LATEX

فضاء هيلبرت

الجملة الفيزيائية-اى جملة- نحتاج ان نعرف ماهى حالتها.
الحالة-حالة الجملة الفيزيائية- هى نقطة فى فضاء يسمى فضاء هيلبرت Hilbert space.
لكن ماهو فضاء هليبرت الذى يعتمد عليه كل الميكانيك الكمومى و كل نظرية الحقول الكمومية التى توصل اليهما الانسان الغربى فى بحثه عن ماهية الواقع و محاولة فهمه لتلك الماهية كما هى و ليس كما نريدها ان تكون -او كما قال نيتشه-?
اذن هذا منشور رياضى اكثر منه فيزيائى رغم انه فيزيائى بامتياز.
اولا فضاء هيلبرت هو فضاء شعاعى مثل الفضاء الاقليدى Euclidean space الثلاثى الذى نعيش فيه الذى هو من الناحية الرياضية فضاء شعاعى.
لهذا فان حالة الجملة التى قلنا عنها اعلاه انها نقطة فى فضاء هيلبرت هى فى الحقيقة شعاع فى هذا الفضاء و لهذا فان حالة الجملة الفيزيائية تسمى رسميا شعاع الحالة state vector..
وفضاء هيلبرت رغم انه يشبه الفضاء الاقليدى الثلاثى الذى نعيش فيه الا انه يختلف عنه فى امرين مهمين:
هو ليس ثلاثى الابعاد بل قد يكون عدد ابعاده لا نهائى و قد تكون الابعاد مستمرة continuous و ليست متقطعة discrete مثل تلك التى فى الفضاء الاقليدى الثلاثى الذى يحتوى على الابعاد x و y و z. هذا الفرق الاول.
اما الفرق الثانى فهو خاصية ان فضاء هيلبرت هو فضاء مركب complex و ليس فضاء حقيقى real مثل الفضاء الاقليدى الثلاثى. اذن مركبات اى شعاع فى فضاء هيلبرت هى اعداد مركبة -وهذا هو سر كل السحر الكمومى-.
ولهذا فان شعاع حالة الجملة -الذى يصبح فى احدى تمثيلاته دالة الموجة wave function- هو شعاع مركب. ولهذا ايضا فان دالة الموجة لا تحسب الاحتمال لكنها فى الحقيقة تحسب سعة الاحتمال probability amplitude...
اما الاحتمال نفسه فنحصل عليه باخذ مربع طويلة norm شعاع الحالة.
ثانيا فضاء هيلبرت هو فضاء مترى metric space اى اننا يمكن ان نٌعرف عليه مفهوم المسافة او البعد بين الاشعة انطلاقا من مفهوم الطويلة الذى هو مُعرف اعتمادا على مفهوم الجداء السلمى او الداخلى inner product الموجود بين الاشعة.
فالجداء السلمى بين الاشعة يعرف على فضاء هيلبرت بنفس الطريقة التى يعرف بها الجداء السلمى بين الاشعة فى الفضاء الاقليدى الثلاثى.
هذا الجداء السمى هو الذى يسمح لنا بتعريف مفهوم الطويلة ثم مفهوم المسافة بين الاشعة.
الخواص الرياضية التى يحققها هذا الجداء السلمى موجودة فى الصورة الاولى.
ثالثا فضاء هيلبرت هو اذن فضاء شعاعى مترى.
لكن فضاء هيلبرت اكثر من هذا -وهذا ما يجعله فعلا هيلبرت و ليس شيئا آخر- هو فضاء تام complete space أو فضاء كوشى Cauchy space و هذا يعنى بكل عفوية ان هذا الفضاء لا يحتوى على فراغات.
من الناحية الرياضية فان الفضاء التام هو الفضاء الذى لو كانت فيه سلسلة series -مشكلة من اشعة فى الفضاء- متقاربة مطلقا absolutely convergent فانها بالضرورة يجب ان تكون متقاربة الى شعاع فى الفضاء.
اكرر و اقول اى سلسة مشكلة من اشعة فى الفضاء متقاربة مطلقا هى بالضرورة يجب ان تكون متقاربة الى شعاع فى الفضاء.
اذن الفضاء لا يحتوى على فراغات.
والتقارب المطلق للاشعة هو التقارب المطلق للاطوال اى ان مجموع اطوال الاشعة متقارب اى لا يذهب الى مالانهاية مهما كان عدد حدود السلسلة الماخذوة بعين الاعتبار.
التعريف الرياضى فى الصورة الثانية.
رابعا فضاء هيلبرت هو اذن فضاء شعاعى مترى تام. اذن فضاء هيلبرت هو فى الحقيقة فضاء بناخ Banach space الذى اساس بنيته الطويلة و ليس الجداء السلمى.
خامسا فضاء هيلبرت هو ايضا مثال على الفضاءات الشعاعية الطوبلوجية topological vector spaces و هى الفضاءات الشعاعية التى تتحلى ببنية طوبولوجية منتظمة uniform topological structure.
سادسا الفضاءات-الجزئية الخطية المغلقة closed linear subspaces لفضاء هليبرت-والتى تلعب دورا اساسيا فى بناء المنطق الكمومى quantum logic- هى ايضا فضاءات شعاعية مترية تامة اى فضاءات هليبرت فى حد ذاتها.



2 comments:

  1. Could you give us an example of in-complete space where 27 holds and 26 does not?

    ReplyDelete