كيف نذهب من تكامل الطريق لفايمان الى دالة تقسيم المجموعة القانونية

 

(درجة صعوبة هذا المنشور 5 من 5)

لو ذهبنا الى الميكانيك الكمومى فان ما يسمى سعة الانتقال transition amplitude من النقطة q فى اللحظة الزمنية t الى النقطة 'q فى اللحظة الزمنية 't يساوى الجداء السلمى للشعاعين |q,t> و |q,'t'> فى فضاء هيلبرت للحالات.

هذان الشعاعان يعبران عن حالة الجملة الكمومية فى النقطتين المذكورتين.

وطويلة مربع سعة الاحتمال يعطى الاحتمال.

هذه السعة يمكن كتابتها بدلالة مؤثر التطور evolution operator الذى يعطى بدلالة الهامليتونية Hamiltonian (مؤثر الطاقة) و يمكن بعد ذلك كتابتها بدلالة الحالات الذاتية eigenstate لمؤثر الهاميلتونية و ايضا بدلالة القيم الذاتية eigenvalue التى يرمز لها ب E_n لمؤثر الهاميلتونية (اى قيم الطاقة). كل هذه الامور موجودة فى المعادلة 6.94.

يمكننا ان نبين بعد ذلك ان هذه السعة تعطى ايضا بدلالة تكامل الطريق لفايمان Feynman path integral وهذه هى المعادلة 6.95 (البرهان طويل ليس هذا مجاله).

تكامل الطريق يكتب هو الآخر بدلالة ما يسمى الفعل action الذى يرمز له ب S الذى هو تكامل اللاغرانجية Lagrangian التى يرمز لها ب L على الزمن هذه الاخيرة (اى اللاغرانجية) هى الفرق بين الطاقتين الحركية و الكامنة للجملة. هذه هى المعادلة 6.96.

نقوم الآن بالذهاب الى الفضاء الاقليدى عن طريق تدوير الزمن بالعلاقة t_E=it حيث t هو الزمن اللورنتزى Lorentzian time و t_E هو الزمن الاقليدى Euclidean time و i هو العدد التخيلى المحض pure imaginary number. هذه العملية تسمى تدوير ويك Wick rotation.

نعتبر ايضا فى تكامل الطريق (الذى هو تكامل على طرق q=q(t) و ليس على اعداد) الطرق المغلقة اى الطرق التى من اجلها q'=q(t_E+β) و q=q(t_E) حيث q'=q اى ان β هى دور period هذه الطرق المغلقة.

اذا كاملنا سعة الاحتمال المكتوبة على شكل تكامل الطريق فى المعادلة 6.95 على المتغير q فاننا نحصل مباشرة على دالة تقسيم partition function المجموعة القانونية canonical ensemble للميكانيك الاحصائى. البرهان فى المعادلة 6.97.

تكامل الطريق بعد تدوير ويك نحو الاشارة الاقليدية يصبح مكتوب بدلالة الفعل الاقليدى S_E=-iS كما فى المعادلة 6.98.

اما الفعل الاقليدى فيكتب بدلالة اللاغرانجية الاقليدية L_E=-L كما فى المعادلة 6.99 حيث يصبح التكامل على الزمن الاقليدى t_E مقصور على دور واحد β.

النتيجة الاساسية ان تكامل الطريق لفايمان بزمن اقليدى دورى هو بالضبط دالة تقسيم الميكانيك الاحصائى بدرجة حرارة تساوى بالضبط مقلوب الدور β.

اذن التوازن الحرارى thermal equilibrium هو مكافئ الى اخذ المجموع على جميع التشكيلات configurations الدورية فى الزمن الاقليدى.

الصورة مأخوذة من كتابى حول النسبية العامة و الكوسمولوجيا و الثقوب السوداء الكمومية.