LATEX

محاضرات نظرية الحقل الكمومى 2018-2019

هذه المحاضرات هى مستوى سنة اولى ماجيستير تخصصات الفيزياء النظرية, الفيزياء الرياضية و فيزياء الجسيمات الاولية. كل محاضرة مصورة هى فى الحقيقة خلاصة حوالى ثلاثة محاضرات سابقة فكثير من البراهين و النتائج تستهلك وقتا اطول من الساعة طول المحاضرة المصورة.

 

المحاضرة الاولى: زمرة الدوران SO(3) و جبرية ليه الخاصة بها so(3). 


أول المحاضرات المصورة لهذا العام فى نظرية الحقل الكمومى.
الموضوع الأول يخص زمرة الدورانات فى الفضاء الثلاثى, جبرية ليه Lie algebra المولدة لها, و تمثيلاتهما their representations.
سأشرح ايضا بعض الامور التى تخص الزمر و الفضاءات الشعاعية و لازمة شور Shur lemma التى تقع فى اساس نظرية التمثيلات representation theory كلها.
الأساس المتين الصحيح للميكانيك الكمومى و لنظرية الحقل الكمومى هى التناظرات و اساس كل التناظرات هو التناظر الدورانى. اذن الهدف هو الضبط الرياضى لهذا المفهوم الفيزيائى.

المحاضرة الثانية: معادلة ديراك

معادلة ديراك Dirac و مقارنتها بمعادلة كلاين-غوردن Klein-Gordon (بالنسبة لديراك الاحتمال موجب و دالة الموجة هى سبينور spinor تتشكل من اربعة مركبات). ايضا اعطاء حلول معادلة ديراك الموجبة (الالكترون electron) و حلولها السالبة (البوزيترون positron). ثم البرهان على صمودها invariance تحت تأثير تحويلات لورنتز Lorents transformation الذى يبين بدقة ماهية السبينور.

المحاضرة الثالثة: زمرة لورنتز

https://www.youtube.com/watch?v=pEgDV89Ud3I
تحويلات لورنتز (الدورانات rotations و الدفوعات boosts) تشكل زمرة تناظرات محفوظة تماما فى الطبيعة. وهى أول زمر تناظر نظرية الحقل الكمومى. نبين ان جبرية ليه Lie algebra المولدة لهذه الزمرة والتى يرمز لها ب so(1,3) هى عبارة عن الجمع المباشر direct sum لزمرتى دوران so(3). اذن تمثيلات representations هذه الزمرة بمصفوفات منتهية البعد هى مميزة بعددين كموميين للسبين (عزم اللف) j و k و نكتب هذه التمثيلة (j,k). هذه التمثيلات هى تمثيلات غير قابلة للاختزال irreducible representations.
أمثلة:
الحقل السلمى scalar field لكلاين Klein و غوردن Gordon هو فى الحقيقة التمثيلة (0,0).
الحقل السبينورى spinor field لديراك Dirac هو فى الحقيقة تمثيلة قابلة للاختزال reducible representation تعطى بالتمثيلة (0,1/2)+(1/2,0).
الحقل الشعاعى vector field لماكسويل Maxwell و حقول كل القوى الكونية الاخرى هم فى الحقيقة التمثيلة (1/2,1/2).
وهكذا.


المحاضرة الرابعة: الصياغتان اللاغرانجية و الهاميلتونية للميكانيك الكلاسيكى

https://www.youtube.com/watch?v=yAkKlsbBuG8&feature=youtu.be
نُذكر فى هذه المحاضرة بأهم نتائج الميكانيك الكلاسيكى:
- معادلات اولر-لاغرانج Euler-Lagrange equations.
-مبدأ الفعل الأصغرى لهاميلتون Hamilton's principle of least action.
-معادلات هاميلتون.
-التحويلات القانونية canonical transformations.
-الزمرة السمبليكتية symplectic group.
-اقواس بواسون Poisson brackets.
-معادلة هاميلتون-جاكوبى Hamilton-Jacobi equations.
كل هذه الامور هى صياغات مختلفة للميكانيك الكلاسيكى تتعدى قوانين نيوتن و مبدأ العمل الافتراضى لدالمبارت D'Alembert principle of virtual work و بالتالى فهى تصف كل الجمل الديناميكية و ليس فقط الجمل الميكانيكية.
لكنها كلها صياغات متكافئة.
لكن اساس كل هذه الصياغات يبقى بدون منازع صياغة لاغرانج المختزلة فى معادلات اولر و لاغرانج و صياغة هاميلتون المختزلة فى معادلات هاميلتون.
العلاقة بين صياغة لاغرانج و صياغة هاميلتون هو تحويل لوجوندر Legendre transform.
الانتقال الى الميكانيك الكمومى يتم انطلاقا من اقواس بواسون المؤثرة فى فضاء الطور phase space التى تصبح مبدلات commutators مؤثرة فى فضاء هيلبرت Hilbert space. نحصل بالضبط على معادلة هايزنبرغ المكافئة لمعادلة شرودينغر. هذا ما يسمى بالتكميم القانونى canonical quantization. اما معادلة شرودينغر فنحصل عليها مباشرة من معادلة هاميلتون و جاكوبى.


