نموذج ساشداف-و-يى-و-كايتاف و الثقوب السوداء

 

الجميع يعرف نموذج ايزينغ Ising model لصاحبه ايزينغ Ising الذى اقترحه عليه استاذه لانز Lenz فى العشرينات من القرن الماضى كنموذج للفيرومغناطيسية اى كيف تتحول المعادن (تلقائيا او تحت تأثير تغييرات خارجية لدرجة الحرارة او المجال المغناطيسى) من الحالة او الطور الفيرومغناطيسي ferromagnetc -اى الطور الممغنط- الى الطور البارامغناطيسيى paramagnetic -اى الطور الحديدى-.

الآن نموذج ايزينغ هو جوهرة من جواهر فيزياء المادة المكثفة و الفيزياء النظرية و نظرية المجال الكمومى و الميكانيك الاحصائى و علوم العصبونات و الفيزياء الحاسوبية و نموذج المصفوفات و غيرها من المجالات الفيزيائية العميقة.

فنموذج ايزينغ مثلا يصف جميع التحولات الطورية من الرتبة الثانية second order phase transitions فى الكون و ليس فقط الفيرومغناطيسية.

وقد تمكن اونساغر Onsager -وهو كيميائى نظرى- من حل هذا النموذج فى بعدين و الحصول على نوبل فى الكيمياء عام 1968 على هذا الانجاز الفيزيائى النظرى -وليس الكيميائى و لا حتى الفيزيائى-.

ثم حاول بولياكوف Polyakov و غيره من عباقرة الفيزياء النظرية حل هذا النموذج فى ثلاثة ابعاد لكن فشلت كل تلك العبقرية و عجز كل ذلك الكشف العبقرى فى تحقيق هذا الهدف لحد اليوم و البعض يعتقد ان نموذج ايزينغ غير قابل للحل (فى علوم الحاسوب هذا النموذج فى 3 ابعاد بقع فى صنف التعقيد complexity class الذى يضم معضلة الوقف halting problem).

و اذكر ايضا ان بولياكوف يقول فى كتابه الانيق (المجالات المعيارية و الاوتار gauge fields and strings) -وهو من افضل كتب الفيزياء قاطبة الثانى مما قرأت بعد كتاب جول بال John Bell حول الميكانيك الكمومى اما الثالث فهو كتاب ليونارد ساسكيند Leonard Susskind حول الثقوب السوداء- اذن يقول بولياكوف فى كتابه الفذ هذا ان احد اسباب اكتشافه لتكامل الطريق لبولياكوف Polyakov path integral الذى هو اساس نظرية الوتر هو محاولته حل نموذج ايزينغ فى 3 ابعاد.

و نكتة اخرى اشير اليها هنا ان تكامل الطريق يسمى عموما تكامل الطريق لفايمان Feynman path integral حتى نصل الى نظرية الوتر فيصبح ذلك التكامل يسمى تكامل الطريق لبولياكوف لعظم قدر هذا الاكتشاف رغم ان بولياكوف لم يغير شيئا فى الفكرة الاساسية لهذا التكامل لكنه فقط تمكن من توسيع تطبيقه من الجسيمات الاولية و المجالات الى الاوتار الممتازة و غير الممتازة.

اذن هناك دائما مجال للابداع العبقرى فوق اى ابداع عبقرى حتى لا تنسوا ذلك.

اذن هذا هو نموذج ايزينغ.

لكن اليوم فعلا اريد ان اقدم نموذجا آخر من المادة المكثفة سيلعب فى المستقبل القريب -وهذا مؤكد- اذن سيلعب هذا النموذج فى فيزياء الثقوب السوداء و نظرية الهولوغرافيا و نظرية الاوتار و نظرية المعلومات الكمومية نفس الدور الذى لعبه نموذج ايزينغ فى المجالات الفيزيائية التى ذكرتها اعلاه.

هذا النموذج هو نموذج ساشداف Sachdev و يى Ye و كايتاف Kitaev او اختصارا نموذج ال SYK وهو نموذج يلعب دورا اساسيا فى الوصف الهولوغرافى-الفوضوى للثقوب السوداء مثل الدور الذى يلعبه نموذج ايزينغ فى الوصف الاحصائى-المجالى للتحولات الطورية من الدرجة الثانية.

