LATEX

اشعاع هاوكينغ, معضلة ضياع المعلومات و ترموديناميك الثقب الاسود

11 محاضرة جديدة انهيت للتو من كتابتها و سيتم القاء آخرها على طلبة الماستر الثانى نظرى لجامعة عنابة بعد غد الخميس..
اتعبتنى جدا جدا و اتعبت الطلبة ايضا..
اقول هى الاولى من نوعها فى العالم العربى.. 
ملف ال PDF فى الرابط ادناه على البوابة البحثية ResearchGate
97 صفحة, 11 بيان, و 37 مرجع... 

الرابط: 

Hawking Radiation, The Information Paradox and Black Hole Thermodynamics

المحتوى: 

 المحاضرة الأولى:فضاء ريندلر Rindler و النسبية العامة
المحاضرة الثانية: الثقب الاسود لشوارشيلد Schwarzschild
المحاضرة الثالثة: مخطط كروسكال-زيكرس Krsukal-Szekres
المحاضرة الرابعة: مصفوفة الكثافة و التشابك
المحاضرة الخامسة: تفكيك ريندلر Rindler و تأثير أنراه Unruh
المحاضرة السادسة: نظرية الحقول الكمومية على الفضاءات المنحنية
المحاضرة السابعة: اشعاع هاوكينغ Hawking
المحاضرة الثامنة: اشعاع هاوكينغ Hawking من نظرية الحقول الكمومية على خلفية شوارشيلد Schwarzschild
المحاضرة التاسعة: فراغات انراه Unruh و بولوار Boulware: من النقى الى المختلط
المحاضرة العاشرة: مسألة ضياع المعلومات فى اشعاع هاوكينغ Hawking للثقب الاسود
المحاضرة الحادية عشر: ترموديناميك الثقب الاسود

الرابط: 

Hawking Radiation, The Information Paradox and Black Hole Thermodynamics








الملخص








اشعاع هاوكينغ


قبل ان نحسب اشعاع هاوكيغ من المستحسن ان نفهم الاصل الفيزيائى لهذا الاشعاع. 

حركة جسيم سلمى طاقته $\nu$ و عزمه الحركى $l$ فى الخلفية الثقالية للثقب الاسود لشوارشيلد Schwarzschild هى مكافئة بالكامل لحركة جسيم كمومى-اى يخضع لمعادلة شرودينغر- طاقته $E=\nu^²$ فى كمون تصادم scattering potential يعطى فى احداثية السلحفاة tortoise coordinate $r_*$ بالعبارة \begin{eqnarray} V(r_*)=\frac{r-r_s}{r}\big(\frac{r_s}{r^3}+\frac{l(l+1)}{r^2}\big)~,~r_*=r+r_s\ln(\frac{r}{r_s}-1). \end{eqnarray} هذا الكمون ينعدم فى اللانهاية و عند افق الحدث $r_s$. اذن الجسيم حر فى اللانهاية و عند افق الحدث. انظر الصورة ادناه.
لكن هذا الكمون يتميز بحاجز عند $r\sim 3r_s/2$ حيث يبلغ الكمون قيمته العظمى وارتفاع هذا الحاجز متناسب مع مربع العزم الحركى اى \begin{eqnarray} V_{\rm max}(r_*)\sim \frac{l^2+1}{G^2M^2}\sim (l^2+1)T_H, \end{eqnarray} حيث $T_H$ هى درجة حرارة هاوكينغ التى سنحسبها ادناه.
من الجهة الاخرى هذه الجسيمات هى فى حالة توازن حرارى عند درجة حرارة هاوكينغ اذن طاقتها $\nu$ هى ايضا متناسبة مع درجة حرارة هاوكينغ $T_H$ .
نرى من هذا البرهان البسيط جدا ان الجسيمات التى ليس لها عزم حركى اى $l=0$ هى فقط التى يمكن ان تمر عبر الحاجز الكمونى لتذهب الى مالانهاية اى بعيدا عن الثقب الاسود. وهذه هى الجسيمات التى تشكل اشعاع هاوكينغ.
الفرق بالمقارنة مع فضاء ريندلر هو انه فى حالة هذا الاخير الحاجز الكمومى لا نهائى و بالتالى لا يمكن لاى جسيم ان يخترق كمون التصادم للذهاب الى مالانهاية على شكل اشعاع. هذا فى رأيى من اقوى الصور الفيزيائية بخصوص اشعاع الثقب الاسود.







حساب اشعاع هاوكينغ ودرجة حرارته







نحسب اشعاع الثقب الاسود المعروف باسم اشعاع هاوكينغ بثلاثة طرق مختلفة:
  • عبر فضاء ريندلر Rindler و تأثير انراه Enruh لان الثقب الاسود بالقرب من افق الحدث event horizon يظهر على شكل فضاء ريندلر, اى على شكل فضاء مسرع بانتظام بتسارع $a$ مرتبط بافق الحدث $r_s$ بالعلاقة \begin{eqnarray} a=\frac{1}{2r_s}. \end{eqnarray} تذكر ان الحالة الفراغية لمينكوفسكى Minkowski vacuum تظهر بالنسبة لملاحظ ريندلر كحالة حرارية مختلطة mixed state بدرجة حرارى تساوى $T=a/2\pi$ وهذا هو تأثير انراه و هو بكل بساطة الاساس لتأثير هاوكينغ,
  • عن طرق حساب خواص الحالة الفراغية الكمومية لكروسكل $|0_K\rangle$ بالنسبة لملاحظ شوارشيلد فى نموذج الثقب الاسود الخالد eternal black hole. حالة كروسكل Kruskal vacuum بالنسبة للثقب الاسود تلعب بالضبط دور حالة مينكوسفكى Minkowski vacuum بالنسبة لريندلر كما ان حالة شوارشيلد Schwarzschild vacuum هى ما يقابل حالة ريندلر Rinlder vacuum . مرة اخرى نجد ان ملاحظ شوراشيلد يرى فراغ كروسكل مملوء بالجسيمات يحتوى بالضبط على \begin{eqnarray} \langle 0_k |N_{\omega}|0_K\rangle=\frac{\delta(0)}{\exp(2\pi\omega/a)-1}. \end{eqnarray}
  • ثم حسبنا اشعاع هاوكيغ بطريقة ثالثة مختلفة باعتبار الحالة الاكثر الواقعية التى يتشكل فيها الثقب الاسود فى انهيار ثقالى gravitational collapse لقشرة كروية رقيقة من المادة كما فى مخطط بنروز Penrose اعلاه-القشرة هى الخط الاحمر- و حساب الحالة الاساسية الداخلة incoming vacuum state بالضبط التى تعرف بالضبط باسم حالة انراه Enruh state .

    حالة انراه هى حالة نقية pure متشابكة الى الحد الاقصى maximally entangled تصف زوج من الجسيمات ذات طاقة كيلينغ Killing energy كلية تساوى الصفر. احد الزوجين $|n_R\rangle$ يذهب خارج الافق نراه كاشعاع هاوكينغ و الزوج الاخر $|n_L\rangle$ يذهب وراء الافق ويضيع فى المفردة singularity فى المركز و هو ما يقابل المعلومات الضائعة فى الثقب. هذه الحالة الكمومية تعطى بالضبط بالعلاقة \begin{eqnarray} |U\rangle\sim \sum_n \exp(-\frac{n\pi\omega}{a})|n_R>|n_L>. \end{eqnarray}
حالة الثقب الاسود هى دائما حالة نقية لكن بالنسبة لملاحظ شوراشيلد -اى نحن- فانها تظهر له كحالة حرارية مختلطة مقابلة لمصفوفة الكثافة density matrix \begin{eqnarray} \rho_R={\rm Tr}_L|U\rangle\langle U|\sim \sum_n\exp(-\frac{2n\pi\omega}{a})|n_R\rangle\langle n_R|. \end{eqnarray} اذن تظهر له كمجموعة حرارية قانونية canonical ensemble بدرجة حرارة تساوى \begin{eqnarray} T=\frac{1}{8\pi GM}, \end{eqnarray} لان التسارع $a=1/2r_s$ و افق الحدث $r_s=2GM$ حيث $M$ هى كتلة الثقب و $G$ هو ثابت نيوتن.
اذن الحالة النقية المتشابكة بالقرب من افق الحدث ينجم عنها حالة حرارية مختلطة خارج الثقب وهذا هو لب معضلة ضياع المعلومات فى الثقب .






معضلة المعلومات



ناقشنا ايضا فى هذه المحاضرات بشكل مستفيض معضلة ضياع المعلومات فى الثقب. الثقب الاسود يبدأ فى حالة نقية و عندما يتبخر بالكامل فان اشعاع هاوكينغ يجب ان يكون ايضا فى حالة نقية وهذه هى فرضية الاحادية unitarity. اذن انتروبى التشابك entanglement entropy يبدأ من الصفر ثم يتصاعد و يبلغ قمته عند ما يسمى زمن بايج Page ثم يعود الى النتاقص حتى يصل الى الصفر مرة اخرى عند لحظة التبخر. زمن بايج هو الزمن الذى تتبخر فيه نصف كتلة الثقب الاسود و تبدأ فيه المعلومات بالخروج من الثقب. كمية المعلومات تعطى بالفرق بين الانتروبى الحرارى لبولتزمان Boltzmann و انتروبى المعلومات لفون نيومان Von Neumann . قبل زمن بايج فقط الطاقة تخرج مع الاشعاع وقليل جدا من المعلومات يخرج, بعد زمن بايج تبدأ المعلومات فى الخروج وتخرج بالكامل عند لحظة التبخر, وهذا مضمون الحدوث بسبب المبدا الثانى للترموديناميك و بافتراض الاحادية الكمومية. منحنى انتروبى التشابك كدالة فى الزمن يسمى منحنى بايج Page curve و حسابه من المبادئ الميكروسكوبية يعتبر الصياغة الرياضية لمعضلة ضياع المعلومات فى الثقب. هذا المنحى يمكن حساب شكله العام باستعمال مبرهنة بايج Page theorem و هو بالفعل يأخذ الشكل المذكور اعلاه: يبدا من الصفر ثم يتزايد حتى يبلغ قيمته الاعظمية عند زمن بايج ثم يبدأ فى التناقض حتى يرجع الى الصفر مرة اخرى عند لحظة التبخر.






فرضية الاحادية هى موقف واحد فقط بخصوص معضلة ضياع المعلومات. هناك فى الحقيقة, بالاضافة الى هذه الفرضية, خمسة فرضيات اخرى بازاء السؤال: هل هناك ضياع للمعلومات ام لا فى الثقب? هذه المواقف هى:
  1. هناك ضياع حقيقى للمعلومات فى الثقب خلال تشكل او تبخر الثقب. وهذا هو رأى هاوكينغ الاصلى.
  2. فرضية الاحادية التى ذكرناها اعلاه وهى رأى الاغلبية. لكن يبقى السؤال كيف يتم الامر بالضبط?
  3. فرضية البقايا remnants التى يقول اصحابها ان تبخر الثقب الاسود سيتوقف عندما تبلغ كتلة الثقب كتلة بلانك. لا احد مازال يقول بهذا الرأى.
  4. ستخرج كل المعلومات التى ضاعت وراء افق الحدث عندما يصل الثقب الاسود الى نهاية تبخره. هذه الفرضية تناقض مبدأ انحفاظ المعلومات principle of information conservation.
  5. فرضية الحائط الطوبى brick wall التى تقول ان افق الحدث غير قابل للاختراق و بالتالى فان المعلومات لا تضيع. لكن هذه الفرضية تناقض مبدأ التكافؤ equivalence principle للنسبية العامة.
  6. فرضية النسخ duplication التى تقول ان افق الحدث ينسخ نسخة من المعلومات يرسلها خارج الافق -كما ينص مبدأ انحفاظ المعلومات- و ينسخ نسخة ثانية يرسلها داخل الافق-كما ينص مبدا التكافؤ-. لكن هذه الفرضية تناقض خطية الميكانيك الكمومى التى تعرف ايضا تحت مسمى مبدأ النسخ الكمومى quantum xerox principle.





الترموديناميك



الموضوع الثالث لهذه المحاضرات هو ترموديناميك الثقب الاسود. الثقب الاسود له انتروبى منته محدود يعطى بعلاقة هاوكينغ- بيكنشتاين Hawking-Bekenstein \begin{eqnarray} S=\frac{A}{4G}, \end{eqnarray} حيث $A$ هى مساحة الثقب الاسود. هذا الانتروبى الحرارى هو الكمية القصوى للمعلومات المخزنة فى الثقب وهو يعطى عدد الحالات الميكروسكوبية الكمومية المسموح بها للثقب الاسود بالعلاقة \begin{eqnarray} n=\exp(S). \end{eqnarray} اغلب هذا الانتروبى متمركز حول افق الحدث, لكن نظرية الحقول تعطى قيمة لا نهائية متباعدة له عوض قيمة هاوكينغ-بيكنشتاين اعلاه. اذن نظرية الحقول الكمومية يجب ان تعوض بنظرية الثقالة الكمومية بالقرب من افق الحدث و هذا الفصل بين درجات حرية الحقل الكمومى و درجات حرية الثقالة الكمومية يمكن تنفيذه بما يسمى الافق الممتد stretched horizon . الافق الممتد هو غشاء فيزيائى يبعد عن الافق الرياضى بمسافة تساوى طول بلانك $l_P=\sqrt{G\hbar}$ و يحمل كل طاقة و انتروبى الثقب الاسود واين تبلغ درجة الحرارة الذاتية proper temperature قيم كبيرة جدا.
الرابط: 

Hawking Radiation, The Information Paradox and Black Hole Thermodynamics

نظرية الزمر تصحيح الرابط مرة ثانية..مالذى يحدث?


سئلت عدة مرات ماهى الزمرة...فى هذه المقدمة اقدم جميع الزمرات المعروفة للانسان او بالاحرى اقدم جميع التمثيلات لكل الزمرات المعروفة للانسان... لان الزمرة فى حد ذاتها امر سهل جدا اما الصعب جدا فهو تمثيلات هذه الزمرة..فهذا امر يحتاج الى مختص محترف..اذن هذا موجه للطلبة المختصين فى النظرى بالخصوص..

الحاسوبية الكمومية

Quantum Computation

اعصار يضرب منذ ثلاثة قرون و لا يبدو انه سينتهى قريبا!!!


ما يصح ذكره و ما لا يصح ذكره


اقدم لكم افضل كتاب فى الفيزياء الكمومية منذ بعث الله بلانك Planck عام 1900 بفكرة التكميم ثم ثنى فى العشرينات ببور Bohr وزمرته الشهيرة: هايزنبرغ Heisenberg و شرودينغر Schrodinger و ديراك Dirac و بورن Born و غيرهم...
هذا الكتاب من تأليف جون بال John bell احد عظماء المجال..
لكنه العظيم الوحيد الذى يتميز بالعمق و الوضوح...
الرجل الذى ضبط افكار فون نيومان Von Neumann و بوم Bohm بشكل رياضي كامل..
صاحب الحساب الميتافيزقي الوحيد فى الميكانيك الكمومى الذى تم التحقق منه تجريبيا فيما يعرف بتحربة اسبكت Aspect الشهيرة...
هذا الحساب هو ما يعرف اليوم بمبرهنة بال Bell's theorem.. وكونها مبرهنة فهى رياضيات حسابية ذات انعكاسات فيزيائية واضحة لا غبار عليها..
لكنها مبرهنة ذات انعكاس ميتافيزقى لا يمكن التخلص منه: العالم غير موضعى non-local أحب من أحب و كره من كره..وهذا هو بالضبط الذى كرهته واقعية اينشتاين Einstein...
هذا هو جون بال..الرجل الذى خرج من رحم مدرسة الكوبنهاغن Cophenhagen لكنه لم يكن مقلدا و لا ديماغوجيا و لم يقل لنا امروها وحسب فالكوبنهاغن اعلم و احكم و اسلم!!!
الرجل كان متفتحا على كل المدارس الاخرى الى الحد انه هو الذى كان يدافع مثلا عن تفسير الموجة الطيارpilote wave لبوم عندما لم يكن هناك اى احد يدافع عن هذا التفسير وهذا ليس بالضرورة عن اقتناع كامل منه بهذا التفسير وهذا انطباعى...
كتابه ادناه هو افضل كتاب فى الميكانيك الكمومى كتب فى التاريخ..
يجمع بين الرياضيات و الفيزياء و الفلسفة بصورة مبسطة للقارئ لكن ليس بصورة شعبية تافهة تضيع فيها النقاط العميقة..
اذن هو مبسط اى نعم لكن يتطلب جهدا و اجتهادا من القارئ للتفاعل الايجابى ومحاولة فهم المحتوى العميق جدا الذى يحاول ان يؤديه بال...
اذن هذا الكتاب هو ليس فيزياء شعبية و ليس هو ايضا فيزياء تقنية و لا هو فيزياء فلسفية...
هو وسط يحاول ان يوازن بين الثلاثة امور..
وعلى القارئ اذا كان يهمه الامر ان يجتهد ..فهذه ليست سياسة و لا دين التى يظن الكل نفسه خبيرا فيهما...
هذا الكتاب هو النموذج بالنسبة لى الذى اجد و اكد فى محاولة اتباعه باللغتين العربية و الانجليزية فى هذا المجال..
أما الفرنسية فليس لدى وقت لها! 
فلها اهلها الاصليون و اهلها الفرنكفونيون عندنا دعهم يحاولون اذا امكنهم ونحن نتحداهم....
هذا الكتاب بالنسبة لى هو افضل كتاب فى الفيزياء النظرية مثلما ان كتاب المنقذ من الضلال للغزالى هو افضل كتاب بالنسبة لى فى فلسفة الاسلام..
 فهو الكتاب الذى كان الاكثر فائدة بالنسبة لى فى مختلف المراحل و على مختلف مستويات الفهم...
الرابط ادناه..




الفراغ فارغ! الحلم الذى لم يتحقق!

الفراغ نعم فارغ
شعار او حلم فايمان الذى لم يتحقق..
لانه بكل بساطة الطاقة المظلمة هى الاثير الذى اراد الكل او ظن الكل انه تخلص منه الى الابد..
ادناه مقال قصير جدا و اكثر من رائع للفيزيائى النظرى الحائز على نوبل ويلشيك عنوانه -دوام الاثير- أهم ما جاء فيه تشبيهه للطاقة المظلمة بالاثير..
و ليس كما ظن الكل ان الاثير قد انتهى الى غير رجعة...
وهذه ملاحظة بسيطة لكن عميقة لم ينتبه اليها احد و اكيد انا من ضمنهم..
فلا احد باسثناء القلة و منهم ويلشيك Wilczek و ايضا بول دايفيس Paul Davies وعلى ما يبدو ايضا العظيم فايمان Feynman نفسه حسب ما يروى ويلشيك عنه فى هذا المقال الذى من بين ما قاله له قال:
انه -اى فايمان- قد خاب ظنه عندم اكتشف ان طريقة حسابه باستعمال ما اصبح يعرف بمخططات فايمان ان هذه الطريقة مكافئة تماما لنظرية الحقل..وانه كان يهدف الى او بالاحرى يأمل فى التخلص من فكرة الحقل نفسه حتى يتفادى المعضلة العميقة للميكانيك الكمومى التى تعرف تحت اسم الثنائية موجة-جسيم...
وهنا فايمان يتكلم عن معضلة اخرى (ليس معضلة طاقة الفراغ او الثابت الكونى او الطاقة المظلمة) لكن معضلة ربما اعمق هى معضلة التفسير فى الميكانيك الكمومى..
ثم يقول ويلشيك انه عن قصد استثار فايمان بالسؤال: الا يزعجك ان قوة الجذب الثقالية تهمل او بالاحرى لا تهتم مطلقا بكل الذى حققناه فى فهم الفراغ الكمومى?
اجاب فايمان محبطا: أنه فى وقت ما ظن انه قد حل تلك المعضلة. حتى أنه كان عندى شعار-فايمان يتكلم- شعار يقول: الفراغ نعم فارغ...
انه فى تلك اللحظة -يقول ويلشيك- انه شعر من فايمان باحباط شديد..
اقرأوا النص بانفسكم ممتع جدا..



