LATEX

وحدة الوجود عند بولتزمان

منشور قديم من افضل ما قدمت (عثرث عليه عندما كنت بصدد حذف منشورات 2016).
بولتزمان يقدم حلا عبقريا (لا يلتفت اليه الفيزيائيون اليوم لسبب مجهول او بالاحرى لسبب لا استطيع ان افهمه) لمعضلة السهم فى الزمن لكنه فى نفس الوقت يقدم دون ان يدرك (بل ربما هو مدرك لكنه لا يصرح) نموذجا لوحدة الوجود.
الخط المستقيم هو الله (على مصطلح ابن عربى) او طبيعة الطبيعة (على مصطلح سبينوزا) اما التقلبات (الحرارية هنا و فى النظرية الاساسية ستصبح كمومية) فهى التجليات (على مصطلح ابن عربى) او الطبيعة الطبيعية (على مصطلح سبينوزا).
اذن الخط المستقيم لا يتميز بزمن و لا بانتطروبى بل هو ثابت لانهائى قديم باقى.
اما التقلبات (المثلثات الخارجة) فهى تتميز بزمن و بسهم للزمن و هى حادثة و هى منتهية. كل تقلب يمثل عالم او كون. اذن هناك عدد لانهائى من الاكوان لان هناك عدد لانهائى من التقلبات دون ان يتغير الخط المستقيم فى شيء.
اذن الخلق مستمر لان التجليات مستمرة.
وهى تجليات ليست فى هذا العالم فقط بل هى تجليات عبر العوالم.
والخلق المستمر فى اطار عالم واحد هى فكرة غزالية معقدة مركبة.
لكن هنا هو خلق مستمر للعوالم وهى فكرة اعقد بكثير وهى فكرة تيمية (قدم النوع و حدوث العين) لا يمكن ابدا ان تتناسق الا فى اطار فلسفة ابن عربى.
وها قد وحد بولتزمان لكم بين الشيخ الاكبر ابن عربى و حجة الاسلام الغزالى و شيخ الاسلام ابن تيمية.



منشور من 16 جويلية 2016

السهم فى الزمن خاصة بولتزمان..
اعمق نظرة للزمن فى المنحنى البسيط فى الصورة...
هذه النظرة ترجع للرقم ثلاثة فى الفيزياء بولتزمان Boltzmann..
هذه النظرة اعمق فى رأيى حتى من نظرة نسبية الزمن..
ويمكننى ان ادافع عن هذا الموقف فيزيائيا اقصد..
العالم هائل وليس فقط الكون الذى نراه و ليس بسبب متعدد العوالم manyworlds الكمومى و لا متعدد العوالم multiverse الكوسمولوجى...
فى الحقيقة بولتزمان يميز بين العالم-الفلسفى- و الكون-الفيزيائى المشاهد-..
فالكون جزء صغير جدا من العالم..
العالم جملة معزولة لكن الكون لا...
اذن انتروبى هذه الجملة يجب ان يكون ثابت مع الزمن..كما ترون فى الصورة الخط المستقيم..
لان العالم قديم جدا فإنه توجد تقلبات نادرة جدا لكن أكيد تحدث, لان عمر العالم الطويل يسمح, اين يقفز الكون-اين نوجد نحن- الى حالة ذات انتروبى منخفض جدا..
انظروا المنحدر العميق فى الصورة..
الآن الكون سيحاول الرجوع الى حالة التوازن الترموديناميكى للعالم-الخط الافقى-..
سيفعل ذلك..
خلال اقترابه من حالة التوازن فإن الانتروبى لا يمكن الا أن يتزايد مع الزمن..
وهذا هو القانون الثانى للترموديناميك-الانتروبى لا يمكن الا ان يتزايد فى الزمن-...
نحن الآن فى النقطة A من الصورة..والانتروبى سيبقى يتزايد حتى نصل الى حالة التوازن الحرارى للكون اين سينتهى كل شيئ: الموت الحرارى..
وبسبب اتجاهنا فى الزمن عند النقطة A فإن السهم فى الزمن يبدو لنا موجه باتجاه جهة تزايد الانتروبى...اى المستقبل نحو اليمين و الماضى نحو اليسار..
بولتزمان يؤكد انه يمكن ان تتواجد اكوان أخرى..مثلا عند النقطة B ..وبالنسبة للكائنات التى تعيش هناك فإن الانتروبى يتزايد ايضا لكن الزمن يبدو لهم بحيث ان المستقبل موجه نحو اليسار و الماضى نحو اليمين..
بعض الناس يريد ان يستنتج ان السهم فى الزمن ليس له حقيقة موضوعية..
شخصيا استنتج ان السهم فى الزمن نسبى...

تحذير:
هذا النموذج فيه رائحة مسألة قدم العالم...لا تقلقوا بشأن هذا الامر..
الرجل اى بولتزمان من الفيزيائيين القلائل الذين لم تكن تحكمهم الميتافيزيقا و العقيدة و الايديولوجية..هو فقد اراد ان يفسر لماذا الترموديناميك غير متناظر تحت تأثير العكس فى الزمن-بسبب القانون الثانى-رغم انه مستخرج من ميكانيك نيوتن الذى هو متناظر تماما تحت تأثير التناطر فى الزمن..الحل فى رأى بولتزمان هو حل احصائى يكمن فى المبرهنة H وفى نماذج احصائية مثل هذا النموذج الذى قدمته اليوم...
ملحوظة:
لاحظوا ايضا اننى لم اشرح النقطة C فى المنحنى..
ملحوظة:
ايضا لقد تصرفت فى الترجمة حسب مارأيته اقرب الى المعنى بالعربية..
فعند بولتزمان الكون universe هو الذى يحتوى على العالم world..لاحظوا اعلاه اننى عكست المصطلحين...اى أن العالم-اى الوجود-هو الذى يحتوى على الكون..

 


كتاب اميو و مارلو فى الميكانيك التحليلى


كتاب اميو Amiot و مارلو Marleau حول الميكانيك الكلاسيكى فى الرابط و هو كتاب وجدته اكثر من رائع و اكثر من بيداغوجى (واننى مقل فى البيداغوجيا ومقصر فيها و اكثر من هذا قليل الصبر عليها).
اذن هذا كتاب شامل فى الموضوع (بالاضافة الى الجزء التربوى البيداغوجى) وهذا شيء يندر خاصة فى المراجع الناطقة بالفرنسية للفيزياء النظرية.
اذن هو يتناول اهم موضوعين فى هذا العلم الفيزيائى الاساسى وهما صياغة لاغرانج التفاضيلة و صياغة هاميلتون التكاملية بكثير من المنهجية و التفصيل مع كثير من التمرينات و المسائل.
بالاضافة الى ذلك فانه يتناول الكثير من التطبيقات مثل الاهتزازات و نظرية الجسم الصلد و نظرية الاضطرابات و ميكانيك الموائع وحتى نظرية الحقل الكلاسيكى.
المهم هو انه فى الموضوعين الاساسيين (لاغرانج و هاميلتون) فان الترتيب هو نفسه الترتيب و المنهجية الذى تبنيتهما فى كتابى حول الموضوع (الفيزياء الاساسية) وهو كتاب بالعربية وقد كنت تابعت فيه كل من لانداو Landau و غولدشتاين Glodstein..
علي ايضا ان انبه الى كتاب غراينار Greiner الذى توفى منذ فترة قصيرة جدا وهو ايضا كتاب ممتاز بيداغوجيا و شامل لكل المواضيع و هو كتاب بالالمانية (فالرجل استاذ المانى) و ايضا توجد نسخة انجليزية من المؤلف نفسه.
هذه الكتب الثلاثة يمكن تحميلها من على صفحتى القديمة هنا

اذن اننى راضى جدا عن هذا الكتاب الكندى (كتاب اميو و مارلو) و اننى انصح به الطلبة و الاساتذة على قدر سواء و عيبه الوحيد انه بالفرنسية و بالتالى فقط فان طلبة المغرب العربى يمكنهم الاستفادة منه. لكن وجبت الاستفادة من كل مرجع مفيد لا شك فى ذلك فوجب التنبيه.
واننى شخصيا استعمله الآن فى استكمال محاضراتى العربية و ترجمتها الى الفرنسية بعد ان اضطررت هذه السنة الى التدريس بالفرنسية لسبب وجود ثلاثة طلبة افارقة بين الجمهور.
(وهو الحصار اللغوى الذى يعانى منه الاستاذ الجزائرى و اسوء منه يعانى منه الطالب الجزائرى لكن لا مفر منه الا بالتماشى مع الواقع مع عدم التناسى ان ذلك الواقع ليس هو الواقع الذى كان يجب ان يكون.
فالاستاذ المعرب-الانجلوفونى يجب عليه التدريس بالفرنسية اما الاستاذ الفرنكفونى فلا يجب عليه ابدا التدريس بالعربية.
وهى معضلة متناقضة لان الدستور ينص على العكس اما الواقع فهو كما ترون.
اذن هذا يبقى من اعظم متناقضات هذه البلاد.
ثم يتسائل الجميع لماذا الجميع فاشلون. والفشل كان ابتداءا فى تحديد اللغة الاضافية التى هى دائما لغة عبء لانها بكل بساطة اللغة الاضافية لكن العباقرة من القائمين على الامور عندنا اختاروا ثلاث او اربع لغات اضافية و ليست لغة و احدة رغم ان الفرنسية تبقى حبهم الاول و الاخير.
اذن نحن نعانى من حصار لغوى (اربع لغات و كأننا عباقرة او لدينا اى وقت) بالاضافة الى الحصار التعليمى (مع الاولاد) و الحصار العلمى (مع البحث الفردانى) و الحصار الوظيفى (مع الادارة) و الحصار الفكرى (لولا المدونة و الفايسبوك و اصدقائنا عليهما لما وجدت مع من اتكلم معه فى ما يهمنى).
لم يبقى اذن حل الا اعادة الهجرة (فهى الافيد للاولاد و للعلم و للفكر) وهذا متى اتيحت الفرصة.
)https://drive.google.com/file/d/10FYnEtpaRdDr5bVa3qXoCCMPeoFE04ic/view?usp=sharing

طريقة النقطة السرج او النزول الحاد او الطور المستقر



الهدف هو تقديم الطريقة المشهورة باسم طريقة النقطة السرج saddle point method او طريقة الطور المستقر method of stationary phase او طريقة النزول الحاد method of steepest descent.
الهدف فى هذه الطريقة هو حساب التكامل فى الصورة الاولى.



وهو تكامل يظهر بقوة فى الرياضيات التطبيقية (دوال غاما Gamma functions و دوال بيسال Bessel functions و غيرها) و فى الفيزياء النظرية (نظرية الحقول الكمومية و نظرية الأوتار الممتازة و نظرية المصفوفات).
اذن لدينا دالة تحليلية analytic function نرمز لها ب F(z,t) حيث z هو المتغير المُعرف فى المستوى المركب complex plane و t هو وسيط parameter تتعلق عليه الدالة.
طريق المكاملة path integration (اى مجال تعريف التكامل) هو C وهو منحنى يكون معرف عموما فى المستوى المركب.
اذن تكامل F(z,t) على الطريق C فى المتغير z يعطى دالة لا تتعلق الا بالوسيط t نرمز لها ب f(t) كما هو موضح فى الصورة الاولى.
عموما نحن مطلوب منا حساب التكامل فقط فى النهاية لما يذهب الوسيط t الى زائد مالانهاية.
اذن هذا هو الشرط الاول لهذه الطريقة.

الشرط الثانى هو ان الدالة F يجب ان تكون تحليلية (والتحليلية يعنى انها دالة قابلة للاشتقاق فى المستوى المركب عدد لانهائى من المرات).
يمكننا كتابة هذه الدالة كما يلى
\begin{eqnarray} F(z,t)=\exp(w(z,t))=\exp(u(z,t)).\exp(iv(z,t)). \end{eqnarray} اذن الدالة w(z,t) هى لوغاريتم الدالة الاصلية F(z,t) اما الدوال u(z,t) و v(z,t) فهى الاقسام الحقيقية real و التخيلية imagniary للدالة w(z,t).
كون F هى دالة تحليلية فان هذا يعنى ان الدوال u و v لا تقبل قيم قصوية extremum values (اى اصغرية minimal او اعظمية maximal) على مجال التعريف. وهذا يعرف تحت مسمى مبرهنة جنسن Jensen's theorem.
الدالة u بالخصوص التى تعطى ب
\begin{eqnarray} u=\ln|F|. \end{eqnarray} (حيث |F| هى طويلة الدالة F) لا تقبل اى قيمة قصوية على مجال تعريف الدالة F.
لكن u رغم انها لا تقبل قيم قصوية فهى تقبل قيم حرجة critical values.
تذكروا ان القيمة القصوية هى القيم الاصغرية او القيمة الاعظمية فى كل الاتجاهات.
اما القيمة الحرجة فهى قد تكون قيمة اصغرية او اعظمية فى اتجاه لكنها ليست كذلك فى الاتجاه الآخر.
انظر مثلا النقطة الحمراء على السطح فى الصورة الثانية فتلك نقطة حرجة. اما النقطة السوداء على السطح فى الصورة الثالثة فهى نقطة قصوية اعظمية. اما نقطة المبدأ على السطح فى الصورة الرابعة فهى نقطة قصوية اصغرية.
 

رياضيا بالنسبة للنقطة القصوية او النقطة الحرجة فان المشتقة الاولى يجب ان تنعدم فى كل الاتجاهات.
المشتقة الثانية فى اتجاه معين عندما تكون موجبة هى تعنى نقطة اصغرية فى ذلك الاتجاه (هو اتجاه تناقص).
اما اذا كانت المشتقة الثانية فى اتجاه معين سالبة فهى نقطة اعظمية فى ذلك الاتجاه (هو اتجاه تزايد).

الشرط الثالث و هو مهم جدا هو افتراض ان الدالة u تقبل نقطة حرجة نرمز لها ب z0. هذه النقطة الحرجة معرفة بانعدام المشتقة الاولى ل u او بالمقابل انعدام المشتقة الاولى ل w اى $ w^{'}=0$.
الدالة w (التى هى لوغاريتم F) تقبل اذن نشر تايلور Taylor series الذى فى الصورة الخامسة.
 تذكروا فان نشر تايلور لدالة حول نقطة ما هو عملية تقريب للدالة بكثير حدود. فى هذه الحالة لان المشتقة الاولى انعدمت بالشرط اعلاه فاننا قد قربنا فى الحقيقة الدالة w (وبالتالى الدالة F) بالدالة التربيعية quadratic function فى الصورة الخامسة.

لتكن α و θ عمد arguments الاعداد المركبة $w^{''}$ و $z-z0$ اى
\begin{eqnarray}
&&w0^"=|w0^"|\exp(iα)\nonumber\\
 &&z-z0=r\exp(iθ).
 \end{eqnarray}
اذن المعادلة فى الصورة الخامسة يمكن كتابتها على الشكل الموجود فى الصورة السادسة.


