Quantum Field Theory 17: Wick's theorem
الوجودية تكمن فى الزمن -من وجهة نظر الفيزياء-
فى هذه المحاضرة -ونحن نقارب نهاية الفصل الثانى- نُقدم مبرهنة ويك Wick's theorem وهى من أهم النتائج التقنية لنظرية اضطرابات perturbation theory المجالات الكمومية المتفاعلة interacting quantum fields.
نظرية ويك تريد ان تُعبر عن مؤثر الترتيب فى الزمن time ordering operator بدلالة مؤثر الترتيب الاعتيادى normal ordering operator.
ومؤثر الترتيب فى الزمن يرتب المؤثرات من الزمن الاصغر الى الزمن الاكبر اى من الماضى الى المستقبل. بعبارة اخرى فان المؤثر اذا كان فى الماضى سيؤثر اولا قبل المؤثر الذى سيكون فى المستقبل.
هذا الترتيب فى الزمن هو ضرورى بالنسبة للميكانيك الكمومى لكنه يتعارض مع النسبية الخاصة لكنه هو واحد من تلك الاشياء التى لا بد منها. اذن الاولية للكمومى على النسبية لكن فى اطار نظرية المجال الكمومى فان النسبية الخاصة تتحمل هذا التنازل (عكس النسبية العامة).
اما مؤثر الترتيب الاعتيادى فهو المؤثر الذى يرتب مؤثرات الافناء annihilation operators اولا ثم مؤثرات الخلق creation operators ثانيا. بعبارة اخرى فان المؤثر اذا كان مؤثر افناء (للجسيمات) فهو سيؤثر اولا اما اذا كان مؤثر خلق (للجسيمات) فهو سيؤثر ثانيا.
اذن الافناء له اولية على الخلق فى الميكانيك الكمومى. اذن العدم اولى من الوجود بالنسبة للفيزياء وهذه روح الوجودية فى الفيزياء فى احلى صورها.
هذا ايضا امر يطلبه الميكانيك الكمومى لا مفر منه.
والقضية كلها تكمن فى (الزمن) فالميكانيك الكمومى يتطلب اتجاه محدد للزمن يؤدى الى هذه الانواع من الترتيب.
الترتيب الاعتيادى قوته الرياضية تكمن فى كون قيمته المتوقعة expectation value تساوى واحد بالضبط فالافناء بفنى اشعة الحالة الكات cket states و الخلق يفنى ايضا اشعة الحالة البرا bra states.
اما الترتيب فى الزمن فان قيمته المتوقعة فانها تساوى المجموع على جميع التقلصات contractions الممكنة. حيث ان التقلص هو الربط السببى بين نقطتين من الفضاء-زمن و قيمته العددية تعطى بمنتشر فايمان Feynman propagator.
هذه هى مبرهنة ويك.
ملحوظة: البعض يريد ان يدرس بشكل مقرصن (من القرصنة) فتجده يريد ان يقفز على الكورس فى هذه النقطة و يريد ان يفهم. هيهات هيهات. القرصنة القرائية هى طريقة جيدة فى القراءة و الاطلاع للمتمكن الخبير فقط اما المبتدئ فعليه ان يبدأ من القواعد.
Quantum Field Theory 18: The Scattering Matrix
فى هذه المحاضرة -محاضرة سنة اولى ماجيستير فيزياء نظرية بجامعة عنابة هذا الفصل- نبدأ بدراسة المجالات الكمومية المتفاعلة interacting quantum fields فى اطار نظرية الاضطرابات perturbation theory.
نبدأ بمثال بسيط هو مجال او حقل سلمى تحت تأثير قوة forced scalar field و نرمز لهذه القوة ب J ونسميها منبع source (يمكننا تصور هذه القوة و كأنها حقل مغناطيسى خارجى).
نقوم بتعريف صور pictures هازينبرغ و شرودينغر و ديراك ونكتشف فى الاخير ان ديراك اقوى من شرودينغر و هايزنبرغ بكثير كعلم و كعالم رغم سبق هذين الاخيرين الى الميكانيك الكمومى و علو قدرهما.
صورة ديراك Dirac picture تسمى ايضا صورة التفاعل interaction picture.
فمثلا سنبين ان الحقل او المجال فى صورة ديراك هو حقل حر ثم نبين ان مؤثر التطور evolution operator فى صورة ديراك هو بالضبط مصفوفة التصادم scattering matrix الشهيرة التى تلخص كل نظرية الاضطرابات للحقول المتفاعلة.
ايضا قمنا باعادة نشر الآتى
التكميم القانونى للحقل السلمى الحر
canonical quantization of the free scalar field
منتشر فايمان
Feynman propagator
الماضى الكمومى
الانسان وعى وعقل و ارادة.
والانسان ماضى و حاضر و مستقبل.
لكن الانسان مادة ايضا وهذه الاخيرة تخضع للميكانيك الكمومى. اذن الانسان كمومى شاء او أبى.
الميكانيك الكموم يأتى باللاحتمية فى التنبؤ بالمستقبل اذن المستقبل كمومى لانه يخضع لاحتمالات دالة الموجة و لان المستقبل احتمالى لاحتمى غير-يقينى فلهذا يعتقد الانسان انه حر و هو بالفعل حر و الا وقعنا فى الورطة الوجودية.
وتذكروا فان المعضلة الوجودية هى (معضلة تبرير الشر و ليس معضل وجود الشر. فالشر موجود يحتاج الى تبرير وجوده و لا يحتاج الى نفى وجوده عكس ما تفعله كل الفلسفة. اذن هنا اننى وحدى لكننى وحدى فى اشياء كثيرة اخرى وقد تعودت على الوحدة).
اذن المستقبل كمومى احتمالى لاحتمى و من هنا تنبع حرية الانسان.
