعات.

ملحوظة: الصور ماخوذة من موقع مجلة كوانطا.

 

 

درجة حرارة هاوكينغ

 

الثقب الاسود هو عبارة عن فضاء-زمن بانحناء curvature غير معدوم.

والفضاء-زمن هو عبارة عن الهندسة التفاضلية differential geometry للمترية metric.

و قوة الثقالة هى هندسة الفضاء-زمن اى ان قوة ثقالة الثقب الاسود هى عبارة عن هندسة فضاء-زمن الثقب الاسود. او كما قال ويلر Wheeler الفضاء-زمن تحدد للمادة كيف تتحرك و المادة تحدد للفضاء-زمن كيف ينحنى.

والمترية هى البنية السببية causal structure للمخروطات الضوئية light-cones فى الفضاء-زمن.

والمترية هى البنية السلمية scalar structure للاطوال و الازمان فى الفضاء-زمن. فالمترية هى فى الحقيقة تعميم لمبرهنة فيثاغورس التى تسمح لنا بحساب وتر المثلث باخذ جذر مجموع مربعى الضلعين.

والفضاء-زمن يجب ان يكون لورنتزى Lorentzian يتناهى الى فضاء-زمن مينكوفسكى Minkowski عندما تذهب كتلة الثقب الاسود الى الصفر. وهذا هو مبدأ التكافؤ equivalence principle لعبقرى العباقرة اينتشاين الذى ينص على ان قوة الثقالة يمكن الغاؤها بالسقوط الحر (اى بالحركة المتسارعة فى المجال الثقالى).

اما نظرية المجال الكمومى quantum field theory فهى نظرية لورنتزية تتحول الى ميكانيك احصائى statistical mechanics الذى هو نظرية اقليدية Euclidean للمجالات الحرارية عندما نقوم بما يسمى تدوير ويك Wick rotation للمترية من الاشارة اللورنتزية الى الاشارة الاقليدية.

ونظرية المجال الكمومى اللورنتزية ضرورية لوصف حركة المادة فى فضاء-زمن الثقب الاسود. اما نظرية المجال الكمومى الاقليدية فهى ضرورية لاعطاء معنى رياضى مضبوط لتكامل الطريق path inetgral لفايمان الذى يسمح لنا بحساب دالة الموجة.

والفضاء-زمن الاقليدى الذى نحصل عليه عبر تدوير ويك فهو الفضاء-زمن الذى لا يتميز فيه المكان space عن الزمان time فى شيء.

واذا كانت المترية الاقليدية دورية periodic فان دورها هو بالضبط درجة حرارة هاوكينغ Hawking temperature التى هى درجة حرارة الثقب الاسود.

ولان الثقب الاسود يتميز فعلا بدرجة حرارة فهناك بالفعل موجود نظام اجداثيات system of coordinates فى الفضاء-زمن تصبح فيه المترية دورية.

واشعاع هاوكينغ هو اشعاع جسم اسود black body radiation عند درجة حرارة تساوى درجة حرارة هاوكينغ.

ولان اشعاع هاوكينغ هو اشعاع احرارى لا يحتوى على اى ترابطات correlation (او ما يسىمى حالة مختلطة mixed state) و لان الثقب الاسود نشأ فى انهيار ثقالى gravitational collapse (او ما يسمى حالة نقية pure state) و سيتبخر بالكامل فى النهاية فان هناك معضلة ضياع للمعلومات information loss paradox فى الثقب الاسود.

المعلومات الضائعة lost information هى المادة و الاشعاع التى ذهبت فى مفردة singularity الثقب الاسود.

ودرجة حرارة هاوكينغ هى المقدار الفيزيائى الوحيد فى الطبيعة الذى تدخل فيه الثوابت الطبيعية الاساسية الاربعة:

-ثابت بلانك Planck constant الذى يرمز له ب h المسؤول عن التأثيرات الكمومية.

-سرعة الضوء speed of light التى يرمز لها ب c (و التى كان يجب تسميتها ثابت اينشتاين) المسؤولة عن التأثيرات النسبية.

-ثابت نيوتن Newton's constant الذى يرمز له ب G المسؤول عن التأثيرات التجاذبية الثقالية.

-ثابت بولتزمان Boltzmann constants الذى يرمز له ب k المسؤول عن التأثيرات الحرارية.

ولهذا قلنا ان عباقرة الفيزياء و الفيزياء النظرية الثلاثة الاوائل هم نيوتن و اينتشاين و بولتزمان ثم قلنا ان الميكانيك الكمومى هو العلم الفيزيائى الاساسى الوحيد (وهو العلم الفيزيائى الاكثر اساسية) الذى لا يستحوذ عليه اى عبقرى بمفرده فهو بدأ بكشف بلانك ثم تلتها كشوفات بوهر (وهو أب الميكانيك الكمومى) ثم جاءت كشوف هايزنبرغ و شرودينغر و ديراك و بورن و باولى ثم جاء فى الجيل الثانى جون بال John Bell فى الصورة وهو ربما الممثل الحقيقى لعبقرية الميكانيك الكمومى و لعباقرة الميكانيك الكمومى جميعا.

 

 

مخطط مثالى لمادة (نظرية المجال الكمومى)

 

مادة او بالاحرى مواد (نظرية المجال الكمومى quantum field theory) فى صورتها النموذجية (وهو حلم قديم لى فى تدريسها بهذه الصورة لم احققه بعد) يجب ان تحتوى على المحاور التالية:

اولا نظرية المجال الكمومى البسيطة (المجالات السلمية scalar و الفرميونية fermionic و المعيارية gauge) حتى نصل الى النموذج القياسى standard model للجسيمات الاولية و فينمولوجيا الجسيمات الاولية.

ثانيا نظرية التناظر symmetry و نظرية الزمر groups و تمثيلاتها representations و نظرية كسر التناظر (مثلا التلقائى spontaneous, عبر الشذة anomaly, و غير ذلك من طرق كسر التناظر)

ثالثا نظرية المجال الكمومى فى خلفية مجال ثقالي كلاسيكي background classical gravitational field و التطبيق على الثقوب السوداء (معضلة اشعاع هاوكينغ Hawking radiation) و الكوسمولوجيا (الطاقة المظلمة dark energy).

رابعا النموذج القياسى الممتاز الاصغرى minimal supersymmetric standard model و التناظر الممتاز لسوزى supersymmetry و فيزياء ما بعد النموذج القياسى beyond the standard model.

خامسا نظرية المجال على الشبكة lattice و طرق مونتى كارلو Monte Carlo methods العددية و التطبيق على نظرية الكروموديناميك chromodynamics او الديناميك اللونى للقوة النووية القوية strong nuclear force.

سادسا معادلة زمرة اعادة التنظيم renormalization group equation و التطبيق على فيزياء المادة المكثفة condensed matter physics و التحويلات الطورية phase transitions.

سابعا نظرية المجال المصفوفى matrix field theory و المجال غير التبديلى noncommutative field theory و الصياغات غير-الاضطرابية non-perturbative formulation لنظرية الوتر string theory و الهندسة غير التبديلية noncommutative geometry.

ثامنا نظرية المجال الكمومى لقوة الثقالة حسب الثنائية الثقالية-المعيارية gauge-gravity duality و نظرية المجال الكونفورمال conformal field theory و التطبيق على التقابل بين النسبية العامة و الترموديناميك (انبعاث الفضاء-زمن emergence of spacetime) و على حل معضلة اشعاع هاوكينغ كلاهما بالاعتماد على انطروبى التشابك الكمومى quantum entanglement entropy و فضاءات دى ستير العكسية anti-de Sitter spaces

حساب دالة بايج مرة اخرى بقليل من التفصيل

 

حساب دالة بايج Page curve ليس امرا هينا.

اذن نعتبر عدة تقريبات (بالاضافة على عبقرية العباقرة و اجتهاد المجتهدين).

نعتبر اولا فضاء-زمن ببعدين. و حتى نستطيع استعمال الثنائية الثقالية/المعيارية AdS/CFT duality نفترض ان الفضاء-زمن هو AdS2 او ما يسمى الفضاء دى سيتر العكسى anti-de Sitter space.

أهم ما يميز فضاء دى سيتر العكسى AdS2 هو وجود حد boundary لهذا الفضاء.

و بالنسبة ل AdS2 (عكس الفضاءات دى سيتر العكسية فى ابعاد عليا) فان هناك حدين و ليس حدا واحد (مما يجعل AdS2 اعقدهم جميعا).

المهم وجود حد لهذا الفضاء يعنى مباشرة انه لو وضعنا ثقب اسود فى هذا الفضاء-زمن ببعدين (فضاء دى سيتر العكسى AdS2) فان اشعاع هاوكينغ عندما يصل الى حد الفضاء فانه سينعكس و يرجع الى الثقب الاسود الذى يعاود امتصاصه ثم بثه من جديد و يتكرر هذا الامر الى مالا نهاية لان الثقب الاسود فى فضاء دى ستير العكسى AdS2 (ويسمى اختصارا الثقب الاسود AdS2) موجود فى حالة توازن حرارى thermal equilibrium.

اذن حتى نصل الى تمثيل اشعاع هاوكينغ و معضلة ضياع المعلومات بشكل صحيح فاننا نقوم بلصق glue خزان حرارى heat bath بفضاء AdS2 عبر حده الأيمن مثلا.

اذن الاشعاع عندما يصل الآن الى الحد الايمن فانه سيمر الى الخزان الحرارى و نحصل بذلك على اشعاع هاوكينغ يذهب الى مالانهاية و بالتالى نحصل على معضلة ضياع المعلومات فى الثقب الاسود.

فى الصورة الاولى (من اليسار) نمثل فضاء دى سيتر العكسى AdS2 بالخط المنحنى الذى يبدأ من النقطة السوداء التى تمثل الحد الايمن لهذا الفضاء.

كما ترون فى الصورة فى ان هناك ايضا خط مستقيم يبدأ من هذه النقطة السوداء وهو يمثل الخزان الحرارى.

رياضيا و فيزيائيا فان اشعاع هاوكينغ فى الخزان الحراى يمثل بنظرية مجال كونفورمال conformal field theory تعيش فى بعدين على فضاء مينكوفسكى Minkowski.

اما الثقب الاسود AdS2 فهو يمثل رياضيا بنظرية ثقالة جاكييف - تايتلبويم Jackiw-Teitelboim gravity التى هى نظرية ثقالة ديلاطونية dilaton gravity اى بالاضافة الى مترية metric الفضاء-زمن يوجد ايضا مجال سلمى يسمى الديلاطون dilaton.

وعلينا ان نذكر ان النسبية العامة فى بعدين هى نظرية طوبولوجية topological و بدون الديلاطون فانه لا يمكن ان نحصل على ثقوب سوداء مستقرة فى بعدين. اذن الديلاطون هو مكون جوهرى هنا و ليس مثل الحالة فى اربعة ابعاد.

هناك ايضا اشعاع هاوكينغ فى منطقة ال AdS2 هو الآخر يمثل بنظرية مجال كونفورمال CFT2.

لانه لدينا تقابل correspondence بين الثقالة gravity و المجال المعيارى gauge field حسب الثنائية AdS/CFT فان كل شيء فى منطقة ال AdS2 (الثقالة الديلاطونية+ ال CFT2) يمكن تعويضه بنظرية مجال معيارى التى هى فى هذه الحالة عبارة عن ميكانيك كمومى كونفورمال conformal quantum mechanics (وليس نظرية مجال).

