مبرهنة نوثر

مبرهنة نوثر هى واحدة من أهم المبرهنات اساسية و محورية فى نظرية الحقول الكلاسيكية و الكمومية..
وكما تعرفون فاننى أحب تتبع هكذا نوع من المبرهنات..
ونوثر نسبة الى ايمى نوثر Emmy Noether هى رياضية ألمانية كانت قد برهنت على هذه المبرهنة عام 1915.
المبرهنة نصها بسيط جدا محتواها الفيزيائى أبسط و برهانها من البساطة ان المبرهنة عموما تدرس فى بدايات مادة نظرية الحقول الكمومية او حتى فى الميكانيك الكمومى النسبى و فى الميكانيك الكلاسيكى.
تقول نوثر ان اى زمرة تناظرات مستمرة لجملة فيزيائية يجب و لا بد ان تكون مرفقة بانحفاظ لمقدار فيزيائى يسمى الشحنة بالنسبة لهذا التناظر.
وهنا شرط ضرورى و كافى بمعنى ان التناظر يؤدى الى انحفاظ و ان الانحفاظ يؤدى الى تناظر.
و التناظر symmetry يُعبر عنه بمجموعة من التحويلات النقطية point transformations تشكل فيمابينها زمرة group رياضية التى تترك الجملة بمعنى اللاغرانجية Lagrangian -اى الفعل action- و الهاميلتونية Hamiltonian-اى الطاقة- و حالاتها صامدة invariant اى لا متغيرة وهذا عندما نسمح لمتغيراتها الديناميكية ان تتغير تحت تأثير هذه التحويلات النقطية..
اما الانحفاظ conservation فيعبر عنه بشعاع-رباعى four-vector يكون تباعده divergence يساوى الصفر و هذا يعنى ان المركبة الزمنية time-component لهذا الشعاع وتسمى الشحنة charge تكون منحفظة conserved-اى لا تتغير- فى الزمن.
اعطى أربعة امثلة شهيرة جدا جدا -لا نعرف لها أى استثناء فى كامل الكون المشهود-:
*
اولا التناظر تحت تأثير الانسحابات فى الزمن..اذا كانت جملة ما متناظرة تحت تأثير الانسحاب فى الزمن فان هذا يعنى مباشرة من مبرهنة نوثر ان طاقة الجملة منحفظة لا تتغير فى الزمن.
الطاقة هى الشحنة اذن المرفقة بالانسحابات فى الزمن.
ثانيا التناظر تحت تأثير الانسحابات فى الفضاء...اذا كانت جملة ما متناظرة تحت تأثير الانسحابات فى الفضاء فان هذا يعنى مباشرة من مبرهنة نوثر ان كمية حركة الجملة منحفظة لا تتغير فى الزمن.
كمية الحركة هى اذن الشحنة المرفقة بالانسحابات فى الفضاء.
ثالثا التناظر تحت تأثير الدورانات فى الفضاء..اذا كانت جملة ما متناظرة تحت تأثير التناظرات فى الفضاء فان هذا يعنى مباشرة من مبرهنة نوثر ان العزم الحركى منحفظ لا يتغير فى الزمن.
اذن العزم الحركى هو الشحنة المرفقة بالدورانات فى الفضاء.
رابعا التناظر تحت تأثير التناظرات المعيارية gauge symmetries -وهى المسؤولة عن القوة الكهرومغناطيسية و القوة النووية القوية و القوة النووية الاشعاعية-......
وهذه التناظرات عكس الانسحابات فى الفضاء-زمن و الدورانات الفضائية التى تؤثر فى الفضاء العادى الذى نعيش فيه فان التناظرات المعيارية تؤثر فى فضاء الحقل الكهرومغاطيسى و الحقل النووى القوى و الحقل النووى الاشعاعى و لهذا قد يصعب تصورها..
اذن اذا كانت جملة متناظرة تحت تأثير التحويلات المعيارية التى تؤثر فى فضاء الحقل المعيارى gauge field و ليس الفضاء الفيزيائى فانه مباشرة نستنتج من مبرهنة نوثر ان الشحنة الكهربائية-التى تعرفونها- و الشحنة النووية القوية -التى تسمى اللون color- و الشحنة النووية الاشعاعية -التى تسمى الطعم flavor- تكون منحفظة اى لا تتغير فى الزمن...
