LATEX

فرضية ريمان و الميكانيك الكمومى


فرضية ريمان و الميكانيك الكمومى الجزء 2
الاعداد الاولية هى الاعداد الطبيعية التى لا تقبل القسمة الا على نفسها و بالتالى فانه يعتقد انها تشكل اللب غير القابل للاختزال لمجموعة الاعداد الطبيعية..
مثال 1-2-3-5-7-11-13-17-19....هى اعداد اولية...وهى تذهب الى ما لا نهاية..لكن من البديهى ان الاعداد الاولية عندما تكبر فى قيمتها تصبح نادرة الوقوع...
أحد عباقرة الرياضيات المعدودين فى القرن التاسع عشر ريمان Riemann برهن على ان الاعداد الاولية نفسها تقبل الاختزال الى مجموعة اخرى من الاعداد تعرف اليوم باسم اصفار zeros دالة زيطا ريمان..
دالة زيطا ريمان Riemann zeta function (فى الصورة) هى دالة مركبة و بالتالى فان اصفارها -اى النقاط التى تنعدم فيها الدالة- هى اعداد مركبة..
ثم ان هناك نوعان من الاصفار..
هناك الاصفار الهينة trivial التى تحسب بعلاقة مغلقة معروفة وهى عبارة عن الاعداد الزوجية السالبة -2, -4, -6, -8,..
لكن الاهم هى الاصفار غير-الهينة non-trivial التى لا يعرف اى احد حسابها بشكل مغلق و كل حسابها عددي تقريبى و هذه الاخيرة هى التى تدخل فى حساب الاعداد الاولية..
قدم ريمان فرضية لحساب هذه الاصفار تنص على ان اصفار دالة زيطا ريمان غير الهينة هى اعداد مركبة تتميز كلها يقسم حقيقى يساوى النصف..
ولحد يومنا هذا لا احد تمكن من البرهان على هذه الفرضية رغم ان الكل متيقن انها صحيحة وهذه الفرضية هى احد المسائل ال 23 التى قدمها الرياضى العملاق الآخر هيلبرت Hilbert على انها اهم المسائل غير المحلولة فى الرياضيات البحتة فى القرن العشرين..
و هذه الفرضية هى ايضا احد المسائل الالفية العشرة لمعهد كلاى Clay Institute للرياضيات الذى سيقدم جائزة مقدارها مليون دولار لمن يحل هذه المسألة بالاضافة الى السبق التاريخى العلمى للذى سينجح فى هذه المهمة وهو سبق لا يقدر يثمن...
اذن فرضية ريمان التى نشرها ريمان عام 1859 تنص على النقاط الثلاثة التالية:
- اولا الاعداد الاولية الكبيرة جدا نادرة الوقوع فاحتمال ان نحصل على عدد اولى اكبر من n حيث n عدد طبيعى كبير هو متناسب مع مقلوب لوغاريتم n وهو احتمال صغير جدا..
بعبارة اخرى فان عدد الاعداد الاولية التى هى اقل او يساوى من عدد طبيعى n يساوى n مقسوم على log n...
هذا يسمى القيمة المتوقعة للاعداد الأولية n...وهذا هو محتوى ما يعرف بمبرهنة العدد الاولى prime number theorem...
-ثانيا الخطأ فى موقع الاعداد الاولية n يعطى بالضبط بالاصفار غير الهينة لدالة زيطا ريمان ..
اذن الاصفار غير الهينة لدالة زيطا ريمان تتحكم فى كيفية اهتزاز الاعداد الاولية حول قيمتها المتوقعة..
ايضا فان الفجوة بين الاعداد الاولية الكبيرة المتتالية نجده يساوى n*log n عوض الخطأ المتوقع log n...
-ثالثا اذن الاعداد الاولية تختزل لاصفار دالة زيطا ريمان -المعرفة فى كامل المستوى المركب ما عدا 1- وهذا يعطى علاقة عميقة بين نظرية الاعداد set theory و التحليل المركب complex analysis...
هذه الاصفار يؤكد ريمان انها كلها اعداد مركبة تتمتع بقسم حقيقى يساوى نصف اى انها كلها تقع على ما يسمى بالمستقيم الحرج critical line المعطى بالعلاقة
0.5+i*t
فى المستوى المركب حيث i هو العدد التخيلى البحت و t هو أى عدد حقيقى...


الجزء الكمومى:
هذه مسألة رياضية بحتة لكن الفيزياء النظرية دخلت على الخط ابتداءا من اربعينات القرن الماضى حيث لوحظ الشبه الرهيب بين الاصفار غير الهينة لدالة زيطا ريمان و بعض مسائل الميكانيك الكمومى...
بالخصوص فانه لوحظ ان الفجوات او الفسحات spacing بين الاصفار غير الهينة لدالة زيطا ريمان تخضع لنفس الانماط الاحصائية statistical patterns التى تخضع لها الفجوات والفسحات الطاقوية التى تفصل بين المستويات الذرية...
مثلا حدسية هيلبرت-بوليا Hilbert-Polya conjecture تنص على أن فرضية ريمان هى مكافئة لشرط ان العدد الحقيقى t فى المعادلة اعلاه هو القيمة الذاتية لمؤثر هرميتى hermitian operator ....
ايضا فى عام 1999 اقترح الفيزيائيان النظريان بيرى Berry و كيتينغ Keating حدسية جديدة تنص على انه توجد جملة كمومية -تتميز بموضع x و كمية حركة p مترافقان قانونيا كغيرها من الجمل الكمومية- بحيث ان طيفها اى مستوياتها الطاقوية E_n تقابل بالضبط الأصفار غير الهينة Z_n لدالة زيطا ريمان حسب العلاقة
Z_n=0.5+i*E_n
وحيث ان هاميلتونية هذه الجملة تعطى بالعلاقة
H=x*p+p*x
اذن وجود هذه الجملة الكمومية هو برهان على فرضية ريمان لأن الهاميلتونية هى بالتعريف مؤثر هرميتى و بالتالى فانه مضمون ان قيمها الذاتية E_n هى قيم حقيقية...
اقرأوا الجزء الاول فى الرابط...
    https://www.facebook.com/BadisYdri/posts/1087338141403196

1 comment: