LATEX

(N30) نظرية الحقل الكمومى 1 : الحقل السلمى الكلاسيكى



فى هذا الفيدو (رقم 30) على اليوتوب نعاود نشر محاضرات نظرية الحقل الكمومى
quantum field theory التى كنا قد القيناها قبل عام و نصف فى جامعة عنابة
على طلبة الماجيستير (او ما اصبح يعرف بالماستر).
فى هذه المحاضرة الاولى نقدم الحقل السلمى لكلاين-و-غوردن فى النظرية الكلاسيكية و هذا تحضيرا للتكميم القانونى.
الفيديو تم حذف التسجيل الصوتى القديم منه و اعادة تسجيل المحاضرة صوتيا من جديد بشكل اجدنى راضى عنه الى حد مقبول.
اذن هذه الصيغة مختلفة جدا عن الفيديو الاصلى الذى كان موجودا على اليوتوب.

قررت ان تكون هذه المحاضرات بالعربية لان نظرية الحقل الكمومى نظرية
اساسية مثلها مثل النسبية العامة و لذا فاننى ارتأيت ان اخدم العربية و
الطلاب الناطقين بها على ان اخدم نفسى و اللغة الانجليزية لعل و عسى ان
يحدث الله امرا و لعل الله يكتبها لنا فى ميزان حسناتنا خاصة اننا مُقلين
فى الحسنات التى يكثر فيها غيرنا.


الفيديوهات الاخرى التى اضفتها الاسبوع الماضى

التحولات الطورية (الجزء الثانى من المحاضرة الثانية التى القيتها فى وادى سوف فى فيفرى 2020, بالانجليزية)
https://www.youtube.com/watch?v=TRkBvQS8Scc

طرق مونتى كارلو (الجزء الاول من المحاضرة الثانية التى القيتها فى وادى سوف فيفرى 2020, بالانجليزية)
https://www.youtube.com/watch?v=Ug0m9znYdlw

النماذج المصفوفية, معادلات اعادة التنظيم و الثقالة الكمومية (قراءات شخصية كنت قد كتبتها فى اطار بحث سيخرج قريبا, بالانجليزية)
https://www.youtube.com/watch?v=ZWMCLnsrtew

ماهى بالضبط معضلة ضياع المعلومات فى الثقب الاسود? (اعادة نشر لفيديو قديم, بالعربية)
https://www.youtube.com/watch?v=ui5io8X1l-Y

تكاملات الطريق لفايمان (المحاضرة الاولى التى القيتها فى وادى سوف فى فيفرى 2020, بالانجليزية)
https://www.youtube.com/watch?v=N0KMEdxGl6Y

تكاملات الطريق لفايمان (ملخص المحاضرة السابقة بالعربية يركز فقط على الجسيم النقطى و لا ادخل فيه فى تعقيدات الحقل السلمى)
https://www.youtube.com/watch?v=QxEYap1fXKY

الكتب المنشورة (اعادة نشر لفيديو قديم).
https://www.youtube.com/watch?v=eZtm7eaTvS4



ماهى الخلاصة و ماهو الهدف?

ماهى الخلاصة و ماهو الهدف?
الخلاصة هى (نظرية كل شيء) و الهدف هو (نظرية كل شيء).
و (نظرية كل شيء) هو مشروع جديد لى على البوابة البحثية يمثل بؤرة التقاء الانوار العلمية التعليمية المشعة بتوفيق من الله و منه من ثلاثة مراكز على الواب اساسية هى كلها اقدم من هذا المشروع.
اولا القناة على اليوتوب التى تحمل نفس الاسم (نظرية كل شيء) و التى نرنو بها ان تكون اداة التواصل الاساس فى المستقبل ان شاء الله فهى الاقوى لا شك فى ذلك لانها تعتمد الصوت و الصورة.
ثانيا المدونة التى تحمل اسم (الفيزياء و الميتافيزقيا) التى تعتبر المنبر الكتابى الرئيسى لهذه الجهود.
ثالثا صفحة الفايسبوك التى تحمل اسم (الفيزيائى النظرى) وهى اداة النقاش و التفاعل المباشرين الاولى.
اذن المشروع (نظرية كل شيء) على البوابة البحثية قصدت منه تجميع كل هذه الجهود وتمثيلها بشكل رسمى و الهدف منه ايضا وهدف كل هذه المنابر هو التناول بالشرح و الدراسة لكل جوانب الفيزياء الاساسية و النظرية و كل توجهات و اتجاهات نظريات كل شيء الفيزيائية و انعاكاستها الميتافيزيقية.
الهدف ايضا من (نظرية كل شيء) المشروع و القناة هو تقديم سلسة من الكورسات المصغرة حول مختلف مواضيع الفيزياء النظرية بطريقة اعتقد جديدة و مختلفة لا أظن انها طريقة متبوعة كثيرا فهى ليست طريقة القسم التى تحتوى على كثير من الاستفاضة و الارتجال و لا هى الطريقة الشعبية الطاغية على اليوتوب التى لا تنفع بل على العكس تضر كثيرا فى نشر العلم الصحيح.
وقد دشنت هذه المجهودات بكورسى الترموديناميك و النسبية العامة اللذان قدمتها خلال الشهرين الماضين بالعربية كليا و بالانجليزية جزئيا (كورس النسبية العامة فقط).
اما العربية فهو هدفى دائما ان اخدمها بما استطيع (نكالا فى الكافرين بها عندنا و المرتدين عنها ممن كان يعتنقها).
اما الانجليزية فهو من اجل ترك القناة مفتوحة امام العالم و امام غير الناطقية بالعربية فمن يدرى فقد ننجح معهم اكثر مما سننجح مع ابناء بلدنا و المتكلمين بلغتنا (او بالاحرى بلغاتنا).
اما اختيارى لهاتين المادتين (الترموديناميك و النسبية العامة) فهو ليس خبط عشواء فهما بالاضافة الى كونهما مادتين اساسيتن فى الفيزياء النظرية هما فى الحقيقة المادتين اللتين كنت ساجد نفسى مسؤولا عنهما شخصيا فى القسم فى الجامعة فى هذا الفصل (لولا هذه الكورونا و ما تبعها).
اذن كل هذه الجهود هى جهود تعليمية و ليست بحثية (فهذا المشروع على البوابة البحثية هو مشروع تعليمى و ليس بحثى عكس المشروعان الآخران لى الموجودان على البوابة البحثية).
وهذه الجهود هى كلها اذن جهود تصب فى خدمة نظرية كل شيء الفيزيائية.
اما نظرية كل شيء الميتافيزيقية فاننى اريد فعلا ان اتخلص من ادمانى على الفلسفة و مواضيعها و اننى احاول جاهدا ان اتركها لكن اذا لم انجح فى ذلك (وهذا هو المرجح) فاننى سأرجع الى الكتابة فى تلك المواضيع على المدونة التى نصف اسمها (الميتافيزقيا) يعبر عن هذا الاهتمام الآخر و ايضا هنا على الفايسبوك اين يوجد الكثير من المهتمين او على القناة الشخصية على اليوتوب (وهى ليست قناة "نظرية كل شيء" التى لا نريدها الا ان تكون محايدة حياد الفيزياء و الرياضيات).
من اجل الاطلاع على كل ما قدمناه فى الترموديناميك و النسبية العامة هذين الشهرين الاخيرين ارجوا تفحص موقع المشروع (نظرية كل شيء) على البوابة البحثية فى الرابط ادناه.
لكن من اجل هؤلاء الاصدقاء الذين ليس لهم تسجيل على البوابة اوفر هنا ايضا كل الروابط لفيديوهات اليوتوب و بوستات البلوغر (ولن اذكر هنا بوستات البلوغر الشعبية بل اذكر فقط البوستات الرسمية منها).
من المفترض ان كل الروابط تعمل تمام لكن اذا كان الامر غير ذلك فارجوا اعلامى.
فى الاخير ادعوا الطلبة و الاساتذة و غيرهم من المهتمين التسجيل على القناة, على المشروع و على المدونة فذلك امر يسعدنا قبل ان يساعدنا و دمتم جميعا بخير.
الترموديناميك بالعربية على اليوتوب
الطاقة الداخلية و المبدأ الأول للترموديناميك
Internal energy and the first law of thermodynamics
https://www.youtube.com/watch?v=2GgsNyu2gXc&feature=youtu.be
محرك كارنو
Carnot Engine
https://www.youtube.com/watch?v=uwJRS1nXlTw&t=15s
الانطروبى و المبدأ الثانى للترموديناميك
Entropy and the second law of thermodynamics
https://www.youtube.com/watch?v=tyosF2th4E4
تمرينات محلولة
Solved Exercises
https://www.youtube.com/watch?v=wqhilns8xOQ&feature=youtu.be
محاضرات الترموديناميك من كتاب (الواقع و الزمن و الفيزياء الاساسية) الباب الثانى عشر ص 495-525.
https://badisydri.blogspot.com/2018/07/blog-post_6.html
النسبية العامة بالعربية على اليوتوب
مبدأ التكافؤ
https://www.youtube.com/watch?v=GOZ7MeiavKk
الهندسة التفاضلية
https://www.youtube.com/watch?v=-akBP4GoBHI
فعل هيلبرت-اينشتاين
https://www.youtube.com/watch?v=rFQbcJuEqig
الصياغة الهاميلتونية للنسبية العامة
https://www.youtube.com/watch?v=IKuPrfgO8ok
تمرين تفصيلى فى الهندسة التفاضيلة للنسبية العامة
https://www.youtube.com/watch?v=LbQE_tT_uXU

YouTube (General Relativity, English)
The equivalence principle
https://www.youtube.com/watch?v=15DnIgQpx04
Differential geometry
https://www.youtube.com/watch?v=KRRvtNSksi8
Hilbert-Einstein action
https://www.youtube.com/watch?v=jRSbFt0iFh0
The Hamiltonian ADM formulation
https://www.youtube.com/watch?v=OZr_sN3KyTo&feature=youtu.be
Blog posts (General Relativity, English)
The Hilbert-Einstein action
https://badisydri.blogspot.com/…/hilbert-einstein-action-an…
The vielbein formalism
https://badisydri.blogspot.com/…/the-vielbein-formalism.html
ADM formulation and geometrodynamics
https://badisydri.blogspot.com/…/adm-formulation-and-geomet…
Three exercises in general relativity
https://badisydri.blogspot.com/…/three-exercises-in-general…
Introduction to loop quantum gravity
https://badisydri.blogspot.com/…/introduction-to-loop-quant…
ResearchGate
البوابة البحثية
https://www.researchgate.net/project/Theory-of-Everything-5

النسبية العامة 101

تمرين تفصيلى فى الهندسة التفاضيلة للنسبية العامة

الى من شارك الفيديو الاخير (المحاضرة الرابعة حول النسبية العامة الخاصة بالصياغة الهاميلتونية ال ADM وهو اهم فيديو فى الحقيقة) اعذرونا فقد اضطررنا الى اخفاء الفيديو هنا و على اليوتوب لان جودة الفيديو سيئة جدا.
كنت اتوقع من اليوتوب ان يضع ال HD (الذى اعطيته اياه) اذا تركته يعالج الفيديو لوقت كافى لكنه لم يفعل.
اذن انا مضطر الى اخفاءه حتى افهم ماذا حدث بالضبط خاصة ان الفيدو محضر بنفس طريقة سابقيه اذن ليست لدى ادنى فكرة عن سبب المشكل.
بسبب هذا الصداع (وعدم الاقبال الكافى) فان هذا الفيديو سيكون الاخير فى هذه الجولة السريعة و المفاجئة حول ارجاء النسبية العامة التى لم اكن اخطط لها لولا الوقت الذى توفر لى بسبب الكورونا و الحجر و عدم العمل و الجلوس فى البيت.
ان شاء الله ستكون جولات اخرى فى النسبية العامة و نظرية الحقل و نظرية الوتر و غيرها فترقبوها باذن الله.
لكن اضع هنا ايضا فيديو آخر و اخير هو تجربة تصوير جديدة لى يحتوى على حل نموذجى لتمرين فى الهندسة التفاضلية للنسبية العامة.
اخترت للتبسيط فضاء اقليدى ببعدين هو الكرة المدورة التى تظهر فى كل ارجاء الفيزياء النظرية بسبب تناظرات الدوران التى تتميز بها الفيزياء و تتميز بها الطبيعة و من وراءها الكون ( انتبهوا انتبهوا لمسألة التناظر او كما كان يسميها القدماء دليل الاتقان فهو محور كل الفيزياء و عليه تقوم كل البراهين).
رغم البساطة فهذا تمرين استهلك 45 دقيقة للحل.
نص المسألة
اولا اشتق مترية الكرة فى بعدين انطلاقا من مترية الفضاء الاقليدى الثلاثى المحيط ثم احسب رموز كريستوفل المُعرفة للرابطية التآلفية على الكرة وباستعمال هذه الاخيرة احسب مركبات تنسور الانحناء لريمان.
ثانيا استخرج من النتائج اعلاه تنسور الانحناء لريتشى و سلمية ريتشى ثم اكتب فعل هيلبرت-اينشتاين على الكرة. ماذا يمكن ان تستنتج بخصوص جسيم الغرافيتون على الكرة فى بعدين (وفى الفضاءات-زمن ببعدين بصفة عامة) .

اليوتوب 

الصياغة الهاميلتونية للنسبية العامة

بعد اصلاح الفيديوهات و تصحيح اللينكات اقدم مرة اخرى منشورات الصياغة الهاميلتونية Hamiltonian formulation للنسبية العامة المعروفة باسم صياغة ال ADM لأصحابها أرونوئيط Arnowitt و ديسر Deser و ميسنر Misner (عام 1959) التى تعتبر منصة انطلاق التكميم القانونى canonical quantization للنسبية العامة التاريخية المعروفة باسم الهندسة-الديناميكة geometrodynamics و الحديثة المعروفة باسم نظرية الثقالة الكمومية الحلقية loop quantum gravity.
التكميم القانونى للنسبية العامة يعنى ايجاد معادلات الحقل الثقالى او هندسة الفضاء-زمن فهما متكافئان (كما نعرف من مبدأ التكافؤ) التى تصف الحالات الكمومية quantum states لهذه الجملة الفيزيائية التى هى من جهة تبدو على شكل قوة ثقالية (وهذا هو الظاهرى) ومن جهة اخرى تبدو على شكل هندسة الفضاء-زمن (وهذه هى الحقيقة الكلاسيكية).
لكن الحقيقة الكمومية التى ستعبر عنها هذه الحالات الكمومية للحقل الثقالى هى على ما يبدو لا هى هذا و لا هى ذلك بل هى تناظر معيارى gauge theory و تقطيع للفضاء-زمن discrete spacetime (وهى نتيجة تصل اليها ايضا نظرية الوتر).
نظرية الثقالة الكمومى theory of quantum gravity هى الهدف وهى ما يسميه البعض (نظرية كل شيء theory of everything) باعتبار ان كل شيء فى الوجود هو شيء فيزيائى بالضرورة و هذه هى اختزاية الفيزياء المادية التى تختفى و تتخفى وراء اللغة نفسها.
الفيديو بالعربية
https://www.youtube.com/watch?v=IKuPrfgO8ok
الفيديو بالانجليزية
https://www.youtube.com/watch?v=OZr_sN3KyTo

المنشور السابق
المحاضرة الرابعة فى النسبية العامة حول الصياغة الهاميلتونية ال ADM للنسبية العامة فى فيديوهين.
هذا هو المدخل الى نظريتى التكميم القانونى للنسبية العامة الهندسية-الديناميكية (وهى التاريخية) و نظرية الثقالة الكمومية الحلقية (وهى المعاصرة).
لا يمكن فهم الكمومية الحلقية اذا لم يفهم المرء الصياغة الهاميلتونية التى هى ليست الا تحويل لوجوندر لفعل هيلبرت-اينشتاين (الفيديو السابق) ثم تطبيق التكميم القانونى لديراك الذى يتطلب تحليل القيود التى تخضع لها الجملة.

فعل هيلبرت-اينشتاين

المحاضرة الثالثة فى النسبية العامة لهذا الفصل على اليوتوب.
موضوع الشريط هو فعل هيلبرت-اينشتاين الذى عند تطبيق مبدأ الفعل الاصغرى عليه نحصل على معادلات اينشتاين كمعادلات حركة المترية التى ننظر اليها هنا على انها هى المتغير الديناميكى الممثل للحقل الثقالى.
هذا الفعل اذن مهم جدا بل هو محورى فهو نقطة الانطلاق نحو تكميم النسبية العامة اما عبر طريقة التكميم القانونى او طريقة تكاملات الطريق.
الهندسة التفاضلية محورية ايضا لتحقيق اى فهم صحيح للنسبية العامة و اى محاولة اخرى بدونها لن تجدى نفعا.
اذن لن تكون ابدا مضيعة لأى شيء ان يصرف عليها المرء القدر الكافى من جهدة و وقته حسب الحاجة (خاصة الشباب الذى مازال امامه الوقت و كلكم شباب).
ثم ان النسبية العامة هى علم رياضى برهانى اذن ليس هناك مفر من البرهان و الحساب و التحليل بل هو بوابة الفهم الصحيح.
وبعض الاصدقاء يسأل عن تمرينات (وقد و فرت تمرينات على البلوغر و ساوفر تمرينات ان شاء الله على اليوتوب فهو صراحة اقوى بكثير فى التواصل) لكن يبقى افضل تمرين هو البرهان و التحقق من الحسابات.
بل قم بتحدى البرهان و الحساب و تحدى فهمك الشخصى باستمرار لتحقيق ما اسميه "الفهم المتطور" و الخروج من وهم و سراب "وهم الفهم" وهذا اقوله انطلاقا من تجاربى الشخصية.
اذن على المرء ان يحدد سؤالا معينا (عمليا و ليس نظريا و اكيد ليس ميتافيزيقيا) ثم يحاول ان يجيب عنه بالبرهان و الحساب فاذا نجح فى ذلك فليحدد سؤالا آخر ولا يتركه حتى يجيب عنه وهكذا حتى يبنى فهمه درجة درجة.
فالفهم الفيزيائى و الرياضى و قد قلناها من قبل عدة مرات لا يتأتى ابدا بالتأمل دون العمل الا للعباقرة وهم قلة اسثناء يحفظون و لا يقاس عليهم.
و هناك حسابات كثيرة فى النسبية العامة و غيرها من مواضيع الفيزياء النظرية قد تكون صعبة و بعضها صعب جدا و بعضها طويل و يعضها طويل جدا لكن مع كل هذا يجب على المرء ان يجريها شخصيا و لو مرة واحدة فى حياته.
وقد كنت قلت ان هذه ستكون آخر محاضرة لكن بعد الاقبال المعتبر الذى وجدته هذه الفكرة (فكرة القاء النسبية بالعربية على اليوتوب) على اليوتوب و هنا على الفايسبوك فاننى تشجعت و قررت ان اضيف محاضرتين اخريتين حول ال ADM و ال LQG مع فيديو خاص ببعض التمرينات العملية.
اما التمرينات النظرية فقد قدمت بعضها على البلوغر و تلك يصعب القيام بها على اليوتوب و حتى فى القسم. لكن هذا لا يعنى انها مستحيلة بل هو يعنى فقط انها صعبة تحتاج الى صبر و تركيز خاصة مع كثرة التفصيلات الصغيرة و الكبيرة. لكنها تبقى افضل التمرينات فمن حلها فقد فهم اساس النسبية بدون اى شك الذى هو الهندسة التفاضيلة.
ايضا فان المحاضرة (نفس المحاضرة) اقدمها بالعربية فى فيديو و بالانجليزية فى فيديو مختلف وهذا حتى اقرب ايضا للطلبة و غيرهم المصطلح الانجليزى و اكسر قليلا حاجز اللغة امام موضوع اساسى مثل النسبية العامة و ادخل النسبية العامة الى حرم اللغة العربية فالعربية قادرة على ذلك بكل جدارة و استحقاق و اننى دائما اسعد بخدمة العربية و الفيزياء بالطرق التى اراها الانفع و الافيد.
الرجاء التسجيل على اليوتوب و تسجيل المشاهدة فالاعداد تجلب الاعداد (فهذا قانون نفسى كما تعرفون) و التجاوب الايجابى يساعدنا على الاستمرار الايجابى . 

 

المحاضرة بالعربية 

 

المحاضرة بالانجليزية 

 

مدخل الى نظرية الثقالة الكمومية الحلقية


كيف نصل من النسبية العامة التى هى نظرية للمتريات الى النظرية المعيارية التى هى نظرية للرابطيات الى شبكات السبين (وكيف دخل السبين او عزم اللف الى هذا الموضوع اصلا?) و لماذا يقال ان هذه الشبكات السبينورية تتميز بطول اصغرى هو طول بلانك?
للتذكير فان النظرية المعيارية هى النظرية التى تصف الكهرومغناطيسية و النووية اللونية القوية و النووية الاشعاعية الضعيفة وتوحد بينهم فى النموذج القياسى للجسيمات الاولية.
اذن النسبية العامة حسب نظرية الثقالة الكمومية الحلقية هى ايضا نظرية معيارية و هذا يشبه كثيرا قول نظرية الوتر فى الثنائية الثقالية/المعيارية.
هذا هو السؤال الذى سنحاول ان نجيب عليه فى هذا المنشور الرابع و الاخير فى جولتنا السريعة حول ارجاء النسبية العامة.
هناك خمسة خطوات اساسية.
اولا علينا ان نذهب الى صياغة النسبية العامة على طريقة بالاتينى Palatini حيث ان المتغيرات الديناميكة نأخذها عبارة عن الرابطية السبينورية و الحقول الساقية و ليست المترية.
الرابطية السبينورية spin connection هى مكافئة تماما للرابطية التآلفية affine connection التى تعطى برموز كريستوفل Christoffel symbols لكنها اكثر اساسية منها لانه بدلالة الرابطة السبينورية و ليس بدلالة الرابطة التآلفية نقوم بالنقل بالتوازى parallel transport للسبينورات spinors التى تصف المادة (اى كيف تتحرك المادة فى الفضاء-زمن بشكل يحترم جميع التناظرات وهى هنا الديفيومورفيزمات diffeomorphisms فانها تتحرك بشكل يرى الرابطية السبينورية و ليس الرابطية التآلفية فهى اذن اكثر اساسية من هذا الجانب).
اما الحقول الساقية vielbein fields فهى الجذر التربيعى للمترية و هى تعطى اتجاهات المعالم العطالية فى كل نقطة من الفضاء-زمن و هى تسمى ايضا تطرادس tetrads فى اربعة ابعاد و تريادس triads فى ثلاثة ابعاد.
الخطوة الثانية و قد قام بها ايشتيكار Ashtekar هى اخذ القسم الثنوى-الذاتى self-dual part فقط للرابطية السبنيورية اى الجزء الذى يقابل السبنيورات ذات الاستقطاب اليميني right-handed (بمعنى تلك الالكترونات و الكواركات المشكلة للمادة فى الطبيعة التى تدور الى اليمين فى فضاءاتها الداخلية).
بدون هذا الشرط لا يوجد فرق بين فعل بالاتينى Palatini action و فعل هيلبرت-و-اينشتاين Hilbert-Einstein action لاننا سوف نحصل بعد تحليل ال ADM منهما على الديناميك-الهندسى geometrodynamics على طريقة ويلر Wheeler و دى-ويت Dewitt و غيرهم وهو طريق مسدود كما اقتنع الجميع اليوم.
اذن الرابطية السبينورية يجب ان تكون رابطية ثنوية-ذاتية self-dual connection و تسمى ايضا رابطية كايرال chiral connection .
الخطوة الثالثة نقوم بتحويل لوجوندر Legendre transform من اجل ايجاد الصياغة الهامليتونية للجملة الحقلية الثقالية.
هذا هو اطول جزء من الحساب لانه يتطلب اعادة كتابة فعل بالاتينى بدلالة المتغيرات الديناميكية الجديدة مع توريق الفضاء-زمن spacetime foliation مثلما فعلنا فى تحليل ال ADM.
نكتشف فى الاخير مع ايشتيكار ان المتغيرات الديناميكة الاساسية هى حقل معيارى gauge field فى الزمرة المركبة SU(2) و مرافقه conjugate الذى يلعب دور الحقل الكهربائى هو الحقل الساقى المكثف densitized vielbein field (و المكثف densitized نعنى به هنا اننا نستخرج من الحقل الساقى معامل هو بالضبط محدد المترية الثلاثية).
اذن حسب ايشتيكار فان متغيرات النسبية العامة عندما ننظر اليها على انها نظرية للرابطيات و ليس نظرية للمتريات هى متغيرات نظرية معيارية SU(2) مركبة و المركبة complex تعنى هنا ان الحقل المعيارى او الرابطية السبينورية الثنوية-الذاتية هى حقل مركب و ليس حقل حقيقى مثل رابطيات الكهرومغناطيسية و النوويتين الضعيفة و القوية.
سنكتشف ايضا فى هذا الحساب ان النظرية ستأتى بثلاثة قيود هى:
-قيد غوس Gauss constraint (وهو قانون غوس للكهرباء الذى تعرفونه و الذى سيظهر فى اى نظرية معيارية) وهو يعبر عن التناظرات المعيارية لهذه الجملة وهو مرفق بحقل غير-ديناميكى هو مركبة الرابطية فى اتجاه الزمن الشامل global time direction الذى اخترناه فى التوريق.
-قيد الديفيومورفيزمات الفضائية spatial diffeomorphism constraint الذى يعبر عن تناظرات التحويلات العامة للاحداثيات على السطوح (التى هى فى الحقيقة فضاءات ثلاثية) المشكلة لتوريق الفضاء-زمن. هذا القيد مرفق بمتغير غير-ديناميكى هو شعاع الانزياح shift vector الذى يعطينا الحركة على هذه السطوح.
-قيد الهاميلتونية Hamiltonian constraint الذى يعبر عن التطور فى الزمن بين السطوح المختلفة لتوريق الفضاء-زمن وهو مرفق بمتغير غير-ديناميكى هو دالة السقوط lapse function الذى يمثل الانزياح فى الزمن بين السطوح المختلفة.
الخطوة الرابعة الرابطية التى يحصل عليها ايشتيكار هى رابطية مركبة وهذا يعائق غير هين امام تكميم quantization الجملة الثقالية.
نقوم اذن بتحويل الزمرة المركية SU(2) الى زمرة حقيقية عن طريق تدوير ويك Wick rotation للرابطية وهنا يدخل وسيط باربيرو-و-ايميرزى Barbero-Immirizi parameter.
هذه الخطوة اكثر من ضرورية لانه بدونها فان الهولونوميات holonomies و حلقات ويلسون Wilson loops (وهى المقادير الفيزيائية للجملة المعيارية) ستكون غير-متضامة non-compact وهذا يعنى من الناحية الفيزيائية اننا لا نستطيع ان نبنى فضاء هيلبرت Hilbert space للحالات الفيزيائية لهذه الجملة الثقالية التى حولناها الى جملة معيارية مع ايشتيكار.
الخطوة الخامسة لاننا و صلنا الى نظرية معيارية حقيقية و لان زمرة التناظر المعيارى هى الزمرة SU(2) فان الاعداد الكمومية التى ستميز حالات الجملة هى اعداد عزم اللف او السبين spin ومن هنا تظهر شبكات السبين spin networks كحالات للجملة كما تنبأ بذلك بنروز Penrose فى عام 1971.
اولا سنكتشف ان فضاء التمثيلات الكمومى quantum configuration space هو ليس بالضبط الفضاء الكلاسيكى للرابطيات (لان هذه الاخيرة ليست صامدة معياريا) بل هو فضاء الهولونوميات (وهذا كله عن طريق حل قيد غوس حلا صريحا).
والهولونومية holonomy هى الطور phase الذى يتراكم على السبينور عند النقل بالتوازى بمحاذاة منحنى معين (تذكروا تأثير بوهم-أهارانوف Bohm-Aharonov effect).
وكل رابطية تعطى بمحاذاة منحنى ما هولونومية معينىة و اذا غيرنا المنحنى فاننا نحصل من اجل نفس الرابطية على هولونومية مختلفة. والهولونومية لا تتغير تحت تأثير التحويلات المعيارية التى يولدها قيد غوس الا عند نقطتى بداية و نهاية المنحنى التى هى معرفة عليه.
اذا اخذنا المنحنى مغلق و اخذنا الأثر trace فان الهولونومية تصبح صامدة معياريا gauge invariant و نحصل على ما يسمى حلقة ويلسن Wilson loop التى تعبر عن مقدار فيزيائى (يمثل القوة بين كوارك و كوارك-مضاد) يمكن رصده تجريبيا.
اذن بكل بساطة نتخلص من الرابطيات لحساب حلقات ويلسن المعرفة على حلقات تعيش فى الفضاءات الثلاثية للتوريق و من هنا جاء الاسم الثقالة الحلقية.
اذن المترية تحولت الى رابطية ثم الرابطية تحولت الى حلقات ويلسن ثم حلقات ويلسن تحولت الى حلقات و الحلقات هى ليست الا منحنيات مغلقة.
اذن هندسة الفضاء-زمن تم تشفيرها فى منحنيات (ليست منحنيات عادية لانها تحمل خواص الزمرة SU(2)) هذه الاخيرة هى بالضبط ما يسمى شبكات السبين.
وكل شبكة سبين هى حالة كمومية تنتمى الى فضاء هيلبرت للحالات التى تعيش على فضاء التمثيلات التى هى هنا الهولونوميات او الرابطيات.
اى شبكة سبين فانها ستتميز بثلاثة اشياء اساسية هى كما يلى:
-اولا منحنى graph ب N حد edge و V عقدة vertex.
-ثانيا شعاع من الأعداد نصف-الصحيحة الكمومية للسبين عددها N حيث ان كل عدد يرفق بجد من حدود المنحنى وهى تعطى تمثيلة ال SU(2) المرفقة بذلك الحد.
-ثالثا كل عقدة من المنحنى ستتميز بما يسمى مؤثر توأمى-داخلى intertwining operator. هذا المؤثر يعبر بكل بساطة عن قانون انحفاظ السبين (الذى هو عزم حركى ذاتى) فى تلك العقدة التى تصل اليها و تخرج منها عدد معين من الحدود كل حد منها يحمل قيمة معينة للسبين او عزم اللف. اذن فى المحصلة لدينا V مؤثر توأمى-داخلى يميز كل شبكة سبين.
هذه الحالات الكمومية (شبكات السبين) هى الكوانتومات الاولية elementary quata لهندسة الفضاء-الزمن وهى (سنكتشف بعد حساب اضافى) الحالات الذاتية لمؤثرى المساحة و الحجم و نجد ان قيمها الذاتية مكممة متناسبة مع l_P**2 (بالنسبة للمساحة) و l_P**3 (بالنسبة للحجم) حيث ان l_P هو ثابت بلانك.
اذن المساحات و الحجوم مكممة quantized, الفضاء-زمن مقطع discrete و هناك طول اصغرى minimal length فى الكون هو طول بلانك.

Introduction to loop quantum gravity

This is the fourth post of a series of four posts (plus a fifth post of exercises) concerned with the canonical quantization of general relativity.

Abstract 


General relativity can be formulated either using the metric tensor $g_{\mu\nu}$ (and implicitly the affine Levi-Civita connection defined in terms of Christoffel symbols $\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}$) or in terms of the  vielbein field or tetrad $e_{\mu}^m$ and the spin connection $\omega_{\mu}^{mn}$. The two formulations  are equivalent but contrary to widespread belief the formulation based on the spin connection is more fundamental for two reasons. First, fundamental matter fields in Nature are described by chiral fermions (leptons and quarks) which when propagating in a curved spacetime feels the metric only through the vielbein field.  The second reason is the fact that the most successful canonical quantization of general relativity today (loop quantum gravity) uses as canonical conjugate variables the (densitized) vielbein field from one hand and the (self-dual part of the) spin connection from the other hand as the canonical momentum and the configuration variable respectively (and not the $3-$dimensional metric $h_{ij}$ or euivalently the vielbein field or triads $e_{i}^m$ and the extrinsic curvature $K_{ij}$ used in the classic ADM formulation). It will be seen that general relativity can then be reformulated as a complex $SU(2)$ gauge theory of the self-dual spin connections and as a consequence general relativity becomes a dynamical theory for three-dimensional connections and not for three-dimensional geometries and this makes it embeddable into Yang-Mills gauge theory. Loop representation and spin network stats are then briefly discussed.


Previous Posts

The Hilbert-Einstein action 

The vielbein formalism 

ADM formulation and geometrodynamics

Three exercises in general relativity

The Palatini action and Ashtekar variables


The Hilbert-Einstein action of general relativity expressed in terms of the $4-$dimensional metric $g$ is equivalent to the Palatini action expressed in terms of the vielbein field $e$ and the spin connection $\omega$. In the first formulation the affine connection is used implicitly since it is determined by the metric tensor whereas in the second formulation the spin connection is used explicitly since it is an independent dynamical variable. The Palatini action is of the form ($G$ being Newton's constant)
\begin{eqnarray}
S=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x\epsilon_{mnkl}\tilde{\eta}^{\mu\nu\alpha\beta}e_{\mu}^me_{\nu}^nR_{\alpha\beta}^{kl}.\label{pal1}
 \end{eqnarray}
The indices $m,n,...$ are internal indices associated with the local $SO(1,3)$ Lorentz group whereas the indices $\mu,\nu,...$ are external indices associated with spacetime (and consequently with the local diffeomorphism group of general coordinate transformations).  The tensor $\tilde{\eta}$ is the Levi-Civita tensor density corresponding to the curved indices $\mu,\nu,...$ whereas $\epsilon$ is the flat Levi-Civita symbol. The curvature (from the previous results) is defined by the relation
\begin{eqnarray}
R_{\rho\sigma\mu\nu}=R_{\rho\sigma n}^me_{\mu}^ne_m^{\alpha}g_{\alpha\nu}.
\end{eqnarray}
Now we use the result (with $g={\rm det}(g_{\mu\nu})$)
\begin{eqnarray}
\tilde{\eta}^{\alpha\beta\mu\nu}\epsilon_{klmn}e_{\mu}^me_{\nu}^n=\frac{\sqrt{-g}}{2}(e_k^{\alpha}e_l^{\beta}-e_k^{\beta}e_l^{\alpha}).
\end{eqnarray}
The Palatini action becomes  then (recall that the Ricci curvature tensor and the Ricci scalar are defined by $R_{\mu\nu}=R^{\rho}_{\mu\rho\nu}$ and $R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$)

\begin{eqnarray}
S&=&\frac{1}{16\pi G}\int \sqrt{-g} d^4x e_k^{\alpha}e_l^{\beta}R_{\alpha\beta}^{kl}\nonumber\\
&=&\frac{1}{16\pi G}\int \sqrt{-g} d^4x R.
 \end{eqnarray}
This is the Hilbert-Einstein action.

Alternatively, quantization based on the Palatini action gives immediately geometrodynamics of Wheeler, DeWitt and others. Indeed, the conjugate momentum associated with the spin connection $\omega_{\mu}^{mn}$ is found to be given by $\Pi^{\mu}_{mn}=\tilde{\eta}^{\mu\nu\alpha}\epsilon_{mnkl}e_{\nu}^ke_{\alpha}^l$. The theory has thus an additional  (second class) constraint consisting in the fact that the momentum is decomposable as a product of two  vielbein fields. By solving the second class constraint  (using Dirac's formalism) we obtain new canonical variables in which the spin connection is lost as a dynamical variable and we end up again with geometrodynamics \cite{Ashtekar:1988sw}.

The revolutionary solution  provided by Ashtekar (see \cite{Ashtekar} for a modern review and for the original references) consists in insisting that the Palatini action is the correct starting point but with the additional twist that the spin connection must be self-dual. In other words, we must replace in the Palatini action the real $SO(1,3)$ spin connection $\omega_{\mu}^{mn}$ by the complex  self-dual connection $A_{\mu}^{mn}$defined by
\begin{eqnarray}
A_{\mu}^{mn}=\frac{1}{2G}(\omega_{\mu}^{mn}-\frac{i}{2}\epsilon^{mn}~_{kl}\omega_{\mu}^{kl}).
\end{eqnarray}
The complex connection $A_{\mu}^{mn}$ is self-dual because it satisfies the self-dual condition

\begin{eqnarray}
iA_{\mu}^{mn}=\frac{1}{2}\epsilon^{mn}~_{kl}A_{\mu}^{kl}.\label{sdc}
\end{eqnarray}The Palatini action becomes

\begin{eqnarray}
S=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x\epsilon_{mnkl}\tilde{\eta}^{\mu\nu\alpha\beta}e_{\mu}^me_{\nu}^nF_{\alpha\beta}^{kl}.\label{pal2}
 \end{eqnarray}
$F$ is the curvature tensor of the self-dual connection $A$. Thus, it must be given by
\begin{eqnarray}
F_{\alpha\beta m}^{n}=\partial_{\alpha}A_{\beta m}^n-\partial_{\beta}A_{\alpha m}^n+G^4A_{\alpha m}^kA_{\beta k}^n-G^4A_{\beta m}^kA_{\alpha k}^n.
 \end{eqnarray}
We can check that the classical equations of motion derived from the self-dual Palatini action (\ref{pal2}) are exactly equivalent to the classical equations of motion derived from the original Palatini action (\ref{pal1}). In particular, the variation of the action (\ref{pal2}) with respect to the connection $A_{\mu}^{mn}$ gives as equation of motion the result that $A_{\mu}^{mn}$ is the (self-dual part of the) spin connection $\omega_{\mu}^{mn}$ which is compatible with the vielbein field $e_{\mu}^m$, i.e. it is determined  by  the condition ${\cal D}_{\rho}e_{\mu}^m=0$. Hence,  the connection  $A_{\mu}^{mn}$ is completely determined by the vielbein field $e_{\mu}^m$. On the other hand, the variation of the action (\ref{pal2}) with respect to the  vielbein field $e_{\mu}^m$ gives as equation of motion the result that the spacetime metric $g_{\mu\nu}=e_{\mu}^me_{\nu}^{n}\eta_{mn}$ solves Einstein's equations.

Thus the classical equations of motion derived from the self-dual Palatini action (\ref{pal2}) are exactly equivalent to the classical equations of motion derived from the standard Palatini action (\ref{pal1}). But this does not mean that the two actions are identical. Indeed, the difference between (\ref{pal2}) and (\ref{pal1}) is an imaginary term which is not a pure divergence but reproduces as a correction to the equation of motion the first Bianchi identity (the trace of the dual of the Riemann tensor vanishes) which thus holds automatically. This imaginary term leads however under the Legendre transform of the self-dual Palatini action to a different conjugate momentum which is linear instead of being quadratic in the vielbein field and that makes the self-dual Palatini action (\ref{pal2}) distinctly different and quite superior to the standard Palatini action (\ref{pal1}) which is nothing else but the Hilbert-Einstein action. See \cite{Ashtekar} and references therein.



General relativity as an SU(2) gauge theory of self-dual spin connections




We start with the Hilbert-Einstein action  with variable given only by the metric tensor $g_{\mu\nu}$ (the affine Levi-Civita connection $\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}$ is not an independent variable here). Then by performing a Legendre transform and an ADM analysis the canonically conjugate variables are from the one hand the three-dimensional metric $h_{\mu\nu}$ or equivalently the vielbein fields (or triads) $e_{\mu}^{m}$ and from the other hand we have the corresponding conjugate momentum $\Pi_{\mu\nu}$ defined in terms of the extrinsic curvature $K_{\mu\nu}$ by the relation $\Pi_{\mu\nu}=-\sqrt{h}(K_{\mu\nu}-Kh_{\mu\nu})$.  We are here only dealing with geometrodynamics where only first class constraints are involved.

If we start on the other hand with the standard Palatini action (\ref{pal1}) with variables given by the real vielbein field   $e_{\mu}^m$ and the real spin connection $\omega_{\mu}^{mn}$ then the canonically conjugate variables are the spin connection $\omega_{\mu}^{mn}$ and the conjugate momentum  $\Pi^{\mu}_{mn}=\tilde{\eta}^{\mu\nu\alpha}\epsilon_{mnkl}e_{\nu}^ke_{\alpha}^l$. By solving the second class constraint  (the momentum is decomposable as a product of two  vielbein fields) we obtain new canonical variables in which the spin connection is lost as a dynamical variable and we end up again with geometrodynamics.

