نظرية المجال الكونفورمال 1

 

(درجة صعوبة هذا المنشور 5 من 5)

نظرية المجال الكونفورمال conformal field theory تدخل فى ثلاثة مواضيع اساسية فى الفيزياء النظرية:

اولا فى الميكانيك الاحصائى statistical mechanics حيث تسمح لنا بوصف الظواهر الحرجة critical phenomena مثلا التحولات الطورية من الرتبة الثانية second order phase transition.

ثانيا فى نظرية المجال الكمومى quantum field theory حيث تعطى ما يسمى النقاط الثابتة fixed points لمعادلة زمرة اعادة التنظيم renormalization group equation.

ثالثا نظرية الأوتار الممتازة superstring theory حيث تدخل فى تكميم quantization الوتر الاساسى fundamental string تكميما قانونيا canonical quantization او عبر تكامل الطريق لبولياكوف Polyakov path integral ثم تدخل بعد ذلك كأحد وجهى الثنائية الثقالية-المعيارية gauge-gravity duality المعروفة باسم التقابل CFT/AdS اى التقابل correspondence بين فضاءات AdS و نظرية المجال الكونفورمال التى يرمز لها ب CFT.

نظرية المجال الكونفورمال هى نظرية مجال كمومى تتميز بالتناظر symmetric تحت تأثير التحويلات الكونفورمالية conformal transformations التى تأخذنا من الاحداثيات coordinates التى نرمز لها هنا σ الى احداثيات جديدة tilde{σ}\ التى هى دالة فى σ و فى نفس الوقت تُغير (أى هذه التحويلات) المترية (σ)g كما فى المعادلة الاولى فى الصورة.

اذا كان فعل هيلربت Hilbert action للنظرية و كذا تكامل الطريق لفايمان Feynman path integral للنظرية صامدان invariant تحت تأثير التحويلات النقطية فى المعادلة الاولى فاننا نقول ان النظرية متناظرة كونوفرماليا conformally invariant.

نظرية المجال الكونفورمال لا تتميز اذن بأى سلم طول length scale (أى لا يوجد سلم طول مختار) فالنظرية تظهر بنفس الطريقة من اجل كل الاطوال و لا تعنيها الا الزوايا (اذن النظرية ستظهر بدون أى تغيير تحت اى عدسة اى مجهر او عبر عدسة اى تلسكوب).

قارنوا بالنظريات المتناظرة دورانيا (وهى كل النظريات المجالية الكونية باستثناء نظريات المجال غير-التبديلى non-commutative) فهى نظريات لا تتميز باتجاه مختار preferred direction فى الفضاء بالمثل فان النظريات المتناظرة كونوفرماليا لا تتميز بطول مختار preferred length scale فى الفضاء-زمن.

التحويلات الكونفورمالية فى المعادلة الاولى تقبل تفسيرين مختلفين حسب طبيعة مترية الفضاء-زمن:

-اذا كانت المترية متغير ديناميكى (مثل مترية الورقة-الكونية worldsheet فى نظرية الوتر مثلا) فان هذه التحويلات هى عبارة عن ديفيومورفيزمات diffeomorphisms (مثل تحويلات النسبية العامة) وهى اذن ستلعب دور تحويلات معيارية موضعية local gauge transformations تحتاج لى ما يسمى التثبيت المعيارى gauge fixing (لان هناك تكرار غير-فيزيائى فى الفيزياء فى التناظرات المعيارية يجب التخلص منه قبل ان نحسب اى شيء).

-اما اذا كانت المترية عبارة عن خلفية ثابتة fixed background فان التحويلات فى الصورة تعبر عن تحويل حقيقى يأخذنا من النقطة σ الى النقطة tilde{σ}(σ)\ و اذن فى هذه الحالة هذه التحويلات تمثل تحويل شامل global transformation و ليس تحويل موضعى local transformation. وككل تناظر شامل (تذكروا فيزياء الجسيمات الاولية) فان هناك تيار محفوظ conserved current مرفق به وهذا التيار هو الذى سيسمح لنا بتعريف تنسور الطاقة-و-الزخم energy-momentum tensor الذى يلعب دورا محوريا فى نظريات المجال الكونفورمال.

لكنه على كل حال فان كل نظرية ثقالة فى بعدين تتمتع بالتناظرات تحت تأثير الديفيومورفيزمات و تحت تأثير تحويلات وايل (اى الوضعية الاولى) سوف تُختزل الى نظرية مجال كونفورمالى عندما يتم تثبيت المترية عبر التثبيت المعيارى لهذه التناظرات.

تذكروا ان تحويل وايل Weyl transformation هو تحويل يتم فيه تحويل المترية كما فى المعادلة الاولى فى الصورة لكن بدون تحويل الاحداثيات بل هذه الاخيرة تبقى ثابتة (اذن هذه تحويلات مختلفة جذريا عن الديفيومورفيزمات).

بالمثل فان اى نظرية مجال كونفورمال يمكن قرنها coupled بنظرية ثقالة و تحويلها بذلك الى نظرية اين تكون فيها المترية ديناميكية.

اى اننا يمكننا دائما الانتقال من حالة المترية الديناميكية الى حالة المترية التى هى خلفية ثابتة و العكس.

الوضعية الثانية (المترية هى خلفية ثابتة لا تتغير فى الفضاء-زمن) هى الوضعية المهمة بالنسبة لنا هنا و سنفترض ايضا ان الفضاء-زمن مسطح flat و انه فضاء-زمن ثنائى البعدين two-dimensional و انه ايضا فضاء اقليدى Euclidean.

و أهم شيء نريد ان نبينه هنا هو الدور الذى يلعبه تنسور الضغط-و-الطاقة-و-الزخم stress-energy-momentum-tensor فى النظرية المجالية الكونفورمال.

لكن ننبه ان النظرية المجالية الكونفورمال هى نظرية مجال كمومى لا شك فى ذلك الا انها نظرية مجال كمومى غير عادية بالمرة لانها تحتاج الى لغة مختلفة جذريا من اجل بناءها (فمثلا لا تحتوى مطلقا على مفهوم الجسيم و مفهوم الكتلة) و لهذا لا احد يدرسها عندنا (يقينا) و قليل حتى من يدرسها فى الغرب.

المرجع التاريخى لهذه النظرية هو مقال بالافان Belavin و بولياكوف Polayokv و زامالادشيكوف Zamalodchikov فى عام 1984.

Belavin, Polyakov and Zamalodchikov, “Infinite Conformal Symmetry in Two-Dimensional Quantum Field Theory”, Nucl. Phys. B241 (1984).

يتبع ان شاء الله.