مبرهنة نوثر هى واحدة من أهم المبرهنات اساسية و محورية فى نظرية الحقول الكلاسيكية و الكمومية..
وكما تعرفون فاننى أحب تتبع هكذا نوع من المبرهنات..
ونوثر نسبة الى ايمى نوثر Emmy Noether هى رياضية ألمانية كانت قد برهنت على هذه المبرهنة عام 1915.
المبرهنة نصها بسيط جدا محتواها الفيزيائى أبسط و برهانها من البساطة ان المبرهنة عموما تدرس فى بدايات مادة نظرية الحقول الكمومية او حتى فى الميكانيك الكمومى النسبى و فى الميكانيك الكلاسيكى.
تقول نوثر ان اى زمرة تناظرات مستمرة لجملة فيزيائية يجب و لا بد ان تكون مرفقة بانحفاظ لمقدار فيزيائى يسمى الشحنة بالنسبة لهذا التناظر.
وهنا شرط ضرورى و كافى بمعنى ان التناظر يؤدى الى انحفاظ و ان الانحفاظ يؤدى الى تناظر.
و التناظر symmetry يُعبر عنه بمجموعة من التحويلات النقطية point transformations تشكل فيمابينها زمرة group رياضية التى تترك الجملة بمعنى اللاغرانجية Lagrangian -اى الفعل action- و الهاميلتونية Hamiltonian-اى الطاقة- و حالاتها صامدة invariant اى لا متغيرة وهذا عندما نسمح لمتغيراتها الديناميكية ان تتغير تحت تأثير هذه التحويلات النقطية..
اما الانحفاظ conservation فيعبر عنه بشعاع-رباعى four-vector يكون تباعده divergence يساوى الصفر و هذا يعنى ان المركبة الزمنية time-component لهذا الشعاع وتسمى الشحنة charge تكون منحفظة conserved-اى لا تتغير- فى الزمن.
اعطى أربعة امثلة شهيرة جدا جدا -لا نعرف لها أى استثناء فى كامل الكون المشهود-:
*
اولا التناظر تحت تأثير الانسحابات فى الزمن..اذا كانت جملة ما متناظرة تحت تأثير الانسحاب فى الزمن فان هذا يعنى مباشرة من مبرهنة نوثر ان طاقة الجملة منحفظة لا تتغير فى الزمن.
الطاقة هى الشحنة اذن المرفقة بالانسحابات فى الزمن.
ثانيا التناظر تحت تأثير الانسحابات فى الفضاء...اذا كانت جملة ما متناظرة تحت تأثير الانسحابات فى الفضاء فان هذا يعنى مباشرة من مبرهنة نوثر ان كمية حركة الجملة منحفظة لا تتغير فى الزمن.
كمية الحركة هى اذن الشحنة المرفقة بالانسحابات فى الفضاء.
ثالثا التناظر تحت تأثير الدورانات فى الفضاء..اذا كانت جملة ما متناظرة تحت تأثير التناظرات فى الفضاء فان هذا يعنى مباشرة من مبرهنة نوثر ان العزم الحركى منحفظ لا يتغير فى الزمن.
اذن العزم الحركى هو الشحنة المرفقة بالدورانات فى الفضاء.
رابعا التناظر تحت تأثير التناظرات المعيارية gauge symmetries -وهى المسؤولة عن القوة الكهرومغناطيسية و القوة النووية القوية و القوة النووية الاشعاعية-......
وهذه التناظرات عكس الانسحابات فى الفضاء-زمن و الدورانات الفضائية التى تؤثر فى الفضاء العادى الذى نعيش فيه فان التناظرات المعيارية تؤثر فى فضاء الحقل الكهرومغاطيسى و الحقل النووى القوى و الحقل النووى الاشعاعى و لهذا قد يصعب تصورها..
اذن اذا كانت جملة متناظرة تحت تأثير التحويلات المعيارية التى تؤثر فى فضاء الحقل المعيارى gauge field و ليس الفضاء الفيزيائى فانه مباشرة نستنتج من مبرهنة نوثر ان الشحنة الكهربائية-التى تعرفونها- و الشحنة النووية القوية -التى تسمى اللون color- و الشحنة النووية الاشعاعية -التى تسمى الطعم flavor- تكون منحفظة اى لا تتغير فى الزمن...
اذن الشحنة الكهرومغناطيسية هى الشحنة المرفقة بالتناظرات المعيارية الكهرومغناطيسية..
