كيف البرهان على ان 1+1=2?


ننطلق من مسلمات بيانو Peano التى تعرف مجموعة الاعداد الطبيعية التى يرمز لها ب N (وبيانو هو احد آباء المنطق و نظرية المجموعات و اسس الرياضيات):
المسلمة 1: الواحد موجود فى مجموعة الاعداد الطبيعية N...
المسلمة 2: اذا كان x فى N فان العدد الذى يليه هو ايضا فى N و نرمز له ب x+
المسلمة 3: لا يوجد عدد طبيعى x بحيث
x+=1
(يعنى ان الواحد لا يلى اى عدد طبيعى. يمكننا ان ندخل الصفر مع تغيير طفيف فى المسلمات و البرهان)
المسلمة 4: اذا كان x ليس هو الواحد اذن يوجد عدد طبيعى y بحيث
y+=x
المسلمة 5: اذا كانت S مجموعة محتواة فى N و كان الواحد عنصر فى S و كان الاستلزام (اذا كان x فى N فان x+ هو ايضا فى N) صحيحا فان ٍS=N.
بعد ان سلمنا بهذه الامور التى تبدو بديهية لكن لا يمكن البرهان عليها نعرف عملية الجمع بشكل تراجعى..
تعريف: ليكن a و b عنصرين فى N.
اذا كان b=1 نعرف +a+1=a. وهذا باستعمال المسلمتين الاولى و الثانية.
اذا كان b لا يساوى 1 نعرف c+=b حيث c هو فى N باستعمال المسلمة الرابعة.اى ان b هو العدد الذى يلى c.
نعرف الآن +a+b=(a+c).
نعرف ايضا 2 بالعلاقة +1=2.
2 هو فى N بالمسلمتين الاولى و الثانية و بالتعريف.
حتى نرى انه تراجع يكفى ان نتحقق من ان الخطوة الثانية تعطى بدلالة الخطوة الاولى. هذا يضمن ان صحة كل خطوة اخرى ستعطى بدلالة صحة الخطوة التى سبقتها.
اذا كان b=2 فان c+=2 يؤدى مباشرة الى c=1 بالجزء الثانى من التعريف.
اذن
a+2=(a+1)+=(a+)+
حيث استخدمنا الخطوة الاولى من التراجع من اجل b=1. وهو المطلوب.
بعد سلمنا بالخواص الاساسية لمجموعة الاعداد الطبيعية و عرفنا الجمع عليها بشكل تراجعى نقدم المبرهنة التالية:
مبرهنة: 1+1=2
البرهان: استخدم الجزء الاول من التعريف مع a=b=1.
+1=1+1.
استخدم الآن الجزء الثانى من التعريف الذى يعرف +1=2 نحصل مباشرة على النتيجة
1+1=2
وهذا البرهان البيانوى افضل و اسرع من برهان راسل Russell و ووايطهاد Whitehead فى كتابهما البرنسيبيا الرياضية الذى استهلك حوالى 370 صفحة. انظر منشور سابق لى فى هذا الامر منذ سنة و نصف. وقد كان برهان راسل و وايطهاد عام 1910 اول برهان على 1+1=2. الفرق ان راسل و وايطهاد لا يستخدمان الا منطق فرجى Frege فى برهانهما اذن هو اقوى. لكن بيانو يستخدم ايضا نظرية المجموعات كأساس و التى تلعب اليوم دورا اساسيا فى اى نقاش حول اسس الرياضيات.
اذن 1+1=2 التى لا توجد الا فى الذهن حسب افلاطون -و اظنه الرأى الاقرب الى الصحة- تحتاج كل هذا الجهد للبرهنة عليها..اذن يحق لنا جدا ان نتسائل عن كل الرياضيات الاخرى و الاسوء منها كل الفيزياء و الاسوء منهما كل الميتافيزيقا و الفلسفة...
نتعلم ايضا من هذا المثال البسيط و المحدد جدا ان كل برهان يأتى فى نسق بمعنى انه ينبنى ضرورة على مسلمات postulates و احراءات procedures قد يدخلها الشك اذن هو غير مطلق فى المحصلة رغم انه يسمى برهان..وهذا تعبير مبسط جدا عن المبرهنة الشهيرة لغودل حول المنطق و اسس الرياضيات...

Comments