هذه المحاضرات هى مستوى سنة اولى ماجيستير تخصصات الفيزياء النظرية, الفيزياء الرياضية و فيزياء الجسيمات الاولية. كل محاضرة مصورة هى فى الحقيقة خلاصة حوالى ثلاثة محاضرات سابقة فكثير من البراهين و النتائج تستهلك وقتا اطول من الساعة طول المحاضرة المصورة.
المحاضرة الاولى: زمرة الدوران SO(3) و جبرية ليه الخاصة بها so(3).
أول المحاضرات المصورة لهذا العام فى نظرية الحقل الكمومى.
الموضوع الأول يخص زمرة الدورانات فى الفضاء الثلاثى, جبرية ليه Lie algebra المولدة لها, و تمثيلاتهما their representations.
سأشرح ايضا بعض الامور التى تخص الزمر و الفضاءات الشعاعية و لازمة شور Shur lemma التى تقع فى اساس نظرية التمثيلات representation theory كلها.
الموضوع الأول يخص زمرة الدورانات فى الفضاء الثلاثى, جبرية ليه Lie algebra المولدة لها, و تمثيلاتهما their representations.
سأشرح ايضا بعض الامور التى تخص الزمر و الفضاءات الشعاعية و لازمة شور Shur lemma التى تقع فى اساس نظرية التمثيلات representation theory كلها.
الأساس المتين الصحيح للميكانيك الكمومى و لنظرية الحقل الكمومى هى
التناظرات و اساس كل التناظرات هو التناظر الدورانى. اذن الهدف هو الضبط
الرياضى لهذا المفهوم الفيزيائى.
المحاضرة الثانية: معادلة ديراك
معادلة ديراك Dirac و مقارنتها بمعادلة كلاين-غوردن Klein-Gordon (بالنسبة
لديراك الاحتمال موجب و دالة الموجة هى سبينور spinor تتشكل من اربعة
مركبات). ايضا اعطاء حلول معادلة ديراك الموجبة (الالكترون electron) و
حلولها السالبة (البوزيترون positron). ثم البرهان على صمودها invariance
تحت تأثير تحويلات لورنتز Lorents transformation الذى يبين بدقة ماهية
السبينور.
المحاضرة الثالثة: زمرة لورنتز
https://www.youtube.com/watch?v=pEgDV89Ud3Iتحويلات لورنتز (الدورانات rotations و الدفوعات boosts) تشكل زمرة تناظرات محفوظة تماما فى الطبيعة. وهى أول زمر تناظر نظرية الحقل الكمومى. نبين ان جبرية ليه Lie algebra المولدة لهذه الزمرة والتى يرمز لها ب so(1,3) هى عبارة عن الجمع المباشر direct sum لزمرتى دوران so(3). اذن تمثيلات representations هذه الزمرة بمصفوفات منتهية البعد هى مميزة بعددين كموميين للسبين (عزم اللف) j و k و نكتب هذه التمثيلة (j,k). هذه التمثيلات هى تمثيلات غير قابلة للاختزال irreducible representations.
أمثلة:
الحقل السلمى scalar field لكلاين Klein و غوردن Gordon هو فى الحقيقة التمثيلة (0,0).
الحقل السبينورى spinor field لديراك Dirac هو فى الحقيقة تمثيلة قابلة للاختزال reducible representation تعطى بالتمثيلة (0,1/2)+(1/2,0).
الحقل الشعاعى vector field لماكسويل Maxwell و حقول كل القوى الكونية الاخرى هم فى الحقيقة التمثيلة (1/2,1/2).
وهكذا.
المحاضرة الرابعة: الصياغتان اللاغرانجية و الهاميلتونية للميكانيك الكلاسيكى
https://www.youtube.com/watch?v=yAkKlsbBuG8&feature=youtu.beنُذكر فى هذه المحاضرة بأهم نتائج الميكانيك الكلاسيكى:
- معادلات اولر-لاغرانج Euler-Lagrange equations.