اذن الشحنة الكهرومغناطيسية هى الشحنة المرفقة بالتناظرات المعيارية الكهرومغناطيسية..
ولهذا السبب سميت الكمية الفيزيائية المنحفظة تحت تأثير اى تناظر بالشحنة لانها هى فعلا الشحنة فى حالة الكهرومغناطيسية..

هناك ايضا استثناء عميق بخصوص القوة النووية الاشعاعية حيث ان هذه القوة غير متناظرة معياريا بل تناظرها منكسر تلقائيا sponatneously broken..والانكسار التقائى هو تناظر مخفى اذن يطبق عليه مبرهنة نوثر لكن بشكل معقد قليلا..
اذن هذه هى مبرهنة نوثر..
والبرهان عليها بسيط..
نبدأ من الفعل الذى يصف الحركة الكلاسيكية للجملة وهو عبارة عن تكامل اللاغرانجية على الزمن وهى دالة تشبه الهامليتونية -اى الطاقة- لكنها تساوى الطاقة الحركية ناقص الطاقة الكامنة و ليس الطاقة الحركية زائد الطاقة الكامنة كما فى الهاميلتونية..
هذه اللاغرانجية تكتب بدلالة المتغيرات الديناميكية او ما يسمى ايضا درجات حرية الجملة degrees of freedom.
نفترض ان هذه المتغيرات تحقق معادلات الحركة لأولر و لا غرانج Euler-Lagrange equations.
التناظر يُعبر عنه بتحويلات نقطية تؤثر على المتغيرات الديناميكية و تغُيرها بشكل معين. نعتبر عموما تحويلات نقطية لامتناهية فى الصغر infinitesimal نعوض بها فى اللاغرانجية..
التناظر يعنى اننا نفترض ان الفعل لا يتغير تحت تأثير هذا التغيير اللامتناهى فى الصغر فى المتغيرات الديناميكية.
الحساب البسيط يؤدى مباشرة الى اكتشاف ان هناك شعاع-رباعى منحفظ يسمى التيار current -تذكروا أصل التسمية الذى جاء من الكهرومغناطيسية- وانحفاظ هذا الشعاع يعبر عنه بالقول ان تباعد هذا الشعاع (اى اشتقاقه) يساوى الصفر.
المركبة الصفرية لشعاع التيار هى الشحنة و المركبة المكانية هى التيار الذى تعرفونه ..
اذن من كون تباعد الشعاع-الرباعى يساوى الصفر نحصل على شرط ثبات الشحنة فى الزمن اى انحفاظها..
وهذا هو البرهان..

الأفق: معضلة و ثلاثة حلول

معضلة ضياع المعلومات information loss paradox فى الثقب الأسود هى ناجمة بكل بساطة عن وجود أفق horizon حول الثقب...
فهناك ايضا ضياع للمعلومات عند احتراق كومة من التبن لكنه ضياع ناجم عن التحبيب الخشن coarse-graining اى هو ضياع ترموديناميكى عملى و ليس مثل الذى يحدث فى الثقب الاسود الذى الضياع فيه ناجم عن التحبيب الدقيق fine-graining اى كمومى اساسى..
أما ماهو الفرق بين العملى و الاساسى?..
فان العملى هو ليس ضياع مبدأى بل ناجم عن الصعوبة العملية فى استرجاع المعلومات اما الاساسى فهو ضياع مبدأى اى انه من الناحية المبدأية يستحيل ان نسترجع تلك المعلومات..
و هذا الفرق بسبب غياب أفق حول كومة التبن او اى جملة حرارية اخرى حتى النجوم و المجرات ووجود افق حول الثقب الاسود..
فالثقب الاسود هو فعلا اعظم و اغرب مستخرجات الفيزياء النظرية فهو الجنة بالنسبة للبعض و جهنم بالنسبة للبعض الآخر..
أذن ماهو الافق?
الفضاء-زمن نفسه ينتهى عند الأفق..فالافق هو حدود الفضاء-زمن بالنسبة للراصد الخارجى أى نحن..
من اجل التعريف الاكثر تقنية انظر منشور البارحة..