المحاضرة الخامسة: التكميم القانونى للحقل السلمى لكلاين و غوردن


https://www.youtube.com/watch?v=onXkE_Szq9g&feature=youtu.be
نُفصل التكميم القانونى canonical quantization للحقل السلمى scalar field الحقيقى ل كلاين Klein و غوردن Gordan الذى يصف جسم ذى عزم لف او سبين 0 و كتلة m و شحنة صفر. اذن نبنى صراحة حالة الفراغ الكمومى quantum vacuum state و فضاء هيلبرت Hilbert space للحالات الجسيمية و طيف الهاميلتونية Hamiltonian اى الطاقات.

المحاضرة السادسة: منتشر فايمان للحقل السلمى

https://www.youtube.com/watch?v=OHKLHc75l1w&feature=youtu.be
نقدم البرهان التفصيلى لمنتشر فايمان Feynman propagator الذى نرمز له ب D_F(x-y) للحقل السلمى الحقيقى ل كلاين و غوردن الذى يحسب بشكل يحترم السببية -اى يحترم بنية المخروط-الضوئى light-cone structure للفضاء-زمن- احتمال الانتشار الحر free propagation لجسيم سلمى scalar particle ذى سبين 0 و كتلة m و شحنة 0 من النقطة y فى الفضاء-زمن الى النقطة x فى الفضاء-زمن.


المحاضرة السابعة: التكميم القانونى لحقل ديراك

https://www.youtube.com/watch?v=6lg7wSSrn4g&feature=youtu.be
انطلاقا من معادلة ديراك نحسب لاغرانجية ديراك Dirac Lagrangian و الحقل المرافق conjugate field ثم نحسب هاميلتونية ديراك Dirac Hamiltonian عبر تحويل لوجوندر Legendre transform. بعد ذلك نكتب الحل العام لمعادلة ديراك بدلالة انماط فوريه Fourier modes و نعوض به فى الهاميلتونية.
التكميم القانونى يتم بافتراض ان حقل ديراك و الحقل المرافق له و الهاميلتونية هى مؤثرات operators على فضاء هيلبرت Hilbert space.
نفرض ان حقل ديراك و الحقل المرافق له يحققان قاعدة تكميم ديراك Dirac quantization rule التى تعطى فى هذه الحالة بدلالة المبدلات-الضدية anti-commutators و ليس بدلالة المبدلات commutators كما فى حالة الحقل السلمى لان حقل ديراك هو حقل يقابل جسيم بعزم لف يساوى نصف وبالتالى فانه يحقق احضائية فرمى-ديراك Fermi-Dirac statistics.
نبنى بعد ذلك الحالة الفراغية vacuum state و حالات الجسيم-الواحد one-particle states صراحة و نحسب الطاقة التى تظهر على شكل مجموع حدين الاول على الجسيمات particles و الثانى على الجسيمات المضادة anti-particles.


المحاضرة الثامنة: منتشر فايمان لحقل ديراك الحر


https://www.youtube.com/watch?v=E-Did_65aB8&feature=youtu.be 
نحسب منتشر فايمان Feynman propagator لحقل ديراك الحر free Dirac field  الذى يحسب احتمال الانتشار بين نقطتين فى الفضاء-زمن. فى المحصلة يمكننا ان نعبر عن هذا المنشر بتكامل فى المستوى المركب بحيث ان القطب الموجب (الطاقة الموجبة) الذى يقع فى النصف الادنى من المستوى المركب هو فقط الذى يشارك من اجل الازمان المتأخرة retarded عندما نستعمل مبرهنة المتبقيات residue theorem  بينما القطب السالب (الطاقة السالية) الذى يقع فى النصف الاعلى من المستوى المركب  هو الذى يشارك من اجل الازمان المتقدمة.

