طريقة النقطة السرج او النزول الحاد او الطور المستقر

الهدف هو تقديم الطريقة المشهورة باسم طريقة النقطة السرج saddle point method او طريقة الطور المستقر method of stationary phase او طريقة النزول الحاد method of steepest descent.
الهدف فى هذه الطريقة هو حساب التكامل فى الصورة الاولى.



وهو تكامل يظهر بقوة فى الرياضيات التطبيقية (دوال غاما Gamma functions و دوال بيسال Bessel functions و غيرها) و فى الفيزياء النظرية (نظرية الحقول الكمومية و نظرية الأوتار الممتازة و نظرية المصفوفات).
اذن لدينا دالة تحليلية analytic function نرمز لها ب F(z,t) حيث z هو المتغير المُعرف فى المستوى المركب complex plane و t هو وسيط parameter تتعلق عليه الدالة.
طريق المكاملة path integration (اى مجال تعريف التكامل) هو C وهو منحنى يكون معرف عموما فى المستوى المركب.
اذن تكامل F(z,t) على الطريق C فى المتغير z يعطى دالة لا تتعلق الا بالوسيط t نرمز لها ب f(t) كما هو موضح فى الصورة الاولى.
عموما نحن مطلوب منا حساب التكامل فقط فى النهاية لما يذهب الوسيط t الى زائد مالانهاية.
اذن هذا هو الشرط الاول لهذه الطريقة.

الشرط الثانى هو ان الدالة F يجب ان تكون تحليلية (والتحليلية يعنى انها دالة قابلة للاشتقاق فى المستوى المركب عدد لانهائى من المرات).

يمكننا كتابة هذه الدالة كما يلى
\begin{eqnarray} F(z,t)=\exp(w(z,t))=\exp(u(z,t)).\exp(iv(z,t)). \end{eqnarray} اذن الدالة w(z,t) هى لوغاريتم الدالة الاصلية F(z,t) اما الدوال u(z,t) و v(z,t) فهى الاقسام الحقيقية real و التخيلية imagniary للدالة w(z,t).
كون F هى دالة تحليلية فان هذا يعنى ان الدوال u و v لا تقبل قيم قصوية extremum values (اى اصغرية minimal او اعظمية maximal) على مجال التعريف. وهذا يعرف تحت مسمى مبرهنة جنسن Jensen's theorem.
الدالة u بالخصوص التى تعطى ب
\begin{eqnarray} u=\ln|F|. \end{eqnarray} (حيث |F| هى طويلة الدالة F) لا تقبل اى قيمة قصوية على مجال تعريف الدالة F.
لكن u رغم انها لا تقبل قيم قصوية فهى تقبل قيم حرجة critical values.
تذكروا ان القيمة القصوية هى القيم الاصغرية او القيمة الاعظمية فى كل الاتجاهات.
اما القيمة الحرجة فهى قد تكون قيمة اصغرية او اعظمية فى اتجاه لكنها ليست كذلك فى الاتجاه الآخر.
انظر مثلا النقطة الحمراء على السطح فى الصورة الثانية فتلك نقطة حرجة. اما النقطة السوداء على السطح فى الصورة الثالثة فهى نقطة قصوية اعظمية. اما نقطة المبدأ على السطح فى الصورة الرابعة فهى نقطة قصوية اصغرية.
 

رياضيا بالنسبة للنقطة القصوية او النقطة الحرجة فان المشتقة الاولى يجب ان تنعدم فى كل الاتجاهات.
المشتقة الثانية فى اتجاه معين عندما تكون موجبة هى تعنى نقطة اصغرية فى ذلك الاتجاه (هو اتجاه تناقص).
اما اذا كانت المشتقة الثانية فى اتجاه معين سالبة فهى نقطة اعظمية فى ذلك الاتجاه (هو اتجاه تزايد).

الشرط الثالث و هو مهم جدا هو افتراض ان الدالة u تقبل نقطة حرجة نرمز لها ب z0. هذه النقطة الحرجة معرفة بانعدام المشتقة الاولى ل u او بالمقابل انعدام المشتقة الاولى ل w اى $ w^{'}=0$.

الدالة w (التى هى لوغاريتم F) تقبل اذن نشر تايلور Taylor series الذى فى الصورة الخامسة.

 تذكروا فان نشر تايلور لدالة حول نقطة ما هو عملية تقريب للدالة بكثير حدود. فى هذه الحالة لان المشتقة الاولى انعدمت بالشرط اعلاه فاننا قد قربنا فى الحقيقة الدالة w (وبالتالى الدالة F) بالدالة التربيعية quadratic function فى الصورة الخامسة.

لتكن α و θ عمد arguments الاعداد المركبة $w^{''}$ و $z-z0$ اى

\begin{eqnarray}
&&w0^"=|w0^"|\exp(iα)\nonumber\\
 &&z-z0=r\exp(iθ).
 \end{eqnarray}

اذن المعادلة فى الصورة الخامسة يمكن كتابتها على الشكل الموجود فى الصورة السادسة.

هنا الآن نصل الى خاصية مهمة جدا تحتاج الى برهان قصير موجود على الصفحة 587 من كتاب أرفكين Arfken.

الدالة u حول النقطة الحرجة z0 تتناقص بسرعة شديدة فى الاتجاهين المتعاكسين المعرفين بالمعادلة

\begin{eqnarray} θ=(-α+π)/2~,~θ=(-α+3π)/2. \end{eqnarray}

اى ان النقطة الحرجة z0 هى نقطة اعظمية حول هذين الاتجاهين.

اذن عندما نبتعد من النقطة الحرجة من الجهتين المتعاكستين اعلاه فان الدالة u تتناقص اى تنزل قيمتها بشكل حاد. ولهذا سميت هذه الطريقة بطريقة النزول الحاد method of steepest descent.

ايضا من اجل هذين الاتجاهين فان الدالة v (وهى القسم التخيلى ل w) تبقى ثابتة و هذا يعنى ان الطور exp(iv) يبقى ثابت خلال عملية الابتعاد من النقطة الحرجة من الاتجاهين المتعاكسين اعلاه مما يؤدى الى الحفاظ على استقرار stability الحل العددى numerical solution بسبب نعدام اى تصرف اهتزازى oscillatory behavior. ولهذا تسمى هذه الطريقة ايضا بطريقة الطور المستقر stationary phase method.

الشرط الرابع يجب ان يمر طريق المكاملة C من النقطة الحرجة z0 فى الاتجاهين اعلاه. واذا لم يمر هذا الطريق من النقطة الحرجة فانه علينا تشويهه (اى تشويه deform او تحوير الطريق وهذا ممكن لان الدالة الاصلية F دالة تحليلية فى المستوى المركب) بحيث يصبح الطريق C يمر من z0 فى اتجاهى النزول الحاد المعرفين بالمعادلة السابقة اعلاه.

وﻷن u اعظمية فى النقطة الحرجة فى الاتجاهين المتعاكسين للنزول الحاد فان الدالة |F(z,t)| هى دالة اعظمية على الطريق C الذى نختاره يحيث يمر من النقطة الحرجة فى الاتجاهين المتعاكسين للنزول الحاد.

ايضا لان النقطة الحرجة هى فى اغلب الحالات المهمة هى على شكل سرج حصان (انظر الصورة الثانية مرة اخرى) فانها تسمى ايضا النقطة السرج saddle point و هذه الطريقة تسمى اذن بطريقة النقطة السرج saddle point method و هو الاسم الاكثر شهرة.

الشرط الخامس بعد كل هذه الاعتبارات فانه يمكننا الآن اجراء التكامل فى الصورة الاولى كما يلى.

لان الوسيط t يذهب الى مالانهائية فان المساهمة المهيمنة dominant contribution على التكامل سوف تنتمى الى مجال صيق جدا ل z حول النقطة السرج z0. هذا المجال يعطى بالشرط  ان $r=|z-z0|$ محصور بين 0 و $a$.

ولأن هناك اتجاهين متعاكسين سيكون هنا مشاركتين متساويتين و لهذا نضرب ب 2 فى المعادلة فى الصورة السابعة التى استعملنا فيها ايضا نشر تايلور الذى فى الصورة الخامسة.

 
فى النهاية عندما يذهب t الى زائد مالانهاية فانه يمكننا تعويض a بزائد ما لانهاية لنحصل على النتيجة فى الصورة الثامنة.

وبهذا يكتمل البرهان على واحدة من اقوى طرق حساب التكاملات فى الرياضيات و الفيزياء النظرية و هى تستعمل بالخصوص لحساب تكاملات الطريق المعقدة جدا فى نظرية الحقول الكمومية.