قانون غوس للثقالة فى عدد ابعاد كيفى

البرهان: نموذج عن روح الفيزياء

-نفترض اننا نعيش فى فضاء اقليدى بعده d ...
-نفترض انه لدينا توزيع كتلة كيفى فى هذا الفضاء...الكتلة الاجمالية M ...
-نعرف أن حقول الحقل الثقالى التى تولدها هذه الكتلة قطرية اى تمر كلها عبر مركز ثقل توزيع الكتلة, و تتجه بعيدا عنه...
-نريد ان نحسب الحقل المولد فى نقطة تقع خارج توزيع الكتلة..اذن نضع كتلة اختبارية فى هذه النقطة..ثم نتصور سطح كرة كبيرة تمر عبر هذه النقطة و مركزها هو مركز ثقل توزيع الكتلة...
-الكرة التى تصورناها هى كرة فى d بعد...هل يمكن ان تتصوروها?
-الحقل على كل نقطة من هذه الكرة له نفس الطويلة و هو دائما متجه نظاميا و خارجيا للكرة..
-نطبق قانون غوس للثقالة فى الصورة ادناه..اى نحسب تدفق الحقل الثقالى عبر الكرة...بسبب خواص الحقل التى ذكرناها اعلاه فإن التدفق يساوى بكل بساطة طويلة الحقل الثقالى مضروب فى سطح هذه الكرة...نكتب اذن
g*V_{d-1}=4*\pi*G_N*M
حيث G_N هو ثابت نيوتن للثقالة فى d بعد, و g هو الحقل الذى نبحث عنه, و V_{d-1} هو سطح الكرة فى d بعد...
-ماهو سطح الكرة فى d بعد? ...هذا معروف لكن لن اكتب القانون و اكتفى بالقول انه متناسب مع r**(d-1) ...لما نضع d=3 نحصل على مساحة الكرة التى نعرفها...
-اذن الحقل الثقالى g المولد فى d بعد متناسب عكسا مع مساحة سطح الكرة فى d بعد اى مع r**(d-1)..وهو المطلوب الاساسي..
-الان تصوروا ان احد الابعاد الاضافية هو متضام compact..وهذه هى الحالة الاهم...الامر يتعقد اكثر و يصبح اكثر اثارة... لكن اترك هذا الى غاية ان يستثيرنا احدهم فكريا و علميا ...