الميكانيك الاحصائى ماستر فيزياء جميع التخصصات عام 2023
المحاضرات من 7 الى 12 مع سلسلة التمرينات الثانية-الاسبوعان 29 اكتوبر و 5 نوفمبر-
فى هذه المحاضرات نناقش المجموعة الميكروقانونية microcanonical ensemble و هى اول المجموعات الاحصائية للميكانيك الاحصائى.
و المجموعة نقصد بها هنا مجموعة من الجمل الفيزيائية المتطابقة ماكروسكوبيا macroscopically identical اى من الناحية العيانية (مثلا هذه الجمل لها نفس الطاقة) لكن متمايزة ميكروسكوبيا microscopically distinct اى من الناحية المجهرية بمعنى ان ذراتها او جسيماتها أو ذراتها تتوزع فى كل منها بشكل مختلف لكن بشكل يعطى نفس القيمة من الطاقة (وهذه التوزيعات المختلفة للذرات تسمى الحالات الميكروسكوبية microscopic states).
المجموعة الميكروقانونية تصف الجمل المعزولة isolated systems اى الجمل ذات الطاقة الثابتة.
وهذا عكس المجموعة القانونية canonical ensemble التى تصف الجمل ذات درجة الحرارة الثابتة و عدد الجسيمات الثابت و المجموعة القانونية الكبرى grand-canonical ensemble التى تصف الجمل ذات درجة الحرارة الثابتة.
وهذه الثلاث مجموعات هى المجموعات الاحصائية الاساسية فى الميكانيك الاحصائى.
لكن ننبه ان استعمال المجموعة القانونية و المجموعة القانونية الكبرى اسهل من استعمال المجموعة الميكروقانونية لانه اسهل ان نثبت درجة الحرارة (عن طريق وضع الجملة فى توازن حرارى مع ما يسمى حمام حرارى heat bath) اذن اسهل ان نثبت درجة الحرارة من ان نتثبت الطاقة الذى يتطلب عزل الجمل تماما عن الوسط الخارجى (الذى يسمى ايضا البيئة environment) الذى هو امر اصعب بكثير.
لكن حتى من الناحية الرياضية فان استعمال القانونية و القانونية الكبرى اسهل من استعمال الميكروقانوينة.
اساس المجموعة القانونية هو دالة التقسيم partition function-التى سنتكلم عنها فى المستقبل ان شاء الله- لكن اساس المجموعة الميكروقانونية فهو عدد الحالات الميكروسكوبية number of microscopic states التى تتميز بطاقة معينة و الذى يتم حساب كل الترموديناميك بل كل الفيزياء انطلاقا منه.
فى المجموعة الميكروقانونية فان الانطروبى entropy هو متناسب بالضبط مع لوغاريتم عدد الحالات الميكروسكوبية microscopic states للجملة اى لوغاريتم عدد التشكيلات المختلفة different configurations التى تتوزع فيها الذرات او الجزيئات المشكلة للغاز بحيث تعطى تلك الطاقة المعينة المميزة للحالة الماكروسكوبية.
هذه العلاقة بين الانطروبى و عدد الحالات الميكروسكوبية هو ما يسمى معادلة بولتزمان للانطروبى Boltzmann's entropy formula.
فى المجموعة الميكروقانونية هذه نعتبر عوض الجملة الفيزيائية الاصلية المميزة بطاقة معينة عدد كبير من الجمل المتطابقة مع هذه الجملة الاصلية اى جمل لها نفس الطاقة لكن تختلف فيما بينها فى الحالة الميكروسكوبية microscopic state التى تحتلها كل جملة من المجموعة.
المجموعة الميكروقانونية تتميز باحتمال منتظم uniform يساوى الى مقلوب عدد الحالات الميكروسكوبية.
اذن احتمال الحصول على اى جملة فى حالة ميكروسكوبية ما هو ثابت وهذا هو نص المسلمة الاولى للميكانيك الاحصائى.
اذن المتوسط فى الزمن لأى مقدار فيزيائى للجملة الاصلية يساوى الى المتوسط على المجموعة لهذا المقدار الفيزيائى و هذا هو نص المسلمة الثانية للميكانيك الاحصائى التى تعرف ايضا بالفرضية الارغودية ergodic hypothesis.
اذن المتوسط فى الزمن (وهو صعب جدا فى الحساب يتطلب تتبع التطور فى الزمن للجملة الفيزيائية) يساوى المتوسط فى المجموعة (وهو اسهل فى الحساب يتطلب اخذ جمل فيزيائية متطابقة فى نفس اللحظة الزمنية) اذا كان عدد عناصر المجموعة كبير جدا. ومن هنا دخل الاحصاء.
هذه النتيجة فى الحقيقة هى احدى معجزات الميكانيك الاحصائى و هذا هو السبب لماذا يتم تحويل نظرية الحقول الكمومية quantum field theory (التى هى تعميم الميكانيك الكمومى نحو النسبية الخاصة) الى نظرية حقول اقليدية Euclidean field theory عندما يراد اعطاء محتوى حاسوبى للحقول الكمومية يمكن للرياضيات و الحاسوبية ان تفهماه بشكل مضبوط.
نظرية الحقول الاقليدية تسمى ايضا نظرية الحقول الاحصائية statistical field theory و كل هذه ليست الا اسماء لان نظرية الحقول الاقليدية او نظرية الحقول الاحصائية هى ليست الا ميكانيك احصائى لا اقل و لا اكثر.
و اننى شخصيا افضل مصطلح الميكانيك الاحصائى على هذه المصطلحات.
فى هذه المحاضرات نقوم بالخصوص بحساب عدد الحالات الميكروسكوبية فى مثال المشاء العشوائى random walker و فى مثال نموذج ايزينغ Ising model فى بعد واحد ثم نقوم بتعريف انطروبى المعلومات entropy of information.
نقوم بعد ذلك باشتقاق معادلة بولتزمان للانطروبى التى تنص على ان انطروبى المعلومات (و يسمى هنا فى اطار الميكانيك الاحصائى بالانطروبى الاحصائى statistical entropy) متناسب مع لوغاريتم عدد الحالات الميكروسكوبية و ثابت التناسب هو بالضبط ثابت بولتزمان Boltzmann's constant.
الانطروبى الاحصائى يصبح الانطروبى الترموديناميكى المعروف عندما نذهب الى التوازن equilibrium.
الانطروبى او عدد الحالات الميكروسكوبية يقيسان درجة اللانظام disorder فى الجملة.
نقوم بعد ذلك بمناقشة التوازن الاحصائى الذى يتميز بعدد اعظمى من الحالات الميكروسكوبية او قيمة اعظمية للانطروبى او درجة لانظام اعظمية.
عند التوازن الاحصائى فان احتمال الحصول على اى حالة ميكروسكوبية هو ثابت يساوى مقلوب عدد الحالات الميكروسكوبية.
نناقش بعد ذلك التوازن الترموديناميكى و نعطى الوصفة العامة لكيفية استخراج الترموديناميك من المجموعة الميكروقانونية.
ثم نقوم فى الاخير بتطبيق المجموعة الميكروقانونية على جملة الغاز المثالى ideal gas.
كل هذه الامور تجدونها مشروحة بشكل فيزيائى-نظرى و رياضى فى الفصل الثانى.
المسائل و التمرينات فى آخر المحاضرات مرفقة بحلول و سنناقشها فى منشور منفصل ان شاء الله لانه مازلنا لم نقم بحلها فى القسم و ايضا لان بعض تلك المسائل هى فى غاية الاهمية.
No comments:
Post a Comment