اذن فى الصورة الاولى من اليمين النقطة السوداء تمثل هذا الميكانيك الكمومى الكونفورمال و هى تكفى من اجل وصف جميع ما هو موجود فى ال AdS2 على الخط المنحنى فى الصورة الاولى من اليسار. اما ال CFT2 الموجودة فى الخزان الحرارى فهى مازالت تمثل بنفس الخط المستقيم.

الرمز EW فى الصور الثلاث هو اختصار ل entanglement wedge اى حرف التشابك وهى المنطقة الضرورية لحساب انطروبى التشابك لاشعاع هاوكينغ.

وانطروبى التشابك entanglement entropy لاشعاع هاوكينغ هو اصعب معضلة فى معضلة ضياع المعلومات لان اشعاع هاوكينغ هو اشعاع حرارى thermal اذن انطروبى التشابك سيبقى دائما يتزايد فى الزمن وهذا يدل على انهيار احادية unitarity الميكانيك الكمومى و على ضياع المعلومات فى الثقب.

دالة بايج هى بالضبط الدالة التى تحسب انطروبى التشابك كدالة فى الزمن.

وكون اشعاع هاوكينغ هو اشعاع حرارى (اى موجود فى حالة مختلطة mixed state) يعنى ان الكيوبيتات (جمه كيوبت qubit وهى وحدة المعلومات الكمومية) المشكلة له لست مترابطة correlated تماما مما يعنى انها لا تحتوى على اى معلومات بخصوص الحالة النقية pure state التى ابتدأ منها الثقب الاسود.

بتعبير المعلوماتية الكمومية quantum information فان اشعاع هاوكينغ كان يجب ان يكون شفرة code لكل ما سقط فى الثقب الاسود.

وكونه حرارى يجعل هذه الشفرة مثل البيض المخلوط scrambled eggs (أليست هى حالة مختلطة).

الفكرة ان الاشعاع لوحده هو فعلا حالة مختلطة لكن الاشعاع هو فى حالة تشابك كمومى quantum entanglement مع ما يسمى الجزيرة island بداخل الثقب الاسود و الاشعاع+الجزيرة هى فعلا حالة نقية. هذه العملية تسمى تنقية الحالة state purification.

اذن فى الصورة الاولى من اليسار نرى ان حرف التشابك entanglement wedge الذى يرمز له ب EW و ملون بالازرق يتشكل من قطعتين منفصلتين disconnected الاولى حارج الثقب اين يوجد الاشعاع و الثانية داخل الثقب اين توجد الجزيرة.

فى الصورة الاولى من اليمين فان القطعة الملونة باللون الزرق (حرف التشابك) هى نصف قطعة مستقيمة (تحتوى على مبدأها اين يعيش الميكانيك الكمومى الكونفورمال المكافئ لكل ماهو موجود فى ال AdS2 ومنها الجزيرة).

و لهذا فان الحساب يتم فى اطار نظرية مجال كونفورمال على نصف قطعة مستقيمة وهذا شيء معروف.

الحساب يؤدى الى ان دالة بايج فى الازمان الصغيرة قبل زمن بايج Page time كان فعلا يتزايد مع الزمن (اذن لا يوجد خروج للمعلومات) وهذا كما حسب هاوكينغ فى السبعينات.

لكن بعد زمن بايج (وبسبب الاقتران بين الاشعاع و الجزيرة و عملية تنقية الحالة) فان انطروبى التشابك يعود الى التناقص (اى ان المعلومات بدأت تخرج) حتى يصل الى الصفر عند التبخر الكامل للثقب (اى ان جميع المعلومات قد خرجت).

بعبارة اخرى فان اشعاع هاوكينغ هو فعلا شفرة للمعلومات الساقطة فى الثقب الاسود منذ تشكل هذا الاخير لكن هذه الشفرة تحتاج الى مفتاح لقراءتها او بالاحرى تفكيكها وهذا المفتاح هو الجزيرة بداخل الثقب. اذن الشفرة و مفتاحها يسمحان لنا بقراءة كل المعلومات (اى لا يوجد ضياع للمعلومات).

الآن لو رجعنا الى حرف التشابك EW فى الصورة الاولى من اليسار فاننا نرى ان هذا الحرف يتشكل من قطعتين منفصلتين وهذا يعنى انهيار لمفهوم المكان وهذا مزعج بالفعل.

تتدخل العبقرية من جديد فقالوا لنا استخدموا مرة اخرى الهولوغرافيا holography فى صيغة الثنائية AdS/CFT اذن نرجع الآن الى ال CFT2 المادية التى تعيش بداخل ال AdS2 و التى تمثل اشعاع هاوكينغ بداخل هذا الفضاء و نفترض ان هذه ال CFT2 هى نظرية هولوغرافية.

هذا يعنى اننا نستطيع ان نعوض هذه ال CFT2 بفضاء دى سيتر العكسى بثلاثة ابعاد AdS3 و نحصل على الصورة فى الوسط فى الصورة.

كل فضاء-زمن ال AdS2 يصبح سطح بداخل ال AdS3.

هذا السطح يسمى براين بلانك Planck brane أما فضاء ال AdS3 فيأتى هو الآخر بحد متصل بالخزان الحرارى (و النظرية CFT2 التى تعيش هناك) اذن متصل به عبر نفس النقطة السابقة (التى هى جد ال AdS2).

كما ترون فانه بعد اضافة بعد ثالث فان حرف التشابك فى الصورة الوسط يصبح سطح (اللون الازرق) و ليس خطان منفصلان اى ان درجات حرية اشعاع هاوكينغ خارج الثقب و درجات حرية الجزيرة بداخل الثقب متصلان عبر البعد الثالث (فهما يبدوان منفصلان فقط من وجهة نظر الفضاء-زمن ببعدين الذى يعيشان فيه).

وذلك هو الثقب الدودى wormehole الذى تكلم عنه ساسكيند Susskind و مالداسينا Maldacena منذ خمسة سنوات فى التخمينية الشهيرة الاخرى ER=EPR.

وهكذا ينتصر الميكانيك الكمومى و نظرية الوتر الممتاز و تنتصر معهما النسبية العامة بعد ان اقنعاها بصحة وجهة نظرهما و بعد ان استعان الجميع بالمعلوماتية الكمومية.

 

 

تخمينية الجزيرة (حل معضلة ضياع المعلومات فى الثقب) لأحمد المهيرى و زملائه

 

يقول احمد المهيرى Ahmed Almheiri و توماس هارتمان Thomas Hartman و جوان مالداسينا Juan Maldacena و ادغار شاغوليان Edgar Shaghoulian و اميرحسين تاجينى Amirhossein Tajdini فى بحثهم على الاركايف رقم 1911.12333 وهم كلهم من معهد الدراسات المتقدمة IAS ببرنستون Princeton باستثناء هارتمان الذى هو من كورنال Cornell التى لا تقل قيمة عن ال IAS اذن يقول هؤلاء العلماء ان:

المقترح هو ان هاوكينغ استخدم المعادلة الخاطئة من اجل حساب الانطروبى. لان النظرية (يقصدون اشعاع هاوكينغ) مقترنة بالثقالة (يقصدون الثقب الاسود) فانه علينا استخدام المعادلة الثقالية الصحيحة للانطروبى التى هى معادلة الانطروبى الميكروسكوبى التى اكتشفها رايو و تاكاياناغى.

النص الاصلى على الصفحة 1 من البحث 1911.12333:

The proposal is that Hawking used the wrong formula for computing the entropy. As the theory is coupled to gravity, we should use the proper gravitational formula for entropy: the gravitational fine-grained entropy formula studied by Ryu and Takayanagi.

ريو Ryu و تاكاياناغى Takayanagi قد حققا اكتشافا هائلا منذ حوالى الخمسة سنوات و دخلا بذلك الى الفيزياء و التاريخ من بابيهما الواسعين باكتشافهما للمعادلة التى تحمل اسمهما اليوم و التى انطلق منها الحل المعقد و المركب من اشياء كثيرة اخرى.

