حساب دالة بايج مرة اخرى بقليل من التفصيل

 

حساب دالة بايج Page curve ليس امرا هينا.

اذن نعتبر عدة تقريبات (بالاضافة على عبقرية العباقرة و اجتهاد المجتهدين).

نعتبر اولا فضاء-زمن ببعدين. و حتى نستطيع استعمال الثنائية الثقالية/المعيارية AdS/CFT duality نفترض ان الفضاء-زمن هو AdS2 او ما يسمى الفضاء دى سيتر العكسى anti-de Sitter space.

أهم ما يميز فضاء دى سيتر العكسى AdS2 هو وجود حد boundary لهذا الفضاء.

و بالنسبة ل AdS2 (عكس الفضاءات دى سيتر العكسية فى ابعاد عليا) فان هناك حدين و ليس حدا واحد (مما يجعل AdS2 اعقدهم جميعا).

المهم وجود حد لهذا الفضاء يعنى مباشرة انه لو وضعنا ثقب اسود فى هذا الفضاء-زمن ببعدين (فضاء دى سيتر العكسى AdS2) فان اشعاع هاوكينغ عندما يصل الى حد الفضاء فانه سينعكس و يرجع الى الثقب الاسود الذى يعاود امتصاصه ثم بثه من جديد و يتكرر هذا الامر الى مالا نهاية لان الثقب الاسود فى فضاء دى ستير العكسى AdS2 (ويسمى اختصارا الثقب الاسود AdS2) موجود فى حالة توازن حرارى thermal equilibrium.

اذن حتى نصل الى تمثيل اشعاع هاوكينغ و معضلة ضياع المعلومات بشكل صحيح فاننا نقوم بلصق glue خزان حرارى heat bath بفضاء AdS2 عبر حده الأيمن مثلا.

اذن الاشعاع عندما يصل الآن الى الحد الايمن فانه سيمر الى الخزان الحرارى و نحصل بذلك على اشعاع هاوكينغ يذهب الى مالانهاية و بالتالى نحصل على معضلة ضياع المعلومات فى الثقب الاسود.

فى الصورة الاولى (من اليسار) نمثل فضاء دى سيتر العكسى AdS2 بالخط المنحنى الذى يبدأ من النقطة السوداء التى تمثل الحد الايمن لهذا الفضاء.

كما ترون فى الصورة فى ان هناك ايضا خط مستقيم يبدأ من هذه النقطة السوداء وهو يمثل الخزان الحرارى.

رياضيا و فيزيائيا فان اشعاع هاوكينغ فى الخزان الحراى يمثل بنظرية مجال كونفورمال conformal field theory تعيش فى بعدين على فضاء مينكوفسكى Minkowski.

اما الثقب الاسود AdS2 فهو يمثل رياضيا بنظرية ثقالة جاكييف - تايتلبويم Jackiw-Teitelboim gravity التى هى نظرية ثقالة ديلاطونية dilaton gravity اى بالاضافة الى مترية metric الفضاء-زمن يوجد ايضا مجال سلمى يسمى الديلاطون dilaton.

وعلينا ان نذكر ان النسبية العامة فى بعدين هى نظرية طوبولوجية topological و بدون الديلاطون فانه لا يمكن ان نحصل على ثقوب سوداء مستقرة فى بعدين. اذن الديلاطون هو مكون جوهرى هنا و ليس مثل الحالة فى اربعة ابعاد.

هناك ايضا اشعاع هاوكينغ فى منطقة ال AdS2 هو الآخر يمثل بنظرية مجال كونفورمال CFT2.

لانه لدينا تقابل correspondence بين الثقالة gravity و المجال المعيارى gauge field حسب الثنائية AdS/CFT فان كل شيء فى منطقة ال AdS2 (الثقالة الديلاطونية+ ال CFT2) يمكن تعويضه بنظرية مجال معيارى التى هى فى هذه الحالة عبارة عن ميكانيك كمومى كونفورمال conformal quantum mechanics (وليس نظرية مجال).

اذن فى الصورة الاولى من اليمين النقطة السوداء تمثل هذا الميكانيك الكمومى الكونفورمال و هى تكفى من اجل وصف جميع ما هو موجود فى ال AdS2 على الخط المنحنى فى الصورة الاولى من اليسار. اما ال CFT2 الموجودة فى الخزان الحرارى فهى مازالت تمثل بنفس الخط المستقيم.

الرمز EW فى الصور الثلاث هو اختصار ل entanglement wedge اى حرف التشابك وهى المنطقة الضرورية لحساب انطروبى التشابك لاشعاع هاوكينغ.

وانطروبى التشابك entanglement entropy لاشعاع هاوكينغ هو اصعب معضلة فى معضلة ضياع المعلومات لان اشعاع هاوكينغ هو اشعاع حرارى thermal اذن انطروبى التشابك سيبقى دائما يتزايد فى الزمن وهذا يدل على انهيار احادية unitarity الميكانيك الكمومى و على ضياع المعلومات فى الثقب.

دالة بايج هى بالضبط الدالة التى تحسب انطروبى التشابك كدالة فى الزمن.

وكون اشعاع هاوكينغ هو اشعاع حرارى (اى موجود فى حالة مختلطة mixed state) يعنى ان الكيوبيتات (جمه كيوبت qubit وهى وحدة المعلومات الكمومية) المشكلة له لست مترابطة correlated تماما مما يعنى انها لا تحتوى على اى معلومات بخصوص الحالة النقية pure state التى ابتدأ منها الثقب الاسود.

بتعبير المعلوماتية الكمومية quantum information فان اشعاع هاوكينغ كان يجب ان يكون شفرة code لكل ما سقط فى الثقب الاسود.

وكونه حرارى يجعل هذه الشفرة مثل البيض المخلوط scrambled eggs (أليست هى حالة مختلطة).

الفكرة ان الاشعاع لوحده هو فعلا حالة مختلطة لكن الاشعاع هو فى حالة تشابك كمومى quantum entanglement مع ما يسمى الجزيرة island بداخل الثقب الاسود و الاشعاع+الجزيرة هى فعلا حالة نقية. هذه العملية تسمى تنقية الحالة state purification.

اذن فى الصورة الاولى من اليسار نرى ان حرف التشابك entanglement wedge الذى يرمز له ب EW و ملون بالازرق يتشكل من قطعتين منفصلتين disconnected الاولى حارج الثقب اين يوجد الاشعاع و الثانية داخل الثقب اين توجد الجزيرة.

فى الصورة الاولى من اليمين فان القطعة الملونة باللون الزرق (حرف التشابك) هى نصف قطعة مستقيمة (تحتوى على مبدأها اين يعيش الميكانيك الكمومى الكونفورمال المكافئ لكل ماهو موجود فى ال AdS2 ومنها الجزيرة).

و لهذا فان الحساب يتم فى اطار نظرية مجال كونفورمال على نصف قطعة مستقيمة وهذا شيء معروف.

الحساب يؤدى الى ان دالة بايج فى الازمان الصغيرة قبل زمن بايج Page time كان فعلا يتزايد مع الزمن (اذن لا يوجد خروج للمعلومات) وهذا كما حسب هاوكينغ فى السبعينات.

لكن بعد زمن بايج (وبسبب الاقتران بين الاشعاع و الجزيرة و عملية تنقية الحالة) فان انطروبى التشابك يعود الى التناقص (اى ان المعلومات بدأت تخرج) حتى يصل الى الصفر عند التبخر الكامل للثقب (اى ان جميع المعلومات قد خرجت).

بعبارة اخرى فان اشعاع هاوكينغ هو فعلا شفرة للمعلومات الساقطة فى الثقب الاسود منذ تشكل هذا الاخير لكن هذه الشفرة تحتاج الى مفتاح لقراءتها او بالاحرى تفكيكها وهذا المفتاح هو الجزيرة بداخل الثقب. اذن الشفرة و مفتاحها يسمحان لنا بقراءة كل المعلومات (اى لا يوجد ضياع للمعلومات).

الآن لو رجعنا الى حرف التشابك EW فى الصورة الاولى من اليسار فاننا نرى ان هذا الحرف يتشكل من قطعتين منفصلتين وهذا يعنى انهيار لمفهوم المكان وهذا مزعج بالفعل.

تتدخل العبقرية من جديد فقالوا لنا استخدموا مرة اخرى الهولوغرافيا holography فى صيغة الثنائية AdS/CFT اذن نرجع الآن الى ال CFT2 المادية التى تعيش بداخل ال AdS2 و التى تمثل اشعاع هاوكينغ بداخل هذا الفضاء و نفترض ان هذه ال CFT2 هى نظرية هولوغرافية.

هذا يعنى اننا نستطيع ان نعوض هذه ال CFT2 بفضاء دى سيتر العكسى بثلاثة ابعاد AdS3 و نحصل على الصورة فى الوسط فى الصورة.

كل فضاء-زمن ال AdS2 يصبح سطح بداخل ال AdS3.

هذا السطح يسمى براين بلانك Planck brane أما فضاء ال AdS3 فيأتى هو الآخر بحد متصل بالخزان الحرارى (و النظرية CFT2 التى تعيش هناك) اذن متصل به عبر نفس النقطة السابقة (التى هى جد ال AdS2).

كما ترون فانه بعد اضافة بعد ثالث فان حرف التشابك فى الصورة الوسط يصبح سطح (اللون الازرق) و ليس خطان منفصلان اى ان درجات حرية اشعاع هاوكينغ خارج الثقب و درجات حرية الجزيرة بداخل الثقب متصلان عبر البعد الثالث (فهما يبدوان منفصلان فقط من وجهة نظر الفضاء-زمن ببعدين الذى يعيشان فيه).

وذلك هو الثقب الدودى wormehole الذى تكلم عنه ساسكيند Susskind و مالداسينا Maldacena منذ خمسة سنوات فى التخمينية الشهيرة الاخرى ER=EPR.

وهكذا ينتصر الميكانيك الكمومى و نظرية الوتر الممتاز و تنتصر معهما النسبية العامة بعد ان اقنعاها بصحة وجهة نظرهما و بعد ان استعان الجميع بالمعلوماتية الكمومية.