نموذج ال SYK اكتشفه اولا ساشداف و كايتاف فى التسعينات من القرن الماضى فى اطار ما يسمى المعادن الغريبة strange metals ثم تنبه اليه -بعد تغييرات مهمة- كايتاف منذ خمسة سنوات فقط بعد ان ربط بينه و بين دراسات الفوضى chaos الخاصة بالثقب الاسود ثم اقترحه كنموذج للهولوغرافيا holography.

اغلب الكبار من الفيزيائيين النظريين الوتريين مهتم جدا جدا بهذا النموذج و منهم بولشينسكى Polchinski رحمه الله الذى كتب فيه مقالا مهما جدا قبل وفاته بعام فقط بنى فيه نظرية كايتاف بشكل رياضى مضبوط (عبر حسابه لدالة الاربع-نقاط four-point function).

هذا النموذج نموذج ساشاداف و يى و كايتاف او ال SYK هو نموذج يحتوى على N جسيم فرميونى fermions تتفاعل مع بعضها البعض عبر تفاعل رباعى quartic interaction من الجميع-الى-الجميع all-to-all اى ان كل فرميون يتفاعل مع بقية الفرميونات عبر ثوابت اقتران عشوائية random coupling constants مختارة حسب التوزيع الاعتيادى لغوس Gauss normal distribution.

الهاميلتونية Hamiltonian (مؤثر الطاقة) و ثوابت الاقتران فى المعادلتين فى الصورة.

حسب بولشينكسى فان اهم شيء يجذبنا الى نموذج ال SYK هو تميزه بالخواص الفيزيائية الثلاثة التالية:

- ان النموذج قابل للحل المضبوط exactly solvable عند ثوابت الاقتران الكبيرة strong coupling. وهذا شيء نادر جدا لان ثوابت الاقتران عندما تكون كبيرة فهذا يعنى الانهيار الكامل لطريقة الاضطرابات perturbation الاساسية فى حل النماذج الفيزيائية. لكن فى هذا النموذج نعرف الحل المضبوط من اجل جميع ثوابت الاقتران كبيرة كانت او صغيرة.

-الخاصية الثانية هى تميز نموذج ال SYK بفوضى قصوية maximal choas يعطى ما يسمى معامل ليوبانوف Lyapunov الخاص بها بالقيمة 6,28*T حيث T هى درجة الحرارة و هذه القيمة القصوية هى بالضبط معادل ليوبانوف الخاص بالثقوب السوداء. اذن كل من نموذج ال SYK و الثقوب السوداء هى جمل فوضوية قصوية اى يأخذ فيها معامل ليوبانوف القيمة القصوية.

-الخاصية الثالثة لنموذج ال SYK هو انبعاث emergence التناظر الكونفورمالى conformal symmetry عند الطاقات المنخفضة فى دالة النقطتان two-point function. و هذا شيء اندر من سابقيه.

اذن نموذج SYK يبدأ بدون تناظر كونوفرمالى و تحت تأثير معادلة زمرة اعادة التنظيم renormalization group equation (وهى معادلة حركة النموذج فى فضاء النظرية) فان هذا النموذج يُطور -اى تنبعث منه بشكل ديناميكى تلقائى- تناظر كونفورمالى عند الطاقات المنخفضة (وليست العليا) وهذا المدهش. و التناظر الكونفورمالى هو من اقوى انواع التناظر فهو تعميم لتناظرات بوانكريه Poincare (الانسحاب+الدوران+النسبية الخاصة) الذى يصبح يحتوى بالاضافة الى هذه التناظرات على تحويلات السلم scale transformations وهو تحاكى اى ان مفهوم الاطوال و الازمان و كذا مفهوم الجسيمات كل هذا يتلاشى و تعوضه اشياء اخرى تأتى بها نظرية المجال الكونفورمال اهمها التقابل حالة-مؤثر state-operator correspondence.

للاستزادة حول هذا الموضوع أبدأوا مع مقال بولشينسكى مع تلميذه الآخر

aXiv:1601:06768