هنا الآن نصل الى خاصية مهمة جدا تحتاج الى برهان قصير موجود على الصفحة 587 من كتاب أرفكين Arfken.
الدالة u حول النقطة الحرجة z0 تتناقص بسرعة شديدة فى الاتجاهين المتعاكسين المعرفين بالمعادلة
\begin{eqnarray} θ=(-α+π)/2~,~θ=(-α+3π)/2. \end{eqnarray}
اى ان النقطة الحرجة z0 هى نقطة اعظمية حول هذين الاتجاهين.
اذن عندما نبتعد من النقطة الحرجة من الجهتين المتعاكستين اعلاه فان الدالة u تتناقص اى تنزل قيمتها بشكل حاد. ولهذا سميت هذه الطريقة بطريقة النزول الحاد method of steepest descent.
ايضا من اجل هذين الاتجاهين فان الدالة v (وهى القسم التخيلى ل w) تبقى ثابتة و هذا يعنى ان الطور exp(iv) يبقى ثابت خلال عملية الابتعاد من النقطة الحرجة من الاتجاهين المتعاكسين اعلاه مما يؤدى الى الحفاظ على استقرار stability الحل العددى numerical solution بسبب نعدام اى تصرف اهتزازى oscillatory behavior. ولهذا تسمى هذه الطريقة ايضا بطريقة الطور المستقر stationary phase method.

الشرط الرابع يجب ان يمر طريق المكاملة C من النقطة الحرجة z0 فى الاتجاهين اعلاه. واذا لم يمر هذا الطريق من النقطة الحرجة فانه علينا تشويهه (اى تشويه deform او تحوير الطريق وهذا ممكن لان الدالة الاصلية F دالة تحليلية فى المستوى المركب) بحيث يصبح الطريق C يمر من z0 فى اتجاهى النزول الحاد المعرفين بالمعادلة السابقة اعلاه.
وﻷن u اعظمية فى النقطة الحرجة فى الاتجاهين المتعاكسين للنزول الحاد فان الدالة |F(z,t)| هى دالة اعظمية على الطريق C الذى نختاره يحيث يمر من النقطة الحرجة فى الاتجاهين المتعاكسين للنزول الحاد.
ايضا لان النقطة الحرجة هى فى اغلب الحالات المهمة هى على شكل سرج حصان (انظر الصورة الثانية مرة اخرى) فانها تسمى ايضا النقطة السرج saddle point و هذه الطريقة تسمى اذن بطريقة النقطة السرج saddle point method و هو الاسم الاكثر شهرة.

الشرط الخامس بعد كل هذه الاعتبارات فانه يمكننا الآن اجراء التكامل فى الصورة الاولى كما يلى.
لان الوسيط t يذهب الى مالانهائية فان المساهمة المهيمنة dominant contribution على التكامل سوف تنتمى الى مجال صيق جدا ل z حول النقطة السرج z0. هذا المجال يعطى بالشرط  ان $r=|z-z0|$ محصور بين 0 و $a$.

ولأن هناك اتجاهين متعاكسين سيكون هنا مشاركتين متساويتين و لهذا نضرب ب 2 فى المعادلة فى الصورة السابعة التى استعملنا فيها ايضا نشر تايلور الذى فى الصورة الخامسة.
 
فى النهاية عندما يذهب t الى زائد مالانهاية فانه يمكننا تعويض a بزائد ما لانهاية لنحصل على النتيجة فى الصورة الثامنة.

وبهذا يكتمل البرهان على واحدة من اقوى طرق حساب التكاملات فى الرياضيات و الفيزياء النظرية و هى تستعمل بالخصوص لحساب تكاملات الطريق المعقدة جدا فى نظرية الحقول الكمومية.
















الطرق الرياضية للفيزياء: كتاب أرفكين

كتاب أرفكين الموسوعى فى الطرق الرياضية للفيزياء الذى درسنا منه عندما كنا طلبة دكتوراة فى امريكا و قمنا بالتدريس منه عندما درسنا المادة فى ايرلندا و نصحنا به كل طالب فيزياء نظرية فى الجزائر سألنا حول الموضوع وآخرهم الاسبوع الماضى فى حصة نظرية الحقل الشبكى حيث سُئلت عن طريقة النقطة الحرجة التى يجب ان تكون طريقة بديهية لكل فيزيائى نظرى .
وصراحة هذا كتاب بسيط لكن البداية تحتاج دائما شيئا بسيطا.

النظرية المصفوفية هى الثقالة الكمومية

و الثقالة الكمومية هى النظرية الفيزيائية (بل الرياضية) التى يتم فيها توحيد:
اولا القوى الاساسية الثلاثة للنموذج القياسى (القوة الكهرومغناطيسية و القوة النووية الضعيفة الاشعاعية و القوة النووية القوية للربط النووى)
ثانيا مع قوة الجذب الثقالى و الفضاء-زمن (الموحدين كلاسيكيا فى النسبية العامة)
ثالثا مع توحيد الفضاء و الزمن (فى زمن اقليدى دهرى مثلا على طريقة بولتزمان قديما او طريقة هارتل وهاوكينغ حديثا)
رابعا و توحيد المادة و الوعى (لان دالة موجة الكون ستحتاج الى رصد وراصد للذهاب بها الى الميكانيك الكلاسيكى و الراصد سيحتاج الى وعى).
اذن الثقالة الكمومية هى "نظرية كل شيء" التى تريد توحيد هذه الامور الاربعة فى معادلة واحدة تخضع لتناظر (او شيء اعلى منه) واحد يجب ان يعانى (اى هذا التناظر) من انكسار خلال تطور الكون و لهذا نجد فرقا اليوم فى الطبيعة بين القوى الاربعة و بين الفضاء و الزمن و بين المادة و الوعى فكل هذه الفروق ناجمة عن انكسار تناظر الثقالة الكمومية انكسارا تلقائيا.
و نظرية الثقالة هى نظرية مجهولة اليوم.
لكن اكبر المرشحين لاحتلال هذا المنصب المرموق هى نظرية الوتر.
لكن الذى ساعرضه فى ما تبقى من هذا المنشور هى نظرية اخرى للثقالة الكمومية تسمى "النظرية المصفوفية" وهى ايضا مستمدة من نظرية الوتر لكنها تعتمد اكثر على الهندسة التفاضلية غير-التبديلية و على النماذج المصفوفية وفيها يتم اتباع الوصفة التالية:
اولا اختيار الفضاء-زمن الكلاسيكى (اى الخلفية الكلاسيكية) الذى سيتم تعريف الثقالة الكمومية حوله.
ثانيا تكميم هذا الفضاء-زمن تكميما قانونيا للحصول على فضاء-زمن غير-تبديلى وتحديد النهاية الكلاسيكية له. هذا هو التكميم الاول وهو يؤدى بنا الى تحديد بنية الفضاء-زمن على انه يجب ان يكون فضاء بواسون و ليس شيئا آخر.
ثالثا تحديد النموذج المصفوفى الذى يعطى حله الكلاسيكى بالفضاء-زمن غير-التبديلى الذى تحصلنا عليه فى الخطوة الثانية. هذا النموذج المصفوفى سيعطى بدلالة فعل يُعرف التصرف الكلاسيكى للثقالة الكمومية.
رابعا الثقالة الكمومية حول فضاء بواسون قيد الدراسة يعطى بدلالة تكامل الطريق (وهذا هو التكميم الثانى) باستخدام الفعل الذى تحصلنا عليه فى الخطوة الثالثة. وهذا هو ما يسمى النظرية المصفوفية وهى معرفة رياضيا تماما.
اذن الفضاء-زمن غير-تبديلى سينبعث من هذا النموذج انبعاثا ديناميكيا مع كل التناظرات المميزة له و التقلبات الكمومية حول هذا الفضاء هى ما يؤدى الى انبعاث الغرافيتون وهو الجسيم الاولى الناقل لقوة الجذب الثقالى.
الفكرة الاساسية هنا اننا ننطلق من تكامل طريق مضبوط (هو الثقالة الكمومية بالتعريف) ثم نتحقق هل سنحصل على النسبية العامة ام لا كنهاية كلاسيكية. فى اغلب الحالات لا نحصل على نظرية اينشتاين لكن نحصل على انواع اخرى من نظريات الثقالة. لكن هذا لا يجب ان يردعنا لان الثقالة الكمومية فى هذه المقاربة معرفة لا-اضطرابيا وهو شيء نادر جدا.
الرابط يحتوى على خلاصة للثقالة الكمومية حول فضاء دى سيتر الضدى (الاقليدى او اللورنتزى على قدر سواء) ببعدين فقط وهو احد اهم فضاءات نظرية الوتر الذى يمكننا ان نطبق عليه الوصفة اعلاه بشكل مباشر لانه فضاء بواسون.
https://badisydri.blogspot.com/…/on-noncommutative-ads2.html

On the noncommutative AdS2

Noncommutative geometry

We consider Euclidean ${\bf AdS}^2$ (a pseudosphere in Minkowski spacetime  with metric $\eta=(-1,+1,+1)$) given by the embedding relation
\begin{eqnarray}
-X_1^2+X_2^2+X_{3}^2=-R^2.\label{emb}
\end{eqnarray}
The Poincare coordinates $(t,z)$ and  the canonical coordinates $(x,y)$ are defined by the metric
 \begin{eqnarray}
     ds^2&=&\frac{R^2}{z^2}(dz^2+dt^2)\nonumber\\
&=&R^2dx^2+(dy-ydx)^2.\label{metric}
    \end{eqnarray}
The relation between $(t,z)$ and $(x,y)$ is given explicitly by
  \begin{eqnarray}
     z=R\exp(-x)~,~t=\exp(-x)y.
    \end{eqnarray}
 $z$ is the radial coordinate of ${\bf AdS}^2$ whereas $u=1/z$ is the energy scale of the conformal field theory   ${\bf CFT}_1$ living on its boundary at $z\longrightarrow 0$ or equivalently $u\longrightarrow\infty$ which is a timelike curve parameterized by $t$. In fact, in the case of ${\bf AdS}^2$we have actually two disconnected one-dimensional boundaries located at $u\longrightarrow\pm \infty$.

The explicit relation between the global  embedding coordinates $X_a$ and the local coordinates $(x,y)$ is given by
\begin{eqnarray}
X_3&=&\frac{1}{2R}e^{-x}y^2+\frac{R}{2}e^{-x}-\frac{R}{2}e^x\nonumber\\
X_2&=&y\nonumber\\
X_1&=&\frac{1}{2R}e^{-x}y^2+\frac{R}{2}e^{-x}+\frac{R}{2}e^x.\label{co}
 \end{eqnarray}
The radius $z=1/u$ is given in terms of the  global  embedding coordinates $X_a$ by the relation
 \begin{eqnarray}
      &&u=\frac{1}{z}=\frac{X_1-X_3}{R^2}.
    \end{eqnarray}
 The generators of the $SO(1,2)$ isometry group of Euclidean ${\bf AdS}^{2}$ are given by

 \begin{eqnarray}
      iK^1&=&-\frac{1}{R}e^{-x}y\partial_x-X_3\partial_y\nonumber\\
      iK^2&=&\partial_x\nonumber\\
      iK^3&=&\frac{1}{R}e^{-x}y\partial_x+X_1\partial_y.\label{Ks}
    \end{eqnarray}
These are the generators of the conformal group on the boundary of Euclidean ${\bf AdS}^2$ which satisfy the algebra (with $f^{ab}~_c=\epsilon^{ab}~_c$)


\begin{eqnarray}
  [K^a,K^b]=if^{ab}~_cK^c.\label{lie}
\end{eqnarray}
${\bf AdS}^2$ is the co-adjoint orbit $SO(1,2)/SO(2)$ which is a symplectic manifold and thus the canonical quantization of the corresponding Poisson structure, which is given by the inverse of the symplectic form on ${\bf AdS}^2$, produces the noncommutative ${\bf AdS}^2_{\theta}$.

See \cite{Ho:2000fy,Ho:2000br,Jurman:2013ota,Pinzul:2017}.

The noncommutative ${\bf AdS}^2_{\theta}$ is given by the embedding relation
\begin{eqnarray}
  -\hat{X}_1^2+\hat{X}_2^2+\hat{X}_{3}^2=-R^2.\label{well1}
\end{eqnarray}
This is a noncommutative space in which the coordinate operators $\hat{X}^a$ are found to satisfy the commutation relations
\begin{eqnarray}
  [\hat{X}^a,\hat{X}^b]=i\kappa f^{ab}~_c\hat{X}^c.\label{well2}
\end{eqnarray}
More explicitly, the coordinate operators $\hat{X}^a$ are given by
\begin{eqnarray}
    \hat{X}^a=\kappa J^a.
  \end{eqnarray}
The $J^a$ are the generators of the Lie group $SO(1,2)=SU(1,1)$ in the irreducible representations of the Lie algebra (\ref{lie}) given by the discrete series $D_j^{\pm}$ with $j=\{1/2,1,2/3,2,3/2,...\}$ (we will only consider integer values of $j$) \cite{barg}. These  are infinite dimensional unitary irreducible representations corresponding to the lowest  and highest weight states given respectively by the Hilbert spaces

  \begin{eqnarray}
      {\cal H}_j^+=\{|jm\rangle; m=j,j+1,j+2,...\}.
    \end{eqnarray}
    \begin{eqnarray}
      {\cal H}_j^-=\{|jm\rangle; m=-j,-j-1,-j-2,...\}.
    \end{eqnarray}
 The Casimir is given by $C=-J_1^2+J_2^2+J_3^2=-j(j-1).{\bf 1}$ whereas the action of the generators $J^1$ and  $J^{\pm}=J^{2}\pm iJ^3$ is given by

\begin{eqnarray}
  &&J^1|jm\rangle =m|jm\rangle\nonumber\\
  &&J^+|jm\rangle=\sqrt{m(m+1)-j(j-1)}|jm+1\rangle\nonumber\\
  &&J^-|km\rangle=\sqrt{m(m-1)-j(j-1)}|km-1\rangle.
\end{eqnarray}
The requirement that the Casimir operator must be negative removes the integer value $j=1$ and thus  $j=\{2,3,...\}$. Indeed, the   integer $j$ is such that \cite{Pinzul:2017wch}
  \begin{eqnarray}
    \frac{R^2}{\kappa^2}=j(j-1).
  \end{eqnarray}
 The commutative limit $\kappa\longrightarrow 0$ corresponds therefore to $j\longrightarrow\infty$.

The radius operator is obviously defined by 
\begin{eqnarray}
      &&\hat{u}=\frac{1}{\hat{z}}=\frac{\hat{X}_1-\hat{X}_3}{R^2}.
    \end{eqnarray}
We compute immediately the expectation value $\langle jm|\hat{u}|jm\rangle=-\kappa m/R^2$ which approaches $\mp \infty$ (corresponding to the two boundaries of noncommutative ${\bf AdS}^2_{\theta}$) as $m\longrightarrow \pm\infty$ (corresponding to the two representations $D_j^{\pm}$). Indeed, in the representation $D_j^+$ and $D_j^-$ we find as eigenvalues of $\hat{u}$ the commutative values $u\leq 0$ and $u\geq 0$ respectively. Hence, near the boundaries we have very large values of $m$ \cite{Pinzul:2017wch}.

The operators $\hat{x}$ and $\hat{y}$ associated with the canonical coordinates $x$ and $y$ are found to satisfy the canonical commutation relation
\begin{eqnarray}
[\hat{x},\hat{y}]=i\kappa.\label{MW}
\end{eqnarray}
This structure allows us to introduce a Weyl map \cite{weyl} and a Moyal-Weyl star product \cite{Moyal:1949skv2,Groenewold:1946kpv2} in the usual way.

The weyl map $\pi$ allows us to map operators $\hat{F}(\hat{x},\hat{y})$ in the Hilbert spaces ${\cal H}_j^{\pm}$ back to functions $\pi(\hat{F})(x,y)$ on the commutative ${\bf AdS}^2$ such that the operator product $\hat{F}.\hat{G}$ of two operators $\hat{F}$ and $\hat{G}$ is mapped to the star product $\pi(\hat{F})*\hat{\pi}(\hat{G})$ of the two corresponding functions $\pi(\hat{F})$ and $\hat{\pi}(\hat{G})$, namely
\begin{eqnarray}
\pi(\hat{F}.\hat{G}(\hat{x},\hat{y}))=\pi(\hat{F})*\hat{\pi}(\hat{G})(x,y).
\end{eqnarray}
By construction the map of the canonical operators $\hat{x}$ and $\hat{y}$ is precisely the canonical coordinates $x$ and $y$, viz
\begin{eqnarray}
\pi(\hat{x})=x~,~\pi(\hat{y})=y.
\end{eqnarray}
The star product is given explicitly by  (with $(\bar{x}^1,\bar{x}^2)=(x,y)$ and $\bar{\theta}^{ab}=\kappa \epsilon^{ab}$)

\begin{eqnarray}
  f\bar{*}g(\bar{x})&=&\exp(\frac{i}{2}\bar{\theta}^{ab}\frac{\partial}{\partial\xi^a}\frac{\partial}{\partial\eta^b})f(\bar{x}+\xi)g(\bar{x}+\eta)|_{\xi=\eta=0}.
\end{eqnarray}
Or equivalently

\begin{eqnarray}
  f\bar{*}g(\bar{x})&=&f({x},y)\exp\big(\frac{i\kappa}{2}(\overleftarrow{{\partial}}_x\overrightarrow{{\partial}}_y-\overleftarrow{{\partial}}_y\overrightarrow{{\partial}}_x)\big)g({x},y).
\end{eqnarray}
In particular, we have for $f=f(x)$ the results

\begin{eqnarray}
  f\bar{*}g(\bar{x})=f(x+\frac{i\kappa}{2}\overrightarrow{{\partial}}_y)g(x,y)~,~ g\bar{*}f(\bar{x})=g(x,y)f(x-\frac{i\kappa}{2}\overleftarrow{{\partial}}_y).\label{star1}
\end{eqnarray}
Similarly, we have for $g=g(y)$ the results

\begin{eqnarray}
  g\bar{*}f(\bar{x})=g(y-\frac{i\kappa}{2}\overrightarrow{{\partial}}_x)f(x,y)~,~ f\bar{*}g(\bar{x})=f(x,y)g(y+\frac{i\kappa}{2}\overleftarrow{{\partial}}_x).\label{star2}
\end{eqnarray}

The relation between the embedding coordinate operators $\hat{X}_a$ and the canonical coordinate operators $\hat{x}$ and $\hat{y}$ is given from (\ref{co}) by the equations
\begin{eqnarray}
\hat{X}_3&=&\frac{1}{2R}\hat{y}e^{-\hat{x}}\hat{y}+\frac{R}{2}e^{-\hat{x}}-\frac{R}{2}e^{\hat{x}}\nonumber\\
\hat{X}_2&=&\hat{y}\nonumber\\
\hat{X}_1&=&\frac{1}{2R}\hat{y}e^{-\hat{x}}\hat{y}+\frac{R}{2}e^{-\hat{x}}+\frac{R}{2}e^{\hat{x}}.\label{ord}
 \end{eqnarray}
It is then straightforward to check  (using $[\exp(\pm \hat{x}),\hat{y}]=\pm i\kappa\exp(\pm \hat{x})$) that
\begin{eqnarray}
[\hat{X}^3,\hat{X}^2]=i\kappa\hat{X}^1~,~[\hat{X}^1,\hat{X}^2]=i\kappa\hat{X}^3~,~[\hat{X}^3,\hat{X}^1]=i\kappa\hat{X}^2.
 \end{eqnarray}
These are precisely equations (\ref{well2}). In the same manner we can verify equation (\ref{well1}). This shows explicitly that the operator ordering chosen in (\ref{ord}) is the correct one.


The derivation operators $\hat{\partial}_x$ and $\hat{\partial}_y$ associated with the canonical operators $\hat{x}$ and $\hat{y}$ are given immediately (since (\ref{MW}) defines a Moyal-Weyl plane) by
\begin{eqnarray}
\hat{\partial}_x=-\frac{1}{i\kappa}[\hat{y},]~,~\hat{\partial}_y=\frac{1}{i\kappa}[\hat{x},].
\end{eqnarray}
The derivation operator $\hat{K}^2$ associated with the coordinate operator $\hat{X}_2=\hat{y}$ is then given by

 

\begin{eqnarray}
i\hat{K}^2=\frac{i}{\kappa}[\hat{X}_2,]=\frac{i}{\kappa}[\hat{y},]=\hat{\partial}_x.
\end{eqnarray}
By construction this has the correct commutative limit $i\hat{K}^2\longrightarrow iK^2=\partial_x$. Similarly, the derivation operators $\hat{K}^1$ and $\hat{K}^3$ should be defined by the relations
\begin{eqnarray}
i\hat{K}^1=\frac{i}{\kappa}[\hat{X}_1,]~,~i\hat{K}^3=\frac{i}{\kappa}[\hat{X}_3,].
\end{eqnarray}
We have explicitly (where the arrow indicates the Weyl map)
\begin{eqnarray}
i\hat{K}^{1,3}(\hat{f})&=&\frac{i}{\kappa}[\hat{X}_{1,3},\hat{f}]\nonumber\\
&=& \frac{i}{\kappa}\bigg(\frac{1}{2R}[\hat{y}e^{-\hat{x}}\hat{y},\hat{f}]+\frac{R}{2}[e^{-\hat{x}},\hat{f}]\pm \frac{R}{2}[e^{\hat{x}},\hat{f}]\bigg)\nonumber\\
&\longrightarrow &\frac{i}{\kappa}\bigg(\frac{1}{2R}[{y}*e^{-{x}}*{y},{f}]_*+\frac{R}{2}[e^{-{x}},{f}]_*\pm \frac{R}{2}[e^{{x}},{f}]_*\bigg).
\end{eqnarray}
It is not difficult to check explicitly (by using (\ref{star1}) and (\ref{star2})) that this definition of $\hat{K}^1$ and $\hat{K}^3$ will tend in the commutative limit $\kappa\longrightarrow 0$ to the generators $K^1$ and $K^3$ given explicitly in equation (\ref{Ks}). In other words, the generators $\hat{K}^a$ are the noncommutative  ${\bf AdS}^2_{\theta}$ Killing vectors  in the same way that the generators $K^a$ are the commutative ${\bf AdS}^2$ Killing vectors.

Action and commutative limit

We are now in a position to write down an action principle for scalar fields $\hat{\Phi}$ on  noncommutative  ${\bf AdS}^2_{\theta}$ using the Killing vectors $\hat{K}^a$ as outer derivations. See in particular \cite{Pinzul:2017wch}. First we note the dimension of the various objects: $[t],[z]\sim R$, $[x]\sim 1$, $[y]\sim R$, $[\kappa]\sim R$ and $[X^a]\sim R$. In particualr note that $x$ is dimensionless and thus the noncommutativity parameter $\bar{\theta}^{ab}\equiv \kappa\epsilon^{ab}$ is of dimension length and not of dimension area. The scalar field $\hat{\Phi}$ in two dimension is canonically of dimension $0$. We can then write down immediately the free action
\begin{eqnarray}
S=\frac{2\pi R \kappa}{2}Tr\bigg(-\frac{1}{R^2\kappa^2}[\hat{X}^a,\hat{\Phi}][\hat{X}_a,\hat{\Phi}]+m^2\hat{\Phi}^2\bigg).\label{action}
 \end{eqnarray}
The Weyl map takes the trace $Tr$ to the integral on ${\bf AdS}^2$ as follows (the metric $g$ in the canonical coordinates is read from the second line of (\ref{metric}) and it is clear that $\sqrt{{\rm det}g}=1$)
\begin{eqnarray}
2\pi Tr\longrightarrow \int \frac{dx dy}{\sqrt{{\rm det}\bar{\theta}}}=\int \frac{dx dy}{\kappa}.
 \end{eqnarray}
Recall that the integral over a symplectic manifold ${\cal M}^{d}$, such as    ${\bf AdS}^2$, is given in terms of its symplectic structure $\omega$, which is here $\omega=-dx\wedge dy/\kappa$, by the formula (where $d=2n$)
\begin{eqnarray}
(2\pi)^nTr \longrightarrow \int \frac{\omega^n}{n!}=\int \frac{d^{2n}x}{\sqrt{{\rm det}\bar{\theta}}}.
\end{eqnarray}
In terms of the star product the above action reads then (where ${\cal X}^a=\pi(\hat{X}^a)$)
\begin{eqnarray}
S&=&\frac{R}{2}\int dx dy\bigg(-\frac{1}{R^2\kappa^2}[{\cal X}^a,\Phi]_**[{\cal X}_a,\Phi]_*+m^2\Phi*\Phi\bigg).\label{actionstar}
\end{eqnarray}
Recall that ${\bf AdS}^2$ is a manifold with two boundaries in which boundary terms play an important role. However, for simplicity we start by neglecting boundary terms. Thus, the integral over the star product of two functions $f$ and $g$ is equal (up to boundary terms)  to the integral over the ordinary product of these  two functions, viz
\begin{eqnarray}
\int dx dy f*g(x,y)=\int dx dy f(x,y).g(x,y)+{\rm boundary~ terms}.
\end{eqnarray}
By concentrating on the bulk fields for the moment we can use this equation to obtain the action
\begin{eqnarray}
S
 &=&\frac{1}{2R\kappa^2}\int dx dy\bigg([{\cal X}^1,\Phi]_*^2-[{\cal X}^2,\Phi]_*^2-[{\cal X}^3,\Phi]_*^2+R^2\kappa^2m^2\Phi^2\bigg)\nonumber\\
&=& \frac{1}{2R\kappa^2}\int dx dy\bigg([y*e^{-x}*y,\Phi]_*[e^x,\Phi]_*+R^2[e^{-x},\Phi]_*[e^{x},\Phi]_*-[y,\Phi]_*^2+R^2\kappa^2m^2\Phi^2\bigg).
\end{eqnarray}

A relatively short calculation using (\ref{star1}) and (\ref{star2}) gives the results
\begin{eqnarray}
[y,\Phi]_*=-i\kappa\partial_x \Phi.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
[e^{\pm x},\Phi]_*=\pm i\kappa e^{\pm x}\Delta_y \Phi.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
[y*e^{-x}*y,\Phi]_*=-i\kappa e^{-x}\bigg[2yS_y\partial_x\Phi -\frac{\kappa^2}{4}\partial_x^2\Delta_y\Phi+y^2\Delta_y\Phi+\frac{\kappa^2}{4}\Delta_y\Phi\bigg].
\end{eqnarray}
The operators $\Delta_y$ and $S_y$ are given explicitly by
\begin{eqnarray}
\Delta_y=\frac{2}{\kappa}\sin \frac{\kappa}{2}\partial_y~,~S_y=\cos \frac{\kappa}{2}\partial_y.
\end{eqnarray}
We get then the action
\begin{eqnarray}
S
&=& \frac{1}{2R}\int dx dy\bigg((\partial_x\Phi)^2+(R^2+\frac{\kappa^2}{4}+y^2)(\Delta_y\Phi)^2+2y\Delta_y\Phi S_y\partial_x\phi -\frac{\kappa^2}{4}\Delta_y\Phi\partial_x^2\Delta_y\Phi+R^2m^2\Phi^2\bigg).
\end{eqnarray}
We use now the identity $1=S_y²+\kappa^2 \Delta_y^2/4$ or equivalently
\begin{eqnarray}
\int dxdy (\partial_x\Phi)^2&=&\int dx dy\partial_x\Phi S_y^2\partial_x\Phi+\frac{\kappa^2}{4}\int dx dy \partial_x\Phi\Delta_y^2\partial_x\Phi\nonumber\\
&=& \int dx dy (S_y\partial_x\Phi)^2-\frac{\kappa^2}{4}\int dx dy (\Delta_y\partial_x\Phi)^2.
\end{eqnarray}
In the last line we have neglected boundary terms and used the results
\begin{eqnarray}
&&\int dxdy f(x,y).\Delta_yg(x,y)=-\int dxdy \Delta_yf(x,y).g(x,y)+{\rm boundary~terms}\nonumber\\
&&\int dxdy f(x,y).S_yg(x,y)=\int dxdy S_yf(x,y).g(x,y)+{\rm boundary~terms}.\end{eqnarray}
The action then becomes

\begin{eqnarray}
S
&=& \frac{1}{2R}\int dx dy\bigg((S_y\partial_x\Phi+y\Delta_y\Phi)^2+(R^2+\frac{\kappa^2}{4})(\Delta_y\Phi)^2+R^2m^2\Phi^2\bigg).
\end{eqnarray}
The classical equation of motion follows directly from this action. We get (the operators $\partial_x$ and $S_y$ commute but the order of the operators $\Delta_y$ and $y$ matters)

\begin{eqnarray}
(\partial_xS_y+\Delta_yy)(S_y\partial_x+y\Delta_y)\Phi+(R^2+\frac{\kappa^2}{4})\Delta_y^2\Phi-R^2m^2\Phi=0.\label{eom}
\end{eqnarray}
In the commutative limit we have $\kappa\longrightarrow 0$ and thus $\Delta_y=\partial_y+O(\kappa^2)$, $S_y=1+O(\kappa^2)$. As a consequence the above action reduces to
\begin{eqnarray}
S
&=& \frac{1}{2R}\int dx dy\bigg((\partial_x\Phi+y\partial_y\Phi)^2+R^2(\partial_y\Phi)^2+R^2m^2\Phi^2\bigg).
\end{eqnarray}
This read in the Poincare coordinates

\begin{eqnarray}
S
&=& \frac{1}{2R}\int \frac{1}{R}\sqrt{g}dt dz\bigg(z^2(\partial_z\Phi)^2+z^2(\partial_t\Phi)^2+R^2m^2\Phi^2\bigg)\nonumber\\
&=& \frac{1}{2}\int \sqrt{g}d^2x\bigg((\partial_a\Phi)(\partial^a\Phi)+m^2\Phi^2\bigg).
\end{eqnarray}
This is the correct commutative action.