وهذه اللاحتمية راجعة الى مبدأ هايزنبرغ للارتياب الذى لا يسمح لنا يقياس المتغيرات الفيزيائية المترافقة بدقة كيفية فتمام الدقة فى احدها (مثلا موضع الجسيم) يعنى الضياع التام للدقة فى قياس الآخر (مثلا زخم الجسيم).
اذن هذه اللاحتمية هى فرصة حرية الانسان وهذه اللاحتمية تقع فى المستقبل ولهذا يرى وعى الانسان انه حر بازاء اختياراته فى المستقبل فكل شيء يقع فى المستقبل فهو لاحتمى حتى الموت فهو لا حتمى غير-يقينى احتمالى.
فكل شخص حى مادام حيا يوجد لديه طريق فى فضاء الحالات لن يموت فيه ابدأ وهذا الطريق له احتمال غير معدوم و لو صغير جدا لكن الموت عندما يحل فانه سيقطع هذا الطريق كما انه سيقطع وعى ذلك الانسان. اذن الموت يقطع الوعى كما يقطع الكمومية و اللاحتمية و التراكب الخطى الذى كان متوافر للانسان قبل ان يموت.
اذن كون الموت يقينيا (حتى يأتيك اليقين كما ذكر القرآن) ليس لان الموت لا مناص منه (بل هناك مناص منه و لو باحتمال صغير جدا) بل هو يقينى لانه كلاسيكى غير-احتمالى لاحتمى مثله مثل الوعى.
اذن هناك ثلاثة اشياء كلاسيكية غير-احتمالية حتمية فهناك الوعى (وهذا قد كتبت عنه سابقا) وهناك الموت فهو حادث كلاسيكى مثله مثل عملية الرصد الكمومى الذى يخرج الجملة الفيزيائية اللاحتمية الاحتمالية من التراكب الكمومى الى اليقين الكلاسيكى فكذلك الموت يخرج المستقبل الكمومى اللاحتمى الاحتمالى من التراكب الكمومى الى (اليقين).
اما الشيء الثالث فهو (الماضى) فالماضى ايضا كلاسيكى حتمى غير-احتمالى حسب ما يفهمه الميكانيك الكمومى.
فالمستقبل هو تطور دالة الموجة فى الزمن (وهذه هى اللاحتمية) اما الحاضر (وهو نهاية الماضى) فهو الحالة الابتدائية لدالة الموجة (وهذه الحتمية) التى هى معروفة تماما لان الوعى متيقن تماما من الماضى على انه ثابت كما انه اى الوعى متبقن تماما من المستقبل على انه متغير.
اذن مرة اخرى هى مشكلة الوعى فهو الذى يعتقد جازما ان الماضى يقينى حتمى ثابت غير-احتمالى لانه يثق فى الذاكرة كما يعتقد جازما ان المستقبل غير-يقينى لاحتمى احتمالى لانه يثق فى حريته.
لكن الفيزياء متناظرة تحت تأثير العكس فى الزمن. اى انه لا فرق بين الماضى و المستقبل بالنسبة للمعادلات الفيزيائية.
اذن يمكن ان ننطلق من الحاضر من اجل حساب الماضى باستعمال معادلة شرودينغر و نجد ان الماضى كمومى احتمالى لاحتمى بنفس الطريقة التى وجدنا بها المستقبل كمومى احتمال لاحتمى.
لكن علينا ان نضحى بيقين الوعى فى الماضى اى انه لا يجب التعويل على الذاكرة مثلما ان الكثير لا يعول على الارادة بازاء المستقبل.
الحل الوسط هو ان نقبل فعلا الحل الكمومى اى الماضى كمومى كما ان المستقبل كمومى و ان حرية الانسان (فى المستقبل) هى حرية كمومية تنبع من لاحتمية و احتمالية الكمومى لكن نقبل ايضا ان ذاكرة الانسان (فى الماضى) هى الاحرى ذاكرة كمومية (وهذا مصطلحى) يرجع لايقينها الى لاحتمية و احتمالية الكمومى.
اذن كما ان المستقبل كمومى فكذلك الماضى كمومى. ووجدت هازينبرغ يتكلم عن الماضى الكمومى و يرفضه ووجدت اينتشاين يتكلم عن الماضى الكمومى و يقبله (لكن ليس بنفس الطريقة اعلاه).
ووجدت ديزون (وهو من اباء الكمومى) ينص على ان الماضى كلاسيكى و المستقبل كمومى اذن هو يرفض فكرة الماضى الكمومى لكنه من الجهة الاخرى ينص على ان الحاضر و فصله بين الماضى الكلاسيكى و المستقبل الكمومى هو منبع الرصد الكمومى.
اذن بالنسبة الى ما اقترحه هنا بناءا على تناظر العكس فى الزمن فان الماضى كمومى (الذاكرة لاحتمية اى الماضى لاحتمى) و كذا المستقبل كمومى (الحرية لاحتمية اى المستقبل لاحتمى).
اذن نقبل حكم الوعى الفطرى بخصوص المستقبل فى انه حر نوعا ما لكن نرفض حكم الوعى الفطرى بخصوص الماضى فى انه ثابت.
اذن هذه النظرة التى اقدمها هنا مختلفة عن النظرات الفلسفية الثلاثة الطاغية بخصوص الماضى و المستقبل و الحاضر.
نظرة (الحاضرية presentism) فان الحاضر فقط حقيقة اما الماضى و المستقبل فهما غير حقيقيان.
نظرة (الابدية eternalism) فى ان كل من الماضى و المستقبل و الحاضر حقيقيون.
نظرة (نظرية الماضى-النامى growing-past theory) التى تنص على ان الماضى و الحاضر حقيقيان لكن المستقبل غير-حقيقى.