اذن اذا تولد زوج من الجسيمات عند الافق فى حالة تشابك كمومى قصوى فان احدهما يمكنه انه يعبر الافق و يسقط فى الثقب -وهذه هى المعلومة الضائعة- اما الجسيم الآخر فانه سيبتعد عن الثقب و يظهر لنا كإشعاع هاوكينغ نسبة الى هاوكنيغ الذى اكتشف هذا الاشعاع فى السبعينات و الذى كان قد توفى منذ فترة قصيرة..
اذن اشعاع هاوكينغ هو جزء من القصة..
اما الجزء الآخر فانه يذهب خلف الثقب..
وهو جزء يضيع على نظرية الحقل لان الفضاء-زمن المعرفة عليه نظرية الحقل تقع حدوده عند الافق و ليس أبعد من ذلك...
لكن نظرية الحقل هى وصف للفيزياء و ليست الفيزياء..
هل الجزء الذى ذهب خلف الثقب يضيع فعلا اما لا?
خاصة ان الثقب الاسود مع تواصل انبعاث اشعاع هاوكينغ منه سيتبخر بالكامل ولو بعد زمن طويل جدا يساوى بالضبط عمر الكون..
فالثقب الاسود هو آخر ما يبقى فى هذا الكون قبل الموت الحرارى النهائى..
الجواب الذى تقدمه نظرية الحقل و نظرية الوتر هو لا..فالمعلومات لا تضيع بعد تبخر الثقب الاسود..
وعدم ضياع المعلومات هى خاصية مشفرة فى أحادية unitarity الميكانيك الكمومى او كون التطور فى الزمن حسب معادلة شرودينغر يأخذ حالة نقية pure state الى حالة نقية..
الحل الاول هو مبدأ تكامل الثقب الاسود black hole correspondence principle..فى هذا المبدأ هناك ثنائية بين مبدأ التكافؤ للنسبية العامة و مبدأ الاحادية للميكانيك الكمومى..
فالراصد الواقف خارج الثقب يرى المعلومات التى سقطت فى الثقب متموضعة على ما يسمى الافق الممتد stretched horizon و هو غشاء فيزيائى يبعد بمسافة بلانكية Plankian distance عن الافق تتجمع عليه كل الجسيمات الساقطة..
وهو غشاء يتميز بدرجة حرارة و يحمل كل انتروبى الثقب الاسود..
اذن بالنسبة للراصد الخارجى الافق هو فعلا مكان مميز لانه يحمل عليه كل المعلومات الساقطة منسجما بذلك مع الاحادية و عدم ضياع المعلومات..
اما بالنسبة للراصد الساقط فهو لا يرى شيئا مميزا عندما يعبر الافق -منسجما مع مبدأ التكافؤ- و المعلومات ليست منتشرة على الافق بل تعبر الافق فى نقطة معينة و هى تذهب فعلا الى المفردة..
اذن الذى يراه الراصد الداخلى و الذى يراه الراصد الخارجى شيئان متناقضان كلاسيكيا لكنهما شيئان متكاملان كموميا لانه لا يوجد راصد يرى الامرين معا ولهذا سمى مبدأ تكامل الثقب الاسود..
الحل الثانى اكتشفه بولشينسكى Polchinski-الذى توفى هو الآخر منذ فترة قصيرة- و زملائه..فقد لاحظوا ان مبدأ تقابل الثقب الاسود غير كافى..فالجسيم الساقط داخل الثقب يجب ان يكون متشابكا كموميا مع الجسيم الذى خرج كاشعاع هاوكينغ..
لكن هذا الجسيم الساقط -حتى لا تضيع المعلومات- يجب عليه ايضا ان يكون متشابكا مع اشعاع هاوكينغ السابق اى الذى سبق تشكل الزوج قيد الدراسة..
والاسوء من هذا ان كل هذه التشابكات هى تشابكات قصوية وهنا يدخل مبدأ آخر هو مبدأ عدم تعدد التشابك principle of monogamy of entanglement..
فعندنا هنا جسيم متشابك قصويا مع زوجه و متشابك قصويا فى نفس الوقت مع اشعاع هاوكينغ السابق وهذا ممنوع حسب مبدأ عدم تعدد التشابك...
اذن الحل الاقل سوءا حسب مارولف Marolf -وهو زميل بولشينسكى- ان نقطع التشابك بين الجسيم الساقط و اشعاع هاوكنيغ السابق..
وهذا يتسبب فى تحرير طاقة هائلة عند الافق تسمى الجدار النارى firewall..
بعبارة اخرى الافق هو مكان مميز جدا جدا فهو سطح غير سلس not smooth عكس متطلبات النسبية العامة..
هذا الحل يكسر اذن مبدأ التكافؤ بشكل سيء جدا. ..
هذا الحل ايضا و لو ضمنيا يفترض انه لا يوجد شيء اسمه داخل الثقب الاسود اصلا فالفضاء-زمن هناك قد يكون غير معرف بالمرة..
الحل الثالث هو للعجوز العبقرى ساسكيند Susskind و الشاب الاكثر عبقرية مالداسينا Maldacena وهو يسمى حدسية ال ER=EPR وهو ينص على ان اى تشابك كمومى بين جسمين (وهو الرمز EPR) هو فى الحقيقة عبارة عن جسر ثقالى و يسمى ايصا ثقب دودى wormehole (وهو الرمز ER)..
ساسكيند يقول انه لا نحتاج بالضرورة الى افق ساخن و جدار نارى لانه لدينا مثال مضاد..
يمكن لثقين اسودين مرتبطين بجسر ثقالى لايتشتاين و روزن Rosen او اختصارا جسر ER ان يكونا متشابكين كموميا قصويا و تشابكهما يعطى بالضبط بزوج اينشتاين, بودلسكى Podolsky و روزن او اختصارا زوج EPR ..
هذا مثال مضاد لان كل ثقب اسود هو متشابك قصويا مع الآخر و فى نفس الوقت متشابك قصويا مع جسم ثالث هو اشعاع هاوكنيغ الخارج منه..
اذن لو رجعنا الى الوضعية الاصلية فان الجسيم الذى سقط داخل الثقب سيكون متشابكا كموميا مع زوجه الجسيم الذى خرج كاشعاع..
لكن من الجهة الاخرى يمكن للجسيم الذى سقط ان يكون متشابكا مع اشعاع هاوكينغ السابق عبر الارتباط به بجسور ER ...

اذن التصور الذى نحصل عليها هو اخطبوط مثل الذى فى الصورة الذى يربط بين الجسيمات الساقطة و اشعاع هاوكينغ..
اذن هذا نوع آخر من التشابك الكمومى الذى يربط مناطق الفضاء-زمن نفسها ببعضها البعض--فى هذه الحالة داخل و خارج الثقب- وليس تشابك كمومى بين الجسيمات نفسها و بالتالى فهو مختلف عن التشابك الكمومى الذى يربط بين الازواج المتخلقة عند الافق و بالتالى فانه لا يخضع لمبدأ عدم التعدد..
هذا النوع من التشابك الكمومى الذى يربط مناطق الفضاء-زمن المختلفة ببعضها البعض لم ينتبه اليه بولشينسكى و زملائه لانهم افترضوا ضمنا ان داخل و خارج الثقب منطقتين مستقلتين عن بعضهما البعض..
اذن الجسيمات الساقطة و جسيمات اشعاع هاوكينغ متشابكة كموميا بسبب التشابك الكمومى للفضاء-زمن (داخل و خارج) نفسه و لا نحتاج الى التشابك الكمومى الذى يؤدى الى افق غير سلس و جدار نارى..
فالجسيمات الساقطة حديثا داخل الثقب و الجسيمات التى خرجت فى اشعاع هاوكنيغ السابق لا تحتاج ان تمر ضرورة عبر الافق لانها متواصلة معا مباشرة عبر جسور اينشاين و روزن...
هذا الحل الثالث اذن يحتوى ايضا على احادية الميكانيك الكمومى لكنه ينُقذ ايضا مبدأ التكافؤ عكس الجدار النارى..

وهذه فى المحصلة أعظم انجازات اينشتاين بعد موته ب 60 سنة ان الفكرة (تجربة ال EPR) التى اراد بها زعزعة بنيان الميكانيك الكمومى و الفكرة الاخرى (حلول ال ER لمعادلات اينشتاين) التى كادت ان تزعزع بنيان النسبية العامة (فهى قد تؤدى الى السفر عبر الزمن و غيرها من انواع الهذيان) هما الفكرتان الاساسيتان فى أهم مقترح لتوحيد الميكانيك الكمومى و النسبية العامة الذى تقدمه نظرية الوتر عبر اعظم انجازاتها على الاطلاق المقابلة الثقالية-المعيارية gauge-gravity duality بين فضاءات دى سيتر العكسية anti-de Sitter spaces و نظريات الحقول الكونفورمال conformal field theories او اختصارا ال التقابل AdS/CFT ...