In the near-boundary limit $z\longrightarrow 0$ we have  $\Delta_y=\frac{z}{R}\partial_t+O(z^3)$ and $S_y=1+O(z^2)$ since $\partial_y=\frac{z}{R}\partial_t$ (recall that $z=R\exp(-x)$ and $t=zy/R$). Thus, $S_y\partial_x+y\Delta_y=\partial_x+t\partial_t+O(z^2)=-z\partial_z+O(z^2)$. We obtain then the near-boundary action
\begin{eqnarray}
S
&=& \frac{1}{2R}\int \frac{1}{R}\sqrt{g}dt dz\bigg(z^2(\partial_z\Phi)^2+(1+\frac{\kappa^2}{4R^2})z^2(\partial_t\Phi)^2+R^2m^2\Phi^2\bigg)\nonumber\\
&=& \frac{1}{2}\int \sqrt{g^{\prime}}d^2x^{\prime}\bigg((\partial_a^{\prime}\Phi)(\partial^{\prime a}\Phi)+m^2\Phi^2\bigg).\label{nb}
\end{eqnarray}
The primed coordinates are given by $x^1=t^{\prime}$ and $x^2=z$ where the rescaled time parameter  $t^{\prime}$ is related to the original Poincare time $t$ by the relation
\begin{eqnarray}
t^{\prime}=\frac{t}{\sqrt{1+\frac{\kappa^2}{4R^2}}}.\label{time}
\end{eqnarray}
In order to take into account the effect of boundary terms in the classical equation of motion we return to the original action (\ref{action}) and compute the variation
\begin{eqnarray}
\delta S&=&2\pi R \kappa Tr\delta\hat{\Phi}\bigg(\frac{1}{R^2\kappa^2}[\hat{X}^a,[\hat{X}_a,\hat{\Phi}]]+m^2\hat{\Phi}\bigg)\nonumber\\
&+& \pi R \kappa Tr\bigg(-\frac{2}{R^2\kappa^2}[\hat{X}^a,\delta\hat{\Phi}[\hat{X}_a,\hat{\Phi}]]-\frac{1}{R^2\kappa^2}[[\hat{X}^a,\hat{\Phi}],[\hat{X}_a,\delta\hat{\Phi}]]\nonumber\\
&+&m^2[\hat{\Phi},\delta\hat{\Phi}]\bigg).\label{var}
 \end{eqnarray}
The first line produces the equation of motion of bulk fields given by  (\ref{eom}) which can then also be put in the form
\begin{eqnarray}
\frac{1}{R^2\kappa^2}[\hat{X}^a,[\hat{X}_a,\hat{\Phi}]]+m^2\hat{\Phi}=0.
 \end{eqnarray}
The second line of  (\ref{var}) represents boundary terms. These terms are all given by the trace of a commutator which should vanish identically if the trace were finite dimensional. It is straightforward to check that these boundary terms (at least up to order $\kappa^2$) yields the commutative result \cite{Pinzul:2017wch}

\begin{eqnarray}
-\int dt (\delta \Phi\partial_z\Phi)|_{z=0}.
 \end{eqnarray}


Conformal field theory and the ${\bf AdS}_2/{\bf CFT}_1$ correspondence 


The near-boundary action (\ref{nb}) can be equivalently interpreted as an action over a commutative ${\bf AdS}^2$ with Poincare coordinates $x^1=t$ and $x^2=z$ and a rescaled field $\Phi^{\prime}$ given by
\begin{eqnarray}
\Phi^{\prime}=(1+\frac{\kappa^2}{4R^2})^{1/4}\Phi.\label{nc2c}
\end{eqnarray}
The action then reads
\begin{eqnarray}
S&=& \frac{1}{2}\int \sqrt{g}d^2x\bigg((\partial_a\Phi^{\prime})(\partial^a\Phi^{\prime})+m^2\Phi^{\prime2}\bigg).\label{nb1}
\end{eqnarray}
The near-boundary action is therefore an ordinary free scalar field theory on commutative ${\bf AdS}^2$ (with rescaled fields). This means in particular that noncommutative ${\bf AdS}^2_{\theta}$ is asymptotically a commutative ${\bf AdS}^2$ (since the bounadry limit $z\longrightarrow 0$ corresponds to $x,y\longrightarrow \infty$ keeping the time $t=\exp(-x)y$ fixed).

Furthermore, it should be noted that the near-boundary action  (\ref{nb1}) is in fact exact in $\kappa$ and as such we will take it as our  first approximation of the original free scalar field theory on noncommutative ${\bf AdS}^2_{\theta}$ given by the action (\ref{action}).

The equation of motion which follows from action (\ref{nb1}) is the commutative limit of the equation of motion  (\ref{eom}). This is given explicitly by
\begin{eqnarray}
 z^2(\partial_z^2+\partial_t^2)\Phi^{\prime}-m^2R^2\Phi^{\prime}=0.\label{nb1eom}
 \end{eqnarray}
We will assume that the mass $m^2$ satisfies the so-called Breitenlohner-Freedman  bound $m^2>-1/4R^2$. The solution near the boundary $z=\epsilon$  is then given by \cite{Ramallo:2013bua}

\begin{eqnarray}
\Phi^{\prime}(t,z=\epsilon)= A(t)\epsilon^{1-\Delta}.\label{div}
\end{eqnarray}
The exponent $\Delta$ is the so-called scaling dimension of the field and it is given by
\begin{eqnarray}
\Delta=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+m^2R^2}.
\end{eqnarray}
For $m^2>0$ the exponent $1-\Delta$ is negative and hence the field (\ref{div}) is divergent. The quantum field theory source $\varphi^{\prime}(t)$, i.e. the scalar field living on the boundary, is then identified with $A(t)$, viz
\begin{eqnarray}
  \varphi^{\prime}(t)={\rm lim}_{\epsilon\longrightarrow 0}\epsilon^{\Delta-1}\Phi^{\prime}(t,\epsilon).\label{bva}
\end{eqnarray}
$\varphi^{'}(t)$ is the scalar field representing  the  anti-de Sitter scalar field $\Phi^{\prime}(t,z)$ at the boundary $z=0$, i.e. the boundary field $\varphi^{\prime}$ is the holographic dual of the bulk field $\Phi^{\prime}$. The scaling dimension of the source $\varphi^{\prime}$ is given by $1-\Delta$. 

Let ${\cal O}^{\prime}(t,z)$ be the dual operator of the scalar field $\Phi^{\prime}(t,z)$. Their coupling is a boundary term of the form (by using also equation (\ref{nc2c}))
\begin{eqnarray}
  S_{\rm bound}&=&\int dt\sqrt{\gamma}\Phi^{\prime}(t,\epsilon){\cal O}^{\prime}(t,\epsilon)\nonumber\\
  &=&(1+\frac{\kappa^2}{4R^2})^{1/2}\int dt\sqrt{\gamma}\Phi^{}(t,\epsilon){\cal O}^{}(t,\epsilon).\label{bt0}
\end{eqnarray}

Obviously, we must have
\begin{eqnarray}
{\cal O}^{\prime}(t,z)=(1+\frac{\kappa^2}{4R^2})^{1/4}{\cal O}(t,z). \label{nc2c1}
\end{eqnarray}
It is clear that by rescaling the time coordinate in  (\ref{nb1}) we obtain the bulk action (\ref{nb}) whereas rescaling time in (\ref{bt0}) yields a canonically normalized boundary term. The time rescaling is naturally given by (\ref{time}).

The boundary term (\ref{bt0}) can also be rewritten  in terms of the dual operator ${\cal O}^{\prime}(t)$ of the scalar field $\varphi^{\prime}(t)$ as
\begin{eqnarray}
  S_{\rm bound}
  &=&\int dt \frac{R}{\epsilon} \epsilon^{1-\Delta}\varphi^{\prime}(t){\cal O}^{\prime}(t,\epsilon)\nonumber\\
  &=&R \int dt \varphi^{\prime}(t){\cal O}^{\prime}(t).\label{bt}
\end{eqnarray}
Where
\begin{eqnarray}
   {\cal O}^{\prime}(t,\epsilon)=\epsilon^{\Delta}{\cal O}^{\prime}(t).
\end{eqnarray}
This is the wave function renormalization of the operator ${\cal O}^{\prime}$ as we move into the bulk. This also shows explicitly that $\Delta$ is the scaling dimension of the dual operator ${\cal O}^{\prime}$ since going from $z=0$ to $z=\epsilon$ is a dilatation operation in the quantum field theory.

The boundary term (\ref{bt}) can be written in terms of the noncommutative scalar field $\varphi(t)$ and its dual operator ${\cal O}(t)$ as
 \begin{eqnarray}
  S_{\rm bound}
  &=&R \int dt \varphi^{}(t){\cal O}^{}(t).\label{bt1}
\end{eqnarray}
The noncommutative boundary scalar field $\varphi(t)$ and its dual operator ${\cal O}(t)$ are related to the boundary scalar field $\varphi^{\prime}(t)$ and its dual operator ${\cal O}^{\prime}(t)$ by equations (\ref{nc2c}) and (\ref{nc2c1}) respectively.



The CFT living on the boundary is completely determined by the correlation functions
 \begin{eqnarray}
\langle{\cal O}^{\prime}(t_1)...{\cal O}^{\prime}(t_n)\rangle.
 \end{eqnarray}
On the boundary with lagrangian ${\cal L}$ the calculation of these correlation functions  proceeds as usual by introducing the generating functional
 \begin{eqnarray}
Z_{\rm CFT}[J]=\int ~\exp({\cal L}+\int dt J(t){\cal O}^{\prime}(t))=\langle\exp(\int dt J(t){\cal O}^{\prime}(t))\rangle .
 \end{eqnarray}
 Then we have immediately
 \begin{eqnarray}
\langle{\cal O}^{\prime}(t_1)...{\cal O}^{\prime}(t_n)\rangle=\frac{\delta^n\log Z_{CFT}[J]}{\delta J(t_1)...\delta J(t_n)}|_{J=0}.
 \end{eqnarray}
 The operator ${\cal O}^{\prime}(t)$ is sourced by the scalar field $\varphi^{\prime} (t)$ living on the boundary which is related to the boundary value of the bulk scalar field $\Phi^{\prime}(t,z)$ by the relation (\ref{bva}). The boundary scalar field $\Phi_0^{\prime}(t)$ is actually divergent and it is simply defined by
  \begin{eqnarray}
  \Phi_0^{\prime}(t)=\Phi^{\prime}(t,0).
  \end{eqnarray}
The AdS/CFT correspondence \cite{Gubser:1998bc,Witten:1998qj} states that the CFT generating functional with source $J=\Phi_0^{\prime}$ is equal to the path integral on the gravity side evaluated over a bulk field which has the value $\Phi_0^{\prime}$ at the boundary of AdS. We write
  \begin{eqnarray}
Z_{\rm CFT}[\Phi_0^{\prime}]\equiv Z_{\rm grav}[\Phi^{\prime}\longrightarrow\Phi_0^{\prime}] =\int_{\Phi^{\prime}\longrightarrow \Phi_0^{\prime}} {\cal D}\Phi^{\prime}\exp(S_{\rm grav}[\Phi^{\prime}]).
 \end{eqnarray}
In the limit in which classical gravity is a good approximation the gravity path integral can be replaced by the classical amplitude given by the classical on-shell gravity action, i.e.

 
  \begin{eqnarray}
    Z_{\rm CFT}[\Phi_0^{\prime}]=\exp(S_{\rm grav}^{\rm on-shell}[\Phi^{\prime}\longrightarrow\Phi_0^{\prime}]).
 \end{eqnarray}
Typically the on-shell gravity action is divergent requiring holographic renormalization  \cite{Henningson:1998gx,deHaro:2000vlm,Skenderis:2002wp}. The on-shell action gets renormalized and the above prescription becomes
  \begin{eqnarray}
    Z_{\rm CFT}[\Phi_0^{\prime}]=\exp(S_{\rm grav}^{\rm renor}[\Phi^{\prime}\longrightarrow\Phi_0^{\prime}]).
  \end{eqnarray}
  The correlation functions are then renormalized as
 
  \begin{eqnarray}
\langle{\cal O}^{\prime}(t_1)...{\cal O}^{\prime}(t_n)\rangle=\frac{\delta^n S_{\rm grav}^{\rm renor}[\Phi^{\prime}\longrightarrow\Phi_0^{\prime}]}{\delta\varphi^{\prime}(t_1)...\delta\varphi^{\prime}(t_n)}|_{\varphi^{\prime}=0}.
  \end{eqnarray}
In our case the bulk action $S_{\rm grav}$ is proportional (with a proportionality constant denoted by $-\eta$) to the near-boundary action  (\ref{nb1})  which is an  approximation of the action (\ref{action}) of free scalar fields on noncommutative ${\bf AdS}^2_{\theta}$.

The on-shell action $S_{\rm grav}^{\rm on-shell}$ is a boundary term obtained from $S_{\rm grav}$ by substituting the solution of the classical equation of motion (\ref{nb1eom}) (which is also required to be a regular solution in the IR limit $z\longrightarrow\infty$).

The on-shell action is found to be divergent requiring the addition of a counter term in the form of a quadratic local term living on the  boundary of AdS space given explicitly by \cite{Ramallo:2013bua}
\begin{eqnarray}
  S^{}_{\rm ct}
  &=&\frac{\eta}{2}\eta_1 \int_{} \sqrt{\gamma}dt \phi^2.
\end{eqnarray}
After some calculation we find that $\eta_1=-(1-\Delta)/R$ and as a consequence the  renormalized action reduces to
\begin{eqnarray}
  S^{\rm renor}_{\rm grav}
   &=&-\frac{\eta}{2}(2\Delta -1)\frac{\Gamma(1-\nu)}{\Gamma(1+\nu)}\int_{} \frac{d\omega}{2\pi} \varphi^{\prime}(\omega)(\frac{\omega}{2})^{2\nu}\varphi^{\prime}(-\omega).
\end{eqnarray}
The exponent $\nu$ is given by
\begin{eqnarray}
\nu^2=\frac{1}{4}+m^2R^2=(\Delta-\frac{1}{2})^2.
\end{eqnarray}
The two-point function is then given immediately by

\begin{eqnarray}
\langle{\cal O}^{\prime}(t){\cal O}^{\prime}(0)\rangle=\frac{2\nu \eta}{\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma(\frac{1}{2}+\nu)}{\Gamma(-\nu)}\frac{1}{|t|^{2\Delta}}.
\end{eqnarray}
This is the correct behavior of a conformal field of scaling dimension $\Delta$, i.e. the exponent $\Delta$ is indeed the scaling dimension of the boundary operator ${\cal O}^{\prime}(x)$.


The final step is to substitute the operator rescaling (\ref{nc2c1}) to obtain the noncommutative two-point function

\begin{eqnarray}
\langle{\cal O}^{}(t){\cal O}^{}(0)\rangle=(1+\frac{\kappa^2}{4R^2})^{-1/2}\frac{2\nu \eta}{\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma(\frac{1}{2}+\nu)}{\Gamma(-\nu)}\frac{1}{|t|^{2\Delta}}.
\end{eqnarray}
By exapnding in powers of $\kappa^2$ and setting $m^2=0$ we obtain the result of \cite{Pinzul:2017wch} which was directly computed from the noncommutative action (\ref{actionstar}) $\kappa-$expanded up to the order of $\kappa^2$.

 

 

 

References


 %\cite{barg}
\bibitem{barg}
  V. ~Bargmann,
  “Irreducible unitary representations of the Lorentz group,”
  Ann. Math.48 (1947) 568.

  %\cite{Ho:2000fy}
\bibitem{Ho:2000fy}
  P.~M.~Ho and M.~Li,
  ``Large N expansion from fuzzy AdS(2),''
  Nucl.\ Phys.\ B {\bf 590}, 198 (2000)
%  doi:10.1016/S0550-3213(00)00540-X
  [hep-th/0005268].
  %%CITATION = doi:10.1016/S0550-3213(00)00540-X;%%
  %24 citations counted in INSPIRE as of 17 Jun 2019


  %\cite{Ho:2000br}
\bibitem{Ho:2000br}
  P.~M.~Ho and M.~Li,
  ``Fuzzy spheres in AdS / CFT correspondence and holography from noncommutativity,''
  Nucl.\ Phys.\ B {\bf 596}, 259 (2001)
  %doi:10.1016/S0550-3213(00)00594-0
  [hep-th/0004072].
  %%CITATION = doi:10.1016/S0550-3213(00)00594-0;%%
  %61 citations counted in INSPIRE as of 17 Jun 2019


  %\cite{Jurman:2013ota}
\bibitem{Jurman:2013ota}
  D.~Jurman and H.~Steinacker,
  ``2D fuzzy Anti-de Sitter space from matrix models,''
  JHEP {\bf 1401}, 100 (2014)
  %doi:10.1007/JHEP01(2014)100
  [arXiv:1309.1598 [hep-th]].
  %%CITATION = doi:10.1007/JHEP01(2014)100;%%
  %22 citations counted in INSPIRE as of 17 Jun 2019


  %\cite{Pinzul:2017wch}
\bibitem{Pinzul:2017wch}
  A.~Pinzul and A.~Stern,
  ``Non-commutative $AdS_2/CFT_1$ duality: the case of massless scalar fields,''
  Phys.\ Rev.\ D {\bf 96}, no. 6, 066019 (2017)
  %doi:10.1103/PhysRevD.96.066019
  [arXiv:1707.04816 [hep-th]].
  %%CITATION = doi:10.1103/PhysRevD.96.066019;%%
  %2 citations counted in INSPIRE as of 17 Jun 2019

%\cite{weyl}
\bibitem{weyl}
  H.~Weyl,
  ``The Theory of Groups and Quantum Mechanics,''
  Dover, New York (1931).

 %\cite{Moyal:1949skv2}
\bibitem{Moyal:1949skv2}
  J.~E.~Moyal,
  ``Quantum mechanics as a statistical theory,''
  Proc.\ Cambridge Phil.\ Soc.\  {\bf 45}, 99 (1949).
  %doi:10.1017/S0305004100000487
  %%CITATION = doi:10.1017/S0305004100000487;%%
  %965 citations counted in INSPIRE as of 09 Feb 2019

  %\cite{Groenewold:1946kpv2}
\bibitem{Groenewold:1946kpv2}
  H.~J.~Groenewold,
  ``On the Principles of elementary quantum mechanics,''
  Physica {\bf 12}, 405 (1946).
%  doi:10.1016/S0031-8914(46)80059-4
  %%CITATION = doi:10.1016/S0031-8914(46)80059-4;%%
  %446 citations counted in INSPIRE as of 09 Feb 2019

جايمس بيبلز نوبل فى الفيزياء 2019

وجائزة نوبل فى الفيزياء لهذا العام تأخذها مناصفة الفيزياء النظرية ممثلة فى شخص الكوسمولوجى النظرى بيبلز Peebles (نصف الجائزة) و الفيزياء الكوكبية ممثلة فى شخصى مايور Mayor و كويلوز Queloz (نصف الجائزة).
وهذا غير عادل بالمرة كالعادة تقريبا (فقد حدث هذا من قبل عدة مرات).
وكل الذى فعله مايور و كويلوز هو انهما اكتشفا اول كوكب يدور حول نجم هو مركز لمجموعة كوكبية تشبه المجموعة الشمسية.
وهذا مهم لكنه ليس مهما بالمرة امام انجازت بيبلز.
فالرجل بدون منازع هو الكوسمولوجى النظرى الاول حجة التخصص -الكوسمولوجيا النظرية- منذ الستينات.
واكتشافاته ليست حظا فقط فى الاكتشاف بل هى حظ فى الموهبة و الاكتشاف معا وهذا مستوى اعلى بكثير.
وهذا هو الفرق بين الفيزياء النظرية التى تحتاج حظا من الموهبة و حظا من الحظ و بين الفيزياء التجريبية التى لن تتطلب الا ان تكون محظوطا اى حظا من الحظ بمعنى ان تكون فى المكان المناسب فى الزمان المناسب و تعمل و تجتهد.
اذن بيبلز انجز فى فيزياء اشعاع الخلفية الكونية الميكروى cosmic microwave background radiation و هو الاشعاع الضوئى الذى يجوب الكون بكل حرية منذ اصبح الكون شفافا بعد 400 الف سنة (ما يسمى زمن الانفصال decoupling time) من الانفجار الاعظم.
واشعاع الخلفية الميكروى هو من اهم الظواهر الكونية على الاطلاق لسهولة قياسه (وقد اُكتشف ايضا صدفة مثل ذلك الكوكب اعلاه من قبل مهندسين فى الراديو و الالكترونيك و ليس حتى من قبل فيزيائيين) و احتواءه ايضا على كثير من الاسرار الكونية و اهمها ربما كيفية تشكل البنى structure formation من التقلبات الكمومية quantum fluctuation اى كيف تشكلت المجرات و النجوم و غيرها من البنى الكونية العملاقة انطلاقا من التقلبات الكمومية الضئيلة جدا التى كانت فى عهد التضخم.
ومن انجازات الرجل ايضا مشاركاته المحورية فى التركيب النووى الاعظم big bang nucleosynthesis وهو كيف تشكل الهيدروجين من الالكترونات و البروتونات و النيوترونات و كيف تشكلت باقى الذرات الخفيفة و الثقلية من الهيدروجين.
وايضا من مشاركاته المادة المظلمة dark matter التى تشكل حوالى 25 بالمائة (بمقابل المادة المضيئة التى تتشكل منها اجسامنا و التى تتضمن على 5 بالمائة فقط من اجمالى كتلة الكون).
و المادة المظلمة هى مادة مظلمة لانها لا تتفاعل كهرومغناطيسيا اى لا يمكن ان يصدر عنها اى ضوء و كل تفاعلاتها تتم عبر قوى الجذب الثقالى.
والمادة المظلمة هى السبب فى دوران كل المجرات (وهى تجمعات من المادة لا يعى عظمتها الا القليل).
اذن كل تلك المجرات فانها تدور حول محاورها بسبب قوة الجذب الثقالى لمادتها المظلمة و لا تلعب المادة المضيئة اى دور فى ذلك.
ومن مشاركات بيبلز ايضا الطاقة المظلمة dark energy و هى شئ اعظم من المادة المظلمة و هى تتضمن ما يقارب ال 70 بالمائة من اجمالى كتلة الكون.
والظاقة المظلمة شيء عجيب غريب فهى تتأتى (وهذا هو المرجح عند الاغلبية) من طاقة الفراغ vacuum energy اى طاقة الحالة الكمومية الاساسية quantum vacuum state مثل تأثير كازيمر Casimir effect المشهور مثلا و هى غريبة ايضا لانها تتميز بضغط سالب (عكس المادة المضيئة و عكس المادة المظلمة) و لهذا فانها تؤثر كقوة ثقالة مضادة anti-gravity تؤدى الى زيادة توسع الكون زيادة متسارعة وهذا هو الملاحظ فعلا من القياسات الاخيرة لمرصد بلانك الذى اكد بالاضافة الى كل هذه النظريات الرائعة على صحة نظرية التضخم inflation theory وهى الحلقة الاخيرة التى كانت مفقودة فى صرح النموذج القياسى الكوسمولوجى standard model of cosmology.
وللتمثيل اقول ان المادة المظلمة هى جسم الكون اما الطاقة المظلمة فهى يمكن التفكير فيها على انها روح الكون.
اما الانسان فهو يتشكل من المادة المضيئة لاجسامنا و من الوعى او الروح الذى هو طاقتنا المظلمة.
(للعلم يمكنكم الاطلاع على كل هذه المواضيع بشكل بيداغوجى لكن رياضى و فيزيائى مضبوط فى كتابى حول النسبية العامة المنشور مع ال IOP).
وكل هذا حتى تطمئن قلوبنا الى صحة التنظير الفيزيائى وعدم ابتعاده كثيرا بل على العكس اقترابه الشديد من القياسات و المشاهدات و التجارب الحسية و ماهو موجود بالفعل فى الطبيعة التى رغم كل هذا الفهم المتحقق تبقى فى اغلبها غيب مغيب.
لكن قوة العلم (وبالخصوص الفيزياء النظرية فى التوقع و الفيزياء التجريبية فى التحقق) يجعل العلم فعلا بمثابة المسيح الدجال عند تحديه للفلسفة و الدين و الايمان فقليل جدا من يرسخ و يصبر على فتنته (اى هذا العلم أو هذا المسيح الدجال) لكثرة تصديقه بالمعجزات (اى هذه الانجازات و الاكتشافات رياضيا و نظريا و تجريبيا).
اذن اقول و اننى واثق من ذلك انه كان يجب عليهم (الهيئة السويدية) اعطاء جيمس بيبلز كل الجائزة و ليس فقط نصفها لان ما فعله الاخران ليس شيئا بالمقارنة مع ما فعله هذا العالم العبقرى الذى اجد صعوبة شديدة فى رؤية و فهم عبقريته التى تأتيه بسهولة شديدة تحير عقلى البسيط و علمى الأبسط.
واننى لن استحى ان اقول اننى احسده و احسد امثاله. واظن ان حسد العلماء شيء ايجابى و ليس سلبى اذن فاننى ادعوا اليه لعل بعضنا يحقق فى المستقبل بعض ما حققه كثير منهم.


حجر رشيد اهتزازات النيترينو

حجر رشيد اهتزازات النيترينو
هل يمكن تعيين الاشعة الذاتية eigenvectors لمصفوفة هرميتية Hermitian matrix انطلاقا من قيمها الذاتية eigenvalues?
والقيم الذاتية تمثل مثلا نتائج القياس التى سيحصل عليها راصد فيزيائى عندما يقوم بقياس مقدار فيزيائي معين يمكن تمثيله رياضيا بمصفوفة matrix او بصفة عامة بمؤثر operator.
لو كنت سئلت هذا السؤال قبل اليوم لقلت هذا أكيد غير ممكن.
وهذا هذا الجواب الذى يعرفه كل رياضى و كل فيزيائى نظرى و كل فيزيائى منذ قرون على الاقل الى غاية 10 اوت الماضى.
فالاشعة الذاتية لمصفوفة شيء و القيم الذاتية شيء آخر وكل قيمة ذاتية تكون مرفقة على الاقل بشعاع ذاتى واحد و ربما اكثر.
وعملية البحث عن القيم الذاتية هى عملية مكلفة جدا جدا حسابيا (فهى من اهم المهمات فى الفيزياء العددية) لأنها تستهلك وقتا طويلا على اعظم الكمبيوترات الخارقة.
وهى عملية (اى ايجاد القيم الذاتية) مهمة جدا فى كل موضوع فيزيائى ذى اهمية للطبيعة و الكون و كل موضوع عصبونى ذى اهمية للعقل و الانسان.
اذن لا يمكن تعيين القيم الذاتية من الاشعة الذاتية. هذا هو الذى يعرفه الجميع و هو من المعلوم من الرياضيات و الفيزياء بالضرورة (فهو ليس شيئا عميقا).
او هكذا كان يُعتقد.
لكن هذا الجواب تغير مع البحث فى الرابط الصادر عن ثلاث فيزيائيين نظريين يعملون فى اهتزازات النيترينو neutrino oscillations (اى هو موضوع نظرى فينمولوجى الذى يحبه اغلب الطلبة و الاساتذة فى فيزياء الجسيمات و ليس حتى نظرى اساسى من النوع الذى اميل اليه شخصيا) و صدر ايضا عن رياضى شهير ساعدهم على البرهان الرياضى على ما اكتشفوه.
فهم لاحظوا خلال حساباتهم لاحتمالات تغيير النيترينو لذوقه flavor خلال انتشاره فى الفضاء (وهذا هو الاهتزاز) ان القيم الذتية و الاشعة الذاتية لمصفوفة هرميتية A ذات بعد n مرتبطة فيما بينها بالعلاقة الاولى فى الصورة الاولى.
القيم الذاتية هى λi.
الشعاع الذاتي المرفق بالقيمة الذاتية λi يرمزل له ب vi.
ونرمز للمركبة j لهذا الشعاع vi ب vij.
اما المصفوفة Mi فهى المصفوفة الجزئية ل A ذات البعد n-1 التى نحصل عليها من حذف السطر i و العمود i من المصفوفة.
اذن من هذه العلاقة نحصل فعلا على الاشعة الذاتية من القيم الذاتية.
وهى علاقة بسيطة جدا لكنها مذهلة لانها لا تتعلق الا على المصفوفة الجزئية M.
كمثال نحذف السطر 1 و العمود 1 من المصفوفة A لنحصل على المصفوفة M و العدد السلمى a و الشعاعان X و X^* كما فى المعادلة الثانية فى الصورة الاولى.
فى هذه الحالة يمكننا ان نحسب المركبة 1 لكل الاشعة الذاتية vi اى نحسب vi1 باستعمال العلاقة الثالثة فى الصورة الاولى.
هذه فعلا علاقة مذهلة و هى ايضا بسيطة الى الحد ان الفيزيائيين النظريين زانغ Zhang و دانتون Denton و بارك Parke (فى الصورة الثانية من اليسار الى اليمين) اعتقدوا يقينا انها يجب ان تكون علاقة معروفة فى الكتب الرياضية منذ قرون.
ففعلا لقد قتل الغربيون المصفوفات و خواصها بحثا طوال القرون الماضية و لا يمكن ان تكون علاقة بهذه الاهمية و هذه البساطة ان تكون قد فاتتهم.
لكن من المؤكد انها فاتت الجميع.
و استشار هؤلاء الفيزيائيون الرياضى المشهور تيرنس تاو Terrence Tao (صاحب المعادلات فى الصورة الاولى) الذى اكد لهم انها علاقة جديدة غير معروفة فعلا و ساعدهم على البرهان عليها بعدة طرق فهى كما يقول تاو سهلة جدا للبرهان بعد ان تكون قد عرفت العلاقة و فهمتها (وهكذا كل الاشياء).
فى البحث على الاركايف فى الرابط يتم تقديم البرهان بطريقتين قصيرتين لكن فعالتين.
هذه العلاقة تم تسميتها حجر رشيد Rosetta stone القيم الذاتية لاهتزازات النيترينو.
(وحجر رشيد كما يعرف اى مثقف هو آثار فرعونية مشهورة جدا من عهد الاسرة البطلمية تحتوى على أمرية ملكية بثلاثة لغات سمحت فيما بعد للعلماء بفك شفرة الحرف الفرعونى).
اذن هذه العلاقة للقيم الذاتية بالنسبة لاهتزازات النيترينو مثل حجر الرشيد بالنسبة للغة الفرعونية يكفى ان نعرف
هذه العلاقة الرياضية حتى نعرف كل شيء فيزيائى يخص اهتزازات النيترنيو.
وهذا هو الحظ (حظ النجاح فى الفيزياء النظرية) الذى تكلمت عنه من قبل: ان تكون فى المكان المناسب فى الزمن المناسب و هو حجر اساس بل هو الحجر الاساس فى النجاح بالاضافة الى الاجتهاد و الشغف و القدرة.
البحث على الاركايف فى الرابط 

https://arxiv.org/abs/1908.03795



Lattice QFT (of Matrix Models)

Abstract

We attempt to systematically develop the matrix-model/quantum-theory correspondence by working out explicitly various non-trivial examples.

 

The path integral and scalar field theory


 

Path integral

We consider a single free particle moving in one dimension. The solution $|{\psi}_s(t)>$ of the  Schrodinger equation is then of the form

\begin{eqnarray}
|{\psi}_s(t)>&=&\int dx <x|{\psi}_s(t)>|x>\nonumber\\
&=&\int dx \int dx_0 G(x,t;x_0,t_0)<x_0|{\psi}_s(t_0)>.
\end{eqnarray}
The Green function $G(x,t;x_0,t_0)$ is  the transition amplitude from the point $x_0$ at time $t_0$ to the point $x$ at time $t$ which is the most basic object in the quantum theory. It is defined by
\begin{eqnarray}
G(x,t;x_0,t_0)&=&<x,t|x_0,t_0>\nonumber\\
&=&<x|e^{-\frac{i}{\hbar}H(t-t_0)} |x_0>\nonumber\\
&=&\int {\cal D}p{\cal D}x~e^{\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} ds(p\dot{x}-H(p,x))}\nonumber\\
&=&{\cal N}\int {\cal D}x~e^{\frac{i}{\hbar}S[x]}.
\end{eqnarray}
This fundamental result holds for any Hamiltonian of the form  $H=p^2/2m+ V(x)$ and thus $S[x]$ is the corresponding action given in terms of the Lagrangian $L(x,\dot{x})$ by the usual formula $S[x]=\int dt~L(x,\dot{x})=\int dt~(m\dot{x}^2/2-V(x))$.


The generalization of the above result to matrix elements of operators is given by (with $T$ being the time-ordering operator)
\begin{eqnarray}
<x,t|T(X(t_1)...X(t_n))|x_0,t_0>
&=&{\cal N}\int {\cal D}x~x(t_1)...x(t_n)~e^{\frac{i}{\hbar}S[x]}.\label{me}
\end{eqnarray}
In the limit $t_0\longrightarrow -\infty$ and $t\longrightarrow \infty$ only the ground state contributes. Thus, we obtain in this limit the matrix elements $<0|T(X(t_1)...X(t_n))|0>$ given by

\begin{eqnarray}
<0|T(X(t_1)...X(t_n))|0>
&=&\frac{\int {\cal D}x~x(t_1)...x(t_n)~e^{\frac{i}{\hbar}S[x]}}{\int {\cal D}x~e^{\frac{i}{\hbar}S[x]}}.
\end{eqnarray}
We introduce the path integral $Z[J]$ in the presence of a source $J(t)$ by
\begin{eqnarray}
Z[J]
&=&\int {\cal D}x~e^{\frac{i}{\hbar}S[x]+\frac{i}{\hbar}\int dt J(t)x(t)}.
\end{eqnarray}
This path integral is the generating functional of all the matrix elements $<0|T(X(t_1)...X(t_n))|0>$ where $X(t)$ is the coordinate operator. Indeed, we have
\begin{eqnarray}
<0|T(X(t_1)...X(t_n))|0>
&=&\frac{1}{Z[0]}\bigg(\frac{\hbar}{i}\bigg)^n\frac{{\delta}^nZ[J]}{{\delta}J(t_1)...\delta J(t_n)}|_{J=0}.
\end{eqnarray}
From this discussion $Z[J]$ is seen to be the vacuum-to-vacuum amplitude in the presence of the source $J(t)$.

Scalar phi-four theory

Next, we consider  a phi-four field theory in a $d-$dimensional Minkowski spacetime. The action is given explicitly by

\begin{eqnarray}
S[\phi]=\int d^dx\bigg[\frac{1}{2}{\partial}_{\mu}\phi{\partial}^{\mu}\phi -\frac{1}{2}m^2{\phi}^2-\frac{\lambda}{4}{\phi}^4\bigg].\label{scalar}
\end{eqnarray}
This is the only renormalizable interacting scalar field theory in $d=4$ dimensions.
By analogy with the case of the point particle the path integral of this scalar field theory is formally given by the formula

\begin{eqnarray}
Z[J]
&=&\int {\cal D}\phi~e^{\frac{i}{\hbar}S[\phi]+\frac{i}{\hbar}\int d^dx J(x)\phi(x)}.
\end{eqnarray}
This path integral is the generating functional of all the matrix elements $<0|T(\Phi(x_1)...\Phi(x_n))|0>$ (also called $n-$point functions).

Indeed, we have
\begin{eqnarray}
<0|T(\Phi(x_1)...\Phi(x_n))|0>
&=&\frac{1}{Z[0]}\bigg(\frac{\hbar}{i}\bigg)^n\frac{{\delta}^nZ[J]}{{\delta}J(x_1)...\delta J(x_n)}|_{J=0}\nonumber\\
&=&\frac{\int {\cal D}\phi~\phi(x_1)...\phi(x_n)~e^{\frac{i}{\hbar}S[\phi]}}{\int {\cal D}\phi~e^{\frac{i}{\hbar}S[\phi]}}.
\end{eqnarray}

Euclidean rotation

Euclidean spacetime is obtained from Minkowski spacetime via the so-called Wick rotation. This is also called the imaginary time formulation which is obtained by the substitutions $t\longrightarrow -i\tau$, $x^0=ct\longrightarrow-ix^d=-ic\tau$, ${\partial}_0\longrightarrow i{\partial}_d$. Hence ${\partial}_{\mu}\phi{\partial}^{\mu}\phi\longrightarrow -({\partial}_{\mu}\phi)^2$ and $iS\longrightarrow -S_E$ where
\begin{eqnarray}
S_E[\phi]=\int d^dx\bigg[\frac{1}{2}({\partial}_{\mu}\phi)^{2} +\frac{1}{2}m^2{\phi}^2+\frac{\lambda}{4}{\phi}^4\bigg].
\end{eqnarray}
The Euclidean path integral and the Euclidean $n-$point functions become
\begin{eqnarray}
Z_E[J]=\int {\cal D}\phi ~e^{-\frac{1}{\hbar}S_E[\phi]+\frac{1}{\hbar}\int d^d x J(x)\phi(x)}.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
<0|T({\Phi}(x_1)...{\Phi}(x_n))|0>_E&=&\frac{\hbar^n}{Z[0]}\frac{{\delta}^nZ_E[J]}{{\delta}J(x_1)...{\delta}J(x_n)}|_{J=0}\nonumber\\
&=&\frac{\int {\cal D}\phi~{\phi}(x_1)...{\phi}(x_n) ~e^{-\frac{1}{\hbar}S_E[\phi]}}{\int {\cal D}\phi ~e^{-\frac{1}{\hbar}S_E[\phi]}}.
\end{eqnarray}

Thermal field theory

In the case of the point particle we have derived the formula (we set $\hbar=1$)

\begin{eqnarray}
<x|e^{-i H(t-t_0)} |x_0>={\cal N}\int {\cal D}x~e^{i S[x]}.
\end{eqnarray}
After Euclidean rotation we obtain

\begin{eqnarray}
<x|e^{-H(\tau-\tau_0)} |x_0>={\cal N}\int {\cal D}x~e^{-S_E[x]}.
\end{eqnarray}
The thermodynamical partition function is given by (we set $k_B=1$, i.e. $\beta=1/T$)
\begin{eqnarray}
Z&=&Tre^{-\beta H}\nonumber\\
&=&\int dx <x|e^{-\beta H} |x>\nonumber\\
&=&{\cal N}\int_{\rm periodic} {\cal D}x~e^{-S_E[x]}.\label{per}
\end{eqnarray}
In other words, we have
 \begin{eqnarray}
\beta=\tau-\tau_0.
\end{eqnarray}
And
\begin{eqnarray}
x\equiv x_0\iff x(\tau_0+\beta)= x(\tau_0).
\end{eqnarray}
Hence, temperature is introduced into quantum field theory by restricting the Euclidean (or imaginary) time to a finite interval $[0,\beta]$ and imposing periodic boundary conditions on the coordinate degrees freedom $x(\tau)$. Indeed, the integration measure in (\ref{per}) is over all closed paths with a time period  equal the inverse temperature while the Euclidean action $S_E$ is given explicitly by 
\begin{eqnarray}
S_E=\int_0^{\beta} d\tau L_E(x,\dot{x}).
\end{eqnarray}

Vector scalar phi-four theory

The vector scalar phi-four theory   is a generalization of the scalar phi-four theory (\ref{scalar}) to an $O(N)-$symmetric theory given by the Euclidean action
\begin{eqnarray}
S[\phi]=-\int d^dx \bigg(\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi^i)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^i\phi^i+\frac{\lambda}{4}(\phi^i\phi^i)^2\bigg).\label{contaction}
\end{eqnarray}

Lattice regularization 

Field-theoretic calculations are made more explicit and more rigorous by working on an Euclidean lattice spacetime. In fact, the Euclidean lattice provides a concrete non-perturbative definition of the theory.


Thus, we will employ lattice regularization in which $x=an$, $\int d^dx =a^d\sum_n$, $\phi^i(x)=\phi_n^i$ and $\partial_{\mu}\phi^i=(\phi_{n+\hat{\mu}}^i-\phi_n^i)/a$.

The lattice action (\ref{contaction}) becomes then
\begin{eqnarray}
S[\phi]&=&\sum_n \bigg(a^{d-2}\sum_{\mu}\phi_n^i\phi_{n+\hat{\mu}}^i-\frac{a^{d-2}}{2}(m^2a^2+2d)\phi_n^i\phi_n^i-\frac{a^d\lambda}{4}(\phi_n^i\phi_n^i)^2\bigg)\nonumber\\
&=&\sum_n\bigg(2\kappa \sum_{\mu}\Phi_n^i\Phi_{n+\hat{\mu}}^i-{\Phi}_n^i\Phi_n^i-g(\Phi_n^i\Phi_n^i-1)^2 \bigg).
\end{eqnarray}
The mass parameter $m^2$ is replaced by the so-called hopping parameter $\kappa$ and the coupling constant $\lambda$ is replaced by the coupling constant $g$ where
\begin{eqnarray}
m^2a^2=\frac{1-2g}{\kappa}-2d~,~\frac{\lambda}{a^{d-4}}=\frac{g}{\kappa^2}.
\end{eqnarray}
The fields $\phi_n^i$ and $\Phi_n^i$ are related by
\begin{eqnarray}
\phi_n^i=\sqrt{\frac{2\kappa}{a^{d-2}}}\Phi_n^i.
\end{eqnarray}
The partition function is given by
\begin{eqnarray}
Z&=&\int \prod_{n,i} d\Phi_n^{i}~e^{S[\phi]}\nonumber\\
&=&\int d\mu(\Phi)~e^{2\kappa\sum_n\sum_{\mu}\Phi_n^i\Phi_{n+\hat{\mu}}^i}.
\end{eqnarray}
The measure $d\mu(\phi)$ is given explicitly  by
\begin{eqnarray}
d\mu(\Phi)&=&\prod_{n,i} d\Phi_n^i ~e^{-\sum_n\big({\Phi}_n^i\Phi_n^i+g(\Phi_n^i\Phi_n^i-1)^2 \big)}\nonumber\\
&=&\prod_n \bigg(d^N\vec{\Phi}_n ~e^{-\vec{\Phi}_n^2-g(\vec\Phi_n^2-1)^2 }\bigg)\nonumber\\
&\equiv &\prod_n d\mu(\Phi_n).
\end{eqnarray}
This is a generalized Ising model. Indeed,  the limit  $g\longrightarrow \infty $ of the $O(1)$ model is precisely the Ising model in $d$ dimensions. The limit $g\longrightarrow \infty $ of the $O(3)$ model corresponds to the Heisenberg model in $d$ dimensions. The $O(N)$ models on the lattice are thus intimately related to spin models.

Matrix scalar field theory


Matrix phi-four theory is a very well known model which depends on a single hermitian matrix $M$ given by the action
\begin{eqnarray}
V&=&B{ Tr} M^2+C{Tr} M^4\nonumber\\
&=&\frac{N}{g}\bigg(-{ Tr} M^2+\frac{1}{4} { Tr} M^4\bigg).\label{quarticM}
\end{eqnarray}

The model depends actually on a single coupling $g$ such that (by scaling the field $M$ as $M\longrightarrow \alpha M$)
\begin{eqnarray}
B\alpha^2=-\frac{N}{g}~,~C\alpha^4=\frac{N}{4g}\Rightarrow B^2=\frac{4NC}{g}.
\end{eqnarray}
The partition function (path integral) is given by


\begin{eqnarray}
Z=\int d M ~e^{-V}.
\end{eqnarray}
We can now diagonalize the scalar matrix $M$ as
\begin{eqnarray}
M=U\Lambda U^{-1}.
\end{eqnarray}

The measure is therefore given by

\begin{eqnarray}
  d  M= d\Lambda dU \Delta^2(\Lambda).
\end{eqnarray}
The $dU$ is the usual Haar measure over the group $SU(N)$ which is normalized such that $\int dU=1$ whereas the Jacobian $\Delta^2(\Lambda)$ is precisely the so-called Vandermonde determinant given explicitly by
\begin{eqnarray}
\Delta^2(\Lambda)= \prod_{i>j}(\lambda_i-\lambda_j)^2.
\end{eqnarray}
The partition function becomes
\begin{eqnarray}
Z=\int d \Lambda~\Delta^2(\Lambda) ~\exp\big(-{ Tr}\big(B{\Lambda}^2+C{\Lambda}^4\big)\big).
\end{eqnarray}
We are therefore dealing with an effective potential given by
\begin{eqnarray}
V_{\rm eff}=B\sum_{i=1}\lambda_i^2+C\sum_{i=1}\lambda_i^4-\frac{1}{2}\sum_{i\neq j}\ln (\lambda_i-\lambda_j)^2.
\end{eqnarray}
In the large $N$ limit we can apply the saddle point method and thus the dominant configuration of eigenvalues $\Lambda=(\lambda_1,...,\lambda_N)$ must be a solution of the equation of motion
\begin{eqnarray}
\frac{dV_{\rm eff}}{d\lambda_i}=0.
\end{eqnarray}
There are two stable phases in this model given in terms of an eigenvalue distribution $\rho(\lambda)$ as follows \cite{Shimamune:1981qf}:
  • Disordered phase (one-cut) for $g\geq g_c$
    This is characterized by the eigenvalues distribution of the matrix $M$ given by

    \begin{eqnarray}
    \rho(\lambda)&=&\frac{1}{N\pi}(2C\lambda^2+B+C\delta^2)\sqrt{\delta^2-\lambda^2}\nonumber\\
    &=&\frac{1}{g\pi}\bigg(\frac{1}{2}\lambda^2-1+r^2\bigg)\sqrt{4r^2-\lambda^2}.\label{pred1}
    \end{eqnarray}
    This is a single cut solution with the cut defined by
    \begin{eqnarray}
    -2r\leq \lambda\leq 2r.
    \end{eqnarray}
    \begin{eqnarray}
    r=\frac{1}{2}\delta.
    \end{eqnarray}
    \begin{eqnarray}
    \delta^2&=&\frac{1}{3C}(-B+\sqrt{B^2+12 NC})=\frac{1}{3}(1+\sqrt{1+3g}).
    \end{eqnarray}

  • Non-uniform ordered phase (two-cut) for $g\le g_c$

    This is characterized by the eigenvalues distribution of the matrix $M$ given by

    \begin{eqnarray}
    \rho(\lambda)&=&\frac{2C|\lambda|}{N\pi}\sqrt{(\lambda^2-\delta_1^2)(\delta_2^2-\lambda^2)}\nonumber\\
    &=&\frac{|\lambda|}{2g\pi}\sqrt{(\lambda^2-r_{-}^2)(r_{+}^2-\lambda^2)}.\label{pred2}
    \end{eqnarray}
    Here there are two cuts defined by
    \begin{eqnarray}
    r_{-}\leq |\lambda|\leq r_{+}.
    \end{eqnarray}
    \begin{eqnarray}
    r_{-}=\delta_1~,~r_{+}=\delta_2.
    \end{eqnarray}
    \begin{eqnarray}
    r_{\mp}^2&=&\frac{1}{2C}(-B\mp 2\sqrt{NC})\nonumber\\
    &=&2(1\mp \sqrt{g}).
    \end{eqnarray}



A third order transition between the above two phases occurs at the critical point
\begin{eqnarray}
g_c=1\leftrightarrow B_c^2=4NC \leftrightarrow B_c=-2\sqrt{NC}.
\end{eqnarray}
The scaled parameters are determined in the large $N$ limit to be given by
\begin{eqnarray}
\tilde{B}=\frac{B}{N^{3/2}}~,~\tilde{C}=\frac{C}{N^2}.
\end{eqnarray}
The critical line in the plane $(x,y)=(\tilde{C},-\tilde{B})$ lies at $-\tilde{B}_c=2\sqrt{\tilde{C}}$. This line for a fixed value of $\tilde{C}$ separates the disordered phase with $\langle M\rangle=0$ for $-\tilde{B}\lt -\tilde{B}_c$ from the non-uniform ordered phase with $\langle M\rangle\ne 0$ for $-\tilde{B}\gt -\tilde{B}_c$.