وقد كنت شخصيا شرحت معادلتهما لطلبة الماجيستير سنة ثانية عندى منذ اكثر من سنتين و صورت الفيديو على اليوتوب (فى الرابط) و رغم اننى لست راضيا على هذا الفيديو فنيا و لغويا الا اننى قررت اعادة فتحه لكم هنا من اجل الاستفادة قدر الامكان رغم عدم رضائى عنه لكن الفيزياء التى اذكرها فى هذا الفيديو صحيحة و دقيقة تماما كما تعهدوننى.

وهى مقدمة مقتضبة لمعادلة ريو و تاكاياناغى و كيف تقرن هذه المعادلة بين المقادير الهندسية و المقادير الترموديناميكية و هى تعتمد بطبيعة الحال على الثنائية الشهيرة AdS/CFT بين الثقالة (AdS) و بين المجال الكمومى (CFT).

اذن حل معضلة ضياع المعلومات فى الثقب الاسود و اشعاع هاوكنيغ ينطلق من معادلة الانطروبى الثقالى الميكروسكوبى fine-grained لريو و تاكاياناغى.

تذكروا بكل بساطة ان هذه المعضلة تنص على ان اشعاع هاوكينغ الذى يصدر من الثقب هو اشعاع حرارى thermal (ما يسمى حالة مختلطة mixed state) و ان الثقب الاسود سيتبخر بالكامل فى الاخير اذن كيف يمكن ان نستخرج من اشعاع هاوكينغ الحرارى كل تلك المادة (وهذه هى المعلومات) التى سقطت فى الثقب.

فهذه المادة عندما سقطت فانها سقطت فى (حالة نقية pure state) اى مثلا رائد فضاء يسقط بداخل الثقب كيف يمكننا اذن معرفة ان رائد فضاء قد سقط فى الثقب و اعادة بناء بنيته المادية (لان الفيزياء الكمومية تؤكد ان هذا ممكن و هذا هو معنى ان المعلومات لا يجب ان تضيع) اذن كيف يمكن اعادة رائد الفضاء الذى سقط فى الثقب بعد ان يتبخر الثقب و لا يتبقى معنا الا اشعاع هاوكينغ.

لان اشعاع هاوكينغ حرارى فهو لا يحتوى على اى معلومات (اى روابط correlations بين الكويبت qbits المشكلة له) اذن لا يمكننا اعادة رائد الفضاء و لا اى شيء آخر سقط فى الثقب و هذا يناقض احادية unitarity الميكانيك الكمومى.

بعبارة اخرى لا يوجد ميكانيزم فى الطبيعة يأخذنا من حالة نقية (المادة و المعلومات الساقطة) الى حالة مختلطة (اشعاع هاوكينغ الحرارى).

هناك قوة وحيدة تأخذنا من النقى الى المختلط و هى معضلة الرصد الكمومى و هى اعقد و اغمض من معضلة اشعاع هاوكنيغ لانه يختلط فيها الاساسى الرياضى و الفيزيائى بالاساسى الفلسفى.

و الاضافة الجديدة من المهيرى (وهو المحرك الاساسى لهذه الموجة الجديدة من الاكتشافات) و مالداسينا (وهو مكتشف الثنائية الثقاليةAdS/CFT فى اواخر التسعينات التى هى اساس كل الفيزياء الوترية اليوم) اذن اضافتهم الجديدة تسمى (تخمينية الجزيرة island conjecture) وهى تنص على ان ما يسمى (السطوح القصوية extremal surfaces) التى تدخل فى حساب معادلة ريو و تاكاياناغى يجب ان تكون (سطوح قصوية كمومية quantum extremal surfaces) و لا يكفى السطوح الكلاسكية و ان هذه السطوح قبل (زمن بايج Page time) تكون خارج الثقب الاسود لكن عند (زمن بايج) الذى هو نصف عمر الثقب الاسود تقريبا فان هذه السطوح الكمومية تقفز الى داخل الثقب الاسود وراء افق الحدث مما يؤدى الى تشكل جزيرة island بداخل الثقب الاسود الجسميات الموجودة بداخلها هى جزء من اشعاع هاوكينغ خارج الثقب و ليس جزء من الثقب نفسه و كما قال المهيرى لمجلة كوانطا محاولا شرح هذا الشيء الغريب (هناك جسيمات فى الثقب الاسود لكنها ليست جزء من الثقب الاسود). هذه الجسيمات هى التى بداخل الجزيرة. اذن هناك انهيار بالكامل لمفهوم (المكان) ايضا.

قفز السطوح القصوية الكمومية من خارج الثقب الى داخل الثقب عند بلوغنا زمن بايج هو الذى يؤدى الى ان انطروبى التشابك entanglement entropy يغير من اتجاه تزايده و يبدأ فى التناقص وهنا بالضبط (زمن بايج) تبدأ المعلومات فى الخروج مع اشعاع هاوكينغ.

هذه القفزة هى فى الحقيقة تحول طورى phase transition من ثقب اسود واجد مهيمن على تكامل الطريق لفايمان Feynman's path integram قبل زمن بايج الى عدد كبير من الثقوب السوداء المرتبطة بثقوب دودية wormeholes تسمى الثقوب الدودية المتكررة replica wormeholes التى تصبح التشكيلة configuration الثقالية المهيمنة على تكامل الطريق بعد زمن بايج.

هذه الثقوب الدودية تسمى متكررة لاننا نحصل عليها باستعمال طريقة تسمى (طريقة التكرار replica method) و بالتالى فان هذه الثقوب الدودية المتكررة هى اقرب الى كونها محاكاة simulation على الحاسوب الكمومى quantum computer من ان تكون حقيقية لكن هنا لا يوجد فرق بين المحاكاة الافتراضية و الواقع.

على ان اذكر فى الاخير ان هناك فيزيائى آخر توصل بمفرده الى كثير من هذه النتائج منفصلا عن مجموعة المهيرى وهو شاب صغير جدا اقل من 25 سنة هو جيف بنيتغتون Geoff Penington هو الآخر اصبح استاذا فى ال IAS هذا الفصل فقط (جانفى 2021) لتميزه الشديد عن اقرانه. انظروا محاضرته على صفحة ال IAS (اظنها ايضا محاضرة على اليوتوب) حيث يشرح طريقته المختلفة قليلا التى تسمى (entanglement wedge reconstruction اى (ترجمة مؤقتة) اعادة بناء تشابك الحرف)

اذن فعلا الفيزياء النظرية البقاء فيها (الذى هو التميز هنا) فعلا للاقوى ليست مجاملات فارغة و احصائيات عقيمة.

محاضرتى عن معادلة ريو-تاكاناياغى منذ سنتين على اليوتوب التى لم يهتم بها لا الطلبة عندى فى القسم و لا من يتابعنى على الفايسبوك و اليوتوب يعتقدون ان اهتمام بالاشياء و تعبى فى شرحها لهم هى مسألة شخصية بل الحقيقة ان هذه امور مهمة جدا تهم كبار العلماء كما ترون.

 

مجلة كوانطا

Badis Ydri

5m  ·

Shared with Public

كوانطا هى برأيى افضل مجلة علمية عامة الآن و المستقبل سيكون لها بشكل ساحق.

وهى تتميز (بالمقارنة مثلا مع سيانتفيك امريكان التى هى اقدم مجلة علمية تُنشر لحد اليوم) بأنها حرة و مفتوحة.

اذن كوانطا لا تحتاج الى اى رسوم لقراءة مقالاتها الرائعة جدا جدا.

واقوى فرع فى كوانطا هى الفيزياء.

وكوانطا لا توغل كثيرا فى تصنيفات العلوم و لا تسرف فهى تقسم نفسها الى اربعة علوم عظيمة:

-الفيزياء.