وكما يبدو فان فكرة (الماضى الكمومى) التى اقترحها هنا هى اقرب الى (الابدية).
The sphere and its rotation group
الكرة و زمرة الدورانات -الجزء الثالث
الكثير ممن يتابع هذه الصفحة يريد ان يدرس التناظر symmetry و الكثير منهم يريد ان يدرس نظرية الزمر group theory و نظرية التمثيلات representation theory و كثير منهم يعرف ان الثانية (نظرية الزمر) هى خادمة للاولى (التناظر).
وهذا الوعى بهذه الاهمية بين الاساتذة و الطلبة المتابعين هو من النتائج الايجابية الملموسة لهذه الصفحة فى دعوة الناس الى الفيزياء الاساسية الصحيحة و الصحية و الالتزام فى الدراسة بالموضوعية و المنهجية الصارمة و الابتعداد عن احلام اليقظة و الاوهام و الخزعبلات العلمية و الخرافات التعليمية.
اقول انه قديما عندما كنا نبدأ بدراسة او بتدريس نظرية الزمر نبدأ بالزمرة SU(2).
و اليوم مازلنا نقوم بنفس الشيء فانه عندما نبدأ بدراسة نظرية الزمر فاننا نبدأ بالزمرة SU(2) فليس هناك مهرب لاسباب ثمانية.
اولا الزمرة SU(2) هى ابسط زمرة غير-أبيلية non-abelian على الاطلاق (على الاقل بين زمر ليه Lie groups وهى الاكثر اهمية للفيزياء). و كل زمر ليه Lie groups الاخرى ستتم دراستها على نفس المنوال.
ثانيا الزمرة SU(2) هى اول زمرة تناظر لنظريات يانغ-ميلز Yang-Mills theories التى اهم نموذج للتناظرات المعيارية gauge symmetries. فقد كانت SU(2) هى اول زمرة معيارية غير-ابيلية اكتشفها يانغ Yang و ميلز Mills فى اوائل الخمسينات.
وقد بلغ يانغ اليوم 99 سنة من العمر وهو مازال يطالب بجائزة نوبل ثانية من اجل هذا الاكتشاف وهو يستأهله فعلا فالامر ليس هينا ابدا. فنظريات يانغ-ميلز تدخل فى صلب الثنائية الثقالية-المعيارية التى اهم اكتشافات نظريات الاوتار الممتازة.
و قد حصل يانغ على نوبل فى اواخر الخمسينات من اجل اكتشاف ما يسمى غصب violation تناظرات ال CP كشفا نظريا و تجريبيا (فهو مشارك فى الاتجاهين) وهذا نادر جدا جدا.
وهذا الغصب لهذا التناظر كان يرفضه الفيزيائى الساحر باولى رفضا قاطعا و لما تأكد الامر تجريبيا و نظريا قال باولى (السؤال يبقى لماذا ارتأت الطبيعة ان تغصب هذا التناظر). و الغصب فيزيائيا يعنى الكسر الشديد و ليس الصغير للتناظرات المتقطعة discrete symmetries الثلاثة C و T و CP.
اذن يانغ اخذ نوبل على غصب ال CP و يريد نوبل اخرى على نظريات يانغ-ميلز المعيارية.
ثالثا الزمرة SU(2) هى احدى الزمر المعيارية gauge goups الثلاثة التى تظهر فى النموذج القياسى standard model للجسيمات الاولية. وهى الزمرة الوحيدة من بينهم التى تخضع للانكسار التلقائى للتناظر spontaneous symmetry breaking بسب ارتباطها بالقوة النووية الضعيفة التى تصف الظواهر الاشعاعية لبيطا beta radioactivity.
رابعا الزمرة SU(2) هى زمرة السبين (عزم-اللف) و هى بالتالى الغطاء-المضاعف double-cover للزمرة الدورانية SO(3) فى ثلاثة ابعاد. اما فى اربعة ابعاد فان جبرية زمرة لورنتز Lorentz group لتناظرات فضاء-زمن مينكوفسكى Minkowski spacetime تساوى جمع مباشر direct sum لنسختين من جبرية su(2).
خامسا الزمرة SU(2) هى زمرة تناظر الايزوسبين isospin symmetry -وهى زمرة تناظر تقريبية ليست مضبوطة لكنها تسمح لنا بالنظر الى البروتون و النوترون او الكوارك u و الكوارك d على انهما جسيم واحد بالنسبة للقوة النووية القوية اللونية strong nuclear color force-.
سادسا الزمرة SU(2) هى زمرة التناظر الاساسية للثقالة الكمومية الحلقية loop quantum gravity و قد قدمتها الصائفة الماضية.
سابعا الزمرة SU(2) هى الزمرة الاساسية للكرة غير-التبديلية التى تعرف ايضا باسم الكرة الغائمة fuzzy sphere التى اهم فضاء غير-تبديلى non-commutative space فى الهندسة غير-التبديلية non-commutative geometry التى هى مقاربة اخرى للثقالة الكمومية تمتزج فيها نظرية الاوتار الممتازة مع برنامج كون Connes للهندسة التفاضلية.
سابعا التمديد المركب للزمرة SU(2) الحقيقية المتضامة real compact هى الزمرة SL(2,R) المركبة غير-المتضامة complex non-compact التى هى زمرة التناظر الاساسية لنظرية الاوتار الممتازة. هذه الزمرة ترتبط بالزمرة الدورانية SO(2,1) لشبه-الكرة pseudo-sphere التى هى الدوران الاقليدى Euclidean rotation لفضاء دى-سيتر-العكسى anti-de Sitter space فى بعدين AdS2.