ولهذا السبب سميت الكمية الفيزيائية المنحفظة تحت تأثير اى تناظر بالشحنة لانها هى فعلا الشحنة فى حالة الكهرومغناطيسية..
وكما تعرفون فاننى أحب تتبع هكذا نوع من المبرهنات..
ونوثر نسبة الى ايمى نوثر Emmy Noether هى رياضية ألمانية كانت قد برهنت على هذه المبرهنة عام 1915.
المبرهنة نصها بسيط جدا محتواها الفيزيائى أبسط و برهانها من البساطة ان المبرهنة عموما تدرس فى بدايات مادة نظرية الحقول الكمومية او حتى فى الميكانيك الكمومى النسبى و فى الميكانيك الكلاسيكى.
تقول نوثر ان اى زمرة تناظرات مستمرة لجملة فيزيائية يجب و لا بد ان تكون مرفقة بانحفاظ لمقدار فيزيائى يسمى الشحنة بالنسبة لهذا التناظر.
وهنا شرط ضرورى و كافى بمعنى ان التناظر يؤدى الى انحفاظ و ان الانحفاظ يؤدى الى تناظر.
و التناظر symmetry يُعبر عنه بمجموعة من التحويلات النقطية point transformations تشكل فيمابينها زمرة group رياضية التى تترك الجملة بمعنى اللاغرانجية Lagrangian -اى الفعل action- و الهاميلتونية Hamiltonian-اى الطاقة- و حالاتها صامدة invariant اى لا متغيرة وهذا عندما نسمح لمتغيراتها الديناميكية ان تتغير تحت تأثير هذه التحويلات النقطية..
اما الانحفاظ conservation فيعبر عنه بشعاع-رباعى four-vector يكون تباعده divergence يساوى الصفر و هذا يعنى ان المركبة الزمنية time-component لهذا الشعاع وتسمى الشحنة charge تكون منحفظة conserved-اى لا تتغير- فى الزمن.
اعطى أربعة امثلة شهيرة جدا جدا -لا نعرف لها أى استثناء فى كامل الكون المشهود-:
*
اولا التناظر تحت تأثير الانسحابات فى الزمن..اذا كانت جملة ما متناظرة تحت تأثير الانسحاب فى الزمن فان هذا يعنى مباشرة من مبرهنة نوثر ان طاقة الجملة منحفظة لا تتغير فى الزمن.
الطاقة هى الشحنة اذن المرفقة بالانسحابات فى الزمن.
ثانيا التناظر تحت تأثير الانسحابات فى الفضاء...اذا كانت جملة ما متناظرة تحت تأثير الانسحابات فى الفضاء فان هذا يعنى مباشرة من مبرهنة نوثر ان كمية حركة الجملة منحفظة لا تتغير فى الزمن.
كمية الحركة هى اذن الشحنة المرفقة بالانسحابات فى الفضاء.
ثالثا التناظر تحت تأثير الدورانات فى الفضاء..اذا كانت جملة ما متناظرة تحت تأثير التناظرات فى الفضاء فان هذا يعنى مباشرة من مبرهنة نوثر ان العزم الحركى منحفظ لا يتغير فى الزمن.
اذن العزم الحركى هو الشحنة المرفقة بالدورانات فى الفضاء.
رابعا التناظر تحت تأثير التناظرات المعيارية gauge symmetries -وهى المسؤولة عن القوة الكهرومغناطيسية و القوة النووية القوية و القوة النووية الاشعاعية-......
وهذه التناظرات عكس الانسحابات فى الفضاء-زمن و الدورانات الفضائية التى تؤثر فى الفضاء العادى الذى نعيش فيه فان التناظرات المعيارية تؤثر فى فضاء الحقل الكهرومغاطيسى و الحقل النووى القوى و الحقل النووى الاشعاعى و لهذا قد يصعب تصورها..
اذن اذا كانت جملة متناظرة تحت تأثير التحويلات المعيارية التى تؤثر فى فضاء الحقل المعيارى gauge field و ليس الفضاء الفيزيائى فانه مباشرة نستنتج من مبرهنة نوثر ان الشحنة الكهربائية-التى تعرفونها- و الشحنة النووية القوية -التى تسمى اللون color- و الشحنة النووية الاشعاعية -التى تسمى الطعم flavor- تكون منحفظة اى لا تتغير فى الزمن...
اذن الشحنة الكهرومغناطيسية هى الشحنة المرفقة بالتناظرات المعيارية الكهرومغناطيسية..
