درس فى نظرية الزمر و نظرية التمثيلات 3: الزمرتان $SU(2)$ و $SO(3)$...

العزم الحركى...

نبدأ بأمر معروف الى حد ما...

العزم الحركى فى الميكانيك الكمومى يعبر عنه بمؤثرات-اى مقادير فيزيائية- يعبر عنها فى هذه الحالة بمصفوفات نرمز لها ب $J_x$, $J_y$, $J_z$...

تذكروا ان العزم الحركى هو شعاع اذن له مركبات هى اسقاطاته على المحاور $x$, $y$ , $z$  التى تعطى بالضبط ب $J_x$, $J_y$ , $J_z$  على التوالى...

العزم الحركى كمصفوفات يحقق علاقات تبادل مشهورة تعطى ب

$$[J_x,J_y]=iJ_z~,~[J_z,J_x]=iJ_y~,~[J_y,J_z]=iJ_x.$$

هذه العلاقات تعبر فيزيائيا عن كوننا لا نتسطيع ان نقيس المركبات الثلاثة للعزم الحركى فى نفس الوقت...

لكن فيزيائيا يمكننا ان نقيس احد المركبات للعزم و التى نأخذها عموما المركبة $J_z$ فى الاتجاه $z$ و مربع العزم الحركى الذى يعرف ب

$$J^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2.$$

هذا ممكن فيزيائيا لانه رياضيا $J_z$ يتبادل مع $J^2$ اى $[J_z,J^2]=0$.....

كوننا نستطيع ان نقيس فى نفس الوقت $J_z$ و $J^2$ يعنى انه توجد اشعة حالة ذاتية مشتركة بين المؤثرات $J_z$ و $J^2$ نرمز لها ب $|jm\rangle$...

حيث $j$ هى القيمة الذاتية ل $J^2$ و $m$ هى القيمة الذاتية ل $J_z$ و نكتب 

$$J^2|jm\rangle=j(j+1)|jm\rangle~,~J_z|jm\rangle=m|jm\rangle.$$

القيم الذاتية نعنى بها بكل بساطة القيم التجريبية المقاسة التى سنجدها أكيد عند قياس هذه المقادير الفيزيائية عندما تكون الجملة الفيزيائية فى الحالة الكمومية $|jm\rangle$.....

نسمى القيمة الذاتية $j$ بعزم اللف او السبين spin...وهذا هو الاصل الذى يأتى منه السبين...

اما $m$ فيسمى فى بعض الاحيان بالعزم الكمومى المغناطيسى و هو يأخذ $2j+1$ قيمة فقط تعطى ب

$$j,j-1,j-2,....,-j+2,-j+1,-j.$$

اذن هناك $2j+1$ حالة ذاتية تشكل اساس لفضاء هيلبرت Hilbert مرفق بالسبين $j$ ..

العزوم الحركية $J_x$, $J_y$, $J_z$ و مربع العزم $J^2$ تمثل على هذا الفضاء الهيلبرتى بمصفوفات  $n\times n$ حيث 

$$n=2j+1.$$

نسمى ايضا فضاء هيلبرت المرفق بالسبين $j$ بتمثيلة السبين spin representation $j$....

اصغر قيمة ممكنة للسبين هى $j=1/2$ وفى هذه الحالة تعطى مصفوفات العزم الحركى بمصفوفات باولى اى $J_x=\sigma_x/2$, $J_y=\sigma_y/2$, $K_z=\sigma_z/2$ حيث 

$$\sigma_1 = \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right|, \sigma_2 = \left| \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right| , \sigma_3 = \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right|.$$

ثانى اصغر قيمة للسبين هى $j=1$ وفى هذه الحالة تعطى مصفوفات العزم الحركى $J_x=L_x$, $J_y=L_y$, $J_z=L_z$ p حيث

$$L_1 = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right|, L_2 = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right| , L_3 = \left| \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0& \end{array} \right|.$$

لكن  اين هى نظرية الزمر و نظرية التمثيلات اعلاه? 

 

الذى قمنا به اعلاه هو اننا عرفنا اشهر زمرتين فى عالمى الزمر و الفيزياء...

جبرية العزم الحركى فى المعادلة الاولى اعلاه هىى جبرية لى Lie algebra التى يرمز لها برمزين مختلفين لكن متكافئن..هذه الجبرية يرمز لها ب

$$su(2).$$

او ب

$$so(3).$$

أما $su(2)$ فهى جبرية لى للزمرة $SU(2)$ ...

وأما $so(3)$ فهى جبرية لى للزمرة $SO(3)$...

رغم ان $su(2)=so(3)$ الا ان الزمرة $SU(2)$ لا تساوى الزمرة $SO(3)$ .... 

الزمرة $SU(2)$ هى غطاء مضعف double cover  للزمرة $SO(3)$ اى انها تغطيها مرتين..التعريف الرياضى المضبوط نتركه لفرصة اخرى...

الزمرة $SO(3)$  هى زمرة الدورانات فى ثلاثة ابعاد ...وتمثيلة السبين $j=1$ اعلاه توفر التمثيلة الاساسية fundamental representation لهذه الزمرة...

أما تمثيلة السبين $j=1/2$ اعلاه فتوفر التمثيلة الاساسية للزمرة $SU(2)$ ...

تمثيلة السبين $j$ من اجل اى قيمة للسبين توفر ايضا تمثيلة لاى من الزمرتين $SU(2)$ و $SO(3)$ ...

اذن نحن فى الحقيقة حصلنا هكذا على نظرية التمثيلات بالكامل لهاتين الزمرتين...

نختم بالتعريف التالى...

الزمرة $SO(3)$ هى زمرة المصفوفات $3\times 3$ المتعامدة orthogonal اى المصفوفات $R$ التى تحقق 

$$R^TR=R^TR=1.$$

أما الزمرة $SU(2)$ فهى زمرة المصفوفات $2\times 2$ الاحادية الخاصة special unitary اى بمحدد يساوى واحد اى المصفوفات $g$ التى تحقق 

$$g^+g=gg^+=1~,~{\rm det}g=1.$$

اذن كما ترون فان تعريف الزمرة يستخدم التمثيلة الاساسية ضمنا لكن الزمرة تقبل عدد غير منتهى من التمثيلات الاخرى...بمعنى ان  $R$ يمكن التعبير عنه بمصفوفات اخرى غير الثلاثية التى تحفظ بنية الزمرة و كذلك $g$ يمكن التعبير عنه بمضفوفات اخرى غير الثنائية التى تحفظ بنية الزمرة...

نختم فعلا الآن بالعلاقة المضبوطة بين الزمرتين اعلاه...

لدينا العلاقة السحرية بين $g$ و $R$ التالية

$$g\sigma_i g^{-1}=R_{ij} \sigma_j.$$