فى هذا الفيديو اعدت محاضرة الامس بخط اكبر و شرح اوفى اقدم فيه الزمرة SU(2) و تمثيلاتها.
من اراد ان يفهم فليتابع. يصعب جدا فهم هذه الامور من المراجع مباشرة للمبتدئ.
مبرهنة السبين-و-الاحصاء
الكرة و زمرة الدورانات -الجزء الثانى
مبرهنة السبين-و-الاحصاء spin-statistics theorem تبدأ من الميكانيك الكمومى الذى ينص على ان:
اولا اذا أخذنا الكترون حول دائرة اى قمنا بدوران بزاوية 360 درجة فان دالة الموجة لا ترجع الى حالتها الابتدائية بل تكتسب اشارة ناقص. هذه الاشارة تسمى (طور السبين spin phase). وتفسير هذا الامر هو خواص الجسيمات تحت تأثير الدورانات و مفهوم السبين.
وثانيا اذا قمنا بتبادل الكترونين فان دالة الموجة الكلية تكتسب اشارة ناقص ايضا. هذه الاشارة تسمى (طور الاحصاء statistics phase). وتفسير هذا الامر هو المبدلات المتبادلة-عكسيا anti-commuting commutators التى تستخدم فى التكميم القانونى canonical quantization لمجال ديراك للالكترونات. وهذه الاشارة هى التى تؤدى الى مبدأ الاستبعاد لباولى و احصاء فرمى-ديراك.
مبرهنة السبين-و-الاحصاء تنص على ان اشارة الناقص الاولى هى نفسها اشارة الناقص ثانية اى انه لا يمكن من الناحية الطوبولوجية التفريق بين الدوران بزواية 360 درجة لجسيم واحد و التبادل بين جسيمين متطابقين identical particles من نفس النوع ولهذا يجب ان تكون دالة الموجة الخاصة بجسمين فرميونين متناظرة-عكسيا anti-symmetric.
هذه المبرهنة هى من أهم و أعقد و اقدس مبرهنات الميكانيك الكمومى و نظرية المجال الكمومى و البرهان يعتمد على التناظر (بالضبط التناظر الدورانى للكرة) و على الطوبولوجيا (طوبولوجيا زمرة الدوران).
فالتناظر يلعب دورا محوريا فى الميكانيك الكمومى كما فى الميكانيك الكلاسيكى لكن الميكانيك الكمومى يزيد على الميكانيك الكلاسيكى فى كونه يرى الطوبولوجيا. اذن الكمومى يرى التناظر و يرى الطوبولوجيا الموجودين فى الطبيعة.
هنا نقوم بحساب طور السبين انطلاقا من دراستنا للتمثيلات غير-القابلة للاختزال irreducible representations لزمرة الدورانات SO(3) او SU(2) ونرى كيف ان كل شيء يعتمد على كون SU(2) وهى زمرة السبين هى الغطاء-المضاعف double-cover للزمرة SO(3) وهى الزمرة الدورانية.
حساب التمثيلات غير-القابلة للاختزال يعتمد على لازمة شهيرة اخرى من الميكانيك الكمومى وهى لازمة شور Schur's lemma التى تنص ان تمثيلة معينة للزمرة هى تمثيلة غير-قابلة للاختزال اذا و فقط اذا كانت العناصر الوحيدة -ونسميها مؤثرات كازيمير Casimir's operators- التى تتبادل مع عناصر الزمرة هى عناصر متناسبة مع مصفوفة الوحدة).
ملحوظة 1: هذه امور اساسية للفيزيائى النظرى بل هى امور اساسية للفيزيائى و بخاصة زمرة الدورانات و مؤثرات العزم الحركى و من يجد نفسه قد درس الميكانيك الكمومى و لا يعرف هذه الامور فلا يلمن الا نفسه او استاذه او نفسه لانه لا يمكن ابدا القيام بالميكانيك الكمومى بأى شكل جدى دون المرور على هذه الاشياء. اذن اذا وجدتم الامر صعبا اكثر من اللزوم فاستدركوا الامر لان الامر ليس صعبا ابدا بل هو من السهل-الممتنع للميكانيك الكمومى.
ملحوظة 2: احد الاهداف من وراء هذه السلسة هى تبيان ان الميكانيك الكمومى ليس فلسفة فقط حتى لا يغتر البعض و يعتقد ان الميكانيك الكلام هو ذكاء كلامى و فلسفى فقط وينسون انه ادق نظرية تجريبيا و رياضيا وضعها الانسان.
ملحوظة 3: سألنى احدهم على اليوتوب هل يمكن ان تدرسنا فيزياء صلبة ثم سألنى هل تستطيع ان تدرسنا فيزياء صلبة. وحتى اتفادى انهيار السؤال اكثر من هذا اقول انه يمكننى ان ادرس الفيزياء الصلبة على اعلى مستوى ممكن بل يمكننى ان ادرس اى فيزياء اخرى و كثير من الرياضيات و الفلسفة. السؤال فقط هو الاهتمام فاننى لا اقدم هنا على الفايسبوك و على اليوتوب الا ما يهمنى و اهتم به شخصيا لاسباب مختلفة و لا يعنينى ما يريد او يهتم به اى شخص آخر.
الكرة و تناظراتها
الفنان اليونانى كان مهوس بالدائرة circle. وكانت ذروة الفن أن يرسم احدهم دائرة بشكل حر free style اى بدون ابرة و خيط.
والفيسلوف اليونانى كان يعشق الكرة sphere فتصور العالم انه مجموعة من الكرات سماها افلاك و عقول. فكان العالم المادى مجموعة من الافلاك منها الشمس و الزهرة و المريخ و غيرها. وكان العالم الميتافيزيقى مجموعة من العقول ابتداءا من العقل الاول و انتهاءا بالعقل الفعال.
اذن الدائرة و الكرة تلعبان دورا مهما فى الفكر اليونانى.
واخذ الشيخ الرئيس ابن سينا ثم الشيخ الشارح ابن رشد كل ذلك من عند اليونان و لم يغيرا شيئا.
اما حجة الاسلام الغزالى فقبل الى حد ما فكرة العقول لانها تنظير جيد لفكرة النبوة -وهذا تبناه فيما بعد الشيخ الاكبر ابن عربى-.
لكن الغزالى رفض تأثير الافلاك فى الارض -وهذا هو مبدأ التنجيم الاول لكنه ايضا هو مبدأ التزامن synchronicity اللاسببى الاول الذى كان يبحث فيه عالم النفس غير-الفرويدى جونغ Jung و عالم الفيزياء النظرية باولى Pauli. اذن اقول علينا اعادة النظر فى هذا الامر فهى ليست قضية تنجيم بالضرورة بل هى قد تكون قضية علم نفس تبحث فى الوعى من طرق مبتدعة بديعة. وهذا احدث ارائى الجديدة جدا.
اذن الدائرة (فى بعد واحد) و الكرة (فى بعدين) تلعبان دورا حاسما فى الفلسفة اليونانية و الى قدر كبير فى الفلسفة الاسلامية باطيافها الاساسية (سيناوية, رشدية, غزالية و أكبرية).
لكنهما يلعبان ايضا دورا حاسما فى الفيزياء الحديثة و نقصد بها الفيزياء النظرية التى هى اساس الفيزياء و فهمها الحقيقى الاساسى النهائى.
فالدائرة ترتبط بجبرية فيراسورو Virasoro algebra فى نظرية الاوتار الممتازة وهذا امر نعود اليه فى فرصة اخرى ان شاء الله.
لكن الكرة من خلال زمرة تناظرها ترتبط بالتناظرات الدورانية rotational symmetries فى ثلاثة ابعاد و بالتناظرات المعيارية gauge symmetries بشحنتين لونيتين color charges و بتناظرات القوة الكهرومغناطيسية electroweak symmetries و بتناظرات الايزوسبين isospin symmetries النووية و بتناظرات اخرى كثيرة يصعب عدها و حصرها.
وقبل ان اذكر خواص الكرة باختصار اذكر ايضا ان تعميم الكرة فى بعدين الى الكرة فى ثلاثة ابعاد (التى تهم الكوسمولوجيا الاساسية و الاوتار الممتازة و غيرها) و التعميم ايضا الى الكرات فى ابعاد عليا (التى تهم نظرية المجال الكمومى و الميكانيك الاحصائى و نظرية الاوتار الممتازة) موجود وسهل التنفيذ.
فالذى يحدث ان زمرة الدوران التناظرى تتعمم من الزمرة SO(3) فى ثلاثة ابعاد الى الزمرة SO(d) فى d بعد.
الكرة المغموسة embedded فى الفضاء الاقليدى R^3 هى مجموعة النقاط التى تبعد عن مركز بنفس المسافة. وهى تعطى بدلالة الاحداثيات x1 و x2 و x3 للفضاء الاقليدى بالشرط فى المعادلة الاولى حيث ان r هو نصف قطر الدائرة (صححوا المعادلة فان نصف القطر هو r صغير و ليس R كبير حتى لا يختلط الامر مع العنصر الدورانى. لكن اذا لم تخشوا الاختلاط فيمكنكم الرمز اليهما بنفس الرمز كما فعلت).
اذن مجموعة التحويلات النقطية التى تترك الكرة متناظرة هى مجموعة التحويلات النقطية المتعامدة orthogonal و منه الرمز O و الخاصة special ومنه الرمز S التى تشكل زمرة ليه Lie group متضامة compact تسمى الزمرة المتعامدة الخاصة special orthogonal group و يرمز لها ب SO(3).
و كلمتى المتعامدة و الخاصة تعنيان الشرطين فى المعادلة الثانية.
اذن التحويلات هى مجموعة الدورانات على الكرة و هى نفسها مجموعة الدورانات فى الفضاء الاقليدى.
اذن الدورانات على الكرة هى ايزومتريات على الفضاء الاقليدى (لكن الفضاء الاقليدى عكس الكرة له ايزومتريات اخرى هى الانسحابات translations من جهة و الدفوعات boosts من جهة اخرى اما التحاكيات و التشابهات التى هى التحويلات الكونفورمال conformal فهى تغير المترية بضربها بمعامل) و الايزمترية isometry هى التحويل النقطى الذى يحفظ المترية.
بعبارة اخرى فان الكرة لا تتميز الا بتناظرات الدوران اما الفضاء الاقليدى فيتميز بالاضافة الى ذلك بتناظرات الانسحابات و الدفوعات (وكذا الكونفورمال وكل هذه هى جزء من تناظرات الديفيومورفيزم diffeomorphisms التى تغير المترية و لهذا لن نتكلم عنها هنا).
الآن الزمرة SO(3) للكرة مرتبطة بزمرة اخرى اشهر منها هى الزمرة SU(2) وهى الزمرة الاحادية الخاصة special unitary group ذات رتبة rank تساوى 2 و الرمز U يعنى الاحادية اما الرمز S فيعنى خاصة.
هذه الزمرة تلعب دورا حاسما فى التناظرات المعيارية gauge symmetries. و كلمتى الاحادية و الخاصة تعنيان الشرطين فى المعادلة الثالثة.
العلاقة بين الزمرة الاحادية SU(2) و الزمرة المتعامدة SO(3) تتلخص فى كون SU(2) هى غطاء-مضاعف double-cover للزمرة SO(3) وهذا يعنى ان الاولى تغطى الثانية مرتين.
