حجر رشيد اهتزازات النيترينو
هل يمكن تعيين الاشعة الذاتية eigenvectors لمصفوفة هرميتية Hermitian matrix انطلاقا من قيمها الذاتية eigenvalues?
والقيم الذاتية تمثل مثلا نتائج القياس التى سيحصل عليها راصد فيزيائى عندما يقوم بقياس مقدار فيزيائي معين يمكن تمثيله رياضيا بمصفوفة matrix او بصفة عامة بمؤثر operator.
لو كنت سئلت هذا السؤال قبل اليوم لقلت هذا أكيد غير ممكن.
وهذا هذا الجواب الذى يعرفه كل رياضى و كل فيزيائى نظرى و كل فيزيائى منذ قرون على الاقل الى غاية 10 اوت الماضى.
فالاشعة الذاتية لمصفوفة شيء و القيم الذاتية شيء آخر وكل قيمة ذاتية تكون مرفقة على الاقل بشعاع ذاتى واحد و ربما اكثر.
وعملية البحث عن القيم الذاتية هى عملية مكلفة جدا جدا حسابيا (فهى من اهم المهمات فى الفيزياء العددية) لأنها تستهلك وقتا طويلا على اعظم الكمبيوترات الخارقة.
وهى عملية (اى ايجاد القيم الذاتية) مهمة جدا فى كل موضوع فيزيائى ذى اهمية للطبيعة و الكون و كل موضوع عصبونى ذى اهمية للعقل و الانسان.
اذن لا يمكن تعيين القيم الذاتية من الاشعة الذاتية. هذا هو الذى يعرفه الجميع و هو من المعلوم من الرياضيات و الفيزياء بالضرورة (فهو ليس شيئا عميقا).
او هكذا كان يُعتقد.
لكن هذا الجواب تغير مع البحث فى الرابط الصادر عن ثلاث فيزيائيين نظريين يعملون فى اهتزازات النيترينو neutrino oscillations (اى هو موضوع نظرى فينمولوجى الذى يحبه اغلب الطلبة و الاساتذة فى فيزياء الجسيمات و ليس حتى نظرى اساسى من النوع الذى اميل اليه شخصيا) و صدر ايضا عن رياضى شهير ساعدهم على البرهان الرياضى على ما اكتشفوه.
فهم لاحظوا خلال حساباتهم لاحتمالات تغيير النيترينو لذوقه flavor خلال انتشاره فى الفضاء (وهذا هو الاهتزاز) ان القيم الذتية و الاشعة الذاتية لمصفوفة هرميتية A ذات بعد n مرتبطة فيما بينها بالعلاقة الاولى فى الصورة الاولى.
القيم الذاتية هى λi.
الشعاع الذاتي المرفق بالقيمة الذاتية λi يرمزل له ب vi.
ونرمز للمركبة j لهذا الشعاع vi ب vij.
اما المصفوفة Mi فهى المصفوفة الجزئية ل A ذات البعد n-1 التى نحصل عليها من حذف السطر i و العمود i من المصفوفة.
اذن من هذه العلاقة نحصل فعلا على الاشعة الذاتية من القيم الذاتية.
وهى علاقة بسيطة جدا لكنها مذهلة لانها لا تتعلق الا على المصفوفة الجزئية M.
كمثال نحذف السطر 1 و العمود 1 من المصفوفة A لنحصل على المصفوفة M و العدد السلمى a و الشعاعان X و X^* كما فى المعادلة الثانية فى الصورة الاولى.
فى هذه الحالة يمكننا ان نحسب المركبة 1 لكل الاشعة الذاتية vi اى نحسب vi1 باستعمال العلاقة الثالثة فى الصورة الاولى.
هذه فعلا علاقة مذهلة و هى ايضا بسيطة الى الحد ان الفيزيائيين النظريين زانغ Zhang و دانتون Denton و بارك Parke (فى الصورة الثانية من اليسار الى اليمين) اعتقدوا يقينا انها يجب ان تكون علاقة معروفة فى الكتب الرياضية منذ قرون.
ففعلا لقد قتل الغربيون المصفوفات و خواصها بحثا طوال القرون الماضية و لا يمكن ان تكون علاقة بهذه الاهمية و هذه البساطة ان تكون قد فاتتهم.
لكن من المؤكد انها فاتت الجميع.
و استشار هؤلاء الفيزيائيون الرياضى المشهور تيرنس تاو Terrence Tao (صاحب المعادلات فى الصورة الاولى) الذى اكد لهم انها علاقة جديدة غير معروفة فعلا و ساعدهم على البرهان عليها بعدة طرق فهى كما يقول تاو سهلة جدا للبرهان بعد ان تكون قد عرفت العلاقة و فهمتها (وهكذا كل الاشياء).
فى البحث على الاركايف فى الرابط يتم تقديم البرهان بطريقتين قصيرتين لكن فعالتين.
هذه العلاقة تم تسميتها حجر رشيد Rosetta stone القيم الذاتية لاهتزازات النيترينو.
(وحجر رشيد كما يعرف اى مثقف هو آثار فرعونية مشهورة جدا من عهد الاسرة البطلمية تحتوى على أمرية ملكية بثلاثة لغات سمحت فيما بعد للعلماء بفك شفرة الحرف الفرعونى).
اذن هذه العلاقة للقيم الذاتية بالنسبة لاهتزازات النيترينو مثل حجر الرشيد بالنسبة للغة الفرعونية يكفى ان نعرف
هذه العلاقة الرياضية حتى نعرف كل شيء فيزيائى يخص اهتزازات النيترنيو.
وهذا هو الحظ (حظ النجاح فى الفيزياء النظرية) الذى تكلمت عنه من قبل: ان تكون فى المكان المناسب فى الزمن المناسب و هو حجر اساس بل هو الحجر الاساس فى النجاح بالاضافة الى الاجتهاد و الشغف و القدرة.
البحث على الاركايف فى الرابط
https://arxiv.org/abs/1908.03795
هل يمكن تعيين الاشعة الذاتية eigenvectors لمصفوفة هرميتية Hermitian matrix انطلاقا من قيمها الذاتية eigenvalues?
والقيم الذاتية تمثل مثلا نتائج القياس التى سيحصل عليها راصد فيزيائى عندما يقوم بقياس مقدار فيزيائي معين يمكن تمثيله رياضيا بمصفوفة matrix او بصفة عامة بمؤثر operator.
لو كنت سئلت هذا السؤال قبل اليوم لقلت هذا أكيد غير ممكن.
وهذا هذا الجواب الذى يعرفه كل رياضى و كل فيزيائى نظرى و كل فيزيائى منذ قرون على الاقل الى غاية 10 اوت الماضى.
فالاشعة الذاتية لمصفوفة شيء و القيم الذاتية شيء آخر وكل قيمة ذاتية تكون مرفقة على الاقل بشعاع ذاتى واحد و ربما اكثر.
وعملية البحث عن القيم الذاتية هى عملية مكلفة جدا جدا حسابيا (فهى من اهم المهمات فى الفيزياء العددية) لأنها تستهلك وقتا طويلا على اعظم الكمبيوترات الخارقة.
وهى عملية (اى ايجاد القيم الذاتية) مهمة جدا فى كل موضوع فيزيائى ذى اهمية للطبيعة و الكون و كل موضوع عصبونى ذى اهمية للعقل و الانسان.
اذن لا يمكن تعيين القيم الذاتية من الاشعة الذاتية. هذا هو الذى يعرفه الجميع و هو من المعلوم من الرياضيات و الفيزياء بالضرورة (فهو ليس شيئا عميقا).
او هكذا كان يُعتقد.
لكن هذا الجواب تغير مع البحث فى الرابط الصادر عن ثلاث فيزيائيين نظريين يعملون فى اهتزازات النيترينو neutrino oscillations (اى هو موضوع نظرى فينمولوجى الذى يحبه اغلب الطلبة و الاساتذة فى فيزياء الجسيمات و ليس حتى نظرى اساسى من النوع الذى اميل اليه شخصيا) و صدر ايضا عن رياضى شهير ساعدهم على البرهان الرياضى على ما اكتشفوه.