ثورة نوفمبر

او عندما تكتشف فعلا ليس جسيما واحدا فقط بل عشرات من الجسيمات مرة واحدة عندما افترض الفيزيائيون لتفسير جسيم جى/بساى $J/\psi$ ان هناك اربعة كواركات:بالاضافة الى الثلاثة التى افترضها نموذج الكواركات $u$, $d$ و $s$ يوجد كوارك رابع هو الجذاب charm ويرمز له ب $c$...
ال $\psi$ يتشكل من كوارك $c$ و كوارك مضاد $\bar{c}$ ...
نموذج الكوارك يمدد بالتالى من الزمرة $SU(3)$ الى الزمرة $SU(4)$...
كنتيجة مباشرة عدد اكبر من الجسيمات الأولية يتم اكتشاف انها قريبة لبعضها البعض و تترتب فى تشكيلات الآن فضائية هى تمثيلات الزمرة $SU(4)$...
وهذا هو ما يعرف فى فيزياء الجسيمات الاولية بثورة نوفمبر التى وقعت بتاريخ $10-11$ نوفمبر من عام 1974 عند الامريكان بالخصوص ...
وقد تحصل المكتشفان ريتشر Richer من SLAC  و تينغ  Ting من Brookhaven -وهو المكتشف الاول الذى لم يعلن عن اكتشافه حتى اعلن عنه بصورة مستقلة زميله ريتشر من الجهة الاخرى- على هذا الاكتشاف على نوبل عام $1976$.... 
ريتشر سمى الجسيم $\psi$ أما تينغ فسماه $J$ ولهذا فان الجسيم اسمه $J/\psi$...
لاحظوا ان التجربتين فى SLAC و Brookhaven تحتويان على عدد ضخم من الفيزيائيين التجريبيين الا ان الرئيس فقط فى كل تجربة هو الذى يأخذ الجائزة و يدخل التاريخ..وهذا هو الفرق بين التجريبى و النظرى!!
اذن لاحداث تغيير جذرى فى الفهم ثم فى الواقع لا تحتاج الى حشود مليونية و لا الى ثورات مليونية...
العبرة ليست بالعدد بل بالمحتوى...
فمتى نفهم ذلك...

 

أجمل معادلة

درجة حرارة ثقب اسود كتلته $M$ تعطى بعلاقة هاوكينج
\begin{eqnarray}
T_H=\frac{\hbar c^3}{8\pi GM k_B},
\end{eqnarray}
حيث $\hbar$ هو ثابت بلانك و $c$ هى سرعة الضوء و $G$ هو ثابت نيوتن و $k_B$ هو ثابت بولتزمان...
اذن هذه العلاقة هى فى نفس الوقت ناجمة عن تأثير كمومى يعبر عنه ثابت بلانك و تأثير نسبى تعبر عنه سرعة الضوء و تأثير ثقالى يعبر عنه ثابت نيوتن و تأثير حرارى يعبر عنه ثابت بولتزمان...
ولا يوجد علاقة اخرى فى الفيزياء -حسب علمى- تحتوى على هذه الثوابت الاساسية فى آن معا الا هذه العلاقة وهذا ان كان يدل على شيئ فانه يدل على ان الثقب الاسود هو جملة فيزيائية تحتاج الى كل الفيزياء الاساسية لفهمها و نحن لا نعرف عنها تقريبا الا علاقة هاوكينج هذه التى اضعها ايضا فى الصورة ادناه لاهميتها القصوى...
لاحظوا ان درجة الحرارة متناسبة عكسا مع الكتلة...
اذن كلما اشع الثقب الاسود فانه سيفقد طاقة و بالتالى ستنقص كتلته و بالتالى سترتفع درجة حرارته اكثر و لا تنخفض...
اذن الثقب الاسود تزداد درجة حرارته كلما اشع اكثر...

جسيمات اسرع من الضوء...نعم يمكن!!

كل الجسيمات التى كتلتها منعدمة اى تساوى صفر يجب ان تتحرك بسرعة الضوء...
هذا معروف لكنه ايضا يعتمد على فرضية عميقة وهى تناظرات لورنتز Lorentz symmetry...
وتذكروا ان لورنتز يعنى التناظر تحت تأثير الدورانات و تحت تأثير النسبية...
لكن يمكن ان نكتب نظريات لا تخضع لتناظرات لورنتز و بالتالى فان الجسيمات التى كتلتها صفر فى هذه النظريات سوف تتحرك بسرعة قد تكون اكبر من سرعة الضوء...
اشهر هذه النظريات على الاطلاق هى نظريات الحقول غير التبديلية non-commutative field theories ...
وهذا التأثير فى رايى هو من أكبر عيوب هذه النظريات...
نظريات الحقول غير التبديلية هى نظريات حقول على فضاءات-زمن غير تبديلية اى فضاء زمن يحقق فيه الفضاء اى المكان بين احداثياته و ايضا بينه وبين الزمن مبدأ الارتياب لهايزنبرغ...
مثلا
 \begin{eqnarray} &&\Delta x\Delta t\geq \theta^{10}\nonumber\\ &&\Delta x\Delta y\geq \theta^{12},\label{ur} \end{eqnarray} 
اذن قياس الزمن بدقة يترتب عليه فقدان كامل للدقة فى قياس المكان و العكس و كذلك قياس اى اتجاه فى المكان بدقة يؤدى ايضا الى فقدان الدقة فى قياس الاتجاهات الاخرى  وهكذا..
بصفة عامة نكتب
\begin{eqnarray} &&\Delta x^{\mu}\Delta x^{\nu}\geq \theta^{\mu\nu}.\label{ur2} \end{eqnarray}
الثوابت $\theta$ تشكل مع بعضها البعض وسيط هو فى الحقيقة تنسور tensor يسمى وسيط عدم التبادل noncommutativity parameter و هو يلعب دورا مشابها لثابت بلانك...فمثلما ان ثابت بلانك يقيس درجة الكمومية فان وسيط عدم التبادل يقيس درجة عدم التبادل..اذن عندما ينعدم هذا الوسيط نحصل على ما يسمى النهاية التبديلية كما انه عندما ينعدم ثابت بلانك نحصل على مايسمى النهاية الكلاسيكية...

ايضا مثلما يحدث فى الميكانيك الكمومى الذى تعكس فيه علاقات الارتياب لهايزنبرغ علاقات تبادل بين الموضع $x$ و كمية الحركة $p$ من الشكل 
\begin{eqnarray} [x,p]=i\hbar \end{eqnarray} -وهى العلاقات المعروفة باسم علاقات التكميم لديراك- فان مبدأ الارتياب للفضاء-زمن اعلاه $(\ref{ur})$ او $(\ref{ur2})$ يترتب عليه علاقات تبادل بين احداثيات المكان و الزمن معطاة بالضبط بعلاقات التكميم لديراك من الشكل 
\begin{eqnarray} [x^{\mu},x^{\nu}]=i\theta^{\mu\nu}. \end{eqnarray}
اذن الفضاء-زمن مكمم بنفس الطريقة التى كمم فيها الفضاء الطورى المشكل من الموضع
$x$ وكمية الحركة $p$...
اذن الموازاة بين الميكانيك الكمومى و الفضاءات غير التبديلية اكثر من ممتاز...
لكن الشئ المؤسف له -وهو مرة اخرى رأيى- ان وسيط عدم التبادل فى اغلبية الحالات المدروسة- الحالات المعروفة تحت مسمى فضاءات مويال و وايل Moyal-Weyl spaces- لا يحترم تحويلات لرونتز...
هذا من جهة..لكن من الجهة الاخرى...

الشئ الرائع  حقا حول هذه النظريات -وهذا يعجبنى جدا جدا- ان عدم التبادل مكافئ لحقل ثقالى...وان الحقل الثقالى هو بالضبط نظرية حقل معيارى غير تبديلية noncommutative gauge field theory ابيلية Abelian ... التوصيف ابيلية يعنى ان هذه النظرية مبنية على الزمرة $U(1)$ اى تشبه الكهرومغناطيسية أما التوصيف غير تبديلية فهذا يعنى ان هذه النظرية معرفة على فضاء-زمن غير تبديلى...

 بعبارة اخرى علاقات التبادل اعلاه هى مكافئة للمترية $g_{\mu\nu}$ لهذه الخلفية الثقالية المنبعثة emergent وهذه الاخيرة هى مكافئة للحقل كهربائى $\vec{E}$ و للحقل مغناطيسى $\vec{B}$ المكونان للحقل المعيارى ...وهذا كله نستنتجه باستعمال شيئ يسمى تطبيق سايبرغ وويتن Seiberg-Witten map ...هذا النوع من الجاذبية التى نحصل عليها من عدم تبادل احداثيات الفضاء - زمن يسمى الجاذبية المنبعثة emergent gravity...اقول مرة اخرى هذا امر يعجبنى جدا جدا جدا واظنه عميق جدا جدا جدا و لهذا ادرسه جدا جدا جدا...

 الآن بعد ان عرفنا ان الحقل المعيارى الابيلى غير التبديلى هو حقل ثقالى يمكن ان نسأل ماهو تصرف الجسيمات المنعدمة الكتلة فى هذه الخلفية الثقالية المنبعثة من الخلفية غير التبديلية اى ما هى طبيعة الجيوديزيكات geodesic الضوئية اى مسار هذه الجسيمات المنعدمة الكتلة فى هذه الخلفية العجيبة...
 بعد الحساب البسيط نسبيا نصل (فى الحالة التى لا يوجد فيها عدم تبادل بين الفضاء و الزمن و يوجد فقط عدم تبادل بين الفضاء و الفضاء) الى ان سرعة الجسيمات المنعدمة الكتلة و المنعدمة الشحنة فى هذا الفضاء تساوى 

\begin{eqnarray} \vec{v}^2=c^2+2\vec{\theta}_T.(\vec{B}_T-\vec{v}_0\times \vec{E}_T). \end{eqnarray}
 حيث ان $\vec{v}_0$ هى سرعة الجسيم عندما يكون الفضاء-زمن تبديلى و بالتالى تحقق
\begin{eqnarray} \vec{v}_0^2=c^2 \end{eqnarray}
و الرمز  $T$  اسفل وسيط عدم التبادل و اسفل الحقل الكهربائى و اسفل الحقل المغناطيسى فى المعادلة اعلاه يعنى المركبة العرضية اى العمودية لهذه الاشعة على السرعة $\vec{v}_0$...
اذن كما ترون اعلاه يمكن للسرعة ان تكون اكبر من سرعة الضوء كما وعدتكم او لم اعدكم لا ادرى فهذا امر لست شخصيا من المعجبين به على الاطلاق...






