تكامل الطريق فايمان, تدوير وييك, الشبكة و الميكانيك الكمومى المصفوفى

 الجميع يعرف ان الميكانيك الكمومى ينطلق من معادلة شرودينغر.

لكن بالنسبة للمسائل الاكثر أساسية (الثقالة الكمومية quantum gravity, الحقول المعيارية gauge fields, الثقوب السوداء black holes, كوسمولوجيا الانفجار الاعظم big bang cosmology, التحولات الطورية phase transition للمادة و الفضاء-زمن و ما شابه ذلك) فان نقطة انطلاق الميكانيك الكمومى هى ليست معادلة شرودينغر بل نقطة الانطلاق هى تكامل الطريق فايمان Feynman path integral الذى اكتشفه فايمان فى رسالته للدكتوراة فى الاربعينات.

تكامل الطريق فايمان مكافئ تماما لمعادلة شرودينغر وهما مكافئان تماما لمعادلة هايزنبرغ.

لكن تكامل الطريق فايمان يعطينى المنتشر propagator بين نقطتين فى الفضاء-زمن بدلالة جميع الطرق الرابطة بين النقطتين وهذا هو مبدأ التراكب الخطى superposition principle فى ابهى صوره والذى يقوم عليه جميع بناء الميكانيك الكمومى.

الجسيم الكمومى بين نقطتين سوف يمر عبر جميع الطرق الرابطة بين النقطتين فى نفس الوقت (لا محالة) وهذا عكس كل الوهم الكلاسيكى المترسخ فى الانسان.

فى هذه المحاضرة القصيرة نبرهن على تكامل الطريق فايمان. هذه هى الخطوة الاولى.

فى الخطوة الثانية نقوم بتدوير وييك Wick rotation للزمن من اجل ادخال درجة الحرارة. سنرى ان الطرق التى يسلكها الجسيم اصبحت مغلقة و ان مقلوب درجة الحرارة inverse temperature هو بالضبط دور الزمن الاقليدى period of Euclidean time ويتحول بذلك تكامل طريق فايمان الى دالة تقسيم بولتزمان Boltzmann partition function اى يتحول الميكانيك الكمومى الى ميكانيك احصائى.

اذن الميكانيك الكمومى الاقليدى (المدور) هو فى الحقيقة ميكانيك كمومى حرارى اى ان درجة الحرارة لا تنعدم فيه.

رغم اننا قمنا بتدوير الزمن نحو متغير اقليدى الا ان الميكانيك الكمومى مازال غير معرف رياضيا بالشكل الكافى.

فى الخطوة الثالثة نقوم بوضع الميكانيك الكمومى على الشبكة و بهذا نحصل على ميكانيك كمومى على الشبكة lattice quantum mechanics و هو كما سترون ليس الا نوع من انواع نموذج ايزينغ Ising model و بالتالى فهو معرف رياضيا بالكامل.

نؤكد هنا اننا لم نحدد بعد طبيعة التفاعل فالكمون potential مازال كيفى الى اقصى حدود لكن الميكانيك الكمومى على الشبكة يتصرف بالكامل مثل جمل السبين او جمل عزوم-اللف spin system وهذا معرف فيزيائيا و رياضيا بالكامل يمكننا ان نطبق عليه مباشرة طرق مونتى كارلو Monte Carlo methods.

فى الخطوة الرابعة نطبق خوارزمية ميتروبوليس Metropolis algorithm على هذا الميكانيك الكمومى على الشبكة. و سترون فان الامر سهل جدا. مرة اخرى الكمون مازال غير محدد و القضية عامة جدا.

فى الخطوة الاخيرة نعمم نحو الميكانيك الكمومى المصفوفى و سترون ان كل ما ذكر سابقا مازال صالحا.

https://drive.google.com/file/d/16hS0dgGN8aevVlvmjwtOpi1950y-Pzw6/view?usp=sharing