المحاضرة التاسعة: المصفوفة S و مبرهنة ويك

https://www.youtube.com/watch?v=k0v4Pz6xw9g&feature=youtu.be&fbclid=IwAR2VIdufOSA1r6_E 
نعتبر حالة الحقل السلمى الخاضع الى قوة خارجية كمثال على اول نظرية حقل متفاعلة interacting field theory.
نعرف صورة هايزنبرغ Heisenberg picture (اين يطبق التكميم القانونى canonical quantization) و صورة شرودينغر Schrodinger picture (اين تعرف معادلة شرودنيغر العادية) و صورة التفاعل interacting picture التى تسمى ايضا صورة ديراك (اين تعرف مصفوفة التصادم) و العلاقة بينهم تعطى بدلالة مؤثرات التطور evolution operators.
مصفوفة التصادم scattering matrix التى يرمز لها ب S تحسب بكل بساطة طويلة احتمال التصادم تحت تأثير التفاعل (هنا القوة الخارجية) الذى يأخذنا من اى حالة ابتدائية in (تعبر عن جسيمات واردة على الهدف) الى اى حالة نهائية out (تعبر عن الجسيمات التى تصادمت مع الهدف ثم ابتعدت).
اذن الهدف فى كل نظرية الحقل هو حساب مصفوفة التصادم الذى يستعمل بعد ذلك فى حساب المفاطع التفاضلية الفعالة differential cross sections التى تقاس فى مسرعات الجسيمات الاولية.
فى الخطوة الاولى من هذه المحاضرة نبين ان مصفوفة التصادم تساوى بالضبط قيمة مؤثر التطور فى المستقبل البعيد اى الزمن يساوى زائد مالانهاية. هذه المصفوفة لا تتعلق الا ب لاغرانجية التفاعل interacting lagrangian مكتوبة بدلالة الحقول الحرة in فى الماضى البعيد اى الحقول محسوبة فى الزمن يساوى ناقص مالانهاية.
نحسب بشكل صريح مصفوفة التصادم بالنسبة للحقل السلمى الخاضع لقوة خارجية و نبين انه يتعلق على منتشر فايمان الحر free Feynman propagator بشكل اساسى.
باستعمال هذه النتيجة الاخيرة نبرهن على مبرهنة ويك Wick's theorem و هى اشهر مبرهنات نظرية الحقل الكمومى قاطبة و هى التى تسمح لنا بحساب -وبشكل سهل جدا- دوال غرين Green's functions من الرتبة n (وهى الدوال التى تدخل فى حساب المقاطع التفاضيلة الفعالة) بدلالة جداءات منتشرات فايمان (و تذكروا منتشر فايمان هو دالة غرين من الرتبة 2).
اذن كما ترون فان منتشر فايمان "الحر" -لا يوجد تفاعل بعد- يدخل فى كل مكان فى نظرية تصادم الحقل "المتفاعل" وهذا من معجزات!! اذا صح التعبير نظرية الحقول.


 

المحاضرة 10: قواعد فايمان و مخططات فايمان للنظرية فاي-أربعة


https://www.youtube.com/watch?v=wnaJK0K6my8
و قد كتبت شرحا وافيا بالعربية لهذه المحاضرة و عند آخر جملة انقطع التيار فضاع كل شيء!