افضل كتاب الكوسمولوجيا النظرية

اقدم لكم كتاب موخانوف Mukhanov الفيزيائى الروسى المتخصص فى الكوسمولوجيا النظرية -احد افضل من هو موجود فى هذا المجال- وهو مفضل لسبب آخر بالنسبة لى و هى كتبه التخصصية التى تقرب البعيد و تسهل الصعب ولن تجد امريكى او اوروبى يفعل ذلك وربما عن قصد و سبق اصرار و ترصد وهذا هو شعورى -لكن ليس لدى دليل بعد-..
هذا رجل استفدت كثيرا من كتبه فى الكوسمولوجيا بالخصوص و اتذكر انه لما كنت ادرس منذ سنوات نظرية التضخم الكونى وجدت صعوبات جمة حتى عثرت على كتابه الآخر فى الكوسمولوجيا الذى استطعت بواسطته من التأكد من كثير من الامور التى كنت افهمها بشكل معين لكن لم اكن متأكدا و لم اجد ولا غربى واحد يشرحها بالطريقة الحسابية البرهانية البنائية التى ابحث عنها..
اذن انصحكم اذا كنتم مهتمين بالكوسمولوجيا و نظرية الحقول الكمومية على الفضاءات المنحنية بكتب هذا الرجل..
تفضلوا هنا كتابه عن نظرية الحقول الكمومية على الفضاءات الكمومية...

introduction to quantum fields in classical backgrounds


مبرهنة واينبرغ

مبرهنة واينبرغ Weinberg theorem هى واحدة من اجمل المبرهنات فى نظرية الحقل تربط بين انحفاظ الشحنة -مهما كانت طبيعتها- و تناظرات لورنتز -اى الدورانات و النسبية- دون الحاجة الى المرور عبر مبدأ التناظر المعيارى المعقد جدا...

- جميع الجسيمات منعدمة الكتلة ذات عزم اللف الذى يساوى واحد تستلزم انحفاظ الشحنة..
Massless spin 1 particles imply conservation of charge
هذا يخص كل التفاعلات الكهرومغناطيسية و النووية القوية و النووية الضعيفة التى تتحكم فيها جسيمات شعاعية-اى ذات سبين يساوى واحد- منعدمة الكتلة..

-جميع الجسيمات منعدمة الكتلة ذات عزم اللف يساوى اثنان تستلزم ان قوة الجذب الثقالى هى قوة كونية ...
Massless spin 2 particles imply gravity is universal 
هذا يعنى ان جميع الجسيمات تتفاعل ثقاليا بنفس الشدة...
 
-لا توجد جسيمات منعدمة الكتلة ذات عزم لف اكبر او يساوى من ثلاثة متفاعلة... 
There are no interacting theories of masssless particles with spin>2

اين هى احاديات القطب المغناطيسية?



معضلة الثابت الكونى

كثافة الطاقة المظلمة dark energy او ما يسمى بالثابت الكوسمولوجى cosmological constant حسب القياسات الاخيرة تعطى ب
\begin{eqnarray}
\Lambda_{\rm obs}=39\Omega_{\Lambda}(10^{-12}{\rm GeV})^4~,~\Omega_{\Lambda}=0.7.
\end{eqnarray}
هذا يعادل حوالى $70$ بالمائة من اجمالى طاقة الكون وهى طاقة ذات ضغط سالب وهو ما يتسبب فى تسارع توسع الكون المشاهد...
لكن كيف نحسب هذا العدد نظريا?
نظريا الطاقة المظلمة هى ما يسمى بطاقة الفراغ vacuum energy والفراغ نقصد به هنا الحالة الاساسية الكمومية فى فضاء هيلبرت Hilbert و ليس الفراغ بالمعنى اللغوى...
هذه الفكرة: أن الطاقة المظلمة هى نفسها طاقة الفراغ الكمومية تعود الى زلدوفيتش Zeldovich..
اذن الطاقة المظلمة يجب ان تعطى بطاقة الفراغ او بالضبط بما يسمى طاقة النقطة صفر zero-point energy  لنظرية حقل كمومى اى بعبارة من الشكل 
 \begin{eqnarray}\Lambda=\frac{1}{2}\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\sqrt{\vec{p}^2+m^2}.\end{eqnarray}
هذه عبارة غير متناهية ويمكن التحقق من ذلك بسهولة و بالتالى تحتاج الى تسوبة regularization. لكن من الجهة الاخرى, من المعروف ان اى نظرية حقل هى صالحة فقط حتى سلم بلانك Planck scale. اذن نستعمل طاقة بلانك كقاطع cutoff من اجل تسوية التكامل اعلاه للحصول على 
\begin{eqnarray} \Lambda=\frac{\Lambda_{\rm Planck}^4}{16\pi^2}\sim 10^{120}\Lambda_{\rm obs}.\end{eqnarray}
اذن النظرى اكبر من القياس ب $10^{120}$ مرة وهذا عدد اكثر من فلكى ربما خيالى وهذا الفرق الهائل بين القيمتين النظرية و المشاهدة هو ما يعرف باسم معضلة الثابت الكونى cosmological problem و هى من اهم المعضلات فى الفيزياء النظرية...

تجربة مائع كمومى تؤكد نظرية بوم فى ان الجسيم هو فعلا جسيم راكب موجة surfer

الميكانيك البوهيمى


تفسير بوم Bohm هو احد التفاسير العظيمة للميكانيك الكمومى (الى جانب تفسير كوبنهاغن, تفسير عديد العوالم و تفسير التواريخ المنسجمة) لصاحبه الفيزيائى النظرى الامريكى الشهير بوم الذى ضاع مستقبله الاكاديمى فى امريكا فى الخمسينات بسبب شيوعيته و ذلك زمن التضييق على الشيوعية فى اوساط المثقفين فى امريكا فى عهد ماكارتى McCarthy و اضطر بسبب المضايقات تلك الى الهجرة الى انجلترا ثم الى البرازيل...
بوم فى هذا التفسير الذى أخذه من عند دى بروغلى De Broglie - هذا الاخير الذى لم يستطع ان يقف امام زخم بور Bohr و زمرته العظيمة من جماعة الكوبنهاغن فى العشرينات فتخلى عن تفسيره الذى يسمى ايضا تفسير الموجة الطيار pilot wave حتى جاء بوم واعاد احياء هذا التفسير ووقف وحده فى وجهه عصابة بور!!- اذن بوم فى هذا التفسير يفترض ان الجملة الكمومية ليست جسيم او موجة لكنها جسيم و موجة فى آن معا...الموجة تتحكم فيها معادلة شرودينغر أما الجسيم فيتميز بمسار مثلما فى الميكانيك الكلاسيكى اى يتميز بموضع و كمية حركة يتحكم فيهما ما يسمى الكمون الكمومى...هذا التفسير هو الوحيد الذى يستخدم المتغيرات المخفية hidden variables و هو يتجنب مبرهنة بال Bell's theorem العظيمة لانه ايضا التفسير الوحيد غير الموضعى non-local وهو بهذا يذهب ايضا ضد موضعية النسبية صراحة...
بوم يقول ان نظريته هى تفسير فقط بمعنى انه من ناحية التوقعات التجريبية فهى متفقة تماما مع تفسير كوبنهاغن لا تختلف عنها..
هذا الامر بدأ التشكيك فيه فى بعض الابحاث المنشورة فى الفترة الاخيرة...
أحد هذه الابحاث المقال اعلاه..
هذه مسألة بحثية بسيطة نسبيا من الناحية التقنية فالسؤال بكل بساطة هل فعلا هناك خلاف بين الميكانيك البوهيمى و الميكانيك الكمومى...
انظروا ايضا مقال الكوانتا حول المستجدات فى هذا الامر..
https://www.quantamagazine.org/20160517-pilot-wave-theory-gains-experimental-support/ 

غسل ادمغتنا و انكر التصدع

نيلز بور Niels Bohr غسل ادمغة جيل كامل من الفيزيائيين النظريين و جعلهم يعتقدون ان مهمة ايجاد تفسير ملائم للميكانيك الكمومى قد تمت منذ 50 سنة. 
 موراى غال مان Murray Gell-Mann فى محاضرة نوبل خاصته عام 1969 

المرجع لهذا ولأمور اخرى عميقة فيزيائية و فلسفية هو فيلسوف العلوم العملاق كارل بوبر Karl Popper فى دراسته المعنونة: النظرية الكمومية و السكيزم اى التصدع فى الفيزياء




The multitrace matrix model: An alternative to Connes NCG and IKKT model in 2 dimensions

تحدى آخر للشباب الجزائريين و العرب


اول ثورة فى العلم: ثورة كوبرنيكوس


المرجع الاول وأكيد يبقى الافضل...

 تكلمنا كثيرا عن تفسير كوبنهاغن للميكانيك الكمومى...
وهو التفسير الارثودكسى وهكذا يقال للميكانيك الكمومى...
لكن ماهو المرجع لهذا التفسير?
ربما اول مرجع هو كتاب ديراك Dirac... 
لكن كتاب العبقري الروسى الفيزيائى النطرى لنداو Landau وتلميذه ليفشيتز Lifshitz يبقى هو المرجع الاكثر تداولا بخصوص تفسير كوبنهاغن بدون منازع...
الكتاب فى الرابط ادناه...