-مبدأ الفعل الأصغرى لهاميلتون Hamilton's principle of least action.
-معادلات هاميلتون.
-التحويلات القانونية canonical transformations.
-الزمرة السمبليكتية symplectic group.
-اقواس بواسون Poisson brackets.
-معادلة هاميلتون-جاكوبى Hamilton-Jacobi equations.
كل هذه الامور هى صياغات مختلفة للميكانيك الكلاسيكى تتعدى قوانين نيوتن و مبدأ العمل الافتراضى لدالمبارت D'Alembert principle of virtual work و بالتالى فهى تصف كل الجمل الديناميكية و ليس فقط الجمل الميكانيكية.
لكنها كلها صياغات متكافئة.
لكن اساس كل هذه الصياغات يبقى بدون منازع صياغة لاغرانج المختزلة فى معادلات اولر و لاغرانج و صياغة هاميلتون المختزلة فى معادلات هاميلتون.
العلاقة بين صياغة لاغرانج و صياغة هاميلتون هو تحويل لوجوندر Legendre transform.
الانتقال الى الميكانيك الكمومى يتم انطلاقا من اقواس بواسون المؤثرة فى فضاء الطور phase space التى تصبح مبدلات commutators مؤثرة فى فضاء هيلبرت Hilbert space. نحصل بالضبط على معادلة هايزنبرغ المكافئة لمعادلة شرودينغر. هذا ما يسمى بالتكميم القانونى canonical quantization. اما معادلة شرودينغر فنحصل عليها مباشرة من معادلة هاميلتون و جاكوبى.
المحاضرة الخامسة: التكميم القانونى للحقل السلمى لكلاين و غوردن
https://www.youtube.com/watch?v=onXkE_Szq9g&feature=youtu.be
نُفصل التكميم القانونى canonical quantization للحقل السلمى scalar field الحقيقى ل كلاين Klein و غوردن Gordan الذى يصف جسم ذى عزم لف او سبين 0 و كتلة m و شحنة صفر. اذن نبنى صراحة حالة الفراغ الكمومى quantum vacuum state و فضاء هيلبرت Hilbert space للحالات الجسيمية و طيف الهاميلتونية Hamiltonian اى الطاقات.
المحاضرة السادسة: منتشر فايمان للحقل السلمى
https://www.youtube.com/watch?v=OHKLHc75l1w&feature=youtu.beنقدم البرهان التفصيلى لمنتشر فايمان Feynman propagator الذى نرمز له ب D_F(x-y) للحقل السلمى الحقيقى ل كلاين و غوردن الذى يحسب بشكل يحترم السببية -اى يحترم بنية المخروط-الضوئى light-cone structure للفضاء-زمن- احتمال الانتشار الحر free propagation لجسيم سلمى scalar particle ذى سبين 0 و كتلة m و شحنة 0 من النقطة y فى الفضاء-زمن الى النقطة x فى الفضاء-زمن.
المحاضرة السابعة: التكميم القانونى لحقل ديراك
https://www.youtube.com/watch?v=6lg7wSSrn4g&feature=youtu.beانطلاقا من معادلة ديراك نحسب لاغرانجية ديراك Dirac Lagrangian و الحقل المرافق conjugate field ثم نحسب هاميلتونية ديراك Dirac Hamiltonian عبر تحويل لوجوندر Legendre transform. بعد ذلك نكتب الحل العام لمعادلة ديراك بدلالة انماط فوريه Fourier modes و نعوض به فى الهاميلتونية.
التكميم القانونى يتم بافتراض ان حقل ديراك و الحقل المرافق له و الهاميلتونية هى مؤثرات operators على فضاء هيلبرت Hilbert space.
نفرض ان حقل ديراك و الحقل المرافق له يحققان قاعدة تكميم ديراك Dirac quantization rule التى تعطى فى هذه الحالة بدلالة المبدلات-الضدية anti-commutators و ليس بدلالة المبدلات commutators كما فى حالة الحقل السلمى لان حقل ديراك هو حقل يقابل جسيم بعزم لف يساوى نصف وبالتالى فانه يحقق احضائية فرمى-ديراك Fermi-Dirac statistics.