كتابى الخامس فى نظرية الحقل الكمومى


تم اليوم بحول الله سبحانه و تعالى و فضله دفع كتابى الخامس الى الناشر فى صورته النهائية وهو سيظهر شهر افريل 2019 حسب ماهو مبرمج وهذا مع الناشر البريطانى العريق المتخصص ال IOP.
هذا الكتاب يخص نظرية الحقل الكمومى وهو فى 1019 صفحة سيصدر فى جزئين و قد استهلك منى وقتا و جهدا لا يعلمه الا الله سبحانه و تعالى و تضحيات نفسية و شخصية و علمية جمة.
وقبل ان اصل الى انهاءه بحول الله -وليس بأى حول منى- فاننى قد مررت بلحظات يأس قاتل و شك مدمر فى كل شيء و فى اى شيء يخص الفيزياء و يخصنى و يخص الجدوى و الهدف مما نقوم به فى الفيزياء و فى الحياة و فى الوجود.
لكن رغم كل ذلك اليأس و الشك اللذين مررت بهما مرات كثيرة جدا فان الله اراد لى ان أُكمل هذا الكتاب فأكملته وهى فى الحقيقة كانت تجربة صعبة جدا -لم تكن سعيدة ابدا فى كثير من مراحلها خاصة المراحل الاولى منذ سنوات كثيرة جدا عندما كان الفهم صعبا جدا غير هين, ثم فى السنوات المتوسطة عندما ابتدأت تدريس المادة و كتابة المادة الاساسية بشكل ممنهج أكبر, ثم اخيرا فى السنتين الاخيرتين عندما اضطررت بعد الارتباط بالعقد الى انهاءه تحت ضغط الآجال و التضحية كما ذكرت من اجل ذلك باشياء كثيرة.
هذا الكتاب هو الخامس و به أكملت مشروعا قديما لى فى الكتابة فى كل موضوع أساسى فى الفيزياء النظرية. الكتب الاربعة الاخرى تخص النسبية العامة و الثقوب السوداء, الفيزياء العددية, النماذج المصفوفية لنظرية الوتر, و نظرية الهندسة غير-التبديلية.
فى هذا الكتاب نركز من الناحية الفيزيائية كثيرا على مبادئ التناظر و من الناحية الرياضية على معادلة زمرة اعادة التنظيم (3 فصول مستقلة حول هذه المعادلة) و هو اول كتاب-حسب علمى- فى نظرية الحقل يتناول مثلا الثنائية الثقالية/المعيارية (آخر فصل) من وجهة النظر الحقلية المحضة.
نتناول ايضا فى هذا الكتاب التناظر الممتاز, الحقول الطوبولوجية, الحقل غير-التبديلى و نظرية الحقل على الشبكة و النموذج القياسى للجسيمات الاولية و الظواهر الحرجة بالاضافة الى كل نظريات الحقل العادية التى تُدرس غالبا فى المدارس.
أود ان اشكر هنا ناشرى جون نافاس من ال IOP الذى تلقفنى و ساعدنى على نشر ثلاثة من هذا الكتب فهى ثقة وضعها ان شاء الله فى محلها و ارجوا ان اكون قد اديت حقها.
اود ايضا ان اشكر اساتذتى فى الميكانيك الكمومى و نظرية الحقل الكمومى الذين تركوا بصمتهم على فهمى لهذا العلم العظيم الصعب و اذكر بالخصوص الاستاذ دغمان من عنابة و الاستاذ شتوانى و الاستاذ قشى من قسنطينة و النيوزيلندى الاستاذ ستراسدى و الايرانى الاستاذ رانجبار فى ايطاليا و الهندى الاستاذ بالاشاندران فى امريكا و الايرلندى الاستاذ اوكونور فى ايرلندا.

النظريات الفيزيائية الاساسية

النظريات الفيزيائية الأساسية هى نظريات تُحقق الطريقة العلمية بامتياز -اى أنها ناجحة تجريبيا فى كل او كثير من توقعاتها- و تحقق ايضا الطريقة الرياضية بامتياز لانها تقدم صياغة رياضية واضحة لظواهر طبيعية أوضح.
هذه النظريات الفيزيائية الاساسية هى نظريات قابلة للتكذيب الرياضى (العقلى) و للتكذيب الفيزيائى (الحسى) و ليست علبة سوداء ميتافيزيقية غيبية او فلسفية يصعب التحقق من مكوناتها الداخلية او التحقق من كيفية عملها الخارجى.
ومما نعرف اليوم فان النظريات الفيزيائية الاساسية التى تحقق هذه الشروط هى كلها نظريات حقل وهذا يعنى انها:
اولا نظريات نسبية اى منسجمة مع النسبية الخاصة.
ثانيا نظريات كمومية اى منسجمة مع الميكانيك الكمومى.
ثالثا نظريات احادية اى تحترم انحفاظ المعلومات.
رابعا نظريات سببية اى انها تحترم مبدأ السببية.
خامسا هى نظريات موضعية (عموما) اى ان كل التفاعلات هى تفاعلات تقع فى نقطة معينة من الفضاء لا يمكن لتأثيرها ان ينتشر بسرعة أكبر من سرعة الضوء.
سادسا هى نظريات حقل اى ان متغيراتها الاساسية هى حقول و ليست جسيمات.
سابعا هى نظريات جسيمية اى ان الحقول فى الاخير تصف فى طيفها جسيمات و ليس شيئا آخر كالاوتار مثلا.
ثامنا هى نظريات تناظر بالاساس. و بالخصوص التناظر الموضعى المعيارى الذى يتحكم فى كل القوى الكونية.
تاسعا هى نظريات واقعية لا يلعب فيها ما يسمى الوعى اى دور (عموما).
عاشرا هى نظريات قابلة للتنظيم. وهذا هو موضوع هذا المنشور فى الحقيقة.
واعادة التنظيم renormalizability تعنى باختصار شديد ان هذه النظريات رياضيا خالية من التناقضات و انها رياضيات بحتة لكنها تتمتع بقوة التنبؤ predictive power التجريبى بشكل مذهل.
فى الوريقات الموضوعة للتحميل اشرح باقتضاب شديد مبرهنات اعادة التنظيم الخمس الاساسية فى نظرية الحقول الاضطرابية كما يشرحها زينجوستان Zinn-Justin فى كتابه الضخم (1500 صفحة) بالضبط.
هذه المبرهنات تحدد الشروط متى و كيف لنظرية حقل فيزيائى عامة ان تكون قابلة للتنظيم او غير قابلة للتنظيم او قابلة للتنظيم بشكل ممتاز.
هذا نص محاضرة قديمة ألقيت منذ حوالى عشرة سنوات وهو موضوع يحتاج الى خلفية غير هينة فى نظرية الحقول.
لكن الخلاصة التى فى هذه الوريقات اعتقد انه يصعب ايجادها فى اى مكان واحد بهذا القدر من التبسيط.

سؤال: ماهو المعنى الفيزيائى للصمود?


الكل ربما يعرف ان سرعة الضوء هى ثابتة بالنسبة لجميع المعالم العطالية. و المعلم العطالى هو أى مشاهد أو ملاحظ او راصد يتحرك بسرعة منتظمة (بالنسة لمعلم مطلق افتراضى).
نقول ان سرعة الضوء هى صامدة invariant تحت تاثير الحركة المنتطمة.
والحركة المنتطمة -لمن يتعمق قليلا فى النسبية الحاصة سيكتشف- هى تحويلات لورنتز الخاصة sepcial Lorentz transformations.
لكن بالاضافة الى تحويلات لورنتز الخاصة او ما يسمى ايضا الدفوعات boosts يوجد هناك دورانات فى الفضاء العادى و انسحابات فى الفضاء-زمن.
هذه الثلاثة -الدفوعات و الدورانات و الانسحابات- تشكل زمرة تناظر أساسية فى الفيزياء و الطبيعة تسمى زمرة بوانكريه Poincare group و هى تعبر عن تناظر مضبوط فى الكون لا يعرف له اى انكسار -اى استثناء-..
لكن ليست سرعة الضوء فقط هى الصامدة تحت تأثير تحويلات لورنتز و الدورانات و الانسحابات بل هناك اشياء اخرى كثيرة مثلا الكتلة مثلا عزم اللف و ربما اهمها مقياس الطول فى الفضاء الذى هو صامد تحت تأثير الدورانات و مقياس الطول فى الفضاء-زمن الذى هو صامد تحت تأثير تحويلات لورنتز..
اذن الطول بين اى نقطتين فى الفضاء او الفضاء-زمن هو مقدار صامد اى ثابت يأخذ نفس القيمة بالنسبة لجميع المعالم المرتبطة ببعضها البعض يتحويلات لورنتز او دورانات او انسحابات.
اذن رغم ان راصد معين سيرى النقاط متموضعة بشكل مختلف فى الفضاء او الفضاء-زمن بالمقارنة مع مايراه راصد آخر الا ان المسافة بين النقاط التى يراها هذان الراصدان هى نفسها.
ومفهوم اكثر مرونة من "الصمود invariance" هو "الصمود الشكلى covariance" الذى يعنى ان قانون فيزيائى معين -مثلا معادلة ديراك او معادلة ماكسويل- رغم انه يتغير بالنسبة للمعالم المختلفة المرتبطة ببعضها البعض بالتحويلات النقطية المعطاة بالدورانات و تحويلات لورنتز و الانسحابات الا انه يحافظ على شكله. فالاحداثيات و الدوال الموجية و غيرها تتغير عند التأثير بهذه التحويلات النقطية على المعلم الراصد الا ان شكل المعادلة يبقى نفسه.