حساب المنتشر فى مخططات فايمان


المُنتشر propagator هو المركبة الاساسية الاولى فى مخططات فايمان..
فهو مقدار فيزيائى يربط نقطتين x و y فى الفضاء-زمن الخاص بالنسبية الخاصة و هو يقيس كما وضح فايمان العبقرى -و من جاء قبله مثل ديراك و هايزنبرغ و شرودينغر و غيرهم- احتمال انتقال الجسيم من النقطة x الى النقطة y...
وهناك المنتشر الحر free propagator الذى يحسب عموما بسهولة نسبية و هناك المنتشر المضبوط exact propgator الذى يحتوى بداخله على كل التفاعلات التى يمكن ان يتعرض اليها الجسيم عند انتقاله من النقطة x الى النقطة y...
والمنتشر المضبوط هو ايضا ما يسمى دالة الربط الثنائية two-point correlation function لانه يربط بين حقلين..الحقل الذى دخل من النقطة x و الحقل الذى خرج من النقطة y...
و هناك ايضا دوال ربط ثلاثية -اى تربط بين ثلاثة حقول- ورباعية-اى تربط بين اربعة حقول- و هكذا..و مجموعة دوال الربط هذه تعرف فى مجملها نظرية الحقل الكمومى..اذن معرفتها و حسابها يعنى معرفة نظرية الحقل...
وبندر جدا ان نستطيع ان نحسب المنتشر المضبوط فى نظرية ما بسبب تعقيد التفاعلات الطبيعية...
والتفاعلات يعبر عنها فى مخططات فايمان بعقد vertices -جمع عقدة vertex- وهذه هى المركبة الاساسية الثانية فى هذه المخططات التى تسمح لنا بتصور التفاعل كما يحدث فعلا فى الفضاء-زمن او فى فضاء الطاقة-كمية-الحركة...
وحتى حساب المنتشر الحر فهى مهمة سهلة نسبية فقط و ليست سهلة بالمطلق..
ولمن درس قليلا نظرية الحقل الكمومى فهو يعرف مدى الصعوبة التى نصادفها فى حساب هذه الكمية حتى فى نظرية الاضطرابات...
وهذا التعقيد يزداد اضعافا مضاعفة عندما نريد ان نحسب التصحيحات الكمومية الاولى للمنتشر الحر -اى نشر تايلور للمنتشر المضبوط فى ثابت الاقتران و الذى يكون حده الاول هو المنتشر الحر ثم تأتى التصحيحات الحلقية الاولى one-loop corrections ثم التصحيحات الحلقية الثانية و هكذا..-...
فنضطر عندها الى ادخال نظرية اعادة التنظيم renormalization theory و بعد الحساب و اكتساب الخبرة الذى قد يمتد لسنوات نضطر الى ادخال النظرية الاعظم الاعقد الادق لمعادلة زمرة اعادة التنظيم renormalization group equation التى تحمل المعنى و المحتوى الحقيقى النهائى لنظرية الحقول الكمومية و هذا امر قلما يهتم او يلتفت اليه الطلبة بسبب قلة اهتمام اساتذهم بهذا الامر..
فنظرية الحقول الكمومية -التى هى تعميم للميكانيك الكمومى- هى آلة ضخمة تسمح لنا بحساب كل شيء و اى شيء لكن بدون معادلة زمرة اعادة التنظيم فهى لا تساوى شيئا لانها لا تعنى شيئا واقصد هذا حرفيا...
اذن حساب المنتشر الحر امر سهل نسبيا, حساب المنتشر المضبوط حسابا اضطرابيا هو امر مخلوط بالوحل الرياضى- الفيزيائى اما حساب المنتشر المضبوط حسابا غير-اضطرابيا فهو امل و هدف يصعب تحقيقه الا نادرا..
لكن هناك استثناء و كل الاستنثاءات فى الفيزياء تعتمد على وجود تناظرات اضافية و استغلالها..
نظرية الحقول الكمومية هى نظرية متناظرة تحت تأثير زمرة بوانكريه Poincare التى تضم الانسحابات و الدورانات و تحويلات لورنتز...
اما نظرية الحقول الكونفورمال فهى اقوى بمراحل لانها بالاضافة الى تناظرها تحت تأثير زمرة بوانكريه فانها متناظرة تحت تأثير تحويلات اضافية فى غاية القوة هى تحويلات السلم (التى هى مثل المجهر او المنظار تُصغر او تُكبر نقاط الفضاء-زمن) و التحويلات الكونفورمال الخاصة (التى هى نوع من العكس مع انسحاب)...
بسبب كل هذه التناظرات الاضافية فان المنتشر المضبوط فى اى نظرية حقل كونفورمال يجب ان يكون متناسبا مع المسافة بين النقطتين x و y التى ينتشر بينهما مرفوعة للقوة
2.a
حيث a هو ما يسمى البعد السلمى scaling dimension للحقل -وهو يرمز له فى الحقيقة ب Delta\- وهو يلعب فى الزمرة الكونفورمال نفس الدور الذى تلعبه الطاقة فى زمرة بوانكريه...
اذن فى نظرية الحقل الكونفورمال ليس لنا ان نحسب المنتشر المضبوط لانه محدد تماما مسبقا بسبب التناظر..
نفس الشيء يحدث لدالة الربط الثلاثية التى تكون محددة تماما بالتناظرات فى اى نظرية حقل كونفورمال..
فقط دوال الربط العليا لا يستطيع التناظر الكونفورمال تحديديها و تبقى مجال حساب فى نظرية الحقل الكونفورمال...


Comments