الكرة و تناظراتها

 

الفنان اليونانى كان مهوس بالدائرة circle. وكانت ذروة الفن أن يرسم احدهم دائرة بشكل حر free style اى بدون ابرة و خيط.

والفيسلوف اليونانى كان يعشق الكرة sphere فتصور العالم انه مجموعة من الكرات سماها افلاك و عقول. فكان العالم المادى مجموعة من الافلاك منها الشمس و الزهرة و المريخ و غيرها. وكان العالم الميتافيزيقى مجموعة من العقول ابتداءا من العقل الاول و انتهاءا بالعقل الفعال.

اذن الدائرة و الكرة تلعبان دورا مهما فى الفكر اليونانى.

واخذ الشيخ الرئيس ابن سينا ثم الشيخ الشارح ابن رشد كل ذلك من عند اليونان و لم يغيرا شيئا.

اما حجة الاسلام الغزالى فقبل الى حد ما فكرة العقول لانها تنظير جيد لفكرة النبوة -وهذا تبناه فيما بعد الشيخ الاكبر ابن عربى-.

لكن الغزالى رفض تأثير الافلاك فى الارض -وهذا هو مبدأ التنجيم الاول لكنه ايضا هو مبدأ التزامن synchronicity اللاسببى الاول الذى كان يبحث فيه عالم النفس غير-الفرويدى جونغ Jung و عالم الفيزياء النظرية باولى Pauli. اذن اقول علينا اعادة النظر فى هذا الامر فهى ليست قضية تنجيم بالضرورة بل هى قد تكون قضية علم نفس تبحث فى الوعى من طرق مبتدعة بديعة. وهذا احدث ارائى الجديدة جدا.

اذن الدائرة (فى بعد واحد) و الكرة (فى بعدين) تلعبان دورا حاسما فى الفلسفة اليونانية و الى قدر كبير فى الفلسفة الاسلامية باطيافها الاساسية (سيناوية, رشدية, غزالية و أكبرية).

لكنهما يلعبان ايضا دورا حاسما فى الفيزياء الحديثة و نقصد بها الفيزياء النظرية التى هى اساس الفيزياء و فهمها الحقيقى الاساسى النهائى.

فالدائرة ترتبط بجبرية فيراسورو Virasoro algebra فى نظرية الاوتار الممتازة وهذا امر نعود اليه فى فرصة اخرى ان شاء الله.

لكن الكرة من خلال زمرة تناظرها ترتبط بالتناظرات الدورانية rotational symmetries فى ثلاثة ابعاد و بالتناظرات المعيارية gauge symmetries بشحنتين لونيتين color charges و بتناظرات القوة الكهرومغناطيسية electroweak symmetries و بتناظرات الايزوسبين isospin symmetries النووية و بتناظرات اخرى كثيرة يصعب عدها و حصرها.

وقبل ان اذكر خواص الكرة باختصار اذكر ايضا ان تعميم الكرة فى بعدين الى الكرة فى ثلاثة ابعاد (التى تهم الكوسمولوجيا الاساسية و الاوتار الممتازة و غيرها) و التعميم ايضا الى الكرات فى ابعاد عليا (التى تهم نظرية المجال الكمومى و الميكانيك الاحصائى و نظرية الاوتار الممتازة) موجود وسهل التنفيذ.

فالذى يحدث ان زمرة الدوران التناظرى تتعمم من الزمرة SO(3) فى ثلاثة ابعاد الى الزمرة SO(d) فى d بعد.

الكرة المغموسة embedded فى الفضاء الاقليدى R^3 هى مجموعة النقاط التى تبعد عن مركز بنفس المسافة. وهى تعطى بدلالة الاحداثيات x1 و x2 و x3 للفضاء الاقليدى بالشرط فى المعادلة الاولى حيث ان r هو نصف قطر الدائرة (صححوا المعادلة فان نصف القطر هو r صغير و ليس R كبير حتى لا يختلط الامر مع العنصر الدورانى. لكن اذا لم تخشوا الاختلاط فيمكنكم الرمز اليهما بنفس الرمز كما فعلت).

اذن مجموعة التحويلات النقطية التى تترك الكرة متناظرة هى مجموعة التحويلات النقطية المتعامدة orthogonal و منه الرمز O و الخاصة special ومنه الرمز S التى تشكل زمرة ليه Lie group متضامة compact تسمى الزمرة المتعامدة الخاصة special orthogonal group و يرمز لها ب SO(3).

و كلمتى المتعامدة و الخاصة تعنيان الشرطين فى المعادلة الثانية.

اذن التحويلات هى مجموعة الدورانات على الكرة و هى نفسها مجموعة الدورانات فى الفضاء الاقليدى.

اذن الدورانات على الكرة هى ايزومتريات على الفضاء الاقليدى (لكن الفضاء الاقليدى عكس الكرة له ايزومتريات اخرى هى الانسحابات translations من جهة و الدفوعات boosts من جهة اخرى اما التحاكيات و التشابهات التى هى التحويلات الكونفورمال conformal فهى تغير المترية بضربها بمعامل) و الايزمترية isometry هى التحويل النقطى الذى يحفظ المترية.

بعبارة اخرى فان الكرة لا تتميز الا بتناظرات الدوران اما الفضاء الاقليدى فيتميز بالاضافة الى ذلك بتناظرات الانسحابات و الدفوعات (وكذا الكونفورمال وكل هذه هى جزء من تناظرات الديفيومورفيزم diffeomorphisms التى تغير المترية و لهذا لن نتكلم عنها هنا).

