الميكانيك الكمومى النسبى فى اقل من ثلاث دقائق-مصفوفات ديراك

-نأخذ الوحدات الطبيعية التى نضع فيها سرعة الضوء و ثابت بلانك يساوى واحد..
-مترية الفضاء-زمن او فضاء مينكوفسكى تعطى ب
ds**2=dt**2-dx_i**2
هذه تقيس المسافة بين نقطتين فى الفضاء-زمن متقاربتين بشكل لا متناه فى الصغر..نعرف احداثيات شعاع الموضع الرباعى four-vector position ب
x^0=x_0=t
x^1=-x_1=x
x^2=-x_2=y
x^3=-x_3=z
لاحظوا الاشارة..مترية الفضاء-زمن تصبح
ds**2=dx_a*dx^a
لاحظوا الدليل a: مرة فى الاسفل و مرة فى الاعلى..نقول اننا قلصنا contracted الدليل a ..الدليل a يأخذ القيم من صفر الى ثلاثة..كون الدليل مكرر ومرة فى الاعلى و مرة فى الاسفل يعنى اننا نجمع على جميع قيم الدليل اى ان العبارة اعلاه تعنى
dx_a*dx^a=dx_0*dx^0+dx_1*dx^1+dx_2*dx^2+dx_3*dx^3
هذه الكتابة المختزلة تسمى اتفاقية اينشاين للجمع..
-معادلة اينشتاين للطاقة تكتب على الشكل
E**2=p_1**2+p_2**2+p_3**2+m**2
نعرف مركبات شعاع كمية الحركة الرباعى ب
p^0=p_0=E
p^1=-p_1=p_x
p^2=-p_2=p_y
p^3=-p_3=p_z
يمكن اعادة كتابة معادلة اينشتاين بدلالة مركبات شعاع كمية الحركة الرباعى four-vector momentum كالتالى
p_a*p^a-m**2=0
-مبدأ التقابل correspondence principle يسمح لنا بالمرور من العبارة النسبية الكلاسيكية الى العبارة النسبية الكمومية عن طريق تعويض مركبات شعاع كمية الحركة الرباعى بمؤثرات تفاضلية هى عبارة عن الاشتقاق بالنسبة الى مركبات شعاع الموضع الرباعى four-vector position اى
p_a.....>i*d_a
حيث i هو العدد التخيلى البحت و d_a يعطى بالاشتقاق التفاضلى الجزئى
d_a=d/dx_a
نحصل بالتعويض فى معادلة الطاقة على
d_a*d^a+m**2=0
لان الذى نحصل عليه هو مؤثر فإنه يجب ان يؤثر على شيئ..هذا الشيئ هو بالضبط دالة الموجة psi\..اى انه يجب ان نكتب
0=i*(d_a*d^a+m**2)*\psi
هذه هى معادلة كلاين-جوردن Klein-Gordon التى اكتشفها اول مرة شرودينغر والتى تعطى عبارة للاحتمال يمكن ان تكون سالبة و على هذا رفضها شرودينغر...شرودينغر اعاد نفس العمليات اعلاه باستعمال علاقة الطاقة الكلاسيكية للوصول الى معادلته الشهيرة..معادلة كلاين-جوردن هى معادلة الحقل السلمى اى ان تفسير psi\ كحقل وليس كدالة موجة هو الصحيح..
-ديراك لم يعجبه عدم تمكن شرودينغر و كلاين و جوردن من استخراج معادلة موجة نسبية تعطى تعريف موجب دائما للاحتمال...الملاحظة الاساسية التى توصل اليها ان معادلة شرودينغر تعطى احتمال موجب دائما لانها معادلة تفاضلية من الدرجة الاولى و أما معادلة كلاين-جوردن فلا تعطى عبارة احتمال لانها معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية..
اذن ديراك فكر انه حتى ينجح فى الحصول على تعريف احتمال نسبى, عليه ان يستخرج من معادلة اينشتاين للطاقة معادلة تفاضلية من الدرجة الاولى, وهذا هو الحل فعلا...
يرجع الى معادلة الطاقة النسبية لاينشتاين ونحاول تفكيك الشكل التربيعى الى حدوده اى نحاول ان نكتب
p_a*p^a-m**2=(\gamma_a*p^a+m)*(\gamma_a*p^a-m)
السؤال المحدد جدا: ما هى الاشياء gamma_a\ ?... اولا هذه لا يمكن ان تكون اعداد حقيقية او مركبة...ثانيا يمكن ان نتحقق بكل سهولة من المعادلة اعلاه ان هذه الاشياء يجب ان تحقق المعادلة
\gamma_a*\gamma\_b+\gamma_b*\gamma_a=2*g_{ab}
حيث g_{ab} هى مصفوفة المترية التى تساوى 1, -1 ,-1,-1 على القطر و صفر فى كل مكان آخر.
حل المعادلة اعلاه هى مصفوفات بعدها اربعةxاربعة تسمى مصفوفات ديراك...انظر الحل الصريح فى الصورة..
اذن ديراك يستنتتح ان معادلة طاقة اينشتاين هى مكافئة ل
\gamma_a*p^a-m=0
باستخدام مبدأ التقابل كما فعلنا فى السابق نحصل على معادلة ديراك الشهيرة
0=i*(\gamma_a*d^a-m)*\psi
مصفوفات ديراك تعبر عن سبين الجسيم الذى تصفه دالة الموجة psi\ الذى بعد الحساب يتصح انه يساوى نصف..تذكر ان السبين هو خاصية للجسيم مكافئة تماما للكتلة تحسب العزم الحركى الذاتى للجسيم..ايضا معادلة ديراك اعلاه تؤدى مباشرة الى وجود جسيم مضاد لكل جسيم فى الكون وهذا ربما هو اهم انجازاتها على الاطلاق..