احدث الكتب عن نظرية الاوتار

تفسير التواريخ المنسجمة 4 : قط شرودينغر او الاغنوستية فى اعلى صورها او كيف تهرب من الاجابة بذكاء و لباقة و سلاسة

حسب تفسير كوبنهاغن خاصة بور Bohr  فان دالة موجة جملة لا تعبر واقعيا عن حالة الجملة الفيزيائية بعيدا عن عملية القياس. هذا الامر ضبطه أكثر اينشتاين Einstein  و بودلسكى Podolsky  و روزن Rosen او ما يعرف باسم ال EPR الذين بينوا ان دالة الموجة لا توفر وصف كامل للجملة الفيزيائية. بعد ذلك بين كل من العظيمين بوم Bohm  و بال Bell  ان الاصرار على الواقعية الكلاسيكية لدالة الموجة سيؤدى لا محالة الى تأثيرات غير موضعية non-local  تتحدى مبدأ النسبية بشكل او بآخر او على الاقل تزعج اعتقادنا فى العقلانية الارسطية-الديكارتية و الواقعية الافلاطونية-الارسطية...
لكن عديد العوالم many worlds  او ما يعرف ايضا بالحالة النسبية  relative state   لصاحبها ايفريث Everett تبقى هى الاكثر تطرفا فى الاصرار على ان دالة الموجة توفر وصف كامل للواقع الكمومى الذى اذن يجب ان يتشكل من عدد غير منته من النسخ المتوازية حيث ان كل نسخة تقابل  مركبة من مركبات دالة الموجة...وكلمة النسبية فى الاسم الرسمى لهذا التفسير: الحالة النسبية ليس نسبة الى النسبية لكن نسبة الى الملاحظ الذى ينقسم  مع الجملة فى كل عملية قياس الى العوالم المتوازية..
يأتى الآن دور التواريخ المنسجمة...هنا بكل بساطة نتخلص من الدالة الموجة بالكامل لصالح ما يسمى بالتاريخ الكمومى المنسجم...
التاريخ  المنسجم consistent history لجملة ما هو مجموعة من الخواص الفيزيائية لهذه الجملة كل خاصية نعبر عنها بما يسمى مسقط projector  وهو مؤثر بخواص معينة يؤثر على فضاء هيلبرت للحالات اين تعيش دالة الموجة...
التاريخ الكمومى المنسجم هو منسجم لانه عنصر من مجموعة من التواريخ تشكل فيما بينها ما يسمى بالاطار المنسجم consistent  framework حيث ان هذه التواريخ المشكلة للاطار تستنزف exhaust  كل الامكانيات المتاحة للجملة و مستبعدة لبعضها البعض mutually exclusive (اى ان كل واحد من هذه التواريخ هو حصرى اما ان يقع هو او يقع غيره) و بالتالى يمكننا ان نرفق بكل تاريخ احتمال معين...
اذن الاطار الكمومى المنسجم هو جملة احتمالية عادية أما دالة الموجة فلا لان دالة الموجة تحتوى بالاضافة الى الاحتمالات على التداخل... 
التطور الاحادى فى الزمن الذى تعطيه معادلة شرودينغر يقابل فى التواريخ المنسجمة للاطار الاحادى unitary framework و هو يحتوى على تاريخ واحد يعطى فيه المسقط الاول بدالة الموجة الابتدائية اما المسقطات التالية فتعطى كلها بدوال الموجة اللاحقة التى تحل معادلة شرودينغر... 
أما عملية القياس التى يستخدمها الكوبنهاغن فهى تقابل فى التواريخ المنسجمة ما يسمى باطار الانهيار collpase framework الذى يعطى فيها -فى كل تاريخ من تواريخها المنسجمة-  المسقط الاخير بالمسقط المقابل لقيمة ذاتية من القيم التى نحصل عليها بعد عملية القياس..
فى تفسير التواريخ المنسجمة بالاضافة الى الاطار الاحادى و اطار الانهيار هناك عدد غير منته من الاطر المقبولة كلها فيزيائيا لكنها غير متلائمة incompatible ...
فمثلا قط شرودينغر يحتوى بالاضافة الى الاطارين الاحادى و المنهار يحتوى على عدد غير منته من الاطر الاخرى وهى عموما غير متلائمة..
والاطار الذى يحتوى فعلا على القط هو الاطار الذى تكون تواريخه المنسجمة تحتوى فعلا على القط اما حيا او ميتا..
بعبارة اخرى، الجديد فى هذه النظرة ان الاطار الاحادى ليس هو المهم بالنسبة للقط لان هذا الاطار لا يحتوى على القط اصلا لكن يحتوى على تركيب خطى للقط حى و القط ميت... و علينا ان نذهب الى اطار القط حتى يمكننا ان نتكلم عن كون القط حى او ميت لان اطار القط لا يحتوى على تركيبات خطية لهاتين الحالتين  المستبعديتن لبعضهما البعض..
نقول هذا الامر المهم جدا بطريقة اخرى: القط حى يقابل الى المسقط P_0  المرفق بالحالة الابتدائية اما القط ميت فيقابل الى واحد ناقص هذا المسقط اى P_0-1 ...
كل المسقطات فى الاطار الاحادى فى اللحظات الزمنية اللاحقة هى مؤثرات لا تتبادل مع P_0 اى انها مؤثرات غير متلائمة مع P_0 وبالتالى هذه المسقطات لا هى P_0 (قط حى) ولا هى 1-P_0 (قط ميت) ...انظر المنشور عن المنطق الكمومى..
لا اظن ان ماذكرناه اعلاه هو حل لمعضلة قط شرودينغر لكن هو عملية فرز ممتازة للغة و الرياضيات و الفيزياء و غريفيث Griffiths صاحب التواريخ المنسجمة  نفسه يعتقد ايضا ذلك اى انه لم يحل معضلة القط او غيرها لكنه كبح او روض tame هذه المعضلات...
السؤال الاخير الذى اختم به هذه الحلقة ما قبل الاخيرة: لكن كيف نحصل على التواريخ المنسجمة اصلا؟
لان الاغلبية الساحقة من التواريخ هى فى الواقع غير منسجمة...
احد الطرق الفيزيائية الاساسية هى ظاهرة تلاشى التلاحم decoherence والتواريخ الناجمة عن هذه الظاهرة تسمى التواريخ ذات التاريخ المتلاشى decohered history ..
انظر محاضرتى حول موضوع تلاشى التلاحم على هذه المدونة...
بعبارة اخرى فان التواريخ ذات التاريخ المتلاشى هى حالة خاصة من التواريخ المنسجمة و ليست هى كل التواريخ المنسجمة كما يظن الكثيرون...







اعظم تجربة كمومية

اعظم تجربة كمومية فى  رأيى هى تجربة الاختيار المؤجل لويلر لا هى قط شرودينغر و لا هى ام التجارب الكمومية لفايمان و لا هى ال EPR او التشابك الكمومى لا ينشتاين او نسخة بوم و بال لتجربة التشابك الكمومى لاينشتاين و لا هى الانتحار الكمومى لتاغمارك او غيرها من التجارب او التأثيرات الكمومية العجيبة و الغريبة ..
الاختيار المؤجل هى الاغرب لانها هى الاقرب للفهم و الاكثر معقولية فى التنفيذ لكن تحتوى على كل شيئ كمومى يتحدى العقل الارسطى... 
اذا فهمتموها ثم اكتشفتم فجأة بعد العناء انكم لم تفهموها فقد بدأتم فعلا تفهمونها  ووضعتم رجلكم الاولى على السكة الكمومية..
انظروا شرحى لها على هذه المدونة..

السقوط الحر داخل ثقب اسود..


نعتبر مسألة السقوط الحر لجسم داخل ثقب اسود سقوط قطريا او بمصطلحاتنا الشعبية سقوطا عموديا على السطح...
هذه مسألة سوف ننظر اليها من منظورين مختلفين تماما...
من منظور ملاحظ عطالى يسقط مع الجسم بشكل حر و المنظور الآخر منظور ملاحظ عطالى مقارب asymptotic اى ملاحظ ثابت يتفرج على السقوط من مكان بعيد خارج الثقب...
تذكروا ان الثقب الاسود هو جملة غير عادية اى ليس نجم عادى او نوترونى او قزم ابيض او اى من هذه الاجرام السماوية لان الثقب الاسود له افق يسمى افق الحدث الذى هو سطح كروى محيط به فاصل بين منطقة العودة و منطقة اللاعودة...
الثقب الاسود هو المعادلة (h) فى الصورة...و R_s فى تلك المعادلة هو افق الحدث الشهير المشهور بطل هذه القصة...
نبدأ من الملاحظ المسكين الذى يسقط مع الجسم...
هذا الملاحظ الساقط سقوطا حرا سوف يقيس زمن سقوط يسمى الزمن الذاتى-المعادلة (j) فى الصورة- وعندما يعبر الجسم الساقط افق الحدث فان الساعة خاصة هذا الملاحظ تسجل زمن منته يمكن ان نعطيكم عبارته...المعادلة k فى الصورة...
لكن بالنسبة للملاحظ العطالى الذى ينظر من بعيد فهو يسجل زمن يسمى زمن الاحداثيات -المعادلة (i) فى الصورة- وهذا الزمن الذى يقيسه هذا الملاحظ يزداد و بشكل سريع كلما اقترب الجسم الساقط من افق الحدث حتى يصل الى مالانهاية..
اذن بالنسبة للملاحظ الذى ينظر من بعيد فان الجسم الساقط يأخذ زمن لا نهائى حتى يصل الى افق الحدث او بالاحرى فان الجسم الساقط لا يصل ابدا الى افق الحدث وهذا ما نقوله بالضبط: بالنسبة لملاحظ عطالى ثابت خارج الثقب الاسود فان اى جسم ساقط سقوط حرا داخل الثقب الاسود لا يعبر ابدا افق الحدث لاننا لا نراه ابدا يعبر الثقب رغم اننا متيقنين انه يعبره...
وهذا هو نوع اليقين الذى لا تعلمه لك الا الفيزياء...
بعبارة اخرى فانه بالنسبة لهذا الملاحظ الخارجى فان الفضاء ينتهى عند افق الحدث و لهذا سمى الافق افقا!!!
وهكذا فليفرح محبو النسبية بالنسبية لان هذا من اثار النسبية و ليس للكمومى اى ذنب فى اى شيئ هنا...
للمقارنة بين الزمن الذى يقيسه الملاحظ الساقط مع الجسم و الملاحظ خارج الثقب انظر المنحنيات فى الصورة (m).. اذا فهمتها فانك فهمت كل شيئ...
هذا التأثير المعروف جدا بالنسبة لمن يعرف الثقوب السوداء هو السبب الاساسى لماذا يشع و يتبخر الثقب الاسود وكل المعضلات المرافقة لذلك او هذا ما يقوله بولشينسكى Polchinski و هذا ما لا يعرفه الكثيرون...