فهم لاحظوا خلال حساباتهم لاحتمالات تغيير النيترينو لذوقه flavor خلال انتشاره فى الفضاء (وهذا هو الاهتزاز) ان القيم الذتية و الاشعة الذاتية لمصفوفة هرميتية A ذات بعد n مرتبطة فيما بينها بالعلاقة الاولى فى الصورة الاولى.
القيم الذاتية هى λi.
الشعاع الذاتي المرفق بالقيمة الذاتية λi يرمزل له ب vi.
ونرمز للمركبة j لهذا الشعاع vi ب vij.
اما المصفوفة Mi فهى المصفوفة الجزئية ل A ذات البعد n-1 التى نحصل عليها من حذف السطر i و العمود i من المصفوفة.
اذن من هذه العلاقة نحصل فعلا على الاشعة الذاتية من القيم الذاتية.
وهى علاقة بسيطة جدا لكنها مذهلة لانها لا تتعلق الا على المصفوفة الجزئية M.
كمثال نحذف السطر 1 و العمود 1 من المصفوفة A لنحصل على المصفوفة M و العدد السلمى a و الشعاعان X و X^* كما فى المعادلة الثانية فى الصورة الاولى.
فى هذه الحالة يمكننا ان نحسب المركبة 1 لكل الاشعة الذاتية vi اى نحسب vi1 باستعمال العلاقة الثالثة فى الصورة الاولى.
هذه فعلا علاقة مذهلة و هى ايضا بسيطة الى الحد ان الفيزيائيين النظريين زانغ Zhang و دانتون Denton و بارك Parke (فى الصورة الثانية من اليسار الى اليمين) اعتقدوا يقينا انها يجب ان تكون علاقة معروفة فى الكتب الرياضية منذ قرون.
ففعلا لقد قتل الغربيون المصفوفات و خواصها بحثا طوال القرون الماضية و لا يمكن ان تكون علاقة بهذه الاهمية و هذه البساطة ان تكون قد فاتتهم.
لكن من المؤكد انها فاتت الجميع.
و استشار هؤلاء الفيزيائيون الرياضى المشهور تيرنس تاو Terrence Tao (صاحب المعادلات فى الصورة الاولى) الذى اكد لهم انها علاقة جديدة غير معروفة فعلا و ساعدهم على البرهان عليها بعدة طرق فهى كما يقول تاو سهلة جدا للبرهان بعد ان تكون قد عرفت العلاقة و فهمتها (وهكذا كل الاشياء).
فى البحث على الاركايف فى الرابط يتم تقديم البرهان بطريقتين قصيرتين لكن فعالتين.
هذه العلاقة تم تسميتها حجر رشيد Rosetta stone القيم الذاتية لاهتزازات النيترينو.
(وحجر رشيد كما يعرف اى مثقف هو آثار فرعونية مشهورة جدا من عهد الاسرة البطلمية تحتوى على أمرية ملكية بثلاثة لغات سمحت فيما بعد للعلماء بفك شفرة الحرف الفرعونى).
اذن هذه العلاقة للقيم الذاتية بالنسبة لاهتزازات النيترينو مثل حجر الرشيد بالنسبة للغة الفرعونية يكفى ان نعرف
هذه العلاقة الرياضية حتى نعرف كل شيء فيزيائى يخص اهتزازات النيترنيو.
وهذا هو الحظ (حظ النجاح فى الفيزياء النظرية) الذى تكلمت عنه من قبل: ان تكون فى المكان المناسب فى الزمن المناسب و هو حجر اساس بل هو الحجر الاساس فى النجاح بالاضافة الى الاجتهاد و الشغف و القدرة.
البحث على الاركايف فى الرابط
https://arxiv.org/abs/1908.03795
No comments:
Post a Comment