فضاء-زمن شوارشيلد

نتصور ثقب أسود فى نقطة معينة من الفضاء-زمن..
الثقب الاسود عكس النجوم لا يتميز الا بعدد قليل جدا و محدود جدا من الاعداد او المقادير-التى تسمى ايضا شعر hair- و التى تُميزه وهى الكتلة و الشحنة و عزم اللف (وهذه تسمى مبرهنة اللاشعر no-hair theorem) عكس النجوم التى تتميز بشعر كثيف اى نحتاج الى تمييز حالتها الى عدد ضخم من الاعداد..
اذا كانت الشحنة منعدمة و الثقب لا يدور حول نفسه فان الثقب اذن لا يتميز الا بالكتلة وهو يسمى اذن ثقب اسود شوراشيلد Schwarzschild و شوارشليد هو الألمانى الذى مات فى الجبهة خلال الحرب العالمية الاولى بعيد اكتشاف هذا الحل بقليل...
اذن للتبسيط نتصور ثقب اسود شوراشيلد فى نقطة معينة من الفضاء-زمن..
هذا الثقب يحيط به أفق -وهو سطح كرة متمركزة حول الثقب- يفصل بين الداخل و الخارج..
هذا السطح الكروى هو ليس فقط سطح اعتبارى لكنه سطح فيزيائى يتميز بدرجة حرارة و غيرها وهذا لا يمكن تفسيره بالاعتبارات الكلاسيكية التى سنذكرها فى هذا المنشور لكن يحب الذهاب الى الثقب الاسود الكمومى حتى نرى ذلك بوضوح...
واكثر من هذا فان هذا السطح هو سطح شبيه-ضوء light-like او صفرى null و ليس سطح شبيه-زمن time-like و لا سطح شبيه-مكان space-like...
وهذا مثل المخروط الضوئى ligh-cone فى النسبية الخاصة...
اذن الحوادث داخل الافق و الحوادث خارج الافق لا يمكن ان تؤثر فيمابينها سببيا مثلما نعرف من النسبية الخاصة أن الحوادث داخل المخروط و خارج المخروط لا تؤثر فيما بينها سببيا..
اذن الراصد الخارجى لا يمكن ابدا ان يتواصل مع الراصد الداخلى وعلى هذا يعتمد مبدأ تكامل الثقب الاسود black hole complementarity principle..
الآن هناك داخل الثقب و هناك خارج الثقب..
التفكير المنطقى و اللغوى يقول انه فعلا لا يوجد الا داخل او خارج..
لكن هذا غير صحيح رياضيا..
فقد تمكن كل من كروسكل Kruskal و زيكرس Szekeres من تمديد حل شوارشيلد الى اقصى حد للحصول على فضاء-زمن شوارشيلد و هذا اكثر من ثقب اسود شوارشيلد..
ففضاء-زمن شوارشيلد الذى تحصل عليه كروسكل و زيكرس يتشكل من اربعة ارباع مختلفة تماما التى فى الصورة..
الربع الأول I الذى نعيش فيه هو الربع الذى يقابل خارج الثقب..
والربع II هو الذى يقابل داخل الثقب..
وهذا نعرفه..
لكن هناك ايضا ربع ثالث III مشابه تماما للربع الاول I الذى نعيش فيه لكنه مقطوع سببيا عنا بالكلية وهو ايضا ربع موجود خارج الثقب الاسود..
وكون الربع الاول I مقطوع سببيا عن الربع الثالث III يعنى ان الراصد الموجود فى الربع الاول لا يستطيع ان يتواصل مع الراصد الذى يعيش فى الربع الثالث الا بارسال اشارة الى داخل الثقب تتقاطع مع اشارة اخرى يكون قد أرسلها بدوره الراصد الذى يعيش فى الربع الثالث الى داخل الثقب...
