درس فى الهندسة التفاضلية و الطوبولوجيا 4: الاشكال التفاضلية

خلاصة ما ذكرناه سابقا

المتشعب manifold ونرمز له ب $M$ هو اذن فضاء منحنى يشبه الفضاء الاقليدى موضعيا اى فى كل نقطة منه...

مثال مشهور الكرة..مثال آخر اشهر اى فضاء-زمن...

الفضاء الشعاعى المماس tangent vector space و نرمز له ب $T_p(M)$ هو فضاء شعاعى يمس المتشعب $M$ فى النقطة $p$...اساس هذا الفضاء الشعاعى يعطى بالمشتقات الجزئية الاتجاهية $\partial/\partial x^i$ ....هذه المشتقات تعرف حقل شعاعى على المتشعب لان اى شعاع $v$ فى $T_p(M)$ يعطى ب

$$v=\sum_i v^i\frac{\partial}{\partial x^i}.$$

الاعداد $v^i$ هى اعداد مركبة اى فى $C$ وهى تعطى مركبات الشعاع $v$..

الفضاء الشعاعى المماس المرفق cotangent vector space و نرمز له ب $T_p^*(M)$ هو فضاء شعاعى ثنوى dual للفضاء الشعاعى المماس $T_p(M)$...
ثنوى يعنى بكل بساطة ان عناصر $T_p^*(M)$ هى داليات خطية linear functional من الفضاء $T_p(M)$ الى الاعداد المركبة..هذا الفضاء هو ايضا فضاء شعاعى يعطى اساسه بالتفاضلات التامة $dx^i$...هذه التفاضلات التامة تعرف داليات خطية من $T_p(M)$ نحو $C$ تعطى بالضبط بالجداء السلمى

$$(\frac{\partial}{\partial x^i},dx^j)=\delta_i^j.$$

اى عنصر $u$ فى $T_p^*(M)$ يمكن نشره فى الاساس $dx_i$ كما يلى 

$$u=\sum_i u_idx^i.$$

الاعداد المركبة $u_i$ هى مركبات $u$...

عناصر الفضاء الشعاعى المماس $T_p(M)$ تسمى حقول شعاعية vector fields او اشعة اختصارا...ومركباتها $v^i$ تحمل دليل علوى يسمى متغاير عكسى contravariant ....

اما عناصر الفضاء الشعاعى الثنوى $T_p^*(M)$ فتسمى الاشكال التفاضلية من الرتبة الاولى او الاشكال- الاولى one-forms  اختصارا... ومركباتها $u_i$ تحمل دليل سفلى يسمى متغاير covariant ...

انطلاقا من الاشعة و من الاشكال-الاولى يمكننا تعريف اى تنسور tesnor من الرتبة $k+l$ على انه جسم رياضى $T$ يحمل $k$ دليل متغاير و $l$ دليل متغاير عكسى نرمز له او بالاحرى لمركباته ب $T_{i_1...i_k}^{j_1...j_l}$ اى انه عنصر فى الفضاء الشعاعى الذى نحصل عليه بالضرب التنسورى ل $k$ فضاء شعاعى $T_p(M)$ و $l$ فضاء ثنوى $T_p^*(M)$:

$$T\in T_p(M)\otimes...T_p(M)\otimes T_p^*(M)\otimes....\otimes T_p^*(M).$$

الجداء الخارجى و الاشكال التفاضلية

نعرف الآن الجداء الخارجى exterior derivative لكارطان Cartan بين الاشكال التفاضلية الاولى على انه الجداء التنسورى الضدتناظرى antisymmetric المعطى ب

$$dx\wedge dy=\frac{1}{2}(dx\otimes dy-dy\otimes dx)=-dy\wedge dx.$$  

ناتج الضرب هو شكل تفاضلى من الرتبة الثانية او الشكل-الثانى two-form اختصارا...

اذن الضرب الخارجى للاشكال-الاولى يعطى الاشكال-الثانية..

كما ان الاشكال-الاولى تعبر عن الطول اللامتناهى فى الصغر فان الاشكال-الثانية تعبر عن المساحة اللامتناهية فى الصغر...

يمكن ايضا تكوين الاشكال التفاضلية الثالثة او الاشكال-الثالثة باخذ الجداء الخارجى للاشكال-الاولى و الاشكال-الثانية...

بصفة عامة يسمح لنا الجداء الخارجى لكارطان بتكوين الاشكال التفاضلية من الرتبة $p+q$ بضرب الاشكال من الرتبة $p$ مع الاشكال التفاضلية من الرتبة $q$...

الاشكال التفاضلية هى اجسام رياضية مرتبطة بحقول التنسورات المتغايرة الضدتناظرية antisymmetric covariant tensor fields اى انها تنتمى الى الفضاء

$$T_p^*(M)\wedge....\wedge T_p^*(M).$$

اذا كان $\Lambda^p$ هو فضاء التنسورات المتغايرة الضدتناظرية فان فضاء الاشكال التفاضلية $F$ من الرتبة $p$ هو $C^{\infty}(\Lambda^p)$ اى هى العناصر من الشكل

$$F=\sum_{i_1}...\sum_{i_p}F_{i_1...i_p}dx^{i_1}\wedge....\wedge dx^{i_p}.$$

على متشعب بعده $n$ يمكن ان تأخذ الرتبة $p$ القيم من $0$ (وهى الدوال العادية) الى القيمة $p=n$ وهو الشكل الحجمى volume form على المتشعب المعرف ب 

$$dV=dx^1\wedge dx^2....\wedge dx^n.$$

انظر الصورة..

فضاء التنسورات المتغايرة الضدتناظرية $\Lambda^p$ هو فضاء شعاعى بعده

$$\frac{n!}{p!(n-p)!}.$$