مبرهنة السبين-و-الاحصاء

الكرة و زمرة الدورانات -الجزء الثانى

مبرهنة السبين-و-الاحصاء spin-statistics theorem تبدأ من الميكانيك الكمومى الذى ينص على ان:

اولا اذا أخذنا الكترون حول دائرة اى قمنا بدوران بزاوية 360 درجة فان دالة الموجة لا ترجع الى حالتها الابتدائية بل تكتسب اشارة ناقص. هذه الاشارة تسمى (طور السبين spin phase). وتفسير هذا الامر هو خواص الجسيمات تحت تأثير الدورانات و مفهوم السبين.

وثانيا اذا قمنا بتبادل الكترونين فان دالة الموجة الكلية تكتسب اشارة ناقص ايضا. هذه الاشارة تسمى (طور الاحصاء statistics phase). وتفسير هذا الامر هو المبدلات المتبادلة-عكسيا anti-commuting commutators التى تستخدم فى التكميم القانونى canonical quantization لمجال ديراك للالكترونات. وهذه الاشارة هى التى تؤدى الى مبدأ الاستبعاد لباولى و احصاء فرمى-ديراك.

مبرهنة السبين-و-الاحصاء تنص على ان اشارة الناقص الاولى هى نفسها اشارة الناقص ثانية اى انه لا يمكن من الناحية الطوبولوجية التفريق بين الدوران بزواية 360 درجة لجسيم واحد و التبادل بين جسيمين متطابقين identical particles من نفس النوع ولهذا يجب ان تكون دالة الموجة الخاصة بجسمين فرميونين متناظرة-عكسيا anti-symmetric.

هذه المبرهنة هى من أهم و أعقد و اقدس مبرهنات الميكانيك الكمومى و نظرية المجال الكمومى و البرهان يعتمد على التناظر (بالضبط التناظر الدورانى للكرة) و على الطوبولوجيا (طوبولوجيا زمرة الدوران).

فالتناظر يلعب دورا محوريا فى الميكانيك الكمومى كما فى الميكانيك الكلاسيكى لكن الميكانيك الكمومى يزيد على الميكانيك الكلاسيكى فى كونه يرى الطوبولوجيا. اذن الكمومى يرى التناظر و يرى الطوبولوجيا الموجودين فى الطبيعة.

هنا نقوم بحساب طور السبين انطلاقا من دراستنا للتمثيلات غير-القابلة للاختزال irreducible representations لزمرة الدورانات SO(3) او SU(2) ونرى كيف ان كل شيء يعتمد على كون SU(2) وهى زمرة السبين هى الغطاء-المضاعف double-cover للزمرة SO(3) وهى الزمرة الدورانية.

حساب التمثيلات غير-القابلة للاختزال يعتمد على لازمة شهيرة اخرى من الميكانيك الكمومى وهى لازمة شور Schur's lemma التى تنص ان تمثيلة معينة للزمرة هى تمثيلة غير-قابلة للاختزال اذا و فقط اذا كانت العناصر الوحيدة -ونسميها مؤثرات كازيمير Casimir's operators- التى تتبادل مع عناصر الزمرة هى عناصر متناسبة مع مصفوفة الوحدة).

ملحوظة 1: هذه امور اساسية للفيزيائى النظرى بل هى امور اساسية للفيزيائى و بخاصة زمرة الدورانات و مؤثرات العزم الحركى و من يجد نفسه قد درس الميكانيك الكمومى و لا يعرف هذه الامور فلا يلمن الا نفسه او استاذه او نفسه لانه لا يمكن ابدا القيام بالميكانيك الكمومى بأى شكل جدى دون المرور على هذه الاشياء. اذن اذا وجدتم الامر صعبا اكثر من اللزوم فاستدركوا الامر لان الامر ليس صعبا ابدا بل هو من السهل-الممتنع للميكانيك الكمومى.

ملحوظة 2: احد الاهداف من وراء هذه السلسة هى تبيان ان الميكانيك الكمومى ليس فلسفة فقط حتى لا يغتر البعض و يعتقد ان الميكانيك الكلام هو ذكاء كلامى و فلسفى فقط وينسون انه ادق نظرية تجريبيا و رياضيا وضعها الانسان.

ملحوظة 3: سألنى احدهم على اليوتوب هل يمكن ان تدرسنا فيزياء صلبة ثم سألنى هل تستطيع ان تدرسنا فيزياء صلبة. وحتى اتفادى انهيار السؤال اكثر من هذا اقول انه يمكننى ان ادرس الفيزياء الصلبة على اعلى مستوى ممكن بل يمكننى ان ادرس اى فيزياء اخرى و كثير من الرياضيات و الفلسفة. السؤال فقط هو الاهتمام فاننى لا اقدم هنا على الفايسبوك و على اليوتوب الا ما يهمنى و اهتم به شخصيا لاسباب مختلفة و لا يعنينى ما يريد او يهتم به اى شخص آخر.