الصراع بين المنطق و الحس مرة اخرى يبدو لصالح الحس..

الشقيقتان كاترين Katrin و ميلانى Melanie باكر Becker فى كتابهم عن نظرية الاوتار و النظرية م مع احد رواد هذا المجال جون شوارز John Schwarz تتحسران على ان الطبيعة ربما لم تستغل فرصة التناظرات الممتازة supersymmetries فى بناءها خاصة ان هذه الاخيرة-اى التناظرات الممتازة-لم تكتشف لحد الساعة و النتائج التجريبية الاخيرة ل ATLAS و CMS لم تكن فى صالح التناظرات الممتازة..

الكوسمولوجى فى الخمسينات

درس فى الهندسة التفاضلية و الطوبولوجيا 4: الاشكال التفاضلية

خلاصة ما ذكرناه سابقا

المتشعب manifold ونرمز له ب $M$ هو اذن فضاء منحنى يشبه الفضاء الاقليدى موضعيا اى فى كل نقطة منه...

مثال مشهور الكرة..مثال آخر اشهر اى فضاء-زمن...

الفضاء الشعاعى المماس tangent vector space و نرمز له ب $T_p(M)$ هو فضاء شعاعى يمس المتشعب $M$ فى النقطة $p$...اساس هذا الفضاء الشعاعى يعطى بالمشتقات الجزئية الاتجاهية $\partial/\partial x^i$ ....هذه المشتقات تعرف حقل شعاعى على المتشعب لان اى شعاع $v$ فى $T_p(M)$ يعطى ب

\[v=\sum_i v^i\frac{\partial}{\partial x^i}.\]

الاعداد $v^i$ هى اعداد مركبة اى فى $C$ وهى تعطى مركبات الشعاع $v$..

الفضاء الشعاعى المماس المرفق cotangent vector space و نرمز له ب $T_p^*(M)$ هو فضاء شعاعى ثنوى dual للفضاء الشعاعى المماس $T_p(M)$...
ثنوى يعنى بكل بساطة ان عناصر $T_p^*(M)$ هى داليات خطية linear functional من الفضاء $T_p(M)$ الى الاعداد المركبة..هذا الفضاء هو ايضا فضاء شعاعى يعطى اساسه بالتفاضلات التامة $dx^i$...هذه التفاضلات التامة تعرف داليات خطية من $T_p(M)$ نحو $C$ تعطى بالضبط بالجداء السلمى

\[(\frac{\partial}{\partial x^i},dx^j)=\delta_i^j.\]

اى عنصر $u$ فى $T_p^*(M)$ يمكن نشره فى الاساس $dx_i$ كما يلى 

\[u=\sum_i u_idx^i.\]

الاعداد المركبة $u_i$ هى مركبات $u$...

عناصر الفضاء الشعاعى المماس $T_p(M)$ تسمى حقول شعاعية vector fields او اشعة اختصارا...ومركباتها $v^i$ تحمل دليل علوى يسمى متغاير عكسى contravariant ....

اما عناصر الفضاء الشعاعى الