فى هذا الفصل يناقش بنروز Penrose تحويل فورييه Fourier transform و علاقته بسلسلة لورونت Lorent series فى المستوى المركب complex plane و علاقة الجميع بالمسألة الفيزيائية الخاصة بتقسيم حقل كمومى او دالة موجة الى مجموع قسمين:
-قسم التواتر-الموجب positive-frequency و يسمى ايضا قسم الطاقة-الموجبة positive-energy الذى يصف الامواج الداخلة incoming waves او الجسيمات particles او الانتشار العادى forward propagation فى الزمن.
-قسم التواتر-السالب negative-frequency و يسمى ايضا قسم الطاقة-السالبة negative-energy الذى يصف الامواج الخارجة outgoing او الجسيمات-المضادة anti-particle او الانتشار العكسى backward propagation فى الزمن.
هذا امر فيزيائى مهم جدا لكن بنروز يستخدم هذه الاداة (تحويل فورييه) من اجل دراسة اعمق و ادق لهندسة المستوى المركب geometry of the complex plane و هذا كله من اجل تعريف اعم الدوال الممكنة بل اعم الدوال المطلوبة فى الرياضيات و الفيزياء.
يبدأ من الدوال التحليلية analytic functions على الخط الحقيقى.
ثم يعممها الى الدوال الهولومورفية holomorphic فى المستوى المركب.
لكن الفيزياء و الطبيعة من وراءها تحتاج الى دوال اعم بكثير من هذه الدوال المستمرة و القابلة للاشتقاق و التى جميع مشتقاتها هى ايضا دوال مستمرة و قابلة للاشتقاق.
اذن يعمم المؤلف الدوال الهولومورفية الى ما يسمى الدوال-الهايبر او الدوال-المفرطة hyperfunction و الدالة-الهايبر هى زوج من الدوال الهولورمورفية معرفين على منطقتين مفتوحتين open regions من المستوى المركب يفصلهما خط منحنى تقع عبره ما يسمى القفزة jump بين الدالتين الهولومورفيتين.
يعطى مثال تفصيلى هو (الموجة المربعة square wave) التى لم يكن يقبلها العملاق اولر Euler -رئيس الرياضيات فى زمانه- لانها ليست دالة تحليلية لكن فورييه بين بما لا يدع اى مجال للشك ان هذه الدالة تقبل تحويل فورييه عادى يتصرف بشكل صحى تماما (تحويل فورييه للدالة المربعة هى دالة تحليلية).
الموجة المربعة هى فى الحقيقة دالة-هايبر او دالة-مفرطة وفهمها يحتاج الى فهم الدوال-المفرطة فى المستوى المركب الذى بدوره يتطلب فهم الدوال الهولومورفية المفصولة بتقطع تقع عبره قفزة بين دالتين هولوموفيتين.
والدوال الهولومورفية يقبلها بطبيعة الحال اولر فهى دوال لا غبار عليها (الدالة الهولومورفية هى دالة مركبة تعمم الدالة التحليلية).
نهاية limit (اى اقصى) الدوال-الهايبر او الدوال-المفرطة هى ما يسمى التوزيعات distribution و اشهر التوزيعات هى دالة ديراك Dirac function من الميكانيك الكمومى.
هذا الفصل يمكن قراءته فى نصف ساعة.
اما فهمه بالنسبة للطالب فقد يتطلب بضعة ايام قليلة مع الاجتهاد.
من يعرف تحليل فورييه فالامر سهل و من يعرف كيفية انقسام الحقل الكمومى الى قسمين قسم بطاقة-موجبة و قسم بطاقة-سالبة فالامر اسهل بكثير و من يعرف مفوم الدالة الهولومورفية فالامر يصبح فى غابة السهولة.
ومن لا يعرف اى من هذه الامور فهى ايضا فرصة ممتازة للتعرف عليها فى اطار نسق رياضى بسيط جدا من استاذ متمكن يعى تماما قوة الاعداد المركبة بالنسبة للفيزياء و الرياضيات و عمق دورها فى وصف الطبيعة.
No comments:
Post a Comment