ولهذا السبب سميت الكمية الفيزيائية المنحفظة تحت تأثير اى تناظر بالشحنة لانها هى فعلا الشحنة فى حالة الكهرومغناطيسية..
هناك ايضا استثناء عميق بخصوص القوة النووية الاشعاعية حيث ان هذه القوة
غير متناظرة معياريا بل تناظرها منكسر تلقائيا sponatneously
broken..والانكسار التقائى هو تناظر مخفى اذن يطبق عليه مبرهنة نوثر لكن
بشكل معقد قليلا..
اذن هذه هى مبرهنة نوثر..
والبرهان عليها بسيط..
نبدأ من الفعل الذى يصف الحركة الكلاسيكية للجملة وهو عبارة عن تكامل اللاغرانجية على الزمن وهى دالة تشبه الهامليتونية -اى الطاقة- لكنها تساوى الطاقة الحركية ناقص الطاقة الكامنة و ليس الطاقة الحركية زائد الطاقة الكامنة كما فى الهاميلتونية..
هذه اللاغرانجية تكتب بدلالة المتغيرات الديناميكية او ما يسمى ايضا درجات حرية الجملة degrees of freedom.
نفترض ان هذه المتغيرات تحقق معادلات الحركة لأولر و لا غرانج Euler-Lagrange equations.
التناظر يُعبر عنه بتحويلات نقطية تؤثر على المتغيرات الديناميكية و تغُيرها بشكل معين. نعتبر عموما تحويلات نقطية لامتناهية فى الصغر infinitesimal نعوض بها فى اللاغرانجية..
التناظر يعنى اننا نفترض ان الفعل لا يتغير تحت تأثير هذا التغيير اللامتناهى فى الصغر فى المتغيرات الديناميكية.
الحساب البسيط يؤدى مباشرة الى اكتشاف ان هناك شعاع-رباعى منحفظ يسمى التيار current -تذكروا أصل التسمية الذى جاء من الكهرومغناطيسية- وانحفاظ هذا الشعاع يعبر عنه بالقول ان تباعد هذا الشعاع (اى اشتقاقه) يساوى الصفر.
المركبة الصفرية لشعاع التيار هى الشحنة و المركبة المكانية هى التيار الذى تعرفونه ..
اذن من كون تباعد الشعاع-الرباعى يساوى الصفر نحصل على شرط ثبات الشحنة فى الزمن اى انحفاظها..
وهذا هو البرهان..
اذن هذه هى مبرهنة نوثر..
والبرهان عليها بسيط..
نبدأ من الفعل الذى يصف الحركة الكلاسيكية للجملة وهو عبارة عن تكامل اللاغرانجية على الزمن وهى دالة تشبه الهامليتونية -اى الطاقة- لكنها تساوى الطاقة الحركية ناقص الطاقة الكامنة و ليس الطاقة الحركية زائد الطاقة الكامنة كما فى الهاميلتونية..
هذه اللاغرانجية تكتب بدلالة المتغيرات الديناميكية او ما يسمى ايضا درجات حرية الجملة degrees of freedom.
نفترض ان هذه المتغيرات تحقق معادلات الحركة لأولر و لا غرانج Euler-Lagrange equations.
التناظر يُعبر عنه بتحويلات نقطية تؤثر على المتغيرات الديناميكية و تغُيرها بشكل معين. نعتبر عموما تحويلات نقطية لامتناهية فى الصغر infinitesimal نعوض بها فى اللاغرانجية..
التناظر يعنى اننا نفترض ان الفعل لا يتغير تحت تأثير هذا التغيير اللامتناهى فى الصغر فى المتغيرات الديناميكية.
الحساب البسيط يؤدى مباشرة الى اكتشاف ان هناك شعاع-رباعى منحفظ يسمى التيار current -تذكروا أصل التسمية الذى جاء من الكهرومغناطيسية- وانحفاظ هذا الشعاع يعبر عنه بالقول ان تباعد هذا الشعاع (اى اشتقاقه) يساوى الصفر.
المركبة الصفرية لشعاع التيار هى الشحنة و المركبة المكانية هى التيار الذى تعرفونه ..
اذن من كون تباعد الشعاع-الرباعى يساوى الصفر نحصل على شرط ثبات الشحنة فى الزمن اى انحفاظها..
وهذا هو البرهان..
كم عظيمة ارادة هذه الانسانه المثلى رغم كل ما جرى لها اعطت كل هذه العظمة و الابداع ....
ReplyDelete