هل يمكن ان يكون هناك ايمان مع برهان.
سيقولون نعم بل لا يجب ان يكون الايمان الا مع البرهان.
لكن هل يمكن فعلا ان يكون الايمان صعبا رغم توفر البرهان.
سيقولون لا بل هو جحود.
اقول نعم يمكن ان يكون هناك برهان بل قد يكون هناك برهان صارم لكن لا يمكن ان يتحقق الايمان او على الاقل نجد صعوبة شديدة فى هذا الايمان.
اقدم مثال رياضى.
اذا اخذنا 1+1 نجد اثنان.
ثم اذا أخذنا 1+1+1 نجد ثلاثة.
ثم اذا اخذنا 1+1+1+1 نجد اربعة.
وهكذا.
نسأل ماذا يساوى لو اخذنا 1+1+1+...عدد لانهائى من المرات.
أكيد الجواب سيكون مالانهاية.
لكن الجواب الصحيح هو ناقص نصف.
والغرابة بل الاستحالة هنا مضاعفة: اولا النتجية سالبة رغم اننا نجمع فى اعداد موجبة ثم اننا وجدنا كسر مع اننا نجمع فى اعداد صحيحة. ثم تأتى الغرابة الثالثة اننا وجدنا عدد منته و ليس المالانهاية.
و البرهان يعتمد على ما يسمى دالة زيطا ريمان Riemann zeta function وهى ملكة كل الدوال بدون استثناء وهى دالة تدخل فى الميكانيك الكمومى و نظرية الحقول و نظرية الاوتار و فى الرياضيات الاساسية وكان هذا اساس اكتشافها من قبل احد اكبر الرياضيين فى التاريخ قاطبة ريمان Riemann الذى حسب بأصفارها (تصوروا) عدد الاعداد الاولية داخل الاعداد الطبيعية.
اذن هى دالة مثل الروح لكثير من الفيزياء و الرياضيات وهى من اغرب ما يكون.
اذن لدينا برهان رياضى يقينى على ان 1+1+1 الى مالانهاية يساوى ناقص نصف لكننا (لكننى شخصيا) لا استطيع ان أؤمن بها و اصدقها التصديق الايمانى اما التصديق الرياضى العقلى بمنطق الرياضيات التى نعرفها فالبرهان ليس فيه اى شائبة.
يبدأ ريمان بتعريف دالة زيطا ريمان بالسلسلة فى الصورة الاولى من اجل القيم الأكبر من 1 ل s و برهن على أن هذه السلسة متقاربة مطلقا absolutely convergent من اجل هذه القيم.
اذن الدالة معرفة فى هذا النطاق الموجب من المستوى المركب complex plane.
ثم برهن ريمان على ان هذه الدالة قابلة للتمديد المستمر analytic continuation الى كل نطق (جمع نطاق) المستوى المركب باستثناء القيمة s=1 اين تتباعد diverges فعلا الدالة و تصبح غير معرفة.
اذن القيمة s=1 هى القطب pole الوحيد لدالة زيطا ريمان و المتبقى residue فى هذا القطب يساوى بالضبط واحد.
اما كيف يتم التمديد المستمر فهو يتم عن طريق كتابة دالة زيطا ريمان على شكل تكامل حقيقى (بدلالة دالة غاما gamma function) كما فى الصورة الثانية ثم تمديد هذه التكامل الى المستوى المركب بمحاذاة المحيط contour الذى فى الصورة الثالثة.
هذا المحيط يتشكل من الجزء C1 (اللون الاخضر) الذى يبدأ من زائد مالانهاية تحت ما يسمى القطع الفرع branch cut ثم يلتف حول النقطة الفرع branch point التى هى الصفر ثم يعود الى مالانهاية فوق القطع الفرع.
(القطع الفرع branch cut هو الخط الذى تأخذ فيه الدالة عدة قيم اى تصبج متعددة-القيم multi-valued و لهذا فه يسمى فرع لان الدالة تتفرع عنده الى عدة ورقات sheet اى سطوح مختلفة مقابلة للقيم المختلفة. و فى هذه الحالة فان القطع الفرع هو نصف المستقيم الحقيقى الموجب. و القطع الفرع يسمى قطع لانه يجب علينا قطعه اى نزعه من مجال التعريف).
ثم يواصل المحيط سيره عبر الدائرة الكبرى C2 فى الصورة.
نبرهن على ان التكامل بمحاذاة هذه الدائرة الكبرى هو صغير جدا كلما كبر نصف قطر الدائرة.
اذن يمكن ان نكتب دالة زيطا ريمان على شكل تكامل مركب بمحاذاة المحيط المغلق C1+C2 كما فى الصورة الرابعة.
وهذا يعنى انه يمكننا استخدام مبرهنة المتبقيات residue theorem التى لا تتطلب الا الاقطاب التى هى فى هذه الحالة هى النقاط الحمراء فى الصورة (الاقطاب و المتبقيات موجودة ايضا فى الصورة الرابعة).
بعد اجراء التكامل باستخدام مبرهنة المتبقيات نحصل على العلاقة فى الصورة الخامسة التى تعرف دالة زيطا ريمان بالنسبة للقيم s التى هى اصغر من الصفر بدلالة دالة زيطا ريمان بالنسبة للقيم s التى هى اكبر من واحد (وهى القيم التى ابتدأنا بها).
وهذا من اشهر أمثلة التمديد المستمر التى سمحت لنا بتمديد تعريف الدالة (دالة زيطا ريمان) من القيم الموجبة الى القيم السالبة.
اول تطبيق لهذه العلاقة الخامسة يعطينا المساواة
1+1+1 الى مالانهاية يساوى نصف.
ثانى تطبيق (وهو الأشهر فى الفيزياء) يعطينا المساواة
1+2+3+4+5+...الى مالانهاية يساوى ناقص واحد على 12.
ثالث تطبيق نحصل على مجموع المربعات اى
1+4+9+16 الى مالانهاية يساوى صفر !!!
وهذه العلاقات الثلاثة موجودة فى الصورة الثلاث الاخيرة.
وهذا من سحر الرياضيات التى لا استطيع شخصيا ان أؤمن به قلبيا لكن الايمان العقلى فنعم فهو لا شائبة فيه.
من اجل التفصيل انظروا منشور المدونة
https://badisydri.blogspot.com/…/the-riemann-zeta-function.…
الرسم التوضحي ادناه للمحيط هو اول رسم تنتجه ابنتى التلميذة بالثانوى بعد ان اكتشفت انها يمكن ان ترسم هكذا اشكال توضيحية على الحاسوب.
ترقبوا ايضا فيديو البوتوب ان شاء الله الذى سأشرح فيه كيف نحصل بالضبط ليس انطلاقا من التمديد المستمر الرياضى (الغامض جدا جدا فى حالات السلاسل المالانهائية) بل انطلاقا من التسوية القطعية cutoff regularization الفيزيائية اذن كيف نحصل على هذه القيم )ناقص نصف و ناقص واحد على 12 و صفر) من تلك المجاميع اللانهائية التى لا تحتوى الا على اعداد طبيعية موجبة.
سيقولون نعم بل لا يجب ان يكون الايمان الا مع البرهان.
لكن هل يمكن فعلا ان يكون الايمان صعبا رغم توفر البرهان.
سيقولون لا بل هو جحود.
اقول نعم يمكن ان يكون هناك برهان بل قد يكون هناك برهان صارم لكن لا يمكن ان يتحقق الايمان او على الاقل نجد صعوبة شديدة فى هذا الايمان.
اقدم مثال رياضى.
اذا اخذنا 1+1 نجد اثنان.
ثم اذا أخذنا 1+1+1 نجد ثلاثة.
ثم اذا اخذنا 1+1+1+1 نجد اربعة.
وهكذا.
نسأل ماذا يساوى لو اخذنا 1+1+1+...عدد لانهائى من المرات.
أكيد الجواب سيكون مالانهاية.
لكن الجواب الصحيح هو ناقص نصف.
والغرابة بل الاستحالة هنا مضاعفة: اولا النتجية سالبة رغم اننا نجمع فى اعداد موجبة ثم اننا وجدنا كسر مع اننا نجمع فى اعداد صحيحة. ثم تأتى الغرابة الثالثة اننا وجدنا عدد منته و ليس المالانهاية.
و البرهان يعتمد على ما يسمى دالة زيطا ريمان Riemann zeta function وهى ملكة كل الدوال بدون استثناء وهى دالة تدخل فى الميكانيك الكمومى و نظرية الحقول و نظرية الاوتار و فى الرياضيات الاساسية وكان هذا اساس اكتشافها من قبل احد اكبر الرياضيين فى التاريخ قاطبة ريمان Riemann الذى حسب بأصفارها (تصوروا) عدد الاعداد الاولية داخل الاعداد الطبيعية.
اذن هى دالة مثل الروح لكثير من الفيزياء و الرياضيات وهى من اغرب ما يكون.
اذن لدينا برهان رياضى يقينى على ان 1+1+1 الى مالانهاية يساوى ناقص نصف لكننا (لكننى شخصيا) لا استطيع ان أؤمن بها و اصدقها التصديق الايمانى اما التصديق الرياضى العقلى بمنطق الرياضيات التى نعرفها فالبرهان ليس فيه اى شائبة.
