نظرية المجال الكونفورمال 2

 

(درجة صعوبة هذا المنشور 5 من 5)

مدخل الى نظرية المجال الكونفورمال 2

التحويلات الكونفورمال هى التحويلات النقطية التى يتم فيها تغيير الاحداثيات x و المترية g كما فى المعادلة الاولى من الصورة.

اذا كانت الجملة الفيزيائية صامدة invariant (اى ثابتة لا تتغير) تحت تأثير هذه التحويلات فاننا نقول انها (اى هذه الجملة) متناظرة كونفورماليا conformally symmetric او ان الجملة الفيزيائية هى جملة كونفورمالية conformal system.

وأهم نموذج عن هذه الجمل الفيزيائية الكونفورمالية هى نظريات المجال الكونوفرمالى فى بعدين two-dimensional conformal field theory.

هذه النظريات المجالية الكونفورمالية تسمح لنا بحساب الأسس الحرجة critical exponent للتحولات الطورية من الرتبة الثانية second order phase transitions و ايضا تدخل فى تكامل طريق بولياكوف Polyakov path integral الذى هو نقطة انطلاق نظريات الأوتار الممتازة (التى هى اضخم النظريات الفيزيائية قاطبة تضاهى فى ضخامتها رغم عمرها القصير نظريات المجال الكمومى).

وكمثال محدد عن نظريات المجال الكونفورمالى فى بعدين نأخذ مجال سلمى نرمز له φ كتلته معدومة.

فعل هيلبرت Hilbert action لهذه النظرية السلمية الكونفورمالية يعطى بالعبارة فى المعادلة الثانية.

سنفترض ايضا ان الفضاء-زمن اقليدى Euclidean و انه مسطح flat. اى انه فى المعادلة يجب ان نضع المترية g تساوى واحد (لكن لا نفعل ذلك حتى نُنهى الحساب).

لاننا فى فضاء اقليدى مسطح ببعدين فانه يمكننا تعويض الاحداثيتان 1^x و 2^x بالعددين المركبين z و bar{z}\ فى المستوى المركب complex plane كما فى المعادلة الثالثة.

الدوال التى تتعلق على العدد المركب z تسمى دوال هولومورفية holomorphic function وهى تقابل المجال المتحرك-يساريا lef-moving فى الفضاء-زمن.

اما الدوال التى تتعلق على العدد المركب bar{z}\ فتسمى دوال هولومورفية-عكسية anti-holomorphic و هى تقابل المجال المتحرك-يمينيا right-moving فى الفضاء-زمن.

الفضاء-زمن نحصل عليه من الفضاء الاقليدى بتعويض الاحداثية 2^x بالاحداثية i*x^0 حيث 0^x هو الزمن t و i هو العدد التخيلى المحض. هذه العملية تسمى تدوير ويك Wick rotation.

الاشتقاق فى المستوى المركب يسمى الاشتقاق الهولومورفى holomorphic derivation و هو يعطى بدلالة الاشتقاق بالنسبة للاحداثيات x بالمعادلة فى الصورة الرابعة.

وكما ذكرنا فان الفضاء-زمن اقليدى و مسطح وبالتالى فان المترية ثابتة تساوى واحد. هذا يعنى ان التحويلات الكونفورمال فى المعادلة 1 تُختزل الى تحويلات شاملة global transformations يتم فيها تغيير الاحداثيات فعلا (اى تغيير فيزيائى للاحداثيات) ونبقى المترية مثبتة كما ذكرنا).

التحويلات الكونفورمال تصبح معطاة بالشكل فى المعادلة 5. حيث نحصل على عبارة التحويل اللامتناهى فى الصغر infinitesimal transformation بأخذ الدالة ε ضعيرة جدا بالمقارنة مع 1.

فى المستوى المركب هذه التحويلات الكونفورمال تصبح التطبيقات الكونفورمال المعطاة فى المعادلة 6 اى ان العدد المركب z يتغير الى الدالة الهولومورفية f(z) و بالمثل بالنسبة للعدد المركب المرافق conjugate. هذه الدالة الهولومورفية holomorphic هى مايسمى التطبيق الهولومورفى holomorphic mapping. وهى تعبر عن تحويل كونفورمال كيفى arbitrary فى المستوى.

أهم التحويلات الكونفورمال هى الانسحابات translations و الدورانات rotations و التمطيطات dilatations و هى معطاة فى المعادلة 7. لاحظوا الفرق بين الدورانات و التمطيطات (هذه الاخيرة التى تسمى ايضا تحويلات السلم scale transformations). اذن التمطيط او تحويل السلم هو دوران لكن ليس فى دائرة اى انه ينطوى على تغيير للسلم scale (الذى هو هنا نصف القطر) و لهذا يسمى تحويل السلم.

بعد هذا التقديم المقتضب للفضاء-زمن الاقليدى المسطح فى بعدين الذى هو بالضبط المستوى المركب نرجع الى نظرية المجال السلمى عديم الكتلة فى بعدين المعطاة بالفعل فى المعادلة 2.

هذه النظرية هى ضامدة تحت تأثير التحويلات الكونفورمال المعطاة فى المعادلة 5 بمعنى ان الفعل فى المعادلة 2 لا تتغير قيمته اذا غيرنا الاحداثيات كما فى المعادلة 5.

نقول ان نظرية المجال السلمى عديم الكتلة فى بعدين هى متناظرة كونفورماليا.

وكما نعرف من الدرس الاول فى فيزياء الجسيمات الاولية (أنه اذا كان التحويل النقطى يُشكل تناظر للجملة الفيزيائية فانه سيكون مرفق بانحفاظ لمقدار فيزيائى). هذه هى مبرهة نوثر Noether's theorem.

اذن التناظر الكونفورمالى للنظرية المجالية المعطاة بالفعل فى المعادلة 2 سيؤدى الى انحفاظ لمقادير فيزيائية نُشفرها فى نظرية المجال الكمومى و النسبية العامة فى ما يسمى تنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم stress-energy-momentum tensor.

حتى نحسب هذا التنسور نقوم بالخطوات التالية:

- نعود الى التحويلات الكونفورمال فى صيغتها الاولى المعطاة بالمعادلة 1 (اى نرجع الى المترية الديناميكية).

-نكتب هذه التحويلات فى شكلها اللامتناهى فى الصغر كما يظهر فى المعادلة 8.

-التغير فى الفعل المعطى بالمعادلة 2 تحت تأثير التحويلات فى المعادلة 8 يساوى صفر لان هذه التحويلات هى ديفيومورفيزمات diffeomorphisms و النظرية بالبناء by construction متناظرة تحت هؤلاء.

-نقوم بحساب التغير فى الفعل المعطى بالمعادلة 2 تحت تاثير التحويلات المعطاة فى المعادلة 5 (اى التغير الناجم عن تغيير الاحداثيات). هذا يساوى ناقض التغير الناجم عن تغيير المترية لان التغير الناجم عن تغييرهما معا يساوى صفر كما ذكرنا فى النقطة السابقة. النتيجة الاخيرة معطاة بالمعادلة 9.

- هذه النتيجة تعطى بدلالة تنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم المكتوب فى المعادلة 10 (السطر الاول) و المحسوب ايضا فى المعادلة 10 (السطر الثانى). لاحظوا انه يجب وضع المترية تساوى واحد فى السطر الاول بعد نهاية الحساب.

الخاصيتان الاساسيتان لتنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم هما الانحفاظ conservation و معدومية-الاثر tracelessness:

-اولا تنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم منحفظ conserved كما تنص عليه مبرهنة نوثر (اذا كان التحويل النقطى تناظر للجملة فان هناك مقدار فيزيائى مرفق به محفوظ فى الزمن). كون تنسور الضغظ-و-الطاقة-الزخم محفوظ تعبر عليه المعادلة رقم 11 التى نستخرجها مباشرة من المعادلة رقم 9.

-ثانيا تنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم معدوم-الاثر traceless وهذه خاصية اكثر اساسية من سابقتها وهى ناجمة عن الصمود تحت تأثير تحويل السلم للمترية. انظر المعادلة 12.

هذه الخاصية (الصمود تحت تأثير تحويلات السلم للمترية و كون تنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم معدوم الاثر) هى أهم خاصية للنظريات الكونفورمالية فهى خاصية يصعب جدا جدا الحفاظ عليها كموميا (اى بعد تكميم النظرية) رغم تحققها فى النظرية الكلاسيكية.

فى الاخير نذكر انه فى المستوى المركب نكتب مركبات تنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم و خاصيتى الانحفاظ و معدومية-الاثر كما فى المعادلة 13.

لاحظوا ان المركبة T دالة هولومورفية اى لا تتعلق الا ب z و ان المركبة bar{T}\ هى مركبة هولومورفية-عكسية bar{z}\.