For $C=0$ (perturbative regime) the eigenvalues distribution should be given by the celebrated  Wigner semi-circle law, viz
 \begin{eqnarray}
\rho(\lambda)&=&\frac{\tilde{B}}{\pi}\sqrt{\delta^2-\lambda^2}~,~\delta^2=\frac{2}{\tilde{B}}.
\end{eqnarray}
We will use the Metropolis  algorithm to study numerically the physics of this model. Under the change $\lambda_i\longrightarrow \lambda_i+h$ of the eigenvalue $\lambda_i$ the above effective potential changes as $V_{\rm eff}\longrightarrow V_{\rm eff}+\Delta V_{i,h}$ where
\begin{eqnarray}
\Delta V_{i,h}=B\Delta S_2+C\Delta S_4+\Delta S_{\rm Vand}.
\end{eqnarray}
The variations $\Delta S_2$, $\Delta S_4$ and $\Delta S_{\rm Vand}$ are given explicitly by
\begin{eqnarray}
\Delta S_2=h^2+2h\lambda_i.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\Delta S_4=6h^2\lambda_i^2+4h\lambda_i^3+4h^3\lambda_i+h^4.
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\Delta S_{\rm Vand}=-2\sum_{j \ne i}\ln|1+\frac{h}{\lambda_i-\lambda_j}|.
\end{eqnarray}
The metropolis accept/reject step is simply given by the transition probability
\begin{eqnarray}
W(\lambda_i\longrightarrow \lambda_i+h)={\rm min}(1,\exp(-\Delta V_{i,h})).
\end{eqnarray}
As a test for our simulations we measure an exact result given by the Schwinger-Dyson identity
\begin{eqnarray}
 \langle 2BTr M^2+4CTrM^4\rangle=N^2.
\end{eqnarray}
We also measure the energy given by the average value of the action $\langle V\rangle$, the specific heat $C_v= \langle(V-\langle V\rangle)^2\rangle$, the magnetization $m=|Tr M|$ and the suceptibility $\chi=\langle(m-\langle m\rangle)^2\rangle$.

The M-(atrix) BFSS theory (or lattice string theory) 

 

The so-called M-(atrix) theory is a matrix quantum mechanics given by the BFSS matrix model  \cite{Banks:1996vh} which admits supergravity in $11$ dimensions as a low energy limit and thus  can provide the UV completion of the $11-$dimensional M-theory which unifies all five superstring theories in $10$ dimensions and provides their non-perturbative formulation.

The degrees of freedom of the BFSS matrix model are:  a hermitian $N\times N$ time-dependent bosonic matrix (representing the gauge field), $d=9$ hermitian $N\times N$  time-dependent bosonic matrices  $\Phi_i$ (representing the coordinates) and $16$ hermitian $N\times N$ time-dependent fermionic  matrices $\psi_{\alpha}$ (in other words $\psi$ is a Majorana-Weyl fermion in $d+1=10$ dimensions implementing supersymmetry). The BFSS action is given explicitly by
\begin{eqnarray}
S=\frac{1}{g^2}\int_0^{\beta}dt{\rm Tr}\bigg[\frac{1}{2}(D_t\Phi_i)^2-\frac{1}{4}[\Phi_i,\Phi_j]^2+\frac{1}{2}\psi_{\alpha}D_t\psi_{\alpha}-\frac{1}{2}\psi_{\alpha}(\gamma_i)_{\alpha\beta}[\Phi_i,\psi_{\beta}]\bigg].\label{BFSS}
\end{eqnarray}
This action arises from the reduction of $10-$dimensional supersymmetric Yang-Mills gauge theory to one dimension and it describes the dynamics of $N$ coincident D0-branes in type IIA string theory. In some precise sense, this action can thus be thought of as a non-perturbative definition of M-theory  hence its alternative name M-(atrix) theory.

The energy of the bosonic truncation of the above BFSS matrix model (\ref{BFSS}) is defined by (where $Z(\beta)$ is the partition function at temperature $T=1/\beta$)
\begin{eqnarray}
E=-\frac{1}{Z(\beta)}\frac{Z(\beta^{'})-Z(\beta)}{\Delta\beta}~,~\Delta\beta=\beta^{'}-\beta\longrightarrow 0.\label{formu}
\end{eqnarray}
We compute immediately \cite{Hotta:1998en}
\begin{eqnarray}
\frac{E}{N^2}=\frac{3T}{N^2}\langle {\rm commu}\rangle~,~{\rm commu}=-\frac{1}{4g^2}\int_{0}^{\beta}dt{Tr}[{\Phi}_i^{},{\Phi}_j^{}]^2.
\end{eqnarray}
The proof goes as follows. We relate the partition functions $Z(\beta^{'})$ and $Z(\beta)$ by the following scalings
\begin{eqnarray}
\frac{t^{\prime}}{t}=\frac{\beta^{'}}{\beta}~,~\frac{A^{\prime}}{A}=\frac{\beta}{\beta^{'}}~,~\frac{\Phi^{\prime}}{\Phi}=\sqrt{\frac{\beta^{'}}{\beta}}.
\end{eqnarray}
This guarantees that the kinetic term is fully invariant. We assume that the measures over $\Phi_i(t)$ and $A(t)$ are also invariant under these scalings. Then from the non-invariance of the Yang-Mills term we can derive the above formula of the energy.

Other important observers (which act as order parameters) are the Polyakov line $\langle |P|\rangle$ and the extent of the space $R^2$ defined below.

At high temperatures the bosonic part of the BFSS quantum mechanics reduces to the bosonic part of the IKKT model \cite{Kawahara:2007ib}. The leading behavior of the various observables of interest at high temperatures can be obtained in terms of the corresponding expectation values in the IKKT model. We get then
\begin{eqnarray}R^2=\sqrt{T}\chi_1.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\langle |P|\rangle=1-\frac{1}{2d}{T}^{-3/2}\chi_1.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\frac{E}{N^2}=\frac{3}{4}{T}\chi_2~,~\chi_2=(d-1)(1-\frac{1}{N^2}).
\end{eqnarray}
The coefficient $\chi_1$ for various $d$ and $N$ can be read off from table $1$ of \cite{Kawahara:2007ib} whereas the coefficient $\chi_2$ was determined exactly from the Schwinger-Dyson equation.

This behavior can be used to calibrate our Monte Carlo simulations at high  temperatures.

The matrix harmonic oscillator




For quenched fermions, low temperatures and large number of dimensions $d\longrightarrow\infty$ the BFSS matrix model is equivalent to a matrix harmonic oscillator problem given by the following simple matrix scalar field theory
\begin{eqnarray}
S[\Phi]=\frac{1}{g^2}\int_0^{\beta} dt Tr\bigg[\frac{1}{2}(\partial_t\Phi_i)^2+\frac{1}{2}m^2(\Phi_i)^2\bigg].\label{ac1}
\end{eqnarray}
The mass $m$ is given by
\begin{eqnarray}
m=d^{1/3}.
\end{eqnarray}
This matrix harmonic oscillator is  a thermal field theory in one dimension and thus $t$ must be  an imaginary time, viz $\tilde{t}=-it$ is the real time. The fields are periodic with period $\beta=1/T$ where $T$ is the Hawking temperature as
\begin{eqnarray}
\Phi_i(t+\beta)=\Phi_i(\beta).
\end{eqnarray}
Of course, we will study the system in the t'Hooft limit given by
 \begin{eqnarray}
\lambda=g^2N.
\end{eqnarray}
There seems to be therefore two independent coupling constants $\lambda$ and $T$. However, $g^2$ can always be rescaled away. By dimensional analysis we find that $\Phi_i$ behaves as inverse length and $\lambda$ as inverse length cubed whereas $T$ behaves as inverse length and as a consequence the dimensionless coupling constant must be given by
 \begin{eqnarray}
\tilde{\lambda}=\frac{\lambda}{T^3}.
\end{eqnarray}
We will choose $\lambda=1$, i.e. $g^2=1/N$.

First, we need to put the action on a lattice. We define $t=(n-1)a$,   $n=1,...,\Lambda$ with $\beta=\Lambda a$. The periodicity  condition becomes $\Phi_i(n+\Lambda)=\Phi_i(n)$.  The time derivative is then given by the difference
\begin{eqnarray}
\partial_t\Phi_i(t)=\frac{\Phi_i(n+1)-\Phi_i(n)}{a}~,~a\longrightarrow 0.
\end{eqnarray}
The lattice action is then given by
\begin{eqnarray}
S=\frac{N}{a}\sum_{n=1}^{\Lambda}{Tr}\bigg[\Phi_i^2(n)-\Phi_i(n+1)\Phi_i(n)+\frac{m^2a^2}{2}\Phi_i^2(n)\bigg].
\end{eqnarray}
The exact variation of this action (due to the variation of the matrix $\Phi_i(n)$) is trivial given by 
\begin{eqnarray}
\Delta S_i(n)= \frac{N}{a}{Tr}\bigg[2(1+\frac{m^2a^2}{2})\Phi_i(n)\delta \Phi_i(n)-(\Phi_i(n+1)+\Phi_i(n-1))\delta\Phi_i(n)+(1+\frac{m^2a^2}{2})\delta\Phi_i^2(n)\bigg].
\end{eqnarray}
We choose the update
\begin{eqnarray}
(\delta\Phi_i(n))_{pq}=h\delta_{pa}\delta_{qb}+h^*\delta_{qa}\delta_{pb}.
\end{eqnarray}
The variation is then given explicitly by
\begin{eqnarray}
\Delta S_i(n)^{ab}=\frac{N}{a}\bigg[4(1+\frac{m^2a^2}{2}){\rm Re}(h^*\phi_i(n))_{ab}-2{\rm Re}(h^*\Phi_i(n+1)+h^*\Phi_i(n-1))_{ab}+(1+\frac{m^2a^2}{2})(2hh^*+(h^2+h^{*2})\delta_{ab})\bigg].
\end{eqnarray}
The metropolis accept/reject step is simply given by the transition probability
\begin{eqnarray}
W((\Phi_i(n))_{ab}\longrightarrow (\Phi_i(n))_{ab}+h)={\rm min}(1,\exp(-\Delta S_{i}(n)^{ab})).
\end{eqnarray}

A one-dimensional gauge field

Interaction of the scalar fields $\Phi_i(t)$ with a one-dimensional U(N) gauge field $A(t)$ is implemented in the usual way through minimal coupling, viz  
\begin{eqnarray}
\partial_t\Phi_i\longrightarrow D_t\Phi_i=\partial_t\Phi_i-i[A,\Phi_i]. \end{eqnarray}
Obviously, the scalar fields $\Phi_i(t)$ transform in the adjoint representation of the gauge group. The action (\ref{ac1}) becomes then
\begin{eqnarray}
S=\frac{1}{g^2}\int_0^{\beta}dt{Tr}\bigg[\frac{1}{2}(D_t\Phi_i)^2+\frac{1}{2}m^2(\Phi_i)^2\bigg].
\end{eqnarray}
The above action is invariant under the $U(N)$ gauge transformations
\begin{eqnarray}
\psi_{\alpha}\longrightarrow U\psi_{\alpha}U^{\dagger}~,~\Phi_i\longrightarrow U\Phi_iU^{\dagger}~,~A\longrightarrow UAU^{\dagger}-\frac{1}{i}U\partial_tU^{\dagger}.
\end{eqnarray}
We will now gauge-fix this symmetry non-perturbatively \cite{Filev:2015hia}.

The gauge field $A$ becomes the link variable
\begin{eqnarray}
U_{n,n+1}={\cal P}\exp(-i\int_{na}^{(n+1)a}dt A(t))=1-iaA(n)+O(a^2)~,~a\longrightarrow 0.\label{link}
\end{eqnarray}
The covariant derivative becomes then
\begin{eqnarray}
\frac{U_{n,n+1}\Phi_i(n+1)U_{n+1,n}-\Phi_i(n)}{a}=D_t\Phi_i~,~a\longrightarrow 0.
\end{eqnarray}
The action becomes given by
\begin{eqnarray}
S=\frac{1}{g^2}\sum_{n=1}^{\Lambda}{ Tr}\bigg[\frac{1}{a}\Phi_i^2(n)-\frac{1}{a}U_{n,n+1}\Phi_i(n+1)U_{n+1,n}\Phi_i(n)+\frac{1}{2}m^2a\Phi_i(n)^2\bigg].
\end{eqnarray}
We have a local $U(N)$ symmetry at each lattice site. We use this symmetry to rotate the link variables as follows
\begin{eqnarray}
&&\Phi^{\prime}_i(1)=\Phi_i(1)\nonumber\\
&&\Phi^{\prime}_i(2)=U_{1,2}\Phi_i(2)U_{1,2}^{\dagger}\nonumber\\
  &&\Phi^{\prime}_i(3)=U_{1,2}U_{2,3}\Phi_i(3)(U_{1,2}U_{2,3})^{\dagger}\nonumber\\
  &&..\nonumber\\
  &&..\nonumber\\
  &&\Phi^{\prime}_i(\Lambda)=U_{1,2}...U_{\Lambda-1,\Lambda}\Phi_i(\Lambda)(U_{1,2}...U_{\Lambda-1,\Lambda})^{\dagger}.
\end{eqnarray}
The action becomes then
\begin{eqnarray}
S=\frac{1}{g^2}\sum_{n=1}^{\Lambda}{ Tr}\bigg[\frac{1}{a}\Phi_i^{\prime 2}(n)+\frac{1}{2}a^2m^2\Phi_i^{\prime 2}(n)\bigg]-\frac{1}{g^2a}\bigg[\sum_{n=1}^{\Lambda-1}{Tr}\Phi_i^{\prime}(n)\Phi_i^{\prime}(n+1)+\Phi_i^{\prime}(\Lambda+1)W^{\dagger}\Phi_i^{\prime}(\Lambda)W\bigg].\nonumber\\
\end{eqnarray}
The matrix $W$ is defined by
\begin{eqnarray}
W=U_{1,2}...U_{\Lambda-1,\Lambda}U_{\Lambda,\Lambda+1}.
\end{eqnarray}
We can diagonalize the matrix $W$ in the usual way as $W=UDU^{\dagger}$  where $D={\rm diag}(\exp(i\theta_1),...,\exp(i\theta_N))$.