تفسير التواريخ المنسجمة 3


فى هذا التفسير حالة الجملة و كذلك خواصها الفيزيائية يعبر عنها كلها بمؤثرات operators على فضاء هيلبرت Hilbert space تسمى مسقطات projectors ...
اذن لا وجود لدالة الموجة...
وكذلك القياسات غير موجودة..لكن تعوضها التواريخ المنسجمة اى التواريخ التى تستنزف كل الامكانيات و كل واحد فيها حصرى بمعنى اذا وقع احدهم فان التواريخ الاخرى لن تقع اكيد وهذه هى العقلانية الاحتمالية التى يسعى وراءها الكل..
هذه التواريخ المنسجمة تشكل فيما بينها اطار و كل القضايا الكمومية يجب ان تصاغ بالنسبة الى اطار معين...
تفسير التواريخ المنسجمة هو النقيض لتفسير عديد العوالم many worlds بالضبط او هكذا يريد ان يدعى اصحابه...
فى تفسير عديد العوالم كل شيئ يراد ان يفسر عبر معادلة شرودينغر Schrodinger التى هى معادلة حتمية deterministic عكس ما يفهمه الكثير..
فى تفسير التواريخ المنسجمة يراد التخلص من التطور الاحادى unitary evolution لمعادلة شرودينغر تماما لصالح صياغة احتمالية من البدء وليس فقط ادخال الاحتمال كما يفعل تفسير الكوبنهاغن Copenhagen interpretation فى آخر لحظة بعد اجراء القياس measurment...
لنفصل هذه الامور بعض الشئ...
حالة الجملة الابتدائية psi0\ يعبر عليها بمسقط هو عبارة عن مصفوفة كثافة density matrix قد تكون مختلطة mixed...
أما الخواص الفيزيائية فهى يعبر عليها بمسقطات هى مصفوفات كثافة نقية pure ...
نفترض ان الحالة الابتدائية للجملة هى ايضا حالة نقية...
من الجهة الاخرى, فى هذا التفسير القياسات يعبر عليها بما يسمى التواريخ...
لنعرف ماهو التاريخ...
لتكن t0 اللحظة الابتدائية التى تعطى فيها حالة الجملة بالمسقط P(alpha0)..
لتكن t1, t2,..., tN لحظات لاحقة نعطى فيها الخواص الفيزيائية للجملة التى نعبر عليها بالمسقطات P(alpha1), P(alpha2),..., P(alphaN) ..
التاريخ و نرمز له ب C(alpha) هو مؤثر يؤثر على فضاء يسمى فضاء هيلبرت للتاريخ history Hilbert space نحصل عليه من الضرب التنسورى tensor product للمسقطات اعلاه كما فى المعادلة الاولى فى الصورة...
الجداء بين اى تارخين C(alpha) و C(beta) يساوى بالضبط الى الجداء السلمى للحالتين |alpha> و |beta> فى فضاء هيلبرت الأصلى المرفقتين بهذين التاريخين... |alpha> يسمى الحالة السلسلة chain state و هو نحصل عليه من تأثير المسقطات اعلاه-معبر عنها فى صورة هايزنبرغ Heisenber picture- على الحالة الابتدائية كما فى المعادلة الثانية فى الصورة..
نفس الشيئ بالنسبة للحالة |beta>...
احتمال الحصول على التاريخ C(alpha) يعطة بالضبط بقاعدة بورن Born: الجداء السلمى للحالة السلسلة |alpha> مع نفسها..المعادلة الثالثة فى الصورة...
نعتبر الآن عائلة F من التواريخ C معرفة كلها كما اعلاه انطلاقا من نفس الحالة الابتدائية كما فى المعادلة الرابعة فى الصورة...
الآن نصل الى لب الموضوع الى الحبكة الدرامية...
نريد ان نرفق بكل تاريخ من هذا التواريخ فى هذه العائلة و بشكل منسجم consistent -ومن هنا جاءت التسمية- احتمال...
هذه الاحتمالات يجب ان تجمع لواحد وهذا يعنى ان التواريخ فى العائلة F تغطى كل الامكانيات..نقول ان العائلة F تستنزف exhaust كل الامكانيات....وهذا يعطى رياضيا بالمعادلة الخامسة...
هذا الشرط الاول حتى تكون عائلة التواريخ F منسجمة...
الشرط الثانى حتى تكون عائلة التواريخ F منسجمة هو ان تكون التواريخ C التى تحتويها هذه العائلة متعامدة بمعنى ان جداءها السلمى ينعدم كما فى المعادلة السادسة..
هذا الشرط يعبر على كون الامكانيات المختلفة المعطاة بالتواريخ C هى امكانيات حصرية exclusive بمعنى ان كل تاريخ اما ان يقع هو او يقع غيره و لا يوجد امكانية تداخل او تركيب خطى اى اى شيئ مما نعرفه فى الميكانيك الكمومى العادى...
اذن عائلة التواريخ F هى عائلة منسجمة لان عناصرها هى تواريخ تستنزف كل الامكانيات و حصرية متنافية فيما بينها...وهذا هو روح نظرية الاحتمالات بالضبط العقلانية التى يريد هذا التفسير اختزال الميكانيك الكمومى اليها..
فى هذه الحالة عائلة التواريخ F تسمى اطار framework كمومى وكل النقاش الكمومى حول الجملة الفيزيائية و خواصها يجب اى ان يجرى داخل الاطار و داخل الاطار فقط حتى لا نقع فى معضلات لا تخضع للمنطق الرياضى لارسطو و فرايحى و غيرهما...
فمثلا احتمال تاريخ معين فى الاطار يعبر عن خواص حقيقية للجملة معطاة بالمسقطات-وهذا بغض النظر عن عملية القياس اجريت ام لم تجر- لكنها نؤكد انها خواص حقيقية فقط بالنسبة للاطار الكمومى قيد الاعتبار و ليس بالنسبة الى غيره من الاطر...
وهنا اشعر شخصيا بروح الكوبنهاغن التى يريد ان يهرب منها هؤلا ءالناس...
هذه القاعدة التى تسمى قاعدة الاطار الواحد the single framework rule مضمون نجاحها لانه كما ذكرنا اعلاه كل شيئ تتحكم فيه احتمالات بول Boole العادية و لا وجود اى تداخل بين التواريخ المختلفة...
للاشارة فان خاصتى الاستنزاف exhaustiveness و الحصرية exclusiveness تحتويهما المسقطات P اعلاه عبر ما يسمى خواص العاجزية idempotence و التعامد orthogonality و التتميم completness ..
اذن الاطار هو تفكيك اسقاطى projective decomposition لمصفوفة الوحدة...
اشارة اخرى اخيرة: التواريخ C التى عرفناها اعلاه هى مختلفة جذريا عن تواريخ الفيزيائى النظرى الفنان الشهير فايمان Feynman التى تدخل فى تكامله الشهير المشهور المعروف باسم تكامل الطريق path integral ..
التواريخ المنسجمة تأتى باحتمالات عادية و لا تتداخل اما تواريخ فايمان فتأتى بطويلات احتمال مركبة و تتداخل...
هنا التعقيد الكمومى سينجم ليس من التداخل او من التركيب الخطى لكن سينجم من وجود عدد غير منته من الاطر الكمومية غير المتلائمة incompatible التى يشبه كل واحد فيها العالم الكلاسيكى..
اذن رجعنا الى عديد العوالم -وهذا رأيى- وهو التفسير الآخر الذى اراد ان يهرب منه هؤلاء القوم الاذكياء!!!

ميكرو محاضرة: اشعاع هاوكينج

ميكرو محاضرة..محاضرة قصيرة بشكل غير معقول فى موضوع صعب جدا..انا الذى كتبت و رغم هذا مازلت غير مصدق اننى تمكنت من وضع كل شيئ مهم فى ورقة واحدة..فعلا خلاصة قصيرة جدا جدا..


لماذا اينشتاين هو اينشتاين! او دراما بدارية الحضيض الشمسى لعطارد..


حسب قانون كبلر Kepler الاول فان مسار او مدار اى كوكب حول الشمس هو قطع ناقص اى اهليلج حيث تقع الشمس فى احد المحرقين...
هذا القانون الاومبيريكى empirical واخويه المبنيين على المشاهدة المحضة هو ما استعمله نيوتن لاستنتاج قانون الجذب العام الذى ينص على ان قوة الجذب الثقالى بين جسمين تتناسب مع جداء الكتلتين طردا و مع المسافة مربع عكسا...
الآن نحن نعرف ان قانون الجذب العام لنيوتن-اى ان القوة تتناسب عكسا مع المسافة مربع- هو الاصل فى اعطاء قوانين كيبلر و ليس العكس...
وفى الواقع هناك مبرهنة عظيمة فى الميكانيك التحليلى تسمى مبرهنة برتراند Bertrand's theorem تنص على ان القوتان الوحيدتان التى يمكن ان تؤديا الى مدارات مغلقة هما: القانون المربع العكسي inverse square law-التى اكتشفها نيوتن كما ذكرنا اعلاه و التى تعطى قوة متناسبة عكسا مع مربع المسافة, وقانون هوك Hook الذى يعطى قوة متناسبة طردا خطيا مع المسافة...
اذن العملية فى الاخير هى رياضيات بحتة من النوع الحسابى المحض الذى يمكنك ان تتثق فيه و لا هى مشاهدة و لا حس و لا اومبيريك و لا تجربة و لا منطق و لا لغة و لا اى شيئ آخر لا يمكننا ان نتحكم فىه بسبب كثرة المشككين و الفصحاء!!!...
اذن حسب قانون كيبلر الاول فان جميع المدارات هى اهليليجية اى قطعية ناقصة حول الشمس و الشمس تقع فى احد المحرقين-اى احد مركزى القطع الناقص:لانه قطع ناقص وليس دائرة فله اذن مركزين-..انظر الصورة..
لكن كل كل اى كل تعميم يجب ان يكون له استثناء..
هذه عليكم ان تتيقنوا منها فى الطبيعة و تتيقنوا ان يقينكم فى العلم غير يقينى فكما ان هناك اسباب كونية طبيعية هناك اسباب فيزيائية رياضية..
والكل يمكن ان يتخلف لاسباب كونية طبيعية او اسباب فيزيائية رياضية لا نعرفها...
وهكذا...
الآن الاستثناء لقانون كيبلر الاول هو كوكب عطارد الذى يعانى من ظاهرة تسمى بدارية الحضيض الشمسى لعطارد Mercury perihelion precession ...
الحضيض الشمسى هى النقطة على مدار الكوكب التى يكون فيها الكوكب اقرب الى الشمس...
هذه النقطة لو كان المدار اهليليجى مضبوط تقع فى نفس المكان فى كل دورة كاملة للكوكب...
لكن الملاحظ ان هذه النقطة اى الحضيض الشمسى لعطارد تدور هى الاخرى وهذا ما يسمى بدارية الحضيض..
هذا يعنى ان مدار عطارد ليس مغلقا حقيقة و محاور القطع الناقص خاصته تدور هى الاخرى بفعل قوى اخرى غير قوة الشمس لم تؤخذ بعين الاعتبار...
وهذا الدوران هو ما يسمى البدارية precession ... اى ان البدارية هو عندما يكون محور دوران حركة ما هو نفسه فى حالة دوران حول محور آخر..
اذن الحضيض الشمسى لعطارد يدور فى حركة تسمى البدارية...
وهو يكمل دورة كاملة كل 23000 سنة اى ما يقابل 566 قوس ثانية فى القرن...
تأثير الكواكب الاخرى على حركة عطارد و بالخصوص المشترى يؤدى بعد الحساب الكلاسيكى-وهو من ادق انواع الحساب- الى بدارية تساوى 523 ثانية فى القرن...
يبقى اذن 43 قوس ثانية فى القرن التى اعجزت اجيال من الفيزيائيين و الفلكيين لمدة ثلاثة قرون من الزمان وقد فعلوا فعلا المستحيل بافكار و تقنيات فى منتهى الابتكار و الاصالة لكن لا احد استطاع حساب هذه ال 43 قوس ثانية المتبقية او يعرف اصلها...
حتى جاء اينشتاين..
الشمس كتلتها كبيرة جدا الى الحد انها تؤثر فى بنية الفضاء-زمن حولها وتُحنيها...
والعطارد هو قريب جدا بحيث هو الذى يشعر اكثر بهذا التغيير او الانحناء فى بنية الفضاء-زمن..
اذن الكواكب الاخرى هى ايضا تعانى بدارية لكنها ضعيفة جدا لانها بعيدة عن الشمس...
تأثير الشمس -او اى كتلة نجمية اخرى و حتى الثقوب السوداء- على الفضاء-زمن يمكن حسابه من معادلات اينشتاين للنسبية العامة لنجد فى الاخير ان القوة التى تؤثر بها الشمس على الكوكب هى ليست فقط القانون المربع العكسيى بل تحتوى على جزء اضافى معطى بالقانون الرباعى العكسى اى متناسب عكسا مع المسافة مرفوعة للقوة اربعة..انظر المعادلة فى الصورة الثانية..
من اجل البرهان على هذا القانون يمكن النظر الى كتابى فى النسبية العامة و الامور المتعلقة بها الباب 2.1.2 صفحة 38 ...
الآن نحل معادلات نيوتن للحركة مرة اخرى باستعمال هذا القانون المعدل سنحصل بالضبط على 43 قوس فى الثانية...من اجل البرهان التحليلى انظروا كتابى اعلاه الباب 2.1.3 صفحة 42...
وحتى تتأكدوا ان النظريين الحقيقيين يحبون التجربة الحقيقية فاننى شخصيا قد قمت ايضا بالتجربة الخاصة بهذا الموضوع مع الطلبة منذ حوالى خمسة سنوات وهى تجربة افتراضية تعتمد على حل قانون نيوتن الثانى عدديا باستعمال قانون القوة المعدل فى الصورة و باستعمال خوارزميات رونج-كوتا Runge-Kutta العددية و وجدنا بالضبط ال 43 قوس فى الثانية...
واضيف و اقول ان هذه المحاكاة هى من افضل ما كتبت فى اطار مادة الفيزياء العددية التى ادخلتها فى برنامج الفيزياء فى جامعة عنابة ابتداءا من عام 2009..
هذه المحاكاة هى المحاكاة رقم 7 التى تجدونها فى كتابى الاخر عن الفيزياء العددية باب 4.7 صفحة 50...
أما خطوات الحساب العددى فهى بسيطة الى حد ما تجرى كالاتى:
-نقيس الزاوية التى يصنعها الخط الرابط بين عطارد والشمس مع المحور الافقى عندما يكون عطارد فى نقطة الحضيض الشمسى من اجل قيم مختلفة لوسيط اينشتاين اى المعامل الفا الذى فى المعادلة فى الصورة الثانية..
-لو كان المدار اهليليجى بالضبط لكانت هذه الزاوية دائما ثابتة فى كل دورة لعطارد حول الشمس...
-لكن بسبب البدارية هذه الزاوية نجدها تتغير مع الزمن خطيا...
-نحسب التغير فى الزمن لهذه الزاوية كدالة فى وسيط اينشتاين الفا..بعض القياسات فى الصورة مأخودة من كتابى الثانى اعلاه...
-هذا التغير هو بالضبط كمية البدارية..
عملية استقطاب extrapolation هذا التغير الى قيمة الفا التى تعطيها النسبية العامة-وهى قيمة صغيرة جدا انظر مرة اخرى للمعادلة فى الصورة الثانية- نحصل بالضبط على ال 43 قوس فى الثانية...
وهذا هو لماذا اينشتاين هو اينشتاين..وبعضهم يظن الامر خرافة و مبالغة و هذا من جهله فقط..فالامر فعلا عظيم...
واختم بالقول ان هذا التأثير: بدارية الحضيض الشمسى لعطارد كان قد اكتشفه اولا الفلكى الاندلسى المسلم الزرقلى و هذا قبل ان تذهب الاندلس و تذهب معها قوة اندفاعنا الفلسفية و العلمية و كل شيئ آخر ذى قيمة و لم يبق لنا اليوم الا الكلام و البكاء على الاطلال...



تفسير التواريخ المنسجمة 2:



نعتبر جملة فيزيائية و ليكن O1 و O2 مقداران فيزيائيان...
الجملة كمومية اذن حالاتها عبارة عن اشعة فى فضاء يسمى فضاء هيلبرت Hilbert space..
الحالة الابتدائية فى اللحظة الابتدائية t0 تعطى بشعاع فى فضاء هيلبرت او بمصفوفة كثافة density matrix نرمز لها ب R0(t0) ...
و O1 و O2 مؤثران operators على فضاء هيلبرت...
نفترض ان O1 و ِO2 لا يتبادلان not commuting كمؤثران بمعنى O1.O2 لا يساوى O2.O1 ..نقول فى هذه الحالة ان O1 و O2 غير متلائمان incompatible ...
نقيس الملاحظ O1 فى اللحظة t1 لنجد القيمة p1 ..
على فضاء هيلبرت نعبر على القياس الاول p1 بمؤثر نرمز له ب P1 يسمى المسقط projector على الفضاء الجزئى فى فضاء هيلبرت المرفق بهذه القيمة الذاتية..
احتمال الحصول على هذا القياس يعطى بالضبط بالعلاقة الاولى فى الصورة التى هى قاعدة بورن Born..
بعد القياس الاول تنهار collpases مصفوفة الكثافة R0(t0) الى مصفوفة الكثافة R1(t1) المرفقة بالقيمة الذاتية p1 المعطاة بالمعادلة الثانية فى الصورة وهذه هى قاعدة فون نيومان Von Neumann ..
نقيس الآن الملاحظ O2 فى اللحظة t2 لنجد القيمة p2 ..
ايضا نعبر عن القياس الثانى p2 بمؤثر نرمز له ب P2 هو المسقط على الفضاء الجزئى فى فضاء هيلبرت المرفق بهذه القيمة الذاتية..
الاحتمال الشرطى conditional probability للحصول على القياس الثانى بافتراض ان القياس الاول تم بعطى مرة اخرى بقاعدة بورن كما فى المعادلة الثالثة فى الصورة...
اذن احتمال الحصول على القياس الاول P1 فى اللحظة t1 و القياس الثانى P2 فى اللحظة t2 يعطى بالاحتمال الشرطى مضروب فى الاحتمال الاول..نحصل على المعادلة الرابعة فى الصورة...
التعميم...
احتمال الحصول على القياسات P1(t1), P2(t2),...., Pn(tn) فى اللحظات t1, t2,...,tn بافتراض ان حالة الجملة الابتدائية معطاة بمصفوفة الكثافة R0(t0) يعطى بالقاعدة فى المعادلة الاخيرة فى الصورة....
مجموعة المسقطات P1(t1), P2(t2),...., Pn(tn) فى اللحظات t1, t2,...,tn تعرف ما يسمى بالتاريخ الكمومى quantum history..
وهذه الآن تؤخذ كنقطة الانطلاق فى ما يسمى الميكانيك الكمومى المنسجم consistent quantum mechanics...
هذا الميكانيك الكمومى المنسجم يتم التخلى فيه عن دالة الموجة و القياسات لصالح المسقطات و التواريخ...يتم فيه التخلص من التطور الحتمى لمعادلة شرودينغر بالكامل لصالح تفسير احتمالى بالكامل..وامور اخرى كثيرة سنفصل اهمها فى حلقتين مقبلتين ان شاء الله..

الطيب والشرس والقبيح

الطيب والشرس والقبيح
the Good, the Bad and the Ugly
البعض يريد ان يصبح فيزيائيا نظريا عظيما عن طريق التأمل فقط..
والبعض الآخر عن طريق التفلسف..
والآخر عن طريق الحساب النظرى التحليلى فقط..
والآخر عن طريق الحساب التجريبى العددى فقط...
أما بعضهم فاكثر طموحا يريدون ان يجعلوا غيرهم يقومون بكل شيئ و هو يسيرون فقط من فوق...
وبعضهم يريدها اجتماعيات او سياسيات او اداريات او او...
اقول الفيزيائى النظرى الجيد هو الذى يحسب نظريا تحليليا و يحسب تجريبيا عدديا قبل كل شيئ و اى شيئ...
أما الذى يفعل هذا الحساب التحليلى و هذا الحساب العددى ثم يفعل كل الامور الاخرى من التأمل و التفلسف و القيادة و غيرها فهو فيزيائى نظرى شرس وليس جيد....
أما الذى يريد ان يفعل كل شيئ ما عدا الحساب النظرى و التحليلى فهو الفيزيائى النظرى القبيح...
وهذه رؤيتى احب من احب و كره من كره...
ملحوظة: the good, the bad and the ugly هو فيلم من نوع الواسترن السباغيتى من عهد الستينات اخراج سرجيو ليونى و بطولة كلينت استود..ثانى افضل فيلم واسترن رأيته فى حياتى و هذا رأيى و لا يهمنى ما يقوله المختصون لكن فى الاخير هم يقولون فعلا هكذا...

التوزيع الاعتيادى


اللغة تسببت فى مشكل آخر...
عندما نتكلم عن الصدفة رياضيا و فيزيائيا فاننا نقصد توزيع احتمال بخواص رياضية معينة..
لا هى فلسفة و لا اى شيئ...
المعادلة فى الصورة تعطى اشهر توزيع احتمال المعروف باسم
لنعتبر مقدار فيزيائي يتبع هذا القانون..
هذا المقدار اذن سيأخذ قيم بشكل عشوائى حسب هذا القانون...
انظروا المنحنى فى الصورة...
رغم ان هذه صدفة و عشوائية فان كل شيئ مضبوط..
وهذا رغم ان كل قياس للمقدار هو عشوائى تماما لا يمكن ابدا ان نتنبأ به و لا يتعلق لا بالقياس الذى قبله و لا بالقياس الذى بعده...
الا اننا نعرف امور اخرى كثيرة...
مثلا القيمة المتوسطة mu\ لجميع قيم المقدار الفيزيائى تعطى بالنقطة الاعظمية...
الانحراف المعيارى sigma\ هو متناسب مع الخطأ...
الآن 68 بالمائة من قيم المقدار رغم انها عشوائية تماما الا انها ستكون محصورة داخل انحراف معيارى واحد...
و 95 بالمائة محصورة بين انحرافين...
و 99 بالمائة محصورة بين ثلاث انحرافات معيارية..
توزيع الاحتمال خاصة المشاء العشوائى-انظر المنشور الخاص بهذا الامر- سيتناهى الى هذا التوزيع اذا كان عدد الخطوات لا نهائى و طول الخطوة لا متناه فى الصغر...


التوزيع الاعتيادى...

المنطق الكمومى 2


خلاصة الحلقة السابقة:
اى خاصية فيزيائية p لاى جملة فيزيائية يعبر عنها بمسقط P يؤثر على فضاء هيلبرت للحالات...
الخاصية p ونفيها not p لا يغطيان فضاء هيلبرت بالكامل..
بالعكس اغلب الحالات فى فضاء هيلبرت هى حالات لا تتمتع لا بالخاصية p و لا بالخاصية not p ...اى لا تخضع لقانون ارسطو الثالث المعروف باسم الثالث المرفوع....
هذا يرجع الى سبب رياضى-فيزيائى بسيط الى حد ما غير موجود فى الميكانيك الكلاسيكى: الخواص الفيزيائية مرفقة فى العموم بمؤثرات على فضاء هيلبرت غير متلائمة بمعنى انها لا تتبادل...

مثال-دائما مفيد-:
نأخذ ذرة عزمها الحركى الذاتى يساوى نصف...
فى هذه الحالة فضاء هيلبرت هو مستوى مركب يعنى يمكن رسمه و تصوره...
نأخذ الخاصية الفيزيائية p: قيمة السبين فى الاتجاه z يساوى نصف...
هناك حالات يعبر عنها بخط مستقيم يمر عبر المبدا تتميز بالضبط بالخاصية p اى ان السبين فى الاتجاه z يساوى نصف...
نفى p اى ان الخاصية التى تنص على ان سبين السبين فى الاتجاه z يساوى ناقص نصف تعبر عنها ايضا مجموعة من الحالات تقع على خط مستقيم يمر عبر المبدأ عمودى للخط اعلاه...
لان الجسيم كمومى فان قيمة السبين مكممة اما زائد نصف او ناقص نصف...لهذا نفى زائد نصف هو ناقص نصف و العكس..أرأيتم?
نأخذ خاصية أخرى q: قيمة السبين فى الاتجاه x يساوى نصف...
هذه تقابل خط مستقيم آخر مختلف و نفيها يعبر عنه بخط مستقيم عمودى لهذا الخط الاخير...
السبين فى الاتجاه z و السبين فى الاتجاه x يعبر عنهما بمؤثرات غير متلائمة و بالتالى فان المسقطات المقابلة غير متبادلة وهذا غير موجود فى الميكانيك الكلاسيكى وهو ما يتسبب فى انهيار الثالث المرفوع...
جديد هذه الحلقة:
نعبر الآن عن القضية p اعلاه بالمسقط P و نعبر عن القضية q بالمسقط Q ...
الاقتران conjunction المعطى بالقضية: P و Q هى قضية معرفة دائما فى الميكانيك الكلاسيكى تعطى فى الفضاء الطورى بتقاطع مجموعتى النقاط المرفقتين بالخاصيتين p و q ...
أما فى الميكانيك الكمومى فان القضية: P و Q -اى القضية التى تقول ان سبين الالكترون فى الاتجاه z يساوى نصف و سبين الاكترون فى الاتجاه x يساوى نصف- غير معرفة تماما لانه بكل بساطة لا يوجد خط مستقيم فى فضاء هيلبرت يقابل هذه الخاصية...
بعد التحقق و التحقيق-وقد اخذ منى عدة ايام- هذه معضلة كان يعلم بها تماما العبقرى الانيق فون نيومان Von Neumann عكس ما قاله لنا بعض الاصدقاء منذ ايام...
ففون نيومان رياضى ومنطقى محنك قبل ان يكن فيزيائى نظرى و يستحيل ان يمر عليه شيئ مثل هذا..
الحل الذى اقترحه مع بيركوف Birkhoff كما يلى:
القضية P و Q تُقابل بتقاطع الخطين كما ذكرنا بالضبط اعلاه..هذا التقاطع هو فقط نقطة المبدأ اى الصفر-هل ترون ذلك?-...الفضاء العمودى المتمم لنقطة المبدا هو فضاء هيلبرت باكمله: الذى يقابل القضية الوحدة اى القضية الصحيحة دائما..اذن الصفر او نقطة المبدأ هى القضية الخاطئة دائما...
وهذا ما يقابل المجموعة الخالية-اى القضية الخاطئة دائما- فى الميكانيك الكلاسيكى..
نأخذ الآن القضية التى فى الصورة...
الطرف الايسر دائما خاطئ لانه اقتران قضيتين خاطئتين من النوع الذى ذكرناه منذ لحظة..
اما الطرف الايمن فهو يمكن ان يكون صحيح...
وهذا تناقض منطقى اخطر بكثير من انهيار الثالث المرفوع..
الحل الذى اقترحه فون نيومان و بيركوف هو التخلى عن قاعدة التوزيع المنطقى التى استخدمت فى السطر الاول من المعادلة فى الصورة...
وهذا سيؤدى الى ما يعرف بالمنطق الكمومى quantum logic ...
والحمد لله على الفيزياء النظرية...

المنطق الكمومى 1


نعتبر جملة فيزيائية ما...
فى الميكانيك الكلاسيكى حالة هذه الجملة توصف بنقطة فى فضاء سمبليكتى symplectic يسمى الفضاء الطورى...
فى الميكانيك الكمومى حالة الجملة توصف بشعاع فى فضاء شعاعى مركب يسمى فضاء هيلبرت...
لتكن p خاصية فيزيائية معينة للجملة...
فى الميكانيك الكلاسيكى القضية p تقابل مجموعة من النقاط P فى الفضاء الطورى..
أما فى الميكانيك الكمومى فان القضية p تقابل فضاء جزئى P من فضاء هيلبرت...
من الناحية المنطقية هذه الخاصة p هى قضية معينة حول الجملة مثلا: العزم الحركى للجملة يساوى نصف...
نفى p و نرمز له not p هو ايضا خاصية معينة للجملة و هى تقابل المجموعة المتممة complement set للمجموعة P و نرمز لها ب P^c ...
أما فى الميكانيك الكمومى فان النفى المنطقى يقابل التعامد...
فنفى p اى not p يقابل المتمم العمودى orthogonal complement الذى نرمز له P^p للفضاء الجزئى P اى كل شعاع فى P^p هو عمودى لكل شعاع فى P...
فى الميكانيك الكمومى نعبر عن الخاصية p رياضيا بمؤثر يسمى المسقط projector على الفضاء الجزئى المقابل للخاصية ونرمز له ب O ...
الخاصة not p تقابل المسقط العمودى الذى يساوى 1 ناقص O ...
الصدمة:
فى الميكانيك الكلاسيكى اى نقطة من الفضاء الطورى هى اما p او not p ..لا يوجد شيئ آخر...
وهذا هو قانون المنطق الثالث: قانون الثالث المرفوع law of excluded middle ...
لكن فى الميكانيك الكمومى..فضاء هيلبرت يحتوى على نقاط لها الخاصية p وهناك نقاط لها الخاصية not p ..لكن هناك نقاط اخرى عددها اكبر بكثير ليست لها لا الخاصية p و لا الخاصية not p...
ساقنعكم بمثال بسيط جدا:
نأخذ جملة عبارة عن ذرة ذات سبين يساوى نصف...
فضاء هيلبرت هو مستوى مركب فى هذه الحالة..
نأخذ الخاصية p حالة الذرة ذات السبين فى الاتجاه z يساوى نصف.. هذه الحالة يعبر عنها بخط فى فضاء هيلبرت يمر عبر المبدأ ..
الحالة not p هى حالة الذرة ذات السبين فى الاتجاه يساوى ناقص نصف..هذه الحالة يعبر عنها بخط عمودى للخط السابق فى فضاء هيلبرت..
لكن هناك عدد نهائى آخر من الخطوط التى تمر عبر المبدأ..
مثلا حالة الذرة ذات السبين فى الاتجاه x يساوى نصف..يعبر عنها بخط مختلف يمر عبر المبدأ
وحالة الجملة ذات السبين فى الاتجاه x يساوى ناقص نصف, يعبر عنها بخط مختلف يمر عبر المبدأ..
الخ..
هذه كلها حالات يعبر عنها بخطوط فى فضاء هيلبرت مختلفة عن الخطين السابقين...
نعبر عن هذا الامر رياضيا كالاتى..
اذا كان السبين S_z فى الاتجاه z مرفق بالمسقط O_z و كان السبين S_x فى الاتجاه x مرفق بالمسقط O_x فانه مباشرة نلاحظ ان ضرب O_z فى O_x لا يساوى ضرب O_x فى O_z اى
O_xO_z# O_zO_x
المسقطان O_x و O_z لا يتبادلان وبالتالى فان السبينيات S_x و S_z تسمى مؤثرات غير متلائمة incompatible operators ...