يبدأ ريمان بتعريف دالة زيطا ريمان بالسلسلة فى الصورة الاولى من اجل القيم الأكبر من 1 ل s و برهن على أن هذه السلسة متقاربة مطلقا absolutely convergent من اجل هذه القيم.
اذن الدالة معرفة فى هذا النطاق الموجب من المستوى المركب complex plane.
ثم برهن ريمان على ان هذه الدالة قابلة للتمديد المستمر analytic continuation الى كل نطق (جمع نطاق) المستوى المركب باستثناء القيمة s=1 اين تتباعد diverges فعلا الدالة و تصبح غير معرفة.
اذن القيمة s=1 هى القطب pole الوحيد لدالة زيطا ريمان و المتبقى residue فى هذا القطب يساوى بالضبط واحد.
اما كيف يتم التمديد المستمر فهو يتم عن طريق كتابة دالة زيطا ريمان على شكل تكامل حقيقى (بدلالة دالة غاما gamma function) كما فى الصورة الثانية ثم تمديد هذه التكامل الى المستوى المركب بمحاذاة المحيط contour الذى فى الصورة الثالثة.
هذا المحيط يتشكل من الجزء C1 (اللون الاخضر) الذى يبدأ من زائد مالانهاية تحت ما يسمى القطع الفرع branch cut ثم يلتف حول النقطة الفرع branch point التى هى الصفر ثم يعود الى مالانهاية فوق القطع الفرع.
(القطع الفرع branch cut هو الخط الذى تأخذ فيه الدالة عدة قيم اى تصبج متعددة-القيم multi-valued و لهذا فه يسمى فرع لان الدالة تتفرع عنده الى عدة ورقات sheet اى سطوح مختلفة مقابلة للقيم المختلفة. و فى هذه الحالة فان القطع الفرع هو نصف المستقيم الحقيقى الموجب. و القطع الفرع يسمى قطع لانه يجب علينا قطعه اى نزعه من مجال التعريف).
ثم يواصل المحيط سيره عبر الدائرة الكبرى C2 فى الصورة.
نبرهن على ان التكامل بمحاذاة هذه الدائرة الكبرى هو صغير جدا كلما كبر نصف قطر الدائرة.
اذن يمكن ان نكتب دالة زيطا ريمان على شكل تكامل مركب بمحاذاة المحيط المغلق C1+C2 كما فى الصورة الرابعة.
وهذا يعنى انه يمكننا استخدام مبرهنة المتبقيات residue theorem التى لا تتطلب الا الاقطاب التى هى فى هذه الحالة هى النقاط الحمراء فى الصورة (الاقطاب و المتبقيات موجودة ايضا فى الصورة الرابعة).
بعد اجراء التكامل باستخدام مبرهنة المتبقيات نحصل على العلاقة فى الصورة الخامسة التى تعرف دالة زيطا ريمان بالنسبة للقيم s التى هى اصغر من الصفر بدلالة دالة زيطا ريمان بالنسبة للقيم s التى هى اكبر من واحد (وهى القيم التى ابتدأنا بها).
وهذا من اشهر أمثلة التمديد المستمر التى سمحت لنا بتمديد تعريف الدالة (دالة زيطا ريمان) من القيم الموجبة الى القيم السالبة.
اول تطبيق لهذه العلاقة الخامسة يعطينا المساواة
1+1+1 الى مالانهاية يساوى نصف.
ثانى تطبيق (وهو الأشهر فى الفيزياء) يعطينا المساواة
1+2+3+4+5+...الى مالانهاية يساوى ناقص واحد على 12.
ثالث تطبيق نحصل على مجموع المربعات اى
1+4+9+16 الى مالانهاية يساوى صفر !!!
وهذه العلاقات الثلاثة موجودة فى الصورة الثلاث الاخيرة.
وهذا من سحر الرياضيات التى لا استطيع شخصيا ان أؤمن به قلبيا لكن الايمان العقلى فنعم فهو لا شائبة فيه.
من اجل التفصيل انظروا منشور المدونة
https://badisydri.blogspot.com/…/the-riemann-zeta-function.…
الرسم التوضحي ادناه للمحيط هو اول رسم تنتجه ابنتى التلميذة بالثانوى بعد ان اكتشفت انها يمكن ان ترسم هكذا اشكال توضيحية على الحاسوب.
ترقبوا ايضا فيديو البوتوب ان شاء الله الذى سأشرح فيه كيف نحصل بالضبط ليس انطلاقا من التمديد المستمر الرياضى (الغامض جدا جدا فى حالات السلاسل المالانهائية) بل انطلاقا من التسوية القطعية cutoff regularization الفيزيائية اذن كيف نحصل على هذه القيم )ناقص نصف و ناقص واحد على 12 و صفر) من تلك المجاميع اللانهائية التى لا تحتوى الا على اعداد طبيعية موجبة.
No comments:
Post a Comment