الفورتيص و المونوبول و الانسطانطون و نظرية الهوموتوبيا


الفورتيص و المونوبول و الانسطانطون و نظرية الهوموتوبيا:
الساغا الفيزيائية و الرياضية التى تأخذنا من الناقلية و المائعية الممتازتين الى الحبس النووى, الفجوة الكتلية و الانكسار التلقائى للتناظر اليدوانى...
هذا المنشور -الاول من نوعه باللغة العربية - مستمد من محاضراتى التقنية حول الموضوع..يمكن ان تنظروها هنا..
http://algerianphysicist.blogspot.com/…/monopoles-and-insta…
انظرونا ايضا على صفحتنا
https://www.facebook.com/BadisYdri/
ومن التشكيلات الحقلية الطوبولوجية نجد:
- اولا الفورتيص vortex -جمع فورتيصات vortices- فى بعد 2+1 حيث 2 هو الفضاء و 1 هو الزمن بزمرة معيارية U(1)-اى الكهرومغناطيسية-...اذن فى هذه الحالة فان الفضاء الذى هو المستوى تحده دائرة كما ان الزمرة U(1) هى نفسها مكافئة طوبولوجيا لدائرة..نشير ان الحقل يعيش فى الزمرة U(1) اى على الدائرة الحقلية...
اذن اذا درنا حول الدائرة الفضائية مرة واحدة فان الحقل غير-الهين non-trivial المرفق بالفورتيص يمكنه ان يدور او يلف حول الدائرة الحقلية عدد k من المرات و لهذا يسمى k عدد اللف winding number...
و عدد اللف هو بالضبط الشحنة الطوبولوجية topological charge للفورتيص...
والفورتيصات هى ما يفسر بصورة نهائية اساسية الناقلية الممتازة super conductivity و المائعية الممتازة super fluidity مثل التى تحدث فى الهيليوم 4...
انظر الصورة الاولى التى تصور انواع مختلفة من الفورتيصات..
-ثانيا المونوبول monopole -جمع مونوبولات monopoles- فى بعد 3+1 حيث 3 هو الفضاء و 1 هو الزمن بزمرة معيارية SU(2) -اى القوة النووية الكبرى بشحنتين نوويتين فقط-..
انظر الصورة الثانية التى تصور مونوبول كلاسيكى..
والمونويول جسيم لكنه ليس بجسيم اولى بل جسيم طوبولوجى فى الصياغة المغناطيسية العادية للنظرية..اما بعد الذهاب عبر الثنائية الكهربائية-المغناطيسية electric-magnetic duality الى الصياغة الكهربائية للنظرية فان المونوبول يصبح جسيم اولى اما الالكترون فيصبح طوبولوجى!!...
والمونوبول لا يظهر الا عند الانكسار التلقائى spontaneous breaking للتناظر المعيارى SU(2) عبر ميكانيزم هيغز Higgs mechanism...
لكن فى هذه الحالة فان الفراغ الكمومى quantum vaccum منحل degenerate و هذا يعنى مما يعنيه ان الحقل لا ينتمى الى الزمرة SU(2) لكن ينتمى الى الكوساط coset المعطاة ب SU(2)/U(1)....
و الكوساط هى زمرة مضاف عليها علاقة تكافؤ...
فى هذه الحالة فان الفضاء هو الفضاء الثلاثى و تحده كرة و ايضا فان الكوساط SU(2)/U(1) اين يعيش الجقل المونوبولى هى مكافئة طوبولوجيا لكرة..
اذن اذا درنا حول الكرة الفضائية فان الحقل غير-الهين الطوبولوجى المرفق بالمونوبول يلف عدد k من المرات حول الكرة الحقلية اين يعيش...عدد اللف k هو بالضبط الشحنة المغناطيسية التى هى شحنة طوبولوجية للمونوبول..
اذن الشحنة المغناطيسية هى مكممة لانها هى عدد لف..وهذا من اقوى البراهين على تكميم الشحنة...هذا النوع من البراهين الطوبولوجية يسمى نظرية الهوموتوبيا homotopy theory...
ودور المونوبول استراتجيى فى ظاهرة الحبس confinment و ظاهرة كسر التناظر اليدوانى chiral symmetry breaking و ظاهرة الفجوة الكتلية mass gap فى الكروموديناميك اللونى quantum chromodynamics الذى يصف القوة النووية الكبرى..
ويُعتقد ان هذا الدور يشبه دور الفورتيص فى الناقلية الممتازة و المائعية الممتازة..
-ثالثا الانسطانطون instanton -جمع انسطانطونات instantons- فى بعد 3+1 الذى يصبح بعد تدوير ويك Wick rotation فضاء اقليدى ببعد 4....فى هذه الحالة نأخذ ايضا الزمرة SU(2) لمحاكاة تصرف القوة النووية الكبرى...وايضا فى هذه الحالة لا يوجد انكسار تلقائى للتناظر المعيارى...
الفضاء الاقليدى الرباعى تحده الكرة الثلاثية فى المالانهاية- هل يمكنكم تصور ذلك- كما ان الزمرة SU(2) هى مكافئة طوبولوجيا للكرة فى ثلاثة ابعاد...اذن اذا درنا حول الكرة الثلاثية الفضائية مرة واحدة فان الحقل غير-الهين المرفق بالانسطانطون و الذى يعيش فى الكرة الثلاثية الحقلية يلف عدد k من المرات..مرة اخرى فان نظرية الهوموتوبيا تنص على ان الشحنة الطوبولوجية مكممة تساوى بالضبط الى عدد اللف...
الانسطانطون ليس بجسيم بل هو شبه-جسيم quasi-particle لانه اذا كان المونوبول هو نقطة فى الفضاء العادى فان الانسطانطون هو نقطة فى الفضاء-زمن و لهذا فهو حدث event و هذا ما يسمى شبه-جسيم..
لكن الانسطانطون اكثر اساسية من المونوبول...
فبوجود المونوبول يحدث انكسار تلقائى للتناظر مما يعنى ان جريان running ثابت الاقتران coupling constant المعيارى -حسب معادلة زمرة اعادة التنظيم renormalization group equation- يتوقف اى يمكننا ان نأخذ ثابت الاقتران صغير ونحسب فى نظرية الاضطرابات..
هنا يمكن ان يدخل الانسطانطون-لان ثابت الاقتران صغير- و يسمح لنا بتعميم نظرية الاضطرابات العادية الى ما يسمى التقريب شبه-الكلاسيكى semi-classical approximation..للاشارة فان نظرية الاضطرابات العادية تكافئى الانسطانطون الهين trivial ذو الشحنة صفر...ايضا فان الانسطانطون هو المسؤول عن ظاهرة النفق الكمومية quantum tunneling التى تسمح للجملة للانتقال من قطاع طوبولوجى الى قطاع طوبولوجى مختلف..
مثلا حل سايبرغ Seiberg و ويتن Witten الشهير للنظرية المعيارية الممتازة فى اربعة ابعاد بزمرة SU(2) هو قائم بالضبط على التقريب شبه-الكلاسيكى اى حساب كل التصحيحات الكمومية للنظرية الراجعة للانسطانطونات بعد ان تسببت المونوبولات فى الكسر التلقائى للتناظر و قطع جريان ثابت الاقتران...
اما من الناحية الرياضية البحتة فان الانسطانطونات لعبت دورا استراتيجيا فى وصف هندسة الفضاءات فى اربعة ابعاد..ويبقى الانسطانطون اهم الاكتشافات على الاطلاق التى جعلت الفيزياء النظرية رياضية اكثر و جعلت الرياضيات اكثر اهتماما بالفيزياء النظرية...
واظن ان هذا اول شرح عربى لهذه الامور الفيزيائية-الرياضية المعقدة على قدر المستطاع..واظن اننى لم ارى حتى بالانجليزية شرحا مبسطا للنقاط اعلاه التى تربط الفيزيائى بالطوبولوجى بشكل لا يمكن لاحدهما ان يستغنى عن الآخر..


Comments