-الرياضيات.

-البيولوجيا.

-علوم الحاسوب.

وهذا فعلا تقسيم حاسم فهذه فعلا اعظم العلوم و اهمها و غيرها تفصيلات من هنا و هناك.

وكما ذكرت فان الفيزياء هى اهم قسم فى كوانطا. و اؤكد مرة اخرى ان كوانطا مفتوحة و حرة على جميع وسائل التواصل الاجتماعى.

واحكم شخصيا على مقالات كوانطا فى الفيزياء فأقول بثقة انه لا يوجد اعظم منها فى الدقة اللغوية و الدقة العلمية و رقى اللغة الانجليزية و التعبير الفيزيائى و الرياضى و حتى فى بعض الاحيان الفلسفى الدقيق جدا عن آخر اكتشافات الفيزياء و غيرها.

وكُتاب الفيزياء فى كوانطا نوعان.

الصحفيون العلميون وهم فعلا الافضل لانه تخصصهم (صحافة علمية) تسهيل الامور المعقدة جدا عبر التواصل مباشرة مع من اكتشف تلك الامور من العلماء.

لكن من كتاب كوانطا ايضا فيزيائيون مشهورين.

مثلا آخر ما كتبه ديغراف Dijkgraaf وهو من اكبر الرياضيين الفيزيائيين و الوتريين ان فيزياء الجسيمات و الفيزياء النظرية قد انتهت و ان المستقبل لفيزياء المادة المكثفة.

وهذا حكم شخصيا لا اقبل به و هو حكم متأثر جدا بالتكلس التجريبى الواقع الآن فى فيزياء الجسيمات والاغرب انه يسحب هذا الحكم على جميع الفيزياء النظرية و هذا احمد المهيرى مثلا مع اصدقائه قد حل معضلة من اعظم معضلات الفيزياء النظرية وهى معضلة ضياع المعلومات فى الثقب الاسود.

اذن لماذا الحكم بأن الفيزياء النظرية قد انتهت بل على العكس الفيزياء النظرية قد ابتدأت.

وهذا حكم يائس غريب جدا ان يأتى من رجل مثل ديغراف الذى هو واحد من انجح النظريين على الاطلاق فى ال 30 سنة الاخيرة.

اذن الكوانطا حرة و مفتوحة و هى فى رأيى افضل من السيانتفيك امريكان و فى رأيى المستقبل سيكون لها.

وايضا الكوانطا ستوفر لكم فرصة لمعرفة اهم الاكتشفات الواقعة اليوم فى الفيزياء (وكذا فى الرياضيات و البيولوجيا و علوم الحاسوب).

اذن اذا اردتم معرفة ماهو (هيب hip) فى العلم اى ماهى الموضة الرائجة على اكثر جبهات العلم تقدما فانكم ستجدونها فى الكوانطا.

واغرب ما وجدت (وهذه نكتة فعلا) ان قناة الكوانطا على اليوتوب لا تتحلى بعدد يعكس هذا الذى قلته اعلاه بحقها و اسوء من ذلك تتميز بعدد ضعيف من المشاهدات يجعلك تتأكد ان الذى ينجح على اليوتوب ليس بالضرورة المحتوى الحقيقى العالى لكن شيء آخر قد يكون لا يمت اى صلة بالمحتوى الحقيقى العالى.

انصح بالاشتراك بقناة الكوانطا لدعمهم و هذا اقل شيء نقدمه لهم مقابل ما يقدمونه لنا و قد فعلت ذلك شحصيا و اشتركت بالقناة.

وهذه ثانى مرة اكتب عن كوانطا هنا على الفايسبوك للتنبيه على اهمية هذه المجلة فهم فعلا يستأهلون ذلك و علينا دعمهم بما نستطيعه.

اما الصفحة على الواب فهى من انجح الصفحات على الاطلاق تجدونها على هذا الرابط:

 

https://www.quantamagazine.org/physics/