الآن الزمرة SO(3) للكرة مرتبطة بزمرة اخرى اشهر منها هى الزمرة SU(2) وهى الزمرة الاحادية الخاصة special unitary group ذات رتبة rank تساوى 2 و الرمز U يعنى الاحادية اما الرمز S فيعنى خاصة.

هذه الزمرة تلعب دورا حاسما فى التناظرات المعيارية gauge symmetries. و كلمتى الاحادية و الخاصة تعنيان الشرطين فى المعادلة الثالثة.

العلاقة بين الزمرة الاحادية SU(2) و الزمرة المتعامدة SO(3) تتلخص فى كون SU(2) هى غطاء-مضاعف double-cover للزمرة SO(3) وهذا يعنى ان الاولى تغطى الثانية مرتين.

اى الدوران ب 360 درجة (دورة كاملة) فى ال SU(2) يكافئ القيام بدوران ب 720 (دورتين كاملتين) فى ال SO(3).

الزمرة الاحادية SU(2) تعرف بالضبط زمرة السبين spin group فى ثلاثة ابعاد التى يرمز لها ب Spin (3) فهما بالضبط نفس الزمرة رغم اختلاف الرمز.

لهذا فاننا عندما نقوم بتبادل الكترونين فى الفضاء الاقليدى (نريد للاول أن يأخذ مكان الثانى و للثانى ان يأخذ مكان الاول) و لأن المبادلة permulation تعنى دوران ب 360 درجة فى فضاء ال SO(3) اى الفضاء الاقليدى الحقيقى فاننا نحصل على اشارة ناقص (كونهما الكترونين اى فرميونين بعزم-لف او سبين يساوى نصف).

هذه الاشارة ناقص هى نفسها اشارة الناقص التى تقابل الدوران المكافئ ب 180 درجة فى فضاء ال SU(2) الذى هو فضاء زمرة السبين spin(3) اى الفضاء التى تنتمى اليه دالة موجة الالكترون.

اذن كون SU(2) او spin(3) يغطى SO(3) مرتين فان 180 درجة فى الاولى تكفى لتنفيذ دوران كامل بزاوية 360 درجة (اى مبادلة) فى الفضاء الاقليدى.

هذا هو مبدأ الاستبعاد لباولى Pauli exclusion principle و هذا هو مبرهنة السبين-و-الاحصاء spin-statistics theorem لنظرية المجال الكمومى و هذا هو احصاء فيرمى-ديراك Fermi-Dirac statistics للميكانيك الاحصائى وهى من اعمق الخواص الفيزيائية التى تخص فيزياء الجسيمات المتطابقة identical particles التى هى جواهر فردة او اجزاء لا تتجزء بأتم معنى للكلمة.

هذه الاشياء كلها ترجع الى مبدأ اكثر اساسية منهم جميعا هو مبدأ التناظر.

أى كون زمرة السبين spin(3) او الزمرة الاحادية SU(2) تغطى الزمرة الدورانية للكرة SO(3) مرتين و ليس مرة واحدة.

هذه التغطية-المضاعفة للزمرة SO(3) من قبل الزمرة SU(2) تكتب رياضيا على الشكل فى المعادلة الرابعة حيث ان Z2 هى زمرة التبديلات permuation group بعنصرين 1 و -1.

رغم اختلاف ال SO(3) من جهة و ال SU(2) او spin(3) من جهة اخرى اختلافا طويولوجيا topologically عن بعضهما البعض فانهما متكافئان تماما من الناحية الموضعية locally و تEولدهما نفس الجبرية algebra و هى اشهر جبرية بين جميع جبريات ليه Lie algebras وهى الجبرية الاحادية الخاصة التى يرمز لها ب su(2) او الجبرية التعامدية الخاصة التى يرمز لها ب so(3) وهما متساويان تماما كما فى المعادلة الخامسة.

هاته الجبرية تولدها generated مؤثرات العزم الحركى angular momentum operators الشهيرة من الميكانيك الكمومى التى يرمز بها ب J1 و J2 و J3 وتحقق علاقات التبادل commutation relations فى المعادلة السادسة.

جبرية ليه su(2) هى الفضاء الشعاعى المماس tangent vector space للزمرة SU(2) او SO(3) عند مصفوفة الوحدة.

اذن اى عنصر U من الزمرة الاحادية الخاصة SU(2) فاننا نتحصل عليه باستخدام التطبيق الاسى exponential map اى نضرب كل عزم حركى Ji بزاوية الدوان θi الخاصة بالدوران الذى يولده ذلك العزم الحركى ثم نجمع ثم نضرب الجميع فى العدد التخيلى البحت ثم نأخذ التطبيق الاسى كما فى المعادلة السابعة.

ما يسمى التمثيلة الاساسيةfundamental representations و تسمى ايضا السبينور spinor نحصل عليها باخذ مؤثرات العزم الحركى Ji تساوى مصفوفات باولى Pauli matrices تقسيم 2 اذن باولى يجب ان يدخل فى كل موضوع.

اما العنصر R من الزمرة SO(3) المكافئى للعنصرين U و -U من الزمرة SU(2) (تذكروا التغطية-المضاعفة) فنحصل عليه من المعادلة الثامنة حيث σi ى مصفوفات باولى.