من القطع الزائد الى فضاء دى سيتر العكسى الى الثنائية الثقالية/المعيارية..

من القطع الزائد الى فضاء دى سيتر العكسى الى الثنائية الثقالية/المعيارية..
أجيب عن اربعة اسئلة:
1-لكن كيف نصل من القطع الزائد الى فضاء دى سيتر العكسى?
2-لكن ماهو فضاء دى سيتر العكسى الذى يلعب دورا استراتيجيا فى نظرية الاوتار?
3-لكن ماهو المعنى الفيزيائى للاحداثية العمودية z?
4-لكن ماهى قوة فضاء دى سيتر العكسى ودوره الحقيقى فى الثنائية الثقالية/المعيارية?
لكن كيف نصل من القطع الزائد الى فضاء دى سيتر العكسى?
قارنوا بين الخط المستقيم و الدائرة و القطع الزائد hyperbolas..
الآن تصوروا هذه الاشياء فى ابعاد عليا ..
نحصل على الفضاءات الاقليدية, الكرات و الفضاءات الزائدية hyperboloids كتعميم للخط المستقيم و الدائرة و القطع الزائد على التوالى..
بطييعة الحال اذا تصورنا الكرة عبارة عن حالة خاصة من القطع الناقص فان التعميم هو فضاء ناقصى ellipsoid..
فى الصورة الاولى نرسم القطع الزائد, فى الصورة الثانية نرسم الفضاء الزائدى بصفحة واحدة one-sheeted hyperboloid و فى الصورة الثالثة نرسم الفضاء الزائدى بصفحتين two-sheeted hyperboloid..
هذه الفضاءات الزائدية توجد فى أى عدد من الابعاد و ليس فقط فى بعد واجد (القطع زائد) او فى بعدين (الفضاء الزائدى فى الصورة)..
وايضا فان كل هذه الفضاءات الزائدية هى مغروسة embedded فى فضاء اقليدى اعلى اى ببعد اضافى..فمثلا نرسم القطع الزائد فى المستوى و الفضاء الزائدى الذى فى الصورة هو مرسوم فى الفضاء الثلاثى..وهذا ما نفعله ايضا فى الابعاد العليا-اى دائما نغرس هذه الفضاءات المنحنية فى فضاء اقليدى اعلى- رغم انه فى تلك الحالة سيتعذر اى يستحيل علينا الرسم..
الآن أدعوكم الى تصور غرس او وضع الفضاءات الاقليدية و الكرات و الفضاءات الزائدية ليس فى فضاء اقليدى لكن فى فضاء لورنتزى -اى نأخذ النسبية بعين الاعتيار- حيث يصبح الزمن مختلف عن المكان و يأتى باشارة مضادة فى المترية metric...والمترية للتذكير هو القانون الذى يسمح لنا بحساب المسافة فى اى فضاء او فضاء-زمن...
فى هذه الحالة نحصل على الفضاءات اللورنتزية التالية:
-فضاء-زمن مينكوسفكى
-فضاء-زمن دى سيتر
-فضاء-زمن دى سيتر العكسى
كتعميم للفضاء الاقليدى, للكرات (الفضاءات الناقصية) و الفضاءات الزائدية على التوالى..
و لورنتز Lorentz و مينكوفسكى Minkowski و دى سيتر de Sitter هم الرياضيون/الفيزيائيون اللذين اكتشفوا هذه الفضاءات او بالاحرى اكتشفوا قيمتها الاستراتيجية بالنسبة للفيزياء...
هذه الفضاءات-زمن الثلاثة (مينكوسفكى, دى سيتر و دى سيتر العكسى) تحل كلها معادلات اينشتاين وهى متناظرة قصويا maximally symmetric..
فضاء-زمن مينكوسفكى هو فضاء النسبية الخاصة العادى فهو اذن فضاء مسطح flat..
فضاء-زمن دى ستير (تعميم الكرة او القطع الناقص الى فضاء لورنتزى) فهو فضاء منحنى بانحناء سلمى scalar curvature موجب..هذا يعنى انه فى هذا الفضاء مجموع زوايا مثلث يكون اكبر من 180 درجة...
فضاء-زمن دى سيتر العكسى (تعميم القطع الزائدى الى فضاء لورنتزى) هو فضاء منحنى بانحناء سلمى سالب..هذا يعنى انه فى هذا الفضاء مجموع زوايا مثلث اصغر من 180 درجة..
لكن ما هو بالضبط فضاء-زمن دى سيتر العكسى الذى يعلب دورا استراتيجيا فى نظرية الاوتار?..
أعطى وصفين: وصف كونى global description و رقعة بوانكريه Poincare patch (و بوانكريه هو فيزيائى/رياضى عظيم أخر)..
- فى جملة الاحداثيات الكونية -التى تغطى كل فضاء دى ستير العكسى- فان هذا الفضاء يمكن ان نتصوره كأسطوانة..الزمن ناقص لا نهاية هى القاعدة السفلية لهذه الاسطوانة و الزمن زائد لا نهاية هى القاعدة العلوية اذن الزمن يجرى من الاسفل الى الاعلى..
محور الاسطوانة هو مركز فضاء دى سيتر العكسى اما جدران الاسطوانة فهى حد boundary فضاء دى ستير العكسى و هو حد كونفورمال conformal boundary...
اذن الذهاب من المركز الى الحد يتم عبر أخذ نصف قطر الاسطوانة من 0 الى قيمته العطمى وتساوى نصف pi\ ..
الدوران حول مركز الاسطوانة يتم عبر الزوايا -فهناك d-1 زاوية فى حالى فضاء دى سيتر فى بعد d+1- التى تصف فضاء دى ستير العكسى..انظر الصورة الرابعة..
- جملة احداثيات بوانكريه - تغطى كل فضاء دى سيتر العكسى فقط بعد تدوير ويك Wick rotation نحو الفضاء الاقليدى التى هى خطوة تقنية ضرورية جدا لتعريف نظرية الحقل-..
فى هذه الجملة نصف فضاء دى سيتر العكسى كتوريق foliation لفضاء مينكوفسى على محور قطرى..بمعنى تصور انه لدينا مجور عمودى z..من اجل كل نقطة على هذا المحور يوجد فضاء-زمن مينكوسفكى بأكمله عمودى للمحور العمودى z فى تلك النقطة..
الفضاء-زمن المينكوفسكى الموجود عند النقطة z=0 هو بالضبط الحد الكونوفورمال لفضاء دى ستير العكسى...
اما عندما تذهب الاحداثية z الى ما لا نهاية فاننا نحصل على افق horizon لفضاء دى ستير العكسى..هذا يعنى ان جملة احداثيات بوانكريه تنتهى فى هذه النقطة و ليس ان الفضاء نفسه ينتهى..
لأن فضاء دى ستير العكسى هو فضاء غير متضام non compact اى لا نهائى (رغم انه يتميز بنصف قطر) لكنه فضاء محدود كونفورمالى من جهة بحد ..هذا الحد هو نفسه فضاء-زمن مينكوسفى مكتمل..
المترية metric لاهميتها القصوى موجودة فى الصورة الخامسة...حيث ان L هو نصف قطر فضاء دى سيتر العكسى..
لكن ماهو المعنى الفيزيائى للاحداثية العمودية z?
الاحداثية z تعلب بالضبط دور سلم طاقوى energy scale بالمعنى الموجود فى نظرية معادلة اعادة التنظيم theory of renormalization group equation..اذن z يعطى الشبكة lattice التى تُعرف الفضاء-زمن المينكوسفكى الموجود عند تلك الاحداثية..وتذكروا فان الذى يُعرف نظرية الحقل لا-اضطرابيا non-perturbatively هو الشبكة المتقطعة و ليس الفضاء-زمن المستمر..اذن الاحداثية z هو بالضبط الفسحة الشبكية lattice spacing التى تعرف الشبكة..اى ان الفضاء-زمن عند النقطة z هو شبكة بفسحة تساوى بالضبط a=z اى بين كل نقطة و نقطة فى هذه الشبكة فى اى تجاه توجد مسافة a=z..
الذهاب الى الحد الكونفورمال z=0 يعنى اذن اخذ الفسحة الشبكية الى الصفر و هذا بالضبط ما يُعرف النهاية المستمرة continuum limit للشبكة ونظرية الحقل التى تعيش عليها..
اذن قيم الحقل الكمومى على الحد z=0 هى بالضبط قيم الحقل المستمرة (اى القيم الميكروسكوبية المعرفة فى الطاقات العليا اى عند ما فوق البنفسجى او ال UV)...
انظر الصورة السادسة..
وهذا الذى ذكرته آخرا رغم صعوبته هو المحور و المرتكز...
لكن ماهى قوة فضاء دى سيتر العكسى ودوره الحقيقى فى الثنائية الثقالية/المعيارية?
القوة العظمى لفضاء دى سيتر العكسى تكمن فى الآتى:
-اولا فضاء دى ستير العكسى (مثلا فى بعد d+1) يتميز بزمرة تناظرات ايزومترية isometries (التى تحفظ المترية) يُرمز لها ب SO(2,d) هى بالضبط الزمرة الكونفورمال للفضاء-الزمن المينكوفسكى فى البعد d الذى يقع فى الحد الكونوفرمال لفضاء دى ستير العكسى..
-ثانيا و اكثر من هذا فان عدد درجات حرية النظرية الثقالية التى تعيش فى فضاء دى ستير العكسى يساوى بالضبط عدد درجات حرية النظرية الكمومية غير الثقالية (وهى نظرية حقل كونفورمال) التى تعيش على الحد الكونفورمال لفضاء دى ستير العكسى الذى كما قلنا هو فضاء مينكوفسكى عادى...وهذا هو اكثر أمثلة المبدأ الهولوغرافى holographic principle دقة فى الفيزياء ..
-ثالثا واكثر من هذا فان دالة تقسيم النظرية الثقالية التى تعيش فى فضاء دى سيتر العكسى ذو البعد d+1 تساوى بالضبط دالة تقسيم النظرية الكونفورمال التى تعيش على الحد ذو البعد d الذى هو فضاء مينكوفسكى..
وتذكروا ان دالة التقسيم (وهى ايضا ما يعرف فى نظرية الحقل بتكامل الطريق) تعطى الحالة الاساسية ground state و كل دوال الربط correlation functions -اى كل شيء تريد ان تحسبه نظرية الحقل-..
اذن لدينا هنا نظرية كمومية للثقالة تعيش فى فضاء دى سيتر العكسى اين يمكن جساب اى شيء عنها انطلاقا من النظرية الكمومية الكونفورمال التى تعيش على حد فضاء دى دى سيتر العكسى الذى هو فضاء مينكوفسكى عادى فى عدد ابعاد اقل بواحد..
-رابعا نشير ان داخل فضاء دى ستير العكسى يسمى الحجم bulk بمقابل حد boundary فضاء دى سيتر..فى هذا الحجم تعيش حقول يتحكم فيها كما ذكرنا فعل action ثقالى... القيم الميكروسكوبية لهذه الحقول الحجمية فى ال UV (اى فى النهاية المستمرة التى شرحناها اعلاه) تعطى بالضبط قيم الحقل الذى يعيش على الحد الكونفورمال لفضاء دى سيتر العكسى..
هذه النقاط الأربعة هى ما يُعرف بالثنائية الثقالية/ المعيارية gauge/gravity duality...
وهى من اعظم انجازات نظرية الوتر قاطبة و لربما هى الثورة الثالثة فى الفيزياء النظرية منذ عهد الثورة النسبية لاينشتاين و الثورة الكمومية لبور و اصحابه فى بدايات القرن الماضى..
فهى فى رأيى -وهو ليس رأيى بل رأى الكثيرين جدا من المختصين و غير المختصين- انجاز اعظم من انجاز النموذج القياسى للجسيمات الاولية و النموذج القياسى للكوسمولوجيا..

المونوبولات المغناطيسية: أحد اعظم عوالم الغيب الفيزيائى التى بدأت تخرج الى الشهود..

هذه الخلاصة بالعربية للمحاضرات الحقلية حول المونوبولات التى تخرج كل اسبوع على المدونة..
هل يمكن لجملة مرتبطة bound system مشكلة من بوزونين (و البوزون boson هو اى جسيم عزم لفه صحيح) ان تؤدى الى فرميون fermion (اى عزم لف يساوى عدد نصف صحيح) ?
الجواب محال أكيد فى كل نظرية الحقول..
الا اذا كان أحد البوزونوين عبارة عن مونوبول monopole اى قطب أحادى مغناطيسى وهو جسيم بوزونى عزم لفه منعدم..
فى هذه الحالة فان البوزون الآخر يمكن ان يتحول بقدرة قادر الى فرميون..
السبب فى الاخير يرجع الى انه بالنسبة للمونوبول فان الدورانات فى الفضاء العادى ليست تناظرات له بل هو متناظر تحت تأثير الدورانات التى تندمج فيها الدورانات الفضائية مع الدورانات الايزوسبينية isospinic اى النووية..
فالمونوبول هو متناظر تحت هذا المزج من السبين spin او عزم اللف العادى و الايزوسبين isospin و هو عزم اللف النووى..
هذا لا يحدث الا فى العالم الذى يوجد فيه المونوبول..
ورغم ان المونويول المغناطيسى لم يُكتشف تجريبيا لحد الساعة الا ان الفيزيائيين النظريين متيقنون من وجوده مثلما انهم متيقنون من وجود التناظر الممتاز supersymmetry و غيرها من الافكار النظرية الأخاذة رغم عدم توفر قرائن تجريبية عليها ..
لانه بكل بساطة اى انكسار تلقائى للتناظر spontaneous symmetry breaking فى النظريات التوحيدىة الكبرى grand unified theory ستؤدى الى الى وجود مونوبولات مغناطيسية فى طيف الجسيمات لكن بكتلة ثقيلة جدا وهذا هو ربما السبب فى عدم مشاهدتها لحد الساعة..
تذكروا ان الانكسار التلقائى يعنى ان الطاقة متناظرة دائما لكن الجملة تختار تلقائيا اى ديناميكيا اى لوحدها بنفسها حالة مميزة غير متناظرة..هذا هو المقصود بالانكسار التلقائى... اى شيء آخر من الانكسار لا يمكن ان يؤدى الا الى كوارث رياضية و فيزيائية..اذن احذروا ابدا من كسر التناظرات باليد كما يفعل البعض!!...
اما ماهو المونوبول المغناطيسى بالضبط?
تصوروا جسيم يجمل شحنة مغناطيسة مثلما انه يمكنكم ان تتصوروا جسيم يحمل شحنة كهربائية..
هل يمكنكم?
كل المغناطيسية فى الطبيعة تأتى ثنائية بقطب شمالى و قطب جنوبى..هل يمكنكم تصور قطب شمالى وحيد معزول او قطب جنوبى وحيد معزول ..ذلك اذا تمكنتم من تصوره هو ما نسميه بالمونويول المغناطيسى...
ابسط من هذا تصوروا وشيعة solenoid ذات سمك لا متناه فى الصغر لكن ذات طول لا نهائى يجرى فيها تيار كهربائى مستمر..سيتولد عنها اذن حقل مغناطيسى حيث ان احد وجهى الوشيعة سيتصرف مثل القطب الشمالى أما الوجه الآخر سيتصرف كالقطب الجنوبى...
لكن نحن افترضنا انها لا نهائية الطول اذن نحن لا نستطيع ان نرى احد وجهيها لانه فى المالانهاية مثلا القطب الشمالى..كما اننا افترضنا ان نصف قطرها صغير جدا اذن نحن لا نرى الوشيعة..
اذن فى المحصلة نحن لا نرى الوشيعة و لا نرى القطب الشمالى لكن نرى فقط القطب الجنوبى..
اذن كل الوشيعة ستظهر لنا كقطب مغناطبسى احادى او مونوبول..
هذه الجملة هى التى وجدها ديراك Dirac عندما اكتشف المونوبول المغناطيسى فى الثلاثينات حيث ان الوشيعة اصبحت تعرف فى هذه الوضعية بوتر ديراك Dirac string...والوتر هو المكان الذى يتباعد فيه الحقل المغناطيسى اى يصبح غير مُعرف لانه بكل بساطة معادلات ماكسويل فى صورتها العادية التى استعملها ديراك لا تتحمل وجود المونوبول المغناطيسى..
لكن يبقى أهم اكتشاف لديراك فى هذا المجال هو ما اصبح يُعرف بشرط تكميم الشحنة الكهربائية charge quantization condition ..
فقد بين ديراك ان طوبولوجيا topology الحقل المغناطيسى الذى يولده المونوبول والذى تتحرك فيه شحنة كهربائية كيفية يتسبب فى تكميم هذه الشحنة..
بمعنى انه يكفى ان يوجد مونوبول مغناطيسى واحد فى هذا الكون حتى تكون كل الشحنات الكهربائية بكل استثناء مكممة وهذا فعلا ما نراه فى الطبيعة..فكل الشحنات الكهربائية فى الكون هى مضاعف صحيح لشحنة اساسية هى شحنة الالكترون...
الاكتشاف الاعظم جاء فى السبعينات على يد توهفت 't Hooft و بولياكوف Polyakov اللذان بينا فى نفس الوقت تقريبا و بصورة مستقلة ان اى ان نظريه حقل معيارى gauge theory تخضع الى انكسار تلقائى نحو زمرة group التفاعلات الكهرومغناطيسة التى يرمز لها ب U(1) ستحتوى على مونوبولات مغناطيسية ضرورة..
و ان الشحنة المغناطيسة هى محفوظة ليس بسبب التناظر لكن بسبب الطوبولوجيا..
فهو راجع الى كون جسيم هيغز Higgs السلمى الذى يؤدى الى الانكسار التلقائى للتناظر يعيش فى كرة و بالتالى فهو تطبيق mapping من الكرة فى المالانهاية التى تحدد الفضاء الى الكرة التى ينتمى اليها حقل الهيغز ..
هذه التطبيقات تُصنف طوبولوجيا topologically بما يسمى زمرة الهوموتوبيا الثانية second homotopy group التى فى هذه الحالة هى مجموعة الاعداد الصحيحة..
اذن الشحنة المغناطبيسة هى محفوظة لانها تساوى عدد الالتفاف winding number الخاص بهذا التطبيق اى يعطى كم مرة تلتف كرة الفضاء حول كرة الهيغز..
أليس هذا عجيب..
أكثر من هذا يمكن ان نبين ان كتلة المونوبول هى محدودة من الاسفل بكتلة الجسيمات المعيارية الشعاعية gauge vector particles المرفقة بالانكسار التلقائى للتناظر وهذا ما يسمى بقيد بوغومولناى Bogomolnyi bound...
وايضا فى النهاية المسماة ب نهاية يراساد و سومورفالد Prasard-Sommerfield limit فان كتلة المونوبول تصبح متناسبة مع شحنته المغناطيسية و هو يحل معادلات الحركة الكلاسيكية...فى هذه النهاية فان المونويول يصبح ما يعرف بحالة بوغومولناى و براصاد و سومورفيلد BPS state..
اذن المونوبول هو ليس جسيم أولى بل هو بالاحرى سوليطون soliton اى تشكيلة طوبولوجية ممتدة غير اضطرايبة وهو لا يخضع تماما لمبرهنة نوثر Noether الخاصة بالانحفاظ تحت تاثير التناظرات...
ثم جاء مونتينون Montonen و اوليف Olive و بينا ان هناك ثنائية بين الكهرباء و المغناطيسية حيث يتم فيها تحويل الحقول الكهربائية الى مغناطيسية و العكس, و الشحنات الكهربائية الى مغناطيسية و العكس, و حيث يتم فيها ايضا وهذا الاهم تحويل الجسيمات النوثرية الاضطرايبية الى مونوبولات طوبولوجية غير اضطرابية..
اذن المونوبولات تصف الجملة الكهربائية-المغناطيسية من أجل الاقترانات القوية للتفاعلات عكس الجسيمات الاولية التى تصفها من اجل الاقترانات الضعيفة للتفاعلات..
وهذا ما يجعل المونوبولات على اقصى درجات الاهمية من اجل التفاعلات النووية الكبرى ذات الاقترانات القوية بطبيعتها حيث يُعتقد ان المونوبولات هى التى ستُفسر ما يعرف ظاهرة الحبس confinement النووى الشهيرة..
هذا ما قام به صراحة فيما بعد كل من ويتن Witten و سايبرغ Seiberg فى التسعينات ثم بعدهم نيكارسوف Nekrasov لكن بعد ادخال التناظرات الممتازة الى الموضوع..
أما بدون التناظرات الممتازة فالامر مازال قيد البحث الشديد و هذه المسألة هى المسألة الفيزيائية النظرية الوحيدة بين مسائل معهد كلاى Clay Institute للرياضيات العشرة التى هى كلها مسائل رياضية بحتة وُضع من أجلها مبلغ مليون دولار لمن يحلها..
اذن الحبس هو الظاهرة الأهم بالنسبة للرياضيات و المنافسة لمسائلهم الرياضية البحتة و ليست مسألة الثقالة الكمومية او الثقوب السوداء...
لاحظوا ان فى كل نقاشى اعلاه حول المونويولات لم أتكلم ابدا عن الانسطانطونات instantons لكنها تلعب دورا محوريا نتركه لفرصة اخرى ان شاء الله..
التفصيل الرياضى و الفيزيائى لكل هذه الامور تجدوه فى المحاضرات الحقلية التى تخرج كل اسبوع على المدونة لمن هو مهتم..

بين الكوسمولوجيا و الهولوغرافيا

فضاء-زمن دي سيتر de Sitter هو الحالة الابتدائية للكون عندما كان فى طور التضخم الكونى cosmic inflation و هو ايضا الحالة النهائية للكون التى نحن الآن بصددها..
دى سيتر الابتدائى يتميز بثابت كونى cosmological constant كبير جدا يؤدى الى توسع اسى اما دى سيتر النهائى فيتميز بثابت كونى صغير وتوسع متسارع..
اما فضاء دى سيتر العكسى Anti de Sitter فهو مهم لسبب آخر و بالضبط من اجل الثقالة الكمومية حيث انه الفضاء-زمن الذى نعرف بشكل جيد أنه يطبق في ما يسمى بالمبدأ الهولوغرافى holographic principle بشكل دقيق..
والمبدأ الهولوغرافى ينص على أنه فى النظريات الثقالية فان الانتروبى entropy -اى عدد درجات الحرية او كمية المعلومات- المُخزن فى حجم فى الفضاء-زمن معين هو محدود بأنتروبى ثقب اسود محتوى داخل هذا الحجم..
بعبارة اخرى فان انتروبى هذا الحجم من الفضاء-زمن هو متناسب مع السطح الذى يحدد هذا الحجم و ليس متناسب مع الحجم كما هو الحال فى النظريات غير-الثقالية...
فضاء دى سيتر العكسى هو اذن الفضاء-زمن الذى يظهر فى النظرية الاساسية المشهورة المسماة ب AdS/CFT التى تعتمد بشكل اساسى على المبدأ الهولوغرافى و التى تنص على ان الثقالة الكمومية حول فضاء دى سيتر العكسى AdS هى نظرية حقل كمومى كونفورمال اى هى نظرية كمومية تتميز بتناظرات كونفورمال conformal symmetries (اى تناظرات تحتوى على الانسحابات و الدورانات و التدرجات scalings و دوفوعات لورنتز Lorentz boosts)...
و من أهم الانجازات ايضا فى هذا المجال هو الانتروبى التشابكى الهولوغرافى holographic entanglement entropy -اى الانتروبى الراجع الى التشابك الكمومى و هو اكثر الانواع اساسية-الذى يحسب فى نظرية ال AdS/CFT باستخدام علاقة ريو و تاكاناغى
Ryu-Takayanagi formula
وهو احد اهم الانجازات الحديثة حيث اصبح التشابك الكمومى مع المبدأ الهولوغرافى يلعبان دورا حيويا فى هذا المجال حيث ينبعث الفضاء-زمن بالكلية و كل شيء فيه من النشابك الكمومى...
الفيزيائيان الشابان ريو و تاكاناغى بالمناسبة دخلا تاريخ الفيزياء بسبب اكتشافهما لهذه العلاقة بين التشابك الكمومى و المبدأ الهولوغرافى و اتبعاث الفضاء-زمن...
وبالمناسبة ايضا فان فضاء دى سيتر dS (وهو ذو انحناء curvature موجب مثل الكرة) و فضاء دى سيتر العكسى AdS (وهو دو انحناء سالب مثل الهايبربولويد hyperboloid) هما شقيقان من بين ثلاثة اشقاء (الآخر هو فضاء-زمن مينكوسفكى المسطح flat للنسبية الخاصة) تسمى الفضاءات المتناظرة قصويا maximally symmetric اى التى تتميز بأكبر عدد ممكن من التناظرات التى يمكن ان يتميز بها اى فضاء من نفس البعد..
بعبارة اخرى فان هذه الفضاءات الثلاثة تحقق المبدأ الكوسمولوجى المثالى perfect cosmological principle الذى ينص على ان جميع اللحظات الزمنية و جميع النقاط فى الفضاء متكافئة اى يظهر منها الفضاء لأى ملاحظ بنفس الطريقة ...
وهذه الفضاءات الثلاثة هى ايضا خلول لمعادلة اينشتاين للنسبية العامة...اذن يمكنم ان تبدأوا فى دراستها انظلاقا من هذه المعادلات الاساسية التى تتحكم فى الثقالة الكلاسيكية...