The action becomes (with $\tilde{\Phi}_i(n)=U^{\dagger}\Phi_i^{\prime}(n)U$)
\begin{eqnarray}
S=\frac{1}{g^2}\sum_{n=1}^{\Lambda}{Tr}\bigg[\frac{1}{a}\tilde{\Phi}_i^{ 2}(n)+\frac{1}{2}a^2m^2\tilde{\Phi}_i^{ 2}(n)\bigg]-\frac{1}{g^2a}\bigg[\sum_{n=1}^{\Lambda-1}{ Tr}\tilde{\Phi}_i^{}(n)\tilde{\Phi}_i^{}(n+1)+\tilde{\Phi}_i^{}(\Lambda+1)D^{\dagger}\tilde{\Phi}_i^{}(\Lambda)D\bigg].\nonumber\\
\end{eqnarray}
Alternatively, this action can also be rewritten in terms of $D_{\Lambda}=D^{1/\Lambda}$ and $\bar{\Phi}_i(n)=h_n^{\dagger}\tilde{\Phi}_i(n)h_n$, where $h_n=D_{\Lambda}^n$, as
\begin{eqnarray}
S&=&\frac{1}{g^2}\sum_{n=1}^{\Lambda}{ Tr}\bigg[\frac{1}{a}\bar{\Phi}_i^{ 2}(n)+\frac{1}{2}a^2m^2\bar{\Phi}_i^{ 2}(n)\bigg]\nonumber\\
&-&\frac{1}{g^2a}\sum_{n=1}^{\Lambda}{Tr}\bar{\Phi}_i^{}(n)D_{\Lambda}\bar{\Phi}_i^{}(n+1)D_{\Lambda}^{\dagger}.
\end{eqnarray}
The measure $\prod_{i,n}dX_i(n)$ is invariant under all the above unitary transformations. Finally, we reduce the measure over the transporter fields as follows
\begin{eqnarray}
  \prod_{n=1}^{\Lambda}{\cal D}U_{n,n+1}&=&\prod_{n=2}^{\Lambda}{\cal D}U_{n,n+1}{\cal D}U_{1,2}\nonumber\\
  &\sim &\prod_{n=2}^{\Lambda}{\cal D}U_{n,n+1}{\cal D}W\nonumber\\
  &\sim &\prod_{n=2}^{\Lambda}{\cal D}U_{n,n+1}{\cal D}U{\cal D}D\Delta^2(D)\nonumber\\
  &\sim&\prod_{a=1}^Nd\theta_a.\prod_{a>b}|e^{i\theta_a}-e^{i\theta_b}|^2\nonumber\\
  &\sim&\prod_{a=1}^Nd\theta_a.\prod_{a>b}\sin^2\frac{\theta_a-\theta_b}{2}\nonumber\\
  &\sim &\prod_{a=1}^Nd\theta_a.\exp(-S_{\rm FP}).
\end{eqnarray}
The Faddeev-Popov gauge-fixing action is then given explicitly by
\begin{eqnarray}
    S_{\rm FP}=-\frac{1}{2}\sum_{a\ne b}\ln\sin^2\frac{\theta_a-\theta_b}{2}.
\end{eqnarray}

Observables and the variation of the holonomy angles

 

The initial gauge-invariant lattice action is 
\begin{eqnarray}
S=\frac{1}{g^2}\sum_{n=1}^{\Lambda}{ Tr}\bigg[\frac{1}{a}\Phi_i^2(n)-\frac{1}{a}U_{n,n+1}\Phi_i(n+1)U_{n+1,n}\Phi_i(n)+\frac{1}{2}m^2a\Phi_i(n)^2\bigg].\label{BFSS_appr}
\end{eqnarray}
The adopted gauge-fixing condition is effectively the so-called static gauge given by

\begin{eqnarray}
U_{n,n+1}=D_{\Lambda}={\rm diag}(\exp(i\frac{\theta_1}{\Lambda}),...,\exp(i\frac{\theta_N}{\Lambda}))~,~\forall n.
\end{eqnarray}
In terms of the gauge field $A$ this condition reads (by means of equation (\ref{link}))
\begin{eqnarray}
A(t)=-\frac{1}{\beta}{\rm diag}(\theta_1,...,\theta_N).
\end{eqnarray}
In summary, we are interested in the total action
\begin{eqnarray}
S_{\rm total}&=&N\sum_{n=1}^{\Lambda}{ Tr}\bigg[\frac{1}{a}{\Phi}_i^{ 2}(n)+\frac{1}{2}am^2{\Phi}_i^{ 2}(n)\bigg]\nonumber\\
&-&\frac{N}{a}\sum_{n=1}^{\Lambda}{Tr}{\Phi}_i^{}(n)D_{\Lambda}{\Phi}_i^{}(n+1)D_{\Lambda}^{\dagger}-\frac{1}{2}\sum_{a\ne b}\ln\sin^2\frac{\theta_a-\theta_b}{2}.
\end{eqnarray}
Before we discuss the variations of this action we present the most important observables. The Polyakov  line is the order parameter of the Hagedorn transition in string theory and the deconfinment transition in gauge theory which is associated with the spontaneous breakdown of the $U(1)$ symmetry $A(t)\longrightarrow A(t)+C.{\bf 1}$ (see the extensive list of references in \cite{Kawahara:2007fn}). The Polyakov line is defined in terms of the holonomy matrix $U$ by  the relation
\begin{eqnarray}
P=\frac{1}{N}Tr U~,~U={\cal P}\exp(-i\int_0^{\beta} dt A(t)).
\end{eqnarray}
We compute \cite{Kawahara:2007fn}
\begin{eqnarray}
U&=&U_{1,2}U_{2,3}...U_{\Lambda-1,\Lambda}U_{\Lambda,1}=D_{\Lambda}^{\Lambda}={\rm diag}(\exp(i\theta_1),...,\exp(i\theta_N).
\end{eqnarray}
Hence
\begin{eqnarray}
P=\frac{1}{N}\sum_ae^{i\theta_a}.
\end{eqnarray}
Another important observable is the radius (or extent of space or more precisely the extent of the eigenvalue distribution) is  defined by
\begin{eqnarray}
R^2=\frac{a}{\Lambda N^2}\langle {\rm radius}\rangle~,~{\rm radius}=\frac{N}{a}\sum_{n=1}^{\Lambda}{Tr}{\Phi}_i^{2}(n).
\end{eqnarray}
The energy in the present model (\ref{BFSS_appr}) is given effectively by the extent of space. Indeed, we compute (by using the formula (\ref{formu})) for the model (\ref{BFSS_appr}) the energy
\begin{eqnarray}
\frac{E}{N^2}=\frac{a^2Tm^2}{N^{2}}\langle{\rm radius}\rangle=m^2R^2.
\end{eqnarray}
We also measure the eigenvalues distribution of the holonomy matrix $U$ and the eigenvalues distribution of the bosonic matrices $\Phi_i(n)$.


In our present model ($d$ gauged matrix harmonic oscillators) the variation of the bosonic matrices $\Phi_i(n)$ is straightforward (because of the non-zero mass term and the absence of the Yang-Mills term the so-called problem of flat directions does not pose itself here). The variation of the angles $\theta_a$ requires however a careful treatment due to the center of mass $\theta_{\rm cm}=\sum_{a=1}^N\theta_a/N$ which does not appear in the action and behaves as a random walker.

We compute as before the variation under the change (for example for $a\neq b$)
\begin{eqnarray}
(\Phi_i(n))_{ab}\longrightarrow (\Phi_i(n))_{ab}+h
\end{eqnarray}
to find the result
\begin{eqnarray}
\Delta S_{{\rm total}~i}(n)^{ab}=\frac{N}{a}\bigg[4(1+\frac{m^2a^2}{2}){\rm Re}(h^*\phi_i(n))_{ab}-2{\rm Re}(f^*\Phi_i(n+1)+g^*\Phi_i(n-1))_{ab}+(1+\frac{m^2a^2}{2})(2hh^*+(h^2+h^{*2})\delta_{ab})\bigg]
\end{eqnarray}
where $f^*$ and $g^*$ are given by
\begin{eqnarray}
f^*=h^*\exp(\frac{i}{\Lambda}(\theta_a-\theta_b))~,~g^*=h^*\exp(-\frac{i}{\Lambda}(\theta_a-\theta_b))
\end{eqnarray}
But there is also the variation under the change of the angle $\theta_c$ of the holonomy matrix, viz
\begin{eqnarray}
\theta_c\longrightarrow\theta_c^{\prime}=\theta_c+\alpha.\label{theta_var}
\end{eqnarray}
The relevant action here is given by
\begin{eqnarray}
S(\theta)&=&-\frac{N}{a}\sum_{n=1}^{\Lambda}\sum_{a,b}e^{-\frac{i}{\Lambda}(\theta_a-\theta_b)}({\Phi}_i(n))_{ab}({\Phi}_i(n+1))_{ba}\nonumber\\
&-&\frac{1}{2}\sum_{a\ne b}\ln\sin^2\frac{\theta_a-\theta_b}{2}.
\end{eqnarray}
The variation of this action is given explicitly by
\begin{eqnarray}
\Delta S_c(\theta)&=&-\frac{2N}{a}{\rm Re}\bigg(\sum_{n=1}^{\Lambda}\sum_{a\ne c}e^{\frac{i}{\Lambda}(\theta_a-\theta_c)}(e^{-i\frac{\alpha}{\Lambda}}-1)({\Phi}_i(n+1))_{ac}({\Phi}_i(n))_{ca}\bigg)\nonumber\\
&-&\sum_{a\ne c}\ln\sin^2\frac{\theta_a-\theta_c-\alpha}{2}+\sum_{a\ne c}\ln\sin^2\frac{\theta_a-\theta_c}{2}.
\end{eqnarray}
An extremely important remark is now in order. The action $S(\theta)$ does not depend on the center of mass $\theta_{\rm cm}=\sum_{a=1}^N\theta_a/N$.  Indeed, the functional integration over $\theta_a$ is (almost) identical to the functional integration over $\tilde{\theta}_a=\theta_a-\theta_{\rm cm}$ which satisfies $\sum_{a}\tilde{\theta}_a=0$.

Furthermore, by means of the $U(1)$ gauge transformation $A(t)\longrightarrow A(t) +C .{\bf 1}$ (a large gauge transformation with a non-zero winding number) we can choose the static gauge $A(t)=-{\rm diag}(\theta_1,...,\theta_N)/\beta$ in such a way that (see for example \cite{Anagnostopoulos:2007fw})
\begin{eqnarray}
{\rm max}(\tilde{\theta}_a)-{\rm min}(\tilde{\theta}_a)\lt 2\pi.
 \end{eqnarray}
 We have then explicitly
\begin{eqnarray}
\int d\theta F(\Delta\theta)=\int d\tilde{\theta}\delta(\sum_a\tilde{\theta}_a)F(\Delta\tilde{\theta})\int d\theta_{\rm cm}.
\end{eqnarray}
Since $\theta=\tilde{\theta}+\theta_{\rm cm}$ and $-\pi\lt \theta\le +\pi$ while $ {\rm min}(\tilde{\theta}_a)\le\tilde{\theta}\le {\rm max}(\tilde{\theta}_a)$ we conclude immediately that the center of mass $\theta_{\rm cm}$ must be in the interval $]-\pi-{\rm max}(\tilde{\theta}_a),\pi-{\rm min}(\tilde{\theta}_a)]$. Hence the above integral becomes (with $\mu={\rm max}(\tilde{\theta}_a)-{\rm min}(\tilde{\theta}_a)$)
\begin{eqnarray}
\int d\theta F(\Delta\theta)=\int d\tilde{\theta}\delta(\sum_a\tilde{\theta}_a)F(\Delta\tilde{\theta})(2\pi+\mu).
\end{eqnarray}
Clearly, this is true as long as $\mu\le 2\pi$ while for $\mu\gt 2\pi$ the additional Boltzmann weight is identically zero. We have then the extra  Boltzmann weight \cite{code_Hanada}
\begin{eqnarray}
&&w(\mu)=2\pi+\mu~,~\mu\le 2\pi\nonumber\\
&&w(\mu)=0~,~\mu\gt 2\pi.
\end{eqnarray}
In other words, we can replace the functional integration over $\theta_a$ with the functional integration over $\tilde{\theta}_a$ with an additional Boltzmann weight $w(\mu)$.

Thus, the variation (\ref{theta_var}) should be thought of as $\tilde{\theta}_c\longrightarrow \theta_c^{\prime}=\tilde{\theta}_c+\alpha$ where  $\alpha$ is uniformly distributed in the range $]-\pi-{\rm max}(\tilde{\theta}_a),\pi-{\rm min}(\tilde{\theta}_a)]$.



Phase structure

https://badisydri.blogspot.com/2020/01/phases-of-gauge-theory-in-lower.html

 References

%\cite{Shimamune:1981qf}
\bibitem{Shimamune:1981qf}
Y.~Shimamune,
``On the Phase Structure of Large $N$ Matrix Models and Gauge Models,''
Phys.\ Lett.\ {\bf 108B}, 407 (1982).
doi:10.1016/0370-2693(82)91223-0
%%CITATION = doi:10.1016/0370-2693(82)91223-0;%%
%47 citations counted in INSPIRE as of 09 Dec 2019

%\cite{Banks:1996vh}
\bibitem{Banks:1996vh}
T.~Banks, W.~Fischler, S.~H.~Shenker and L.~Susskind,
``M theory as a matrix model: A Conjecture,''
Phys.\ Rev.\ D {\bf 55}, 5112 (1997) doi:10.1103/PhysRevD.55.5112
  [hep-th/9610043].
  %%CITATION = doi:10.1103/PhysRevD.55.5112;%% %2782 citations counted in INSPIRE as of 02 Oct 2019

%\cite{Kawahara:2007fn}
\bibitem{Kawahara:2007fn}
  N.~Kawahara, J.~Nishimura and S.~Takeuchi,
  ``Phase structure of matrix quantum mechanics at finite temperature,''
  JHEP {\bf 0710}, 097 (2007)
  doi:10.1088/1126-6708/2007/10/097
  [arXiv:0706.3517 [hep-th]].c
  %%CITATION = doi:10.1088/1126-6708/2007/10/097;%%
  %37 citations counted in INSPIRE as of 26 Apr 2017

%\cite{Filev:2015hia}
\bibitem{Filev:2015hia}
  V.~G.~Filev and D.~O'Connor,
  ``The BFSS model on the lattice,''
  JHEP {\bf 1605} (2016) 167
  doi:10.1007/JHEP05(2016)167
  [arXiv:1506.01366 [hep-th]].c
  %%CITATION = doi:10.1007/JHEP05(2016)167;%%
  %14 citations counted in INSPIRE as of 25 Dec 2016


%\cite{Anagnostopoulos:2007fw}\bibitem{Anagnostopoulos:2007fw}
K.~N.~Anagnostopoulos, M.~Hanada, J.~Nishimura and S.~Takeuchi,
``Monte Carlo studies of supersymmetric matrix quantum mechanics with sixteen supercharges at finite temperature,''
Phys.\ Rev.\ Lett.\ {\bf 100}, 021601 (2008)
doi:10.1103/PhysRevLett.100.021601
[arXiv:0707.4454 [hep-th]].
%%CITATION = doi:10.1103/PhysRevLett.100.021601;%%
%171 citations counted in INSPIRE as of 20 Dec 2019

%\cite{code_Hanada}
\bibitem{code_Hanada}
Masanori Hanada, ``Users’ Manual of Monte Carlo Code for the Matrix Model of M-theory'', https://sites.google.com/site/hanadamasanori/home/mmmm.

%\cite{Kawahara:2007ib}\bibitem{Kawahara:2007ib}
N.~Kawahara, J.~Nishimura and S.~Takeuchi,
``High temperature expansion in supersymmetric matrix quantum mechanics,''
JHEP {\bf 0712}, 103 (2007)
doi:10.1088/1126-6708/2007/12/103
[arXiv:0710.2188 [hep-th]].
%%CITATION = doi:10.1088/1126-6708/2007/12/103;%%
%41 citations counted in INSPIRE as of 28 Dec 2019