الميكانيك العقلانى و الميكانيك ماوراء العقلانى..

وتبقى الفيزياء النظرية أهم نموذج عقلانى منظم مرتب ممنهج للتفكير العقلانى الذى كان اغلبه و بشكل ساحق غربى للأسف -علينا ان نقر بذلك- وهذا ما يجعلنى استحى من كثير من الادعاءات التى اسمعها منذ وعيت و مازلت تردد على مسامعنا هنا و هناك.
واهم نماذج التفكير الفيزيائية النظرية يبقى الميكانيك الكلاسيكى بشموخه اعظمها على الاطلاق.. و البعض قد يسميه الميكانيك التحليلى وهو النموذج المثالى الذى يجب ان يحتذى بدون منازع فى الفيزياء و غيرها..
وما نسميه بالفيزياء الكلاسيكية هو كل شيء مبنى على الميكانيك التحليلى..ومقابله هو الفيزياء الكمومية التى هى كل شيئ آخر مبنى على الميكانيك الكمومى..
والكمومى هو الاساس..والكلاسيكى ليس فى المحصلة الا تقريب أولى للميكانيك الكمومى..او هكذا نفهمه اليوم...
واشير هنا قبل ان أبدأ ان النسبية تدخل فى الاطار العام للفيزياء الكلاسيكية و بالتالى فهى ليست اكثر اساسية من الميكانيك الكمومى..
اما الميكانيك التحليلى او الكلاسيكى فأهم ما يميزه هو العقلانية حتى ان بعض الناس يسميه ايضا بالميكانيك العقلانى...
وأغلب الطلبة و كثير من الاساتذة يأتى للميكانيك الكلاسيكى ظانا انه سيدرس قوانين نيوتن المملة مرة اخرى او بعض التطبيقات لها و اكثر ما يستهويهم الاهتزازات وانى لا ادرى السر وراء ذلك..فالاهتزازات مهمة جدا فى الطبيعة و التكنولوجيا لكنها ليست اساسية فى الميكانيك التحليلى بأى شكل من الاشكال...
فالميكانيك التحليلى هو رياضيات وهو بالضبط هندسة وهذا ما سنحاول ان نشرحه فى هذه العجالة..
الميكانيك التحليلى يأتى فى صياغتين اساسيتين نهائيتين لما بعد نيوتن post Newton هما اولا الصياغة اللاغرانجية -نسبة للاغرانج Lagrange الفرنسى- و ثانيا الصياغة الهاملتونية-نسبة لهاميلتون Hamilton الايرلندى-..
اولا عندما نأخذ جملة فيزيائية تتحرك او تتغير فى الزمن فاننا نحتاج ان نصفها بعدد معين من الاعداد تسمى درجات الحرية degrees of freedom يرمز لها ب q_i حيث ان الدليل i يأخذ القيم من 1 الى n..و n هو بالضبط عدد درجات الحرية...
مثلا جسيم حر فى ثلاثة ابعاد نحتاج الى 3 اعداد لوصفه..اما جسيم يتحرك على سطح كرة فاننا نحتاج الى عددين لوصفه..وجسيم يتحرك على خط فاننا نصفه بعدد واحد و هكذا...
درجات الحرية q_i تسمى ايضا الاحداثيات المعممة generalized coordinates للجملة و هى تصف حالة الجملة فى فضاء يسمى فضاء التشكيلات configuration space...
وفضاء التشكيلات ليس هو بالضرورة الفضاء الفيزيائى الذى تتحرك فيه الجملة بل هو الفضاء الذى كل نقطة فيه تُعبر عن حالة او تشكيلة واحدة ممكنة و معينة للجملة...
اذن كل نقطة فى هذا الفضاء تعطى بالاحداثيات المعممة
(q_1,q_2,....,q_n)
على هذا الفضاء المسار من نقطة 1 الى نقطة 2 كيفيتان يسمى طريق..
وعلى هذا الطريق يمكن ان نعرف الطاقة الحركية T للجملة و الطاقة الكامنة V للجملة...
اذن بين كل نقطة 1 و نقطة 2 كيفيتان فى فضاء التشكيلات هناك عدد لا نهائى من الطرق التى تربط بين النقطتين...
لكن ماهو الطريق الحقيقى -و يسمى ايضا بالطريق الكلاسيكى- الذى سوف تتبعه الجملة حقيقة...
لايجاد هذا الطريق يقدم لاغرانج الحل التالى..
كل طريق قلنا هو مرفق به طاقة حركية T و طاقة كامنة V...
لاغرانج يشكل دالة جديدة تسمى اللاغرانجية Lagrangian -نسبة اليه مرة اخرى- هى بالضبط الفرق بين الطاقة الحركية و الطاقة الكامنة..
انظر المعادلة الاولى فى الصورة الاولى...
الآن لاغرانج يقول ان وزن كل طريق-أى اهمية كل طريق بالمقارنة مع الطرق الاخرى- يعطى بدلالة دالة تسمى الفعل action ويرمزله ب S وهى تعطى على شكل تكامل دالة اللاغرانجية من النقطة 1 الى النقطة 2 فى فضاء التشكيلات... انظر المعادلة الثانية فى الصورة الاولى..
للحصول على الطريق الحقيقية التى ستتبعها الجملة نطبق مبدأ من اعظم مبادئ الفيزياء الكلاسيكية: مبدأ الفعل الاصغرى لهاميلتون principle of least action of Hamilton الذى ينص بكل بساطة على ان الجملة سوف تتبع الطريق الذى يتميز بأقل قيمة ممكنة للفعل S...
تذكروا مثلا مبدأ انتشار الضوء الكلاسيكى الذى ينص على ان الضوء يتبع اقصر طريق ممكنة بين نقطتين..
هذا هو مبدأ الفعل الاصغرى لهاميلتون بالنسبة للضوء..
بالنسبة لأى جملة فيزيائية -ميكانيكية او ضوئية او كهربائية او مغناطيسية او...- فان مبدأ الفعل الاصغرى لهاميلتون ينص على ان الجملة سوف تتبع الطريق فى فضاء التشكيلات الذى يتميز باٌقل قيمة ممكنة للفعل S...
بعد اجراء هذا الحساب باستعمال التحليل التفاضلى نحصل بالضبط على معادلات اولر-لاغرانج..المعادلة الثالثة فى الصورة الاولى... اذن الجملة سوف تتبع فى فضاء التشكيلات الطريق الذى يتميز بأقل قيمة معينة للفعل و هذا الطريق بعد الحساب يتبين انه يجب ان يكون حلا لمعادلات اولر-لاغرانج Euler-Lagrange equations...
هذه هى الصياغة اللاغرانجية Lagrangian formulation...
الصياغة الهاميلتونية Hamiltonian formulation هى صياغة رياضية مختلفة لكنها مكافئة تماما فيزيائيا..
فى هذه الحالة نحتاج ان نعرف حالة الجملة فى فضاء جديد يسمى فضاء الطور phase space...
احداثيات هذا الفضاء هى بالضبط الاحداثيات المعممة q_i...
لكن كل احداثية معممة يجب ان تكون مرفقة بكمية حركة معممة generalized momenta يرمز لها ب p_i...
اذن كل حالة فى فضاء الطور هى نقطة معطاة بالاحداثيات و كميات الحركة المعممة
(q_1,q_2,...q_n,p_1,p_2,...,p_n)
وحتى استبق الاحداث اقول ان كميات الحركة المعممة p_i ليست هى بالضرورة كميات الحركة التى تعرفونها و التى تعطى بجداء الكتلة فى السرعة...
كمية الحركة المعممة p_i هى كمية الحركة القانونية canonical -هكذا تسمى- المرفقة بالاحداثية المعممة q_i...وهى نحصل عليها باشتقاق اللاغرانجية L بالنسبة للسرعة المعممة اى dq_i/dt و التى نرمز لها عادة بوضع نقطة على الاحداثية المعممة q_i ...الزوج (q_i,p_i) المشكل من الاحداثية المعممة و كمية الحركة المعممة المرفقة بها يسمى زوج قانونى canonical pair و الاحداثيات q_i و p_i تسمى متغيرات مترافقة conjugate variables...
اذن بعد ان عرفنا حالة الجملة فى فضاء الطور على انها نقطة باحداثيات معطاة بالاحداثيات المعممة و كميات الحركة المعممة المرفقة بها نعرف دالة جديدة على فضاء الطور تسمى الهاميلتونية Hamiltonian...
والهاميلتونية اسهل على الفهم من اللاغرانيجة لانها بكل بساطة تساوى الطاقة الكلية للجملة اى الطاقة الحركية زائد الطاقة الكامنة اى
H=T+V
العلاقة الرياضية المضبوطة بين الهاميلتونية و اللاغرنجية هى عبارة عن تحويل لوجوندر Legendre transformation حيث ان المتغير الذى يقع عليه التحويل هو بالضبط السرعة المعممة التى تتحول الى كمية الحركة المعممة و هذا يؤدى الى تحويل لوجوندر لللاغرانجية الى الهاميلتونية..فى اغلب الحالات فان النتيجة هى ان الهاميلتونية تعطة كما فى الاعلى بالطاقة الكلية...
انظر الصورة الثانية...
مرة اخرى نبحث الآن عن الطريق الفيزيائى الذى يربط بين اى نقطتين 1 و 2 فى فضاء الطور عن طريق التعبير عن الفعل بدلالة الهاميلتونية و تحويل لوجوندر ثم تطبيق مبدأ الفعل الاصغرى لهاميلتون مرة اخرى...فى هذا الحالة فان هذا المبدأ يسمى مبدأ الفعل الاصغرى المعدل لهاميلتون modified principle of least action of Hamilton...
اذن الطريق الفيزيائى هو الطريق فى فضاء الطور الذى يتميز باقل قيمة للفعل..وفى هذه الحالة بعد اجراء الاشتقاق فاننا نجد ان هذا الطريق يجب ان يحقق معادلات جديدة تسمى معادلات هاميلتون وهى معادلات تفاضلية من الرتبة الاولى عكس معادلات اولر-لاغرانج التى هى معادلات تفاضلية من الدرجة الثانية..انظر الصورة الثالثة..
وهذه هى الصياغة الهاميلتونية...
اشير فى الاخير ان الميكانيك التحليلى فى بعض الاحيان تطغى عليه الصياغة الهاميلتونية الى الحد انه يتحول الى هندسة تسمى الهندسة السمبليكيتة symplectic geometry ففضاء الطور هو مثال على فضاء سمبليكتى...
اما فى نظرية الحقول الكمومية الكمومية و نظرية الاوتار فان الذى يطغى اكثر فهو الصياغة اللاغرانجية لان اللاغرنحية عكس الهاميلتونية لا تحتاج الى تعريف اتجاه الزمن و بالتالى فهى اكثر تلائما مع النسبية...
وللاشارة ايضا فان طريقة التكميم عبر تكاملات الطريق path integral quantization هى الاكثر طغيانا فى نظرية الحقل و هى طريقة تعتمد الصياغة اللاغرانجية عكس طريقة التكميم القانونية canonical quantization التى تعتمد الصياغة الهاميلتونية...
وكل له نقاط قوة عظمى و نقاط ضعف..
اذن الميكانيك الكلاسيكى التحليلى العقلانى هو النموذج المثالى لكل التفكير الكلاسيكى الارسطى فى الفيزياء و الرياضيات بدون منازع...وكون الميكانيك الكمومى لم يتمكن القوم لحد الساعة من اخضاعه لمثل هذا الحزم العقلى هو الذى يجعلهم يتخوفون منه و من كونه قد يكون ميكانيك غير عقلانى..اقول الميكانيك الكمومى لا يفعل الا ان يشير الى ان هناك قوى تتسامى فوق العقل لا ندرك كنهها فقط..

وهذه هى بعض الميتافيزيقا الفيزيائية التى اثق فيها رغم غمائضيتها العميقة...