مؤثر ديراك Dirac operator عندما يظهر فى تكامل الطريق فايمان Feynamn path integral فانه يظهر ضرورة مضروب فى اعداد غراسمانية Grassmann numbers و ليس اعداد مركبة complex numbers كما تبينه المعادلة 7.17 او 7.20 و النهاية الكلاسيكية 7.18.
الاعداد الغراسمانية هى اعداد فرميونية عكس الاعداد المركبة التى هى اعداد بوزونية.
هذا يعنى ان اهم خاصية للاعداد الغراسمانية هى انها اعداد ضد-تبادلية anti-commuting و بالتالى فان مربعها صفر بالضرورة (المعادلة 7.18).
هناك خواص اخرى كثيرة مثلا فان دالة كيفية فى عدد غراسمانى هى بالضرورة دالة خطية و التكامل على العدد الغراسمانى مكافئى تماما للتفاضل على العدد الغراسمانى.
الاعداد الغراسمانية يمكن ان تكون مركبة و قد تكون حقيقية بالمعنى المتعارف عليه. اى انه اذا كان الارفاق المركب complex conjugation للعدد الغراسمانى يعطينى نفس العدد فان هذا العدد الغراسمانى هو عدد غراسمانى حقيقى و الا فهو عدد غراسمانى مركب.
أهم شيء بالنسبة للتكامل الفرميونى على الاعداد الغراسمانية (تكامل طريق فايمان على سبينورات ديراك) هى النتيجة 7.40 و قارنوا هذه النتيجة مع التكامل البوزونى على الاعداد المركبة النتيجة 7.41.
المصفوفة M تلعب دور مؤثر ديراك اذن نحصل على محدد determinant مؤثر ديراك اى det M عكس التكامل البوزونى اين نحصل على محدد مقلوب M وهذا فرق هائل جدا بين الحقول الفرميونية (سبين نصف صحيح) و الحقول البوزونية (سبين صحيح).
لو كانت الاعداد الغراسمانية هى اعداد غرامسانية حقيقية فاننا نحصل على الفافايان Pffafian عوض المحدد و الفافيان هو الجذر التربيعى للمحدد (تقريبا). حساب الفافيان اصعب عموما من حساب المحدد و حساب المحدد هو اصعب عملية مصفوفية قاطبة.
هذا المحدد او هذا الفافيان الديراكى هو نقطة انطلاق نظرية الحقول على الشبكة التى تحتاج الى محاكاة الجسيمات و الحقول الفرميونية او محاكاة التناظر الممتاز supersymmetry.
No comments:
Post a Comment