وهناك ايضا ربع رابع IV هو نظير داخل الثقب الاسود وهو يسمى الثقب الابيض white hole و يمكن للراصدين الموجودين هناك ان يأتوا الى منطقتنا فى الربع الاول لكن لا يمكننا ان نذهب الى هناك ابدا..وهذا مثلما انه يمكن للراصدين الذين يعيشون فى ربعنا الاول الذهاب الى الربع الثانى (الثقب الاسود) لكن لا يمكن لاى راصد من الربع الثانى اى من داخل الثقب ان يأتى الى منطقتنا..
اذن هذا الربع الرابع يشبه جدا الانفجار الاكبر وهو المعكوس فى الزمن للثقب الاسود و لهذا يسمى بالثقب الابيض..
اذن الفيزياء النظرية معتمدة على الرياضيات تقول -عكس اللغة و المنطق- ان هناك خارج الثقب (الربع الاول) و داخل الثقب (الربع الثانى) وانه يمكننا ان نذهب الى داخل الثقب لكن لا شيء من الداخل يمكنه ان يأتى الينا..
لكن هناك ايضا خارج آخر (الربع الثالث) الذى ليس لنا معه اى تواصل الا بالذهاب داخل الثقب الاسود و عدم امكانية الرجوع مطلقا بعد ذلك..
وهناك ايضا داخل آخر (الربع الرابع) الذى لا يمكننا ايضا الذهاب اليه لكنه يمكن ان يأتى الينا..
هذه البنية السببية لفضاء-زمن شوارشيلد ملخصة فى مخطط بنروز Penrose diagram الذى فى الصورة..
هذه الارباع الاربعة مقسومة بالخطوط القطرية فى الصورة وهى بالضبط الافق..
فهناك افقان و ليس افق واحد هما الافق المستقبلى future horizon -الذى كنا نعرفه منذ البداية و الذى يفصل بين ربعنا و الثقب الاسود- لكن هناك الافق الماضوى past horizon الذى يحدد الحدود مثلا بين الربع الذى نعيش فيه و ربع الثقب الابيض..
وفضاء-زمن شوارشيلد هو فضاء-زمن مينكوسفكى Minkowski - أى فضاء-زمن النسبية الخاصة- موجود فى مركزه ثقب اسود شوراشيلد..
وهو فضاء-زمن مينكوفسكى مقارب asymptotic بمعنى أنه يصبح كذلك فى المالانهاية..
والمالانهايات infinities هى سطوح فى الفضاء-زمن يعبر عنها بالخطوط الحدية فى الصورة..
وهناك خمسة مالانهايات..
اولا المالانهاية الضوئية المستقبلية J+ future null infinity التى تذهب اليها المسارات الضوئية..
ثانيا المالانهاية الضوئية الماضوية J- past null infinity التى تبدأ منها المسارات الضوئية ..
ثالثا المالانهاية المكانية i0 spacelike infinity وهى المالانهاية التى نعرفها اى سطح الكرة الموجودة فى المالانهاية..
رابعا المالانهاية الزمانية المستقبلية i+ future timelike infinity وهى التى تذهب اليها المسارات الجسيمية غير الضوئية..
خامسا المالانهاية الزمانية الماضوية i- past timelike infinity وهى التى تبدأ عندها المسارات الجسيمية غير الضوئية..
المالانهايتان الزمانيتان مختلفتان عن المفردتان singularities عند r=0 (مفردة الثقب الاسود المخفية hidden و مفردة الثقب الابيض العارية naked) المرسومتان بالخطوط المتقطعة فى الصورة..ﻷن هناك بداهة عدد غير منته من المسارات التى لا تذهب الى المفردة..اذن يجب التنبيه على ذلك..
ايضا نؤكد ان المالانهايات الفضائية و الضوئية (لكن ليست الزمنية) لفضاء-زمن شوارشيلد هى نفسها المالانهايات الفضائية و الضوئية لفضاء-زمن مينكوفسكى و لهذا فاننا نقول ان فضاء-زمن شوارشليد المقارب هو فضاء-زمن مينكوفسكى..
اذن لو تأملتم قليلا لوجدتم انه عندنا فى المحصلة بنية جسر اينشتاين-روزن Einstein-Rosen bridge او الثقب الدودى wormehole و هى تتشكل من منطقتين خارجيتين (ربعنا الاول و نظيره الربع الثالث) متصلان عبر الثقب الاسود و الثقب الابيض اللذان يشكلان معا الثقب الدودى..
اذن نحن فى ربعنا الاول ندخل الى الثقب الدودى عبر الثقب الاسود اما من هو موجود فى الربع الثالث فهو يدخل الى الثقب الدودى عبر الثقب الابيض -الذى بالنسبة اليه هو ثقب اسود- و الثقبان متصلان معا عبر عنق الثقب الدودى..وهذا موضح فى الصورة الثانية..

المبرهنة H

المبرهنة H للفحل بولتزمان هى مبرهنة تخص تصرف دالة كثافة احتمال غاز مميع -التى نرمز لها ب f وتحقق معادلة بولتزمان- عندما نقترب من التوزان.
هى تنص بالضبط على ان الدالة H لبولتزمان المعرفة بدلالة كثافة الاحتمال f بالمعادلة فى الصورة لا يمكن الا ان تتناقص فى الزمن.
بعبارة اخرى التغير فى الزمن dH/dt هو دائما اقل او يساوى من الصفر.
هذا يذكرنا بشدة بالمبدأ الثانى للترموديناميك الذى ينص على ان الانتروبى لا يمكن الا ان يتزايد فى الزمن.
لكن علينا ايضا الاشارة الى ان المبرهنة H تخص تصرف الغاز عندما يقترب من حالة التوازن و ليس فقط عند التوازن و عليه فانها أعم من المبدأ الثانى. من الجهة الاخرى فان الدالة H هى فعلا ذات علاقة وثيقة بالانتروبى فهى تساوى بالضبط ناقص الانتروبى عند حالة التوازن.
عندما يذهب الزمن الى مالانهاية فان الجملة تقترب من حالة التوازن و سنرى عندئذ ان دالة كثافة الاحتمال f ستقترب من دالة كثافة الاحتمال عند التوازن f0 التى لا تتعلق بالزمن و لا تتعلق ايضا بالمقطع العرضى التفاضلى للتصادمات الجزيئية.
دالة كثافة الاحتمال عند التوازن f0 تعين من الشرط dH/dt=0.
وهذه الدالة هى بالضبط توزيع بولتزمان-ماكسويل الشهير للغازات.
المصطلحات تجدونها فى النص بالانجليزية على الصفحة الاخرى.

معادلة بولتزمان

معادلة بولتزمان (ثالث العظماء فى الفيزياء و الفيزياء النظرية) هى معادلة تكاملية-تفاضلية من اجل دالة كثافة الاحتمال لغاز مميع التى نرمز لها ب
f(r,p,t)
حيث ان r هو شعاع الموضع و p شعاع كمية الحركة.
الكثافة f(r,p) هى معرفة بحيث ان f(r,p,t)*dr*dp هو عدد الجزيئات فى اللحظة الزمنية t التى تتميز بشعاع موضع r داخل الحجم dr و شعاع كمية حركة p داخل الحجم dp.
اذن f(r,p)*dr*dp هو عدد الجزيئات فى اللحظة الزمنية t الموجودة فى الحجم dr*dp حول النقطة (r,p) فى فضاء الطور...
عند اشتقاق معادلة بولتزمان فاننا نفترض ان الجسيمات لا تتعرض الا للتصادمات الثنائية المرنة..
التصادم الثنائى يعنى جسيم يصطدم كل مرة بجسيم واحد و ليس باثنين و لا ثلاثة و لا بعدد اكبر من الجسيمات.. هذه الأنواع الاخيرة من التصادمات موجودة لكن مهملة فى الغاز المميع...
أما التصادم المرن فيعنى ان الطاقة الحركية محفوظة فى معلم مركز الثقل..
أهم من هذا فانه عند اشتقاق معادلة بولتزمان نفترض ما يسمى الفوضى الجزيئية و هى فرضية تنص على ان احتمال الحصول على جزيئين داخل حجم dr بكميتى حركة p1 و p2 يساوى الى احتمال الحصول على الجزئ بكمية الحركة p1 بمفرده داخل ذلك الحجم dr مضروب فى احتمال الحصول على الجزئ الآخر بكمية الحركة p2 بمفرده داخل هذا الحجم dr..نكتب هذه الفرضية على الشكل
F(r,p1,p2,t)=f(r,p1,t)*f(r,p2,t)