تناقض جيبس

 السر الأكبر وراء نجاح الفيزياء الساحق فى كشف اسرار الطبيعة هو التزامها الصارم بمحاولة فهم الكون على شكل ميكانيكى.

و دراسة الفيزياء و الرياضيات مع عدم خلط تلك الدراسة مطلقا بأى شيء آخر هو الضامن الوحيد على الحفاظ على نظافة التفكير الفيزيائى رغم عجز هذا النمط من التفكير عن تناول امور أخرى ليس لها حل على التحقيق.

فالفيزياء هى ميكانيك وليست شيئا آخر.

ولهذا فان مواضيع الوعى و الوجود -التى ليس لها حل على التحقيق- تجد فيها الفيزياء و غيرها من العلوم صعوبة شديدة لأن الوعى على ما يبدو ليس ميكانيكى.

اذن الأسلم هو دراسة الفيزياء و الرياضيات و الحاسوبية و غيرها من العلوم الميكانيكية-الرياضية الصارمة بدون اى خلط مع العلوم الاخرى لان كل شيء آخر لن يجدى شيئا و لن يصل الى اى شيء.

اذن الفيزياء هى ميكانيك و لهذا فان الفيزياء ناجحة فى مهمتها و فى موضوعها نجاحا لم يسبقها فيه اى علم آخر لا قبل و لا بعد.

و أنواع الميكانيك فى الفيزياء و الفيزياء النظرية هى الميكانيك الكلاسيكى classical mechanics و الميكانيك الاحصائى statistical mechanics و الميكانيك الكمومى quantum mechanics.

واى شيء فى الفيزياء بل ان كل ظاهرة فى الطبيعة يجب ان ننجح فى وصفها بأحد انواع الميكانيك هذه.

حتى نظرية كل شيء theory of everything التى يلهث وراءها الجميع فهى ليست الا نظرية ميكانيك كمومى.

اذن الميكانيك الكمومى هو الأساس.

و الميكانيك الكلاسيكى هو المنطق الرياضى الذى يريد ان يحتذى به لكن يفتقده الميكانيك الكمومى.

و أما الميكانيك الاحصائى فهو المنطق الحاسوبي الذى يلجأ له الميكانيك الكمومى حتى يقوم بالتجربة الافتراضية.

اليوم سأتكلم عن الميكانيك الاحصائى.

و سادة و كبراء الميكانيك الاحصائى من الناحية النظرية الاساسية هم ثلاثة: بولتزمان Boltzmann النمساوى و ماكسويل Maxwell الانجليزى و جيبس Gibbs الامريكى.

ومن الأزمات التى صادمت الميكانيك الاحصائى فى بداياته اذكر ما يسمى تناقض جيبس Gibbs paradox. فهذا تناقض كان اساسيا فى اعطاء الزخم التفسيرى للمجموعة الميكروقانونية micro-canonical ensemble و هى اول المجموعات الاحصائية للميكانيك الاحصائى.

المجموعة الميكروقانونية تصف الجمل المعزولة isolated systems اى الجمل ذات الطاقة الثابتة.

وفى هذه المجموعة نعتبر عوض الجملة الفيزيائية الاصلية المميزة بطاقة معينة عدد كبير من الجمل المتطابقة مع هذه الجملة الاصلية اى جمل لها نفس الطاقة لكن تختلف فيما بينها فى الحالة الميكروسكوبية microscopic state التى تحتلها كل جملة من المجموعة.

المجموعة الميكروقانونية تتميز باحتمال منتظم uniform يساوى الى مقلوب عدد الحالات الميكروسكوبية.

اذن احتمال الحصول على اى جملة فى حالة ميكروسكوبية ما هو ثابت وهذا هو نص المسلمة الاولى للميكانيك الاحصائى.

اذن المتوسط فى الزمن لأى مقدار فيزيائى للجملة الاصلية يساوى الى المتوسط على المجموعة لهذا المقدار الفيزيائى و هذا هو نص المسلمة الثانية للميكانيك الاحصائى التى تعرف ايضا بالفرضية الارغودية ergodic hypothesis.

تناقض جيبس Gibbs paradox هو فى الحقيقة تجربة يستحيل تفسيرها فى اطار نظرية الميكانيك الاحصائى الكلاسيكى لكن جيبس وجد لها تفسيرا من خارج هذه النظرية بالذهاب الى الخواص الكمومية للجزيئات و الذرات و الجسيمات قبل اكتشاف الميكانيك الكمومى بأكثر من 40 سنة.

فى هذه التجربة او التناقض نقوم بأخذ غازين مثاليين ideal gases مثلا الارغون و النيون و نقوم بوضعهما فى وعاء و نفصل بينهما بجدار.

نحسب بعد ذلك الانطروبى entropy الخاص بالجملة باستخدام علاقة تسمى ساكور-تترود Sakur-Tetrode relation.

فى المجموعة الميكروقانونية فان الانطروبى هو متناسب مع لوغاريتم عدد الحالات الميكروسكوبية microscopic states للجملة اى لوغاريتم عدد التشكيلات المختلفة different configurations التى تتوزع فيها الذرات او الجزيئات المشكلة للغاز.

هذه العلاقة او المعادلة (الانطروبى متناسب مع لوغاريتم عدد الحالات) تسمى معادلة بولتزمان و هى المعادلة التى اوصى بولتزمان -الذى انتحر فى المشفى بعد انهيار نفسى- بأن توضع على شاهد قبره.

اذن نحسب انطروبى غاز الارغون و انطروبى غاز النيون و نقوم بجمعهما. هذه القيمة الابتدائية.

بعد ذلك نقوم بنزع الجدار الفاصل بين الحجرتين اى بين غازى الارغون و النيون و نعيد حساب الانطروبى باستخدام نفس العلاقة. هذه هى القيمة النهائية.

نجد مباشرة ان التغير فى الانطروبى لا ينعدم لان هذا تحول غير-عكسى irreversible process اى انه لا يمككنا الرجوع الى الحالة الابتدائية التى كانت عليها الجملة قبل نزع الجدار الفاصل بين الغازين.

هذه النتيجة مؤكدة تجريبيا. اذن لحد الساعة لا توجد اى مشكلة.

نفترض الآن ان الغازين المثاليان هما من نفس النوع.

اذا قمنا بحساب التغير فى الانطروبى باتباع نفس الخطوات اعلاه فاننا سنجد ان هذا التغير لا ينعدم ايضا.

وهذه كانت كارثة بجميع المقاييس التجريبية و النظرية.

لانه بكل بساطة اذا كان الغازان فى الحجرتين متطابقين -اى نفس الغاز- فان نزع الجدار الفاصل لا يؤدى الى اى تغيير محسوس فى الجملة. فى هذه الحالة نقول ان التحول عكسى reversible process و اذن كان يجب ان يكون التغير فى الانطروبى معدوما.

اكثر من هذا فان جيبس انتبه الى انه فى هذه الحالة كان يمكن ان نتصور انه كان موجودا اكثر من جدار فاصل فى الوعاء اى ان الوعاء يتشكل من اكثر من حجرتين و كلما نزعنا جدارا بين حجرتين فان الانطروبى يزداد و اذن فان الانطروبى يمكنه ان يأخذ نظريا اى قيمة عددية.

بكل بساطة يستنتج جيبس انه لا يمكن تعريف الانطروبى فى هذه الحالة و كل هذا خطأ لاننا نعرف ان هذا التحول الترموديناميكى هو عكسى و اذن لا يوجد تغير فى الانطروبى.

اكثر من هذا فان الانطروبى مُعرف تماما بعلاقة بولتزمان التى تنص على ان الانطروبى فى المجموعة الميكروقانونية يجب ان يكون متناسبا مع لوغاريتم عدد الحالات الميكروسكوبية للجملة.

هنا يأتى جيبس بحل عبقرى ينص على انه يجب ان نقسم عدد الحالات الميكروسكوبية على عدد تبديلات number of permutations ذرات الغاز التى لا تغير من حالة الجملة و ان العدد الذى نحصل عليه هو العدد الصحيح و هذا العدد هو ما يسمى تعداد بولتزمان الصحيح correct Boltzmann counting.

اذن اذا كان الغازان متمايزين distinct -مثلا ارغون و نيون- و كان الارغون يحتوى على N1 جسيم و كان النيون يحتوى على N2 جسيم فان عدد تبديلات الجزيئات التى لا تغير من حالة الجملة هو N1!N2! اى معاملى N1 ضرب معاملى N2.

هذا واضح لان ذرات الارغون متطابقة identical اذن معاملى factorial عدد ذرات الارغون هو عدد التبديلات الخاصة بالارغون التى لا تغير من حالة الجملة وهذه هى ال N1!.

بالمثل فان ذرات النيون هى متطابقة identical و اذن معاملى factorial عدد ذرات النيون هو عدد التبديلات الخاصة بالنيون التى لا تغير من حالة الجملة وهذه هى ال N2!.

هذا من جهة.

اما من الجهة الاخرى فانه اذا كان الغازان متطابقين -مثلا ارغون و ارغون- فان عدد التبديلات يصبح (N1+N2)! اى معاملى المجموع.

اذن عدد التبديلات مختلف جدا فى الحالتين و هذا العدد يجب ان نقسم به عدد الحالات الميكروسكوبية لان هذه التبديلات لا تغير من الحالة الميكروسكوبية للجملة و اختلاف عدد التبديلات فى حالة الغازات المتمايزة و حالة الغازات المتطابقة يؤدى بالضبط الى النتيجة الصحيحة فى كلتا الحالتين.

فمثلا فى حالة الغازين المتطابقين فان هذه القاعدة -التى تسمى تعداد بولتزمان الصحيح- تؤدى الى تغير فى الانطروبى معدوم و هذا هو المشاهد تجريبيا فى هذه الحالة.

اذن جيبس العبقرى حل هذه المعضلة باستخدام خاصية يستحيل ان تكون صحيحة فى الميكانيك الاحصائى الكلاسيكى.

فالجسيمات المتطابقة identical particles غير موجودة فى الميكانيك الكلاسيكى و اما فى الميكانيك الكمومى فهى موجودة مع خاصية ان دالة الموجة الخاصة بها يجب ان تكون اما تناظرية symmetric (اذا كانت الجسيمات ذات عزم لف صحيح integer spin) او تناظرية-ضدية anti-symmetric (اذا كانت الجسيمات ذات عزم لف نصف صحيح half-integer spin).

هذه الخاصية الكمومية هى ذات علاقة بمبرهنة السبين-و-الاحصاء spin-statistic theorem و مبدأ الاستبعاد لباولى Pauli's exclusion principle التى هى ظواهر كمومية محضة ذات اصل طوبولوجى topological.

اذن جيبس اكتشف معضلة فى فيزياء الغازات ثم حل تلك المعضلة باستخدام خواص كمومية قبل اكتشاف الميكانيك الكمومى باكثر من 40 سنة.

حل هذه المعضلة يسمى تعداد بولتزمان الصحيح لان بولتزمان عندما قام بحل هذه المسألة حلها بشكل صحيح من البداية و لم يقع فى اى معضلة و هذا بكل بساطة لان بولتزمان هو اكثر ذكاءا و عبقرية و عمقا بسنوات ضوئية من جيبس.