اى الدوران ب 360 درجة (دورة كاملة) فى ال SU(2) يكافئ القيام بدوران ب 720 (دورتين كاملتين) فى ال SO(3).
الزمرة الاحادية SU(2) تعرف بالضبط زمرة السبين spin group فى ثلاثة ابعاد التى يرمز لها ب Spin (3) فهما بالضبط نفس الزمرة رغم اختلاف الرمز.
لهذا فاننا عندما نقوم بتبادل الكترونين فى الفضاء الاقليدى (نريد للاول أن يأخذ مكان الثانى و للثانى ان يأخذ مكان الاول) و لأن المبادلة permulation تعنى دوران ب 360 درجة فى فضاء ال SO(3) اى الفضاء الاقليدى الحقيقى فاننا نحصل على اشارة ناقص (كونهما الكترونين اى فرميونين بعزم-لف او سبين يساوى نصف).
هذه الاشارة ناقص هى نفسها اشارة الناقص التى تقابل الدوران المكافئ ب 180 درجة فى فضاء ال SU(2) الذى هو فضاء زمرة السبين spin(3) اى الفضاء التى تنتمى اليه دالة موجة الالكترون.
اذن كون SU(2) او spin(3) يغطى SO(3) مرتين فان 180 درجة فى الاولى تكفى لتنفيذ دوران كامل بزاوية 360 درجة (اى مبادلة) فى الفضاء الاقليدى.
هذا هو مبدأ الاستبعاد لباولى Pauli exclusion principle و هذا هو مبرهنة السبين-و-الاحصاء spin-statistics theorem لنظرية المجال الكمومى و هذا هو احصاء فيرمى-ديراك Fermi-Dirac statistics للميكانيك الاحصائى وهى من اعمق الخواص الفيزيائية التى تخص فيزياء الجسيمات المتطابقة identical particles التى هى جواهر فردة او اجزاء لا تتجزء بأتم معنى للكلمة.
هذه الاشياء كلها ترجع الى مبدأ اكثر اساسية منهم جميعا هو مبدأ التناظر.
أى كون زمرة السبين spin(3) او الزمرة الاحادية SU(2) تغطى الزمرة الدورانية للكرة SO(3) مرتين و ليس مرة واحدة.
هذه التغطية-المضاعفة للزمرة SO(3) من قبل الزمرة SU(2) تكتب رياضيا على الشكل فى المعادلة الرابعة حيث ان Z2 هى زمرة التبديلات permuation group بعنصرين 1 و -1.
رغم اختلاف ال SO(3) من جهة و ال SU(2) او spin(3) من جهة اخرى اختلافا طويولوجيا topologically عن بعضهما البعض فانهما متكافئان تماما من الناحية الموضعية locally و تEولدهما نفس الجبرية algebra و هى اشهر جبرية بين جميع جبريات ليه Lie algebras وهى الجبرية الاحادية الخاصة التى يرمز لها ب su(2) او الجبرية التعامدية الخاصة التى يرمز لها ب so(3) وهما متساويان تماما كما فى المعادلة الخامسة.
هاته الجبرية تولدها generated مؤثرات العزم الحركى angular momentum operators الشهيرة من الميكانيك الكمومى التى يرمز بها ب J1 و J2 و J3 وتحقق علاقات التبادل commutation relations فى المعادلة السادسة.
جبرية ليه su(2) هى الفضاء الشعاعى المماس tangent vector space للزمرة SU(2) او SO(3) عند مصفوفة الوحدة.
اذن اى عنصر U من الزمرة الاحادية الخاصة SU(2) فاننا نتحصل عليه باستخدام التطبيق الاسى exponential map اى نضرب كل عزم حركى Ji بزاوية الدوان θi الخاصة بالدوران الذى يولده ذلك العزم الحركى ثم نجمع ثم نضرب الجميع فى العدد التخيلى البحت ثم نأخذ التطبيق الاسى كما فى المعادلة السابعة.
ما يسمى التمثيلة الاساسيةfundamental representations و تسمى ايضا السبينور spinor نحصل عليها باخذ مؤثرات العزم الحركى Ji تساوى مصفوفات باولى Pauli matrices تقسيم 2 اذن باولى يجب ان يدخل فى كل موضوع.
اما العنصر R من الزمرة SO(3) المكافئى للعنصرين U و -U من الزمرة SU(2) (تذكروا التغطية-المضاعفة) فنحصل عليه من المعادلة الثامنة حيث σi ى مصفوفات باولى.
String Theory 3: Dirichlet and Neumann Boundary Conditions
نناقش الفرق بين الشروط الحدية لدريشليه و الشروط الحدية لنيومان فى حالة وتر غير-نسبى.
من اجل هذا الهدف نشتق لاغرانجية الجملة, معادلة الحركة و الشروط الحدية الممكنة على الازاحة العرضية للوتر ثم نشتق الحلول العامة لمعادلة الموجة مع اهتمام اكثر بالحلول الاهتزازية.
ملاحظة: قمنا فى هذا الفيدو بتقريب الكامرا اكثر لكن انصح بمشاهدة الفيدو على شاشة كبيرة. الهاتف النقال لن يصلح و الهاتف النقال لم يخلق فى كل الاحوال للعلم و التعليم.
الاكشن او الفعل
الموجود الكلاسيكى لا يريد ان يخرج الا الى الوجود الحقيقى وهذا من ضيق افقه -وهذا هو حال الوعى الانسانى - لكن الموجود الكمومى يريد بالاضافة الى الخروج الى الوجود الحقيقى ان يتعدد فى الوجود الكمونى -وهذا هو حال الوعى الطبيعى و وعى الانسان الممتاز-.
سؤال مهم جدا على اليوتوب كنت انتظر ان يسأله احد على الفايسبوك 5 سنوات و لم يطرحه احد فاعتقدت ان الامر بديهى لغير المختص مثلما هو بديهى للمختص المحنك فى الرياضيات و الفيزياء.
السؤال ماهو (الأكشن) او (الفعل) من الناحية الفيزيائية?
هذا سؤال مهم جدا و صعب جدا و جوابه متعدد الاوجه.
ولو كنتم لاحظتم -والطالب الذى لم يلاحظ هذا فعليه ان يقبل ان هذا ليس مجاله- اننا دائما نبدأ من (الأكشن) او (الفعل) فى (نظرية المجال الكمومى) و فى (نظرية الاوتار الممتازة). مثلا انظروا الفيديوهات الاخيرة فى المادتين فستدركون محورية هذا المفهوم فى تحقيق بداية سليمة و مؤسسة للموضوع قيد الاهتمام.
اضع الجواب فى اربعة نقاط.
اولا الاكشن او الفعل action هو دالية و ليس دالة وهى تساوى التكامل فى الزمن على اللاغرانجية. و الدالية functional هى دالة فى دالة اى ان المتغير هو دالة. فى هذه الحالة الفعل هو دالة فى الطريق اى المسار فى فضاء التمثيل الذى هو فى حد ذاته دالة فى الزمن اذن الفعل هو دالية و ليس دالة. بعبارة اخرى الفعل او الاكشن هو دالة فى عدد لانهائى من المتغيرات.
فضاء التمثيل configuration space قد يكون هو الفضاء الفيزيائى و فى هذه الحالة فان الطريق path هو فعلا مسار. لكن فى اغلب الاحيان فان فضاء التمثيل هو التعميم للفضاء الفيزيائى وفى هذه الحالة فان الطريق هو التعميم للمسار.
ثانيا الاكشن مرتبط عضويا باللاغرانجية التى هى الاخرى ليس لها معنى فيزيائى واضح.
اللاغرانجية Lagrangian كما تعلمون هى الدالة الاساسية على فضاء التمثيل (الذى هو فضاء الحالات الفيزيائية) مثلما ان الهاميلتونية Hamiltonian هى الدالة الاساسية على فضاء الطور phase space (وهو تعبير آخر عن فضاء الحالات الفيزيائية).
نظرية النسبية تنسجم أكثر مع فضاء التمثيل و الميكانيك الكمومى ينسجم اكثر مع فضاء الطور لكنهما (فضاء التمثيل و فضاء الطور) متكافئان تماما فيزيائيا اما النسبية و الميكانيك الكمومى فهما غير منسجمان حتى (لكن قد يكونان متكافئان فى الاخير. تذكروا حدسية ال ER=EPR لمالداسينا Maldacena و ساسكيند Susskind التى تعتمد على نظرية الاوتار الممتازة).
اللاغرانجية هى الفرق بين الطاقة الحركية و الطاقة الكامنة اما الهاميلتونية فهى فى اغلب الجمل الفيزيائية (لكن ليس دائما) تساوى الطاقة الكلية اى تساوى الطاقة الحركية زائد الطاقة الكامنة وهما مرتبطان معا (اى اللاغرانجية و الهاميلتونية) عبر تحويل لوجوندر Legendre transform الذى يتم فيه تحويل السرعة الى زخم.
ثالثا المعنى الفيزيائى الاقرب الى الحدس و البديهة وهو الذى ركز عليه فايمان Feynman فى محاضراته و هو فيزيائى-و-بيداغوجى محنك هو ان الفعل هو الدالة التى تأخذ أصغر قيمة لها عندما نأخذ الطريق يساوى الطريق الكلاسيكى الحقيقى للحركة. و الكلاسيكية و الحقيقية كلمتان مترادفان فى هذا المضمار.
هذه الفكرة تسمى مبدأ الفعل الاصغرى لهاميلتون Hamilton's principle of least action و قد كان فايمان متحمسا جدا له فى كتاباته الشعبية -قبل عهود الفايسبوك و اليوتوب- بشكل زائد عن الحد لكن من يفهم جيدا يعرف ان حماس الرجل كان فى محله.
ومبدأ الفعل الاصغرى هو تعميم للمبدأ البصرى فى ان الضوء بين نقطتين يسلك اقصر طريق رابط بينهما وهو الطريق المستقيم. بنفس الطريقة فان الجملة الفيزيائية مهما كانت تريد ان تسلك الطريق الاقصر بين حالتين فيزيائيتين و الاقصر هنا يعنى الطريق الذى فعله اى قيمة الاكش فيه اقل شيء ممكن.
رابعا من الناحية الفيزيائية فان ادق مفهوم للاكشن هو أنه دالة هاميلتون الرئيسية Hamilton's principle function التى تحل معادلة هامليتون-جاكوبى Hamilton-Jacobi equation. معادلة هاميلتون-جاكوبى فى الميكانيك الكلاسيكى هى التى ستتحول الى معادلة شرودينغر بعد التكميم quantization.
اذن الأكشن او الفعل هو الدالة المولدة generating function للتحويل القانونى canonical transformation الذى يأخذ جميع الزخوم المرفقة conjugate momenta و يساويها بقيمها المحفوظة conserved values.
خامسا فى الميكانيك الكمومى مفهوم الاكشن او الفعل هو مفهوم بسيط جدا فالفعل هناك هو طور phase دالة الموجة wave function.
اذن سعة احتمال probability amplitude اى حادث فيزيائى يساوى دالة الموجة المرفقة بالطريق فى فضاء التمثيل الذى يقابل ذلك الحادث الفيزيائى.
من جهة فان سعة الاحتمال هى بالضبط دالة الموجة.