We also recall that the vielbein field  $e_{\mu}^m$ is covariantly constant with respect to both the spin connection $\omega_{\mu}^{mn}$ and the Levi-Civita connection $ \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}$, viz
\begin{eqnarray}
 {\cal D}_{\rho}e_{\mu}^m&=&{\partial}_{\rho}e_{\mu}^m-{\Gamma}_{\rho\mu}^{\nu}e_{\nu}^m+\omega_{\rho n}^{m}e_{\mu}^n\nonumber\\
&=& 0.
\end{eqnarray}
This compatibility condition gives the spin connection in terms of the Levi-Civita connection and the  vielbein field.




However, the theory formulated in terms of the Ashtekar variables given by a self-dual spin connection $A_{\mu}^{mn}$ which is necessarily complex and a real vielbein field  (or tetrads) $e_{\mu}^m$ with an action given by the self-dual Palatini action (\ref{pal2}) is equivalent to a complex $SU(2)$ gauge theory of the self-dual spin connections . Indeed, after Legendre transform the canonically conjugate variables are found to be the self-dual spin connection $A_{\mu}^{mn}$ with a corresponding conjugate momentum  $\Pi^{\mu}_{mn}$ which is also self-dual and furthermore is proportional to a single vielbein field not two and hence second class constraints are avoided.

Here it is technically simpler to start with complex general relativity since the connection is necessarily complex. So we start with a complex vielbein field $e_{\mu}^m$ and a complex self-dual $SO(1,3)$ connection $A_{\mu}^{mn}$ with an action given by the Palatini action (\ref{pal2}). After Legendre transform we get as our canonically conjugate variables the connection $A_{\mu}^{mn}$ and the conjugate momentum $\Pi^{\mu}_{mn}$ which are both in the self-dual part of the complexified $so(1,3)$ Lie algebra.

The original spin connection $\omega_{\mu}^{mn}$ is a real $SO(1,3)$ connection and recall that $SL(2,\mathbb{C})$ is the universal cover of $SO(1,3)$. The self-dual connection $A_{\mu}^{mn}$  belongs however to the complexified group $SO(1,3)_{\mathbb{C}}$.  We have the Lie algebra isomorphisms
\begin{eqnarray}
so(1,3)_{\mathbb{C}}=so(4)_{\mathbb{C}}=so(3)_{\mathbb{C}}\oplus so(3)_{\mathbb{C}}.
\end{eqnarray}
The first $so(3)_{\mathbb{C}}$ factor represents self-dual (chiral, right-handed) fields whereas the second factor represents anti-self-dual (anti-chiral, left-handed) fields. The connection $A_{\mu}^{mn}$ is a complex  connection (thus belonging to $so(1,3)_{\mathbb{C}}$ not to  $so(1,3)$ like the connection $\omega_{\mu}^{mn}$)  which is also self-dual (thus it belongs to the first factor $so(3)_{\mathbb{C}}$).

We are therefore dealing with an $so(3)_{\mathbb{C}}-$valued one-form and since the universal cover of $SO(3)$ is $SU(2)$ the connection $A_{\mu}^{mn}$ is in fact an $su(2)_{\mathbb{C}}-$valued one-form.

Using the above isomorphism between the self-dual subalgebra of the complexified Lie algebra $so(1,3)_{\mathbb{C}}$ and the complexfied Lie algebra $so(3)_{\mathbb{C}}$ we can map the  canonically conjugate variables $A_{\mu}^{mn}$ and $\Pi^{\mu}_{mn}$ to the $so(3)_{\mathbb{C}}-$valued fields $A_{\mu}^n$ and $\Pi_{\mu}^n$ given respectively by


\begin{eqnarray}
A_{\mu}^m=\frac{1}{2}A_{\mu kl}\epsilon^{klm}~,~\Pi_{\mu}^m=\frac{1}{2}\Pi_{\mu kl}\epsilon^{klm}.
\end{eqnarray}
The self-dual connection $A_{\mu}^m$ is also called the chiral spin connection. As it turns out, the canonical momentum $\Pi_{\mu}^m$ is precisely the  densitized vielbein field  (or triad) given by
\begin{eqnarray}
 \Pi_{\mu}^m=\tilde{e}_{\mu}^m=\sqrt{h}e_{\mu}^m.
\end{eqnarray}
The Ashtekar variables are precisley the densitized triad $\tilde{e}_{\mu}^m$ and the self-dual connection $A_{\mu}^m$.  The self-dual Palatini action in terms of these variables takes the form
\begin{eqnarray}
S=\int d^4x \bigg(-2i\tilde{e}_{\mu}^m{\cal L}_tA_m^{\mu}-2i(t^{\mu}A_{\mu}^m)G_m+2iN^{\mu}{\cal V}_{\mu}+\frac{N}{\sqrt{h}}{\cal S}\bigg). \label{pal3}
\end{eqnarray}
The quantities $G_m$, ${\cal V}_{\mu}$ and ${\cal S}$ are explicitly given by
\begin{eqnarray}
G_m={\cal D}_{\mu}\tilde{e}_m^{\mu}~,~{\cal V}_{\mu}=\tilde{e}_n^{\nu}F_{\mu\nu}^n~,~{\cal S}=\epsilon_{ijk}\tilde{e}_i^{\mu}\tilde{e}_j^{\nu}F_{\mu\nu}^k.
\end{eqnarray}
The curvature $F_{\mu\nu}^k$ of the gauge field $A_{\mu}^k$ is explicitly given by
\begin{eqnarray}
F_{\mu\nu}^l=\partial_{\mu}A_{\nu}^l-\partial_{\nu}A_{\mu}^l+G\epsilon_{lmn}A_{\mu}^mA_{\nu}^n.
\end{eqnarray}
This shows explicitly that we are indeed dealing with an $SU(2)$ gauge theory.

In the first term of the self-dual Palatini action (\ref{pal3}) the operator ${\cal L}_t$ is the Lie derivative along the time direction and hence ${\cal L}_tA_m^{\mu}$ is the covariant time derivative of the field configuration $A_m^{\mu}$ along the vector field $t^{\mu}=Nn^{\mu}+N^{\mu}$ which defines the spacetime foliation with hypersurfaces $\Sigma_t$ whose normal vector field is given by $n^{\mu}$ ($N$ and $N^{\mu}$ are then the lapse function and the shift vector).

From the first term in the action (\ref{pal3}) which is then of the form $p\dot{q}$ we can immediately conclude that the densitized triad $\tilde{e}_{\mu}^m$ is precisely the conjugate momentum $p$ associated with the self-dual connection $A_{\mu}^m$ which acts exactly as the configuration variable $q$. Indeed, the fundamental Poisson brackets are of the form
\begin{eqnarray}
\{A_{\mu}^m(x), \tilde{e}^{\nu}_n(y)\}=\frac{i}{2}\delta_m^n\delta_{\mu}^{\nu}\delta^3(x-y).
\end{eqnarray}
In summary, we have gone from the ADM variables consisting of the three-dimensional metric $h_{\mu\nu}$ (or equivalently the densitized triads $\tilde{e}_{\mu}^m$)  and the canonical momentum $\Pi_{\mu\nu}$ (or equivalently the extrinsic curvature $K_{\mu}^m$ defined by $K_{\mu}^m=K_{\mu\nu}e^{\nu m}$) to the complex Ashtekar variables consisting of $\tilde{e}_{\mu}^m$ and the connection $A_{\mu}^m$. The relation between the self-dual connection $A_{\mu}^m$ and the original variables $\tilde{e}_{\mu}^m$ and $K_{\mu}^m$ is given explicitly by
\begin{eqnarray}
GA_{\mu}^m=\Gamma_{\mu}^m-iK_{\mu}^m.\label{fundamental}
 \end{eqnarray}
The spin connection $\Gamma_{\mu}^m$ which is compatible with the densitized triads $\tilde{e}_{\mu}^m$ is given obviously by the relation
\begin{eqnarray}
\Gamma_{\mu}^m=\frac{1}{2}\omega_{\mu kl}\epsilon^{klm}.
\end{eqnarray}
See  \cite{Pullin:1993fw} and references therein.

At the end of all this we will naturally need to return to real (Lorentzian) general relativity and thus one must impose reality conditions. In terms of the geometrodynamic variables these reality conditions are simply the requirements that the three-dimensional metric $h_{\mu\nu}=e_{\mu}^me_{\nu}^n\eta_{mn}$ and the  extrinsic curvature $K_{\mu\nu}$ must be real. Let us emphasize here that the self-dual spin connection $A_{\mu}^{mn}$ given by equation (\ref{sdc}) is necessarily complex (since the spacetime manifold is Lorentzian) and thus the reality conditions will not alter this fact. But, in Euclidean signature the self-dual connections are necessarily real and thus the reality conditions which are needed to be imposed on complex general relativity to recover the real phase space are the requirements  that the triads must be real and the connections must also be real. In Lorentzian signature the connections will remain complex after imposing the reality conditions (which will cause other problems for the integration measure in the quantum theory).


The reality conditions can also be understood in a more illuminating way as follows.

We start with real general relativity, i.e. real  vielbein field and real spin connection in the Palatini action. After Legendre transform we can take as our variables the densitized triads $\tilde{e}_{\mu}^m$ (instead of the three-dimensional metric $h_{\mu\nu}$) and the extrinsic curvature $e_{\mu}^m$ (instead of the momentum $\Pi_{\mu\nu}$).


On the real phase space $(q,p)\equiv (\tilde{e}_{\mu}^m,K_{\mu}^m)$ we perform then a complex canonical transformation which takes us to the complex Ashtekar variables $(q,z)$ where $z$ is the complex coordinate given by $z=f(q)-ip$. Explicitly, $f(q)$ is the spin connection $\Gamma_{\mu}^m$ which is determined by the densitized triads $\tilde{e}_{\mu}^m$ and $z$ is  precisely the self-dual connection $GA_{\mu}^m=\Gamma_{\mu}^m-iK_{\mu}^m$. As we have seen $\tilde{e}_{\mu}^m$ and $A_{\mu}^m$ are canonically conjugate to each other where the densitized triads are what play the role of the conjugate momentum in the  Ashtekar variables $(q,z)$ contrary to their role in the original real coordinates $(q,p)$, i.e.  $(q^A,p^A)\equiv (A_{\mu}^m, \tilde{e}_{\mu}^m)$.

The reality conditions are now given by the requirement that the three-dimensional metric  $h_{\mu\nu}=e_{\mu}^me_{\nu}^n\eta_{mn}$ is real and the requirement that $GA_{\mu}^m-\Gamma_{\mu}^m$ is pure imaginary.



In the Palatini action (\ref{pal3}) which is written in terms of Ashtekar variables the second, third and fourth terms lead to the constraints. Indeed, the lpase function $N$, the shift vector $N^{\mu}$ and the component of the connection $A_{\mu}$ along the time direction, i.e. $t^{\mu}A_{\mu}^m$ are all Legendre multipliers and the variation of the action with respect to them will lead to the constraints

\begin{eqnarray}
G_m={\cal D}_{\mu}\tilde{e}_m^{\mu}=0.\label{const1}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
{\cal V}_{\mu}=\tilde{e}_n^{\nu}F_{\mu\nu}^n=0.\label{const2}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
{\cal S}=\epsilon_{ijk}\tilde{e}_i^{\mu}\tilde{e}_j^{\nu}F_{\mu\nu}^k=0. \label{const3}
\end{eqnarray}
These seven first class constraints are simple polynomials in  the basic variables (as opposed to what happens in geometrodynamics).  And, they reduce the $9$ degrees of freedom of $A_{\mu}^i$ to the two degrees of freedom of the graviton.

The constraints (\ref{const2}) and (\ref{const3}) are the diffeomorphism and Hamiltonian constraints found in geometrodynamics which generate respectively spatial diffeomorphisms on each surface $\Sigma_t$ and time evolution between different surfaces $\Sigma_t$ and $\Sigma_{t+\delta t}$.

The first constraint (\ref{const1}) is the so-called Gauss constraint and it represents Gauss law in this gauge theory and  generates local $SO(3)$ invariance of the triads. It arises from the fact that the time component of the connection $A_{\mu}$ is not a dynamical field.  We are really dealing with an $SU(2)$ gauge theory on the the three-dimensional surfaces $\Sigma_t$ with gauge field $A_{\mu}^m$ and since $\tilde{e}^{\mu}_m$ is the conjugate momentum it will act as the electric field $E^{\mu}_m$ with a quantized flux leading to quantized geometry and discretized spacetime  (in the form of discrete spectra of areas and volumes) and also leads to the absence of gravitational singularities.

Thus, the Gauss constraint and the diffeomorphism constraints generate the local invariance group which is the semi-direct product of the local $SO(3)$ rotation group of the triads and the spatial diffeomorphism group on $\Sigma_t$. On the other hand, the scalar constraint is of the form $G^{\alpha\beta}p_{\alpha}p_{\beta}=0$ where $G$ is the supermetric and thus this constraint generates null geodesics motion in the configuration space of the connection.




Similarly to the constraints, the Hamiltonian and the equations of motion are all low order polynomials in the basic variables of Ashtekar.


The real SU(2) gauge theory

The self-dual or chiral connection $A_{\mu}^m$ in Lorentzian signature  is a complex $SU(2)$ gauge field which means in particular that the corresponding holonomies or Wilson loops (which define the obeservables of the quantum gauge theory) are non-compact, i.e. they belong to a non-compact subgroup $SL(2,\mathbb{C})_{\rm sd}$ of $SL(2,\mathbb{C})$ generated by the self-dual part of the Lie algebra $sl(2,\mathbb{C})$. As a consequence the path integrals defining the quantum theory are ill defined and require a regularization in the form of a Wick rotation in the internal space which sends the non-compact group $SL(2,\mathbb{C})_{\rm sd}$ to the compact group $SU(2)$, i.e. the chiral connection $A_{\mu}^m$ given by (\ref{fundamental}) is replaced with a real $SU(2)$ gauge field given by

\begin{eqnarray}
GA_{\mu}^m=\Gamma_{\mu}^m+\beta K_{\mu}^m.\label{fundamental1}
 \end{eqnarray}
In other words, we replace the "-i" in (\ref{fundamental})  with a real parameter $\beta$ in (\ref{fundamental1}) called the Barbero-Immirzi parameter \cite{Barbero:1994ap,Immirzi:1996di}. The fundamental Poisson brackets become

 

\begin{eqnarray}
\{A_{\mu}^m(x), \tilde{e}^{\nu}_n(y)\}=-\frac{\beta}{2}\delta_m^n\delta_{\mu}^{\nu}\delta^3(x-y).
\end{eqnarray}
The choice of the parameter does not alter the Gauss and  the spatial diffeomorphism constraints. But the Hamiltonian (which is a linear combination of the constraints) acquires an additional term, viz
\begin{eqnarray}
 H=\frac{\epsilon_{lmn}\tilde{e}^{\mu}_m\tilde{e}^{\nu}_nF_{\mu\nu}^l}{\sqrt{h}}+2\frac{\beta^2+1}{\beta^2}\frac{\tilde{e}^{\mu}_m\tilde{e}^{\nu}_n-\tilde{e}^{\mu}_n\tilde{e}^{\nu}_m}{\sqrt{h}}(A_{\mu}^m-\Gamma_{\mu}^m)(A_{\nu}^n-\Gamma_{\nu}^n).
 \end{eqnarray}
The second term vanishes for $\beta=\pm 1$. This Hamiltonian was simplified by Thiemann. See for example his book \cite{Thiemann:2007zz}.


Loop representation and spin networks

We have now a real $SU(2)$ gauge theory with a connection or gauge field $A_{\mu}^m$ living on a three-dimensional surface $\Sigma_t$. The classical configuration space (the space of all connections   $A_{\mu}^m$ ) is denoted by ${\cal A}$ while the quantum configuration space is denoted by $\bar{\cal A}$ will constitue of holonomies of connections along paths in $\Sigma_t$.  

Each connection $A_{\mu}^m$ defines a holonomy $h_{\alpha}[A]$ along any oriented path on the surface $\Sigma_t$, i.e. $\alpha: [s_0,s_1]=[0,1]\longrightarrow \Sigma_t$ with an affine parameter $s$ by the relation \cite{Loll:1993yz}
\begin{eqnarray}
 h_{\alpha}[A]=U(s_1,s_0)={\cal P}\exp\bigg(-\int_{0}^{1}ds\dot{\alpha}^{\mu}(s)A_{\mu}^m(\alpha(s))T_m\bigg).
\end{eqnarray}
The ${\cal P}$ is the usual path ordering operation  (operators with larger values of $s$ are placed to the left of the operators with to smaller values of $s$) and $T_m$ are the usual generators of $SU(2)$ which satisfy the Lie algebra 
\begin{eqnarray}
 [T_m,T_n]=i\epsilon_{mnl}T_l.
\end{eqnarray}
The set of all holonomies $h_{\alpha}[A]$ define the quantum configuration space $\bar{\cal A}$ in the same way that the set of all connections $A_{\mu}^m$ define the classical configuration space ${\cal A}$. A holonomy (called generalized connection in \cite{Huggett:1998sz}) is a map on the space of all paths in $\Sigma_t$ which assigns an element of the group $SU(2)$ to each path $\alpha(t)$ (in contrast to the connection which is a map on the hypersurface $\Sigma_t$ which assigns an element of the Lie algebra $su(2)$ to each point on the surface).

The holonomy defines the parallel transport of a spinor in the background of the configuration $A_{\mu}^m$ along the curve $\alpha(t)$ between the start point $\alpha(0)$ and the end point $\alpha(1)$ and it measures the accumulated phase difference between the initial and final values of the spinor at the two points. More explicitly, under gauge transformations $g$ we must have 
\begin{eqnarray}
h_{\alpha}\longrightarrow h_{\alpha}^{\prime}=g^{-1}(\alpha(1))h_{\alpha}g(\alpha(0)).
 \end{eqnarray}
This defines the so-called generalized gauge transformations \cite{Huggett:1998sz} which act on holonomies only at the end points of paths in contrast to ordinary gauge transformations which act on connections at every point of $\Sigma_t$. They are generated by the Gauss gauge constraint which can then be solved explicitly by using only Wilson loops which are holonomies traced out around closed paths (loops), viz
\begin{eqnarray}
W_{\alpha}[A]=Tr h_{\alpha}[A].\label{WL}
\end{eqnarray}
These are gauge invariant by construction. Any Gauss gauge invariant function  $\Psi[A]$ in the connection representation  is then expanded in terms of Wilson loops as
\begin{eqnarray}
\Psi[A]=\sum_{\alpha}\Psi[\alpha]W_{\alpha}[A].
\end{eqnarray}
This is called the loop transform. The function $\Psi[\alpha]$ defines the loop representation and it is given by the inverse loop transform
\begin{eqnarray}
\Psi[\alpha]=\int [dA] \Psi[A] W_{\alpha}[A].
\end{eqnarray}
In the loop representation we can also solve the spatial diffeomorphism  constraint by considering functions $\Psi[\alpha]$  which are invariant under diffeomorphisms of the loop $\alpha$. Thes are knot invariants \cite{Rovelli:1987df}. The Hamiltonian constraint is solved on the other hand by non-intersecting Wilson loops.

If we denote the set of all  generalized gauge transformations by $\bar{\cal G}$ then the gauge invariant quantum configuration space must be given by the quotient $\bar{\cal A}/\bar{\cal G}$. This space can be viewed as a projective limit of a family  of compact, smooth and finite dimensional configuration spaces $\{\bar{\cal A}_{\alpha}/\bar{\cal G}_{\alpha}\}$.

Each configuration space $\bar{\cal A}_{\alpha}/\bar{\cal G}_{\alpha}$ is  labelled by a path or graph $\alpha$ characterized by $N$ edges and $V$ vertices (each edge $e$ starts at  a vertex $v_{e_0}$ and ends at a vertex $v_{e_1}$). From the one hand, the space $\bar{\cal A}_{\alpha}$ is the space of generalized connections or holonomies over the graph $\alpha$ which consists of the mappings which assign to each edge of the graph an element of the group $SU(2)$, i.e. $\bar{\cal A}_{\alpha}$ is isomorphic to $SU(2)^N$. From the other hand, the space $\bar{\cal G}_{\alpha}$ is the space of generalized gauge transformations over the graph $\alpha$ which consists of all mappings which assign to each vertex an element of $SU(2)$. More precisely, the action of a given generalized gauge transformation $g$ on an edge $e$ of the graph $\alpha$ is given by $h_{\alpha}(e)\longrightarrow h_{\alpha}^{\prime}(e)=g^{-1}(v_{e_1})h_{\alpha}(e)g(v_{e_0})$. Hence the space $\bar{\cal G}_{\alpha}$ is isomorphic to $SU(2)^V$ and as a consequence the  configuration space $\bar{\cal A}_{\alpha}/\bar{\cal G}_{\alpha}$ is isomorphic to $SU(2)^{N-V}$.

The  Hilbert space of state vectors on the  configuration space $\bar{\cal A}_{\alpha}/\bar{\cal G}_{\alpha}$ (which is compact and finite dimensional) is precisely the space of square-integrable functions ${\cal H}_{\alpha}=L^2(\bar{\cal A}_{\alpha}/\bar{\cal G}_{\alpha})$ where the measure is obviously induced by the usual the Haar measure on $SU(2)$.

Elementary quanta of geometry are elements of ${\cal H}_{\alpha}$ and they are of the form \cite{Huggett:1998sz}
\begin{eqnarray}
\Psi_{\alpha}(h_{\alpha})=\psi(h_{\alpha}(e_1),...,h_{\alpha}(e_N))~,~\psi\in SU(2)^N.
\end{eqnarray}
In summary, the members of the family  $\{\bar{\cal A}_{\alpha}/\bar{\cal G}_{\alpha}\}$ are all compact and finite dimensional spaces with corresponding Hilbert spaces ${\cal H}_{\alpha}=L^2(\bar{\cal A}_{\alpha}/\bar{\cal G}_{\alpha})$ and as a consequence the projective limit $\bar{\cal A}/\bar{\cal G}$ which is also compact admits a regular Borel measure allowing the construction of a corresponding Hilbert space of square-integrable functions ${\cal H}=L^2(\bar{\cal A}/\bar{\cal G})$ where the measure is also induced by the usual the Haar measure on $SU(2)$.

The Hilbert space  ${\cal H}=L^2(\bar{\cal A}/\bar{\cal G})$ admits a more interesting decomposition as a direct sum of  finite dimensional orthogonal Hilbert spaces   ${\cal H}_{\alpha,\vec{j}}$ characterized together with the graph $\alpha$ by a vector $\vec{j}$ of half-integers, i.e. $\vec{j}=(j_1,j_2,...,j_N)$ where the integer $j_i$ represents the irreducible representation of $SU(2)$ which labels the edge $i$ of the graph $\alpha$.

We have then \cite{Ashtekar:2014kba}
\begin{eqnarray}
{\cal H}=L^2(\bar{\cal A}/\bar{\cal G})=\oplus_{\alpha,\vec{j}} {\cal H}_{\alpha,\vec{j}}.
\end{eqnarray}
${\cal H}_{\alpha,\vec{j}}$ are Hilbert spaces of spin network  states on the  configuration space $\bar{\cal A}_{\alpha}/\bar{\cal G}_{\alpha}$.

A spin network state $\Psi_{\alpha,\vec{j},\vec{i}}(A)$ is then an element of ${\cal H}_{\alpha,\vec{j}}$ which is characterized by $1)$ the graph $\alpha$, $2)$ the $N$ irreducible representations $j_i$ associated with the edges of the graph and $3)$ the $V$ intertwining operators $i_i$ associated with the vertices of the graph.



More precisely,  let $\rho_e$ be the irreducible representation associated  with the edge $e$, i.e. $\rho_e$ is the homomorphism $\rho_e:SU(2)\longrightarrow {\rm End}(V_e)$ where ${\rm End}(V_e)$ is the group of endomorphisms of a vector space $V_e$. Then let $S(v)$ be the set of edges with the vertex $v$ as a source (start point) and let $T(v)$ be the set of edges with the vertex $v$ as a target (end point). An intertwining operator $I_v$ is a linear endomorphism between the two vector spaces $\bigotimes_{e\in S(v)}V_e$ and $\bigotimes_{e\in T(v)}V_e$.

The intertwining operator $I_v$ can also be understood as an invariant element of the representation $\bigotimes_{e\in S(v)}V_e\bigotimes \bigotimes_{e\in T(v)}V_e^{\star}$.

Thus, if $\vec{j}$ is a labelling of the edges of the graph $\alpha$ by irreducible representations of $SU(2)$, similarly, $\vec{i}$ is a labelling of the vertices of the graph $\alpha$ by intertwining operators from the tensor product of incoming representations to the tensor product of the outgoing representations \cite{Baez:1994hx}.

For example, in Penrose spin networks  \cite{Penrose} we consider trivalent graphs labelled by spins $j$ satisfying the rule that if the spins of the edges at a given  vertex are $j_1$, $j_2$ and $j_3$ then these three spins must satisfy the rules of conservation of angular momentum, i.e. the Clebsch-Gordon condition $|j_1-j_2|\leq j_3\le j_1+j_2$ must hold. This Clebsch-Gordon condition  is a necessary and a sufficient  condition for the existence of  intertwining operators from $j_1\otimes j_2$ to $j_3$.

The set of all spin network states with all possible graphs $\alpha$,  all assignements $\vec{j}$ of irreducible representations of $SU(2)$ to the edges, and all assignements $\vec{i}$ of intertwining operators to the vertices form the Hilbert space  ${\cal H}=L^2(\bar{\cal A}/\bar{\cal G})$.

The spin network states  $\Psi_{\alpha,\vec{j},\vec{i}}(A)$ are eigenvectors  of area and volume operators in the hypersurfaces $\Sigma_t$ with discrete spectra \cite{Rovelli:1995ac}.

For example, the area of a two-dimensional surface ${\cal S}$  in the three-dimensional hypersurface $\Sigma_t$  is given by
\begin{eqnarray}
A_{\cal S}=\int dx^1dx^2\sqrt{{\rm det} h^{(2)}}.
\end{eqnarray}
The metric $h_{ab}^{(2)}$ is the induced metric on the surface ${\cal S}$. This can be expressed in terms of the metric $h_{ab}$, then in terms of the  densitized triads $\tilde{e}_m^{\mu}$ using the relation $\tilde{e}_m^{\mu}\tilde{e}^{\nu m}=h^{\mu\nu}{\rm det} h$.

In the quantum theory the densitized triads become operators $\hat{\tilde{e}}_m^{\mu}$ which act (up to a numerical factor) as $\delta/\delta A_{\mu}^m$ and hence the area $A_{\cal S}$  becomes an area operator $\hat{A}_{\cal S}$ which admits the Wilson loops (\ref{WL}) as eigenvectors, viz \cite{Gambini:2011zz}

\begin{eqnarray}
A_{\cal S}W_{\alpha}[A]=8\pi l_{\rm P}^2\beta \sum_I\sqrt{j_I(j_I+1)}W_{\alpha}[A].
\end{eqnarray}
The sum is over all edges of the Wilson loop $\alpha$ that intersect  the surface ${\cal S}$. The surface areas of ${\cal S}$ are then quantized given by $8\pi l_P^2\beta \sum_I\sqrt{j_I(J_I+1)}$ where $j_I$ is the spin associated with the edge $I$, $\beta$ is the Immirzi parameter and $l_P$ is the Planck length.

References


%\cite{ADM}
\bibitem{ADM} 
  S.~ Deser,
  ``Arnowitt-Deser-Misner formalism,'' Scholarpedia, 3(10):7533 (2008). 


%\cite{Ashtekar}
\bibitem{Ashtekar} 
  A.~ Ashtekar,
  ``Ashtekar variables,'' Scholarpedia, 10(6):32900 (2015).
   

%\cite{Thiemann:2006cf}
\bibitem{Thiemann:2006cf} 
  T.~Thiemann,
  ``Loop Quantum Gravity: An Inside View,''
  Lect.\ Notes Phys.\  {\bf 721}, 185 (2007).
  [hep-th/0608210].
 
%\cite{Ashtekar:1988sw}
\bibitem{Ashtekar:1988sw} 
  A.~Ashtekar, A.~P.~Balachandran and S.~Jo,
  ``The {CP} Problem in Quantum Gravity,''
  Int.\ J.\ Mod.\ Phys.\ A {\bf 4}, 1493 (1989).
  doi:10.1142/S0217751X89000649
  %%CITATION = doi:10.1142/S0217751X89000649;%%
  %115 citations counted in INSPIRE as of 25 May 2020
 
%\cite{Thiemann:2007zz}
\bibitem{Thiemann:2007zz}
T.~Thiemann,
%``Modern canonical quantum general relativity,''
[arXiv:gr-qc/0110034 [gr-qc]].
%642 citations counted in INSPIRE as of 05 Jun 2020
 
%\cite{Ashtekar:2014kba}
\bibitem{Ashtekar:2014kba}
A.~Ashtekar, M.~Reuter and C.~Rovelli,
``From General Relativity to Quantum Gravity,''
[arXiv:1408.4336 [gr-qc]].
%54 citations counted in INSPIRE as of 07 Jun 2020 
 
%\cite{Penrose}
\bibitem{Penrose}
R.~Penrose,
``Angular momentum; an approach to combinatorial spacetime,'' 
In Quantum Theory and Beyond, ed. T. Bastin, Cambridge University Press, 1971.
 
%\cite{Rovelli:1995ac}
\bibitem{Rovelli:1995ac}
C.~Rovelli and L.~Smolin,
``Spin networks and quantum gravity,''
Phys. Rev. D \textbf{52}, 5743-5759 (1995)
doi:10.1103/PhysRevD.52.5743
[arXiv:gr-qc/9505006 [gr-qc]].
%442 citations counted in INSPIRE as of 07 Jun 2020 
 
 
%\cite{Rovelli:1987df}
\bibitem{Rovelli:1987df}
C.~Rovelli and L.~Smolin,
``Knot Theory and Quantum Gravity,''
Phys. Rev. Lett. \textbf{61}, 1155 (1988)
doi:10.1103/PhysRevLett.61.1155
%376 citations counted in INSPIRE as of 08 Jun 2020 
 
%\cite{Baez:1994hx}
\bibitem{Baez:1994hx}
J.~C.~Baez,
``Spin network states in gauge theory,''
Adv. Math. \textbf{117}, 253-272 (1996)
doi:10.1006/aima.1996.0012
[arXiv:gr-qc/9411007 [gr-qc]].
%185 citations counted in INSPIRE as of 07 Jun 2020 
    
%\cite{Pullin:1993fw}
\bibitem{Pullin:1993fw}
J.~Pullin,
``Knot theory and quantum gravity in loop Space: A Primer,''
AIP Conf. Proc. \textbf{317}, 141-190 (1994) 
[arXiv:hep-th/9301028 [hep-th]]. For a concise summary see also the wikipedia page 
https://en.wikipedia.org/wiki/Self-dual_Palatini_action#cite_note-8 
 
 
%\cite{Barbero:1994ap}
\bibitem{Barbero:1994ap}
J.~Barbero G.,
``Real Ashtekar variables for Lorentzian signature space times,''
Phys. Rev. D \textbf{51}, 5507-5510 (1995)
doi:10.1103/PhysRevD.51.5507
[arXiv:gr-qc/9410014 [gr-qc]].
%624 citations counted in INSPIRE as of 05 Jun 2020 
 
 
%\cite{Immirzi:1996di}
\bibitem{Immirzi:1996di}
G.~Immirzi,
``Real and complex connections for canonical gravity,''
Class. Quant. Grav. \textbf{14}, L177-L181 (1997)
doi:10.1088/0264-9381/14/10/002
[arXiv:gr-qc/9612030 [gr-qc]].
%322 citations counted in INSPIRE as of 05 Jun 2020
 
 
%\cite{Loll:1993yz}
\bibitem{Loll:1993yz}
R.~Loll,
``Gauge theory and gravity in the loop formulation,''
Lect. Notes Phys. \textbf{434}, 254-288 (1994)
doi:10.1007/3-540-58339-4_21
%1 citations counted in INSPIRE as of 06 Jun 2020 
 
 
%\cite{Gambini:2011zz}
\bibitem{Gambini:2011zz}
R.~Gambini and J.~Pullin,
``A first course in loop quantum gravity,''
%5 citations counted in INSPIRE as of 07 Jun 2020 
 
 
%\cite{Huggett:1998sz}
\bibitem{Huggett:1998sz}
A.~Ashtekar,
  ``Geometric issues in quantum gravity,''
In  S.~Huggett, L.~Mason, K.~Tod, S.~Tsou and N.~Woodhouse, 
``The geometric universe: Science, geometry, and the work of Roger Penrose," 
Proceedings, Symposium, Geometric Issues in the Foundations of Science, Oxford, UK, 
June 25-29, 1996.
 
 
%\cite{McCabe}
\bibitem{McCabe} 
  G.~McCabe, 
 ``Loop quantum gravity and discrete space-time,``  philsci-archive.pitt.edu.
 
 
%\cite{Jora:2019sla}
\bibitem{Jora:2019sla} 
  R.~Jora,
  ``Note about the spin connection in general relativity,''
  arXiv:1911.05283 [gr-qc].
 

%\cite{Yoon:2018jnq}
\bibitem{Yoon:2018jnq} 
  S.~Yoon,
  ``Lagrangian formulation of the Palatini action,''
  arXiv:1805.01996 [gr-qc].
  
 
%\cite{tong}
\bibitem{tong}  
F.~Tong, 
''A Hamiltonian formulation of general relativity,'' www.math.toronto.edu.
 
 
 %\cite{vielbein}
\bibitem{vielbein} 
  ``The vielbein formalism for spinors in general relativity,''http://www.dkpi.at/. 
 
 %\cite{spinconnection}
\bibitem{spinconnection} 
  ``The spin connection,'' empg.maths.ed.ac.uk.   
 
 

محاضرات النسبية العامة على اليوتوب

محاضرات النسبية العامة بالعربية (وﻷول مرة فى العالم العربى) من مختص متخصص و ليس من هاو متوهم تقدم على اليوتوب (لأن الجامعة مغلقة بسبب الكورونا و لان الجامعة مع عقلية الديناصورات الطاغية فيها لم توفر لى ابدا الفرصة) مع ثلاثة مسائل شاملة حلها موجود على البلوغر.

المحاضرة الأولى:
مبدأ التكافؤ

المحاضرة الثانية:
النقل بالتوازى. المشتقة الكوفاريانتية و الرابطية التآلفية

وحتى أضبط المصطلحات تماما فاننى ايضا سجلت المحاضرتين بالانجليزية

المحاضرة الاولى: 
Equivalence principle

المحاضرة الثانية:
Parallel transport, covariant derivative and affine connection

سيتم ان شاء الله تسجيل محاضرتين اخريتين (اللوحات التوضيحية جاهزة و لم يبقى الا التسجيل الصوتى و هو يستهلك نفس الوقت تقريبا) لكن هناك ايضا مخطط لتسجيل محاضرة خامسة اذا مشت الامور دون تعقيدات اضافية.

التمرينات على البلوغر
Exercises/تمرينات

اقول ان النسبية العامة لا تدرس الا قليلا فى الجامعات الجزائرية و العربية فى تخصصات الفيزياء النظرية رغم انها مادة اساسية و ليست تخصص (وفى الحقيقة فهذا التقصير تعانى منه ايضا النسبية الخاصة التى لا يراها الكثير مهمة بل بعضهم لا يرى حتى الميكانيك الكمومى مهم وهى كلها مواد اساسية و ليست تخصصية على الاطلاق).
اذن النسبية العامة لا تدرس بالقدر الكافى عندنا (و اظن الحال نفسه عند بقية الدول العربية) و اذا دُرست فانها تدرس عندنا بالاعاقة و عبر الاعاقة الفرنسية بالاضافة الى الاعاقات الاخرى (من قلة الفهم و عدم التحصير و عدم الاحاضة بالموضوع و غياب الرؤية البارونامية للاهداف الفيزيائية و المتطلبات الرياضية).
اذن النسبية العامة يقينا لم تدرس ابدا بالعربية.
و الطالب اذن مطالب ان يقفز على حاجز اللغة الفرنسية ثم حاجز الرياضيات ثم حاجز الفيزياء حتى يصل الى الفهم. وهيهات هيهات ان يستطيع ان يقفز اى طالب مهما كان ذكيا ولا اى استاذ مهما كان متمكنا ثلاثة حواجز معا فى نفس الوقت ليصل الى فهم لم يصل اليه من هو اذكى منهم عبر لغتهم الا بصعوبة شديدة.
اذن اردت تسجيل هذا المينى كورس بالعربية لرأب الصدع او بالاحرى هذه الصدوع و لو قليلا. و اتبعت فيه طريقة لم اتبعها من قبل.
اذن هذا كورس حقيقى (استمددته من كورس قدمته فى جامعة عنابة عدة مرات و اتبع فيه ما كنت قد كتبته فى كتابى حول الموضوع).
اذن هذا الكورس ليس سهلا بالمعنى الذى تجدونه على اليوتوب حيث يهتم اصحاب القنوات بعرض انفسهم و جمالهم و هندامهم و تسهيل الامر الى حد ضياع المعلومة الحقيقية.
فالمهم عندهم الظهور جميلا و تحصيل عدد كبير من المشاهدات و التسجيلات و الشعبية وهكذا ضاعت النسبية العامة و غيرها من الفيزياء فى طيات ثقافة الهيب هوب و الجاهز و التعليم الساندويتشى.
و علينا ان نعترف ان الاقبال الهائل الذى تجده هذه القنوات يعنى شيئا واحدا ان المتلقى العربى راضى بالركاكة اللغوية (فكلها تقدم بالدارجة. تصوروا نسبية عامة او ميكانيك كمومى بالدارجة) و الركاكة العلمية فالمهم عند هؤلاء هو تحقيق ما اسميه شخصيا "وهم الفهم".
فالسهل المُسهل يسهل فهمه و هذا يسعد المتلقى و يرضيه فيظن نفسه قد فهم ووصل وهو ما زال يبعد عن العلم بعد الجهل نفسه و هو لا يدرى (بل هو يدرى فى وعيه) لكنه سعيد ب "وهم الفهم" .
اضيف واقول أننى شخصيا ولاول مرة اقدم النسبية العامة كما هى من الداخل باللغة العربية ولهذا فاننى وجدت صعوبة جمة فى بعض المصطلحات. اذن أقدم هنا قائمة ببعص المصطلحات لاستكمال المنشور.


Terminology


-مبدأ التكافؤ equivalence principle
-المترية metric
-المتشعب manifold
-التحويلات العامة للاحداثيات general coordinate transformations.
-الديفيومورفيزمات diffeomorphisms
-النقل بالتوازى parallel transport
-الانحناء curvature
-الرابطية التآلفية affine connection
-المشتقة الكوفاريانتية covariant derivative (و قد عربنتها فى المنشور الاول بالمشتقة المعيارية)
-التنسور tensor
-الصمود invariance
-التحول الكوفاريانتى covariant transformation
-الادلة الكوفاريانتية covariant indices
-الادلة الكوفاريانتية-الضدية contravariant indices
-المضاغطة contraction
-رموز كريستوفل Christoffel symbols
-الاشعة vectors
-الشعاع-الرباعى four-vector
-الشعاع الثنوى dual vector
-الفضاء الشعاعى المماس tangent vector space
-الصور-الاولى one-forms
-تنسور الانحناء curvature tensor (وهناك تنسور الانحناء لريتشى Ricci و تنسور الانحناء لريمان Riemann وهو الاكثر اساسية)
-سلمية الانحناء لريتشى Ricci scalar curvature
-تنسور الطاقة-و-كمية-الحركة energy-momentum tensor
-الجيوديزية geodesic
-الرابطية السبينورية spin connection
-فعل هيلربت-اينشتاين Hilbert-Einstein action