نبنى بعد ذلك الحالة الفراغية vacuum state و حالات الجسيم-الواحد one-particle states صراحة و نحسب الطاقة التى تظهر على شكل مجموع حدين الاول على الجسيمات particles و الثانى على الجسيمات المضادة anti-particles.
المحاضرة الثامنة: منتشر فايمان لحقل ديراك الحر
https://www.youtube.com/watch?v=E-Did_65aB8&feature=youtu.be
المحاضرة التاسعة: المصفوفة S و مبرهنة ويك
https://www.youtube.com/watch?v=k0v4Pz6xw9g&feature=youtu.be&fbclid=IwAR2VIdufOSA1r6_Eنعتبر حالة الحقل السلمى الخاضع الى قوة خارجية كمثال على اول نظرية حقل متفاعلة interacting field theory.
نعرف صورة هايزنبرغ Heisenberg picture (اين يطبق التكميم القانونى canonical quantization) و صورة شرودينغر Schrodinger picture (اين تعرف معادلة شرودنيغر العادية) و صورة التفاعل interacting picture التى تسمى ايضا صورة ديراك (اين تعرف مصفوفة التصادم) و العلاقة بينهم تعطى بدلالة مؤثرات التطور evolution operators.
مصفوفة التصادم scattering matrix التى يرمز لها ب S تحسب بكل بساطة طويلة احتمال التصادم تحت تأثير التفاعل (هنا القوة الخارجية) الذى يأخذنا من اى حالة ابتدائية in (تعبر عن جسيمات واردة على الهدف) الى اى حالة نهائية out (تعبر عن الجسيمات التى تصادمت مع الهدف ثم ابتعدت).
اذن الهدف فى كل نظرية الحقل هو حساب مصفوفة التصادم الذى يستعمل بعد ذلك فى حساب المفاطع التفاضلية الفعالة differential cross sections التى تقاس فى مسرعات الجسيمات الاولية.
فى الخطوة الاولى من هذه المحاضرة نبين ان مصفوفة التصادم تساوى بالضبط قيمة مؤثر التطور فى المستقبل البعيد اى الزمن يساوى زائد مالانهاية. هذه المصفوفة لا تتعلق الا ب لاغرانجية التفاعل interacting lagrangian مكتوبة بدلالة الحقول الحرة in فى الماضى البعيد اى الحقول محسوبة فى الزمن يساوى ناقص مالانهاية.
نحسب بشكل صريح مصفوفة التصادم بالنسبة للحقل السلمى الخاضع لقوة خارجية و نبين انه يتعلق على منتشر فايمان الحر free Feynman propagator بشكل اساسى.
باستعمال هذه النتيجة الاخيرة نبرهن على مبرهنة ويك Wick's theorem و هى اشهر مبرهنات نظرية الحقل الكمومى قاطبة و هى التى تسمح لنا بحساب -وبشكل سهل جدا- دوال غرين Green's functions من الرتبة n (وهى الدوال التى تدخل فى حساب المقاطع التفاضيلة الفعالة) بدلالة جداءات منتشرات فايمان (و تذكروا منتشر فايمان هو دالة غرين من الرتبة 2).
اذن كما ترون فان منتشر فايمان "الحر" -لا يوجد تفاعل بعد- يدخل فى كل مكان فى نظرية تصادم الحقل "المتفاعل" وهذا من معجزات!! اذا صح التعبير نظرية الحقول.
المحاضرة 10: قواعد فايمان و مخططات فايمان للنظرية فاي-أربعة
https://www.youtube.com/watch?v=wnaJK0K6my8
و قد كتبت شرحا وافيا بالعربية لهذه المحاضرة و عند آخر جملة انقطع التيار فضاع كل شيء!