ومن الجهة الاخرى فان الطريق المقابل للحادث قيد الدراسة تقابله قيمة معينة للاكشن او الفعل و بأخذ الدالة الاسية للعدد التخيلى المحض i مضروب فى هذا الفعل او الاكشن نحصل على دالة الموجة.
اذن الفعل هو طور دالة الموجة. وهذا اقوى مفهوم فيزيائى للاكشن و من المفارقة ان هذا المفهوم لا يتضح الا بعد الذهاب الى الميكانيك الكمومى.
اذن مبدأ الفعل الاصغرى الذى ينص على ان الجملة تريد ان تسلك الطريق الذى قيمة الاكشن او الفعل فيه اصغرية يعنى ان دالة الموجة تريد ان تكون اعظمية اى اقرب الى الواحد.
و منه فان كون الفعل يريد ان يكون من الناحية الكلاسكية (التى هى الحالة التقريبية) اصغريا يعنى ان دالة الموجة (التى هى الحقيقة) تريد ان تكون اعظمية و منه فان سعة الاحتمال (الذى يعبر عن الوجود الكمونى) يريد ان يكون اعظميا.
الجملة الفيزيائية من الناحية الكلاسكية تريد ان تخرج الى الوجود (الفعل يريد ان يكون اصغرى) لكن دالة الموجة لانها كمومية فانها تعرف بالاضافة الى الطريق الكلاسيكى عدد لانهائى آخر من الطرق الممكنة التى تريد ان تجربها جميعها.
الموجود الكلاسيكى لا يريد ان يخرج الا الى الوجود الحقيقى وهذا من ضيق افقه -وهذا هو حال الوعى الانسانى - لكن الموجود الكمومى يريد بالاضافة الى الخروج الى الوجود الحقيقى ان يتعدد فى الوجود الكمونى -وهذا هو حال الوعى الطبيعى و وعى الانسان الممتاز-.
وهذه الفكرة الاخيرة هى تحويرى الشخصى على نظرات ابن عربى و كيرغارد و نيتشة و جونغ و باولى و غيرهم من الوجوديين الدينيين و الانسانيين و النفسيين و الماديين لكن كل شيء آخر فى هذا المنشور هما فيزياء و رياضيات محضتين على اعلى درجات الدقة.
String Theory 2: The Relativistic Point Particle
مادة او كورس (نظرية الاوتار) الذى نقدمه هذا الفصل فى جامعة عنابة هو الاول من نوعه فى الجزائر و الاول من نوعه فى العالم العربى.
واذا كان هناك استثناء فنرجوا اعلامنا به.
الموضوع معقد لهذا نتبنى تجربة زويبخ فى ال MIT وهى تجربة فريدة من نوعها فى تدريس المادة لطلبة السنة ثالثة ليسانس بدون افتراض معرفة سابقة لا بالنسبية العامة و لا بنظرية المجال الكمومى.
اذن قررنا خوض التجربة مع طلبة السنة اولى ماستر جزائرى (يعنى سنة رابعة ليسانس امريكى) وهذا عوض خوض تجربة (فلسفة الفيزياء) معهم -وهو المقرر الرسمى- لاننا نرى ان (نظرية الاوتار الممتازة) هى فيزياء-و-رياضيات بحتة بدون اى تفلسف اضافى اذن هى اكثر فائدة للجميع.
لكن ايضا بسبب الاعتراضات العلمية-و-غير-العلمية البريئة-و-المغرضة ضد نظرية الاوتار بين صفوف الطلبة و الاساتذة و العامة (لكن اكثر هذه المهاترات هو ايديولوجى لا يمت الى الفيزياء بصلة يعتمد على مهاترات غريبة من اشخاص غربيين ذوى تأسيس علمى رصين لكن اضاعتهم الايديولوجيا و الجرى وراء الشهرة على قنوات اليوتوب و اروقة الفايسبوك).
هذه المحاضرة هى المحاضرة الثانية و اذا وفقنا الله فاننا لن نتوقف حتى نصل الى بر الأمان فى نظرية الوتر و تعرفون الحقيقية على حقيقتها.
هذه المحاضرة الثانية تخص (الجسيم النقطى النسبى).
اذن نريد ان ندرس حركة الجسيم النسبى point particle الحر فى فضاء-زمن مينكوسفكى Minkowski spacetime للنسبية الخاصة, ثم كيفية تفاعل هذا الجسيم الحر مع مجال او حقل كهرومغناطيسى electromagnetic field, ثم نقوم بدراسة حركة الجسيم النسبى الحر فى متشعب manifold فضاء-زمن منحنى curved (اى كيف يتفاعل مع الحقل الثقالى فى اطار النسبية العامة).
اذن من اجل هذا الهدف نراجع الميكانيك اللاغرانجى بسرعة ثم نشتق فعل action الجسيم النقطى النسبى الحر, ثم نشتق فعل الجسيم النقطى النسبى المتفاعل مع مجال كهرومغناطيسى, ثم نشتق فعل الجسيم النقطى النسبى المتفاعل مع مترية metric كيفية فى متشعب فضاء-زمن منحنى.
هذه مسألة بسيطة و البعض قد يتسائل لماذا نهتم بهذا الموضوع فى نظرية الاوتار و الجواب بكل بساطة ان فعل الوتر النسبى سيتم بناؤه بنفس الطريقة و سيتميز بنفس التناظر الذى يتميز به فعل الجسيم النقطى النسبى ألا وهو (الصمود تحت تأثير الاستوساط reparametrization invariance) وهذه خاصة من الممتنع-السهل من النوع الخطير جدا -على الفهم و فى الدور الذى تلعبه- التى يجب فهمها اذا اردنا ان ننطلق فى نظرية الاوتار على اساس متين صلب لا يتزعزع.
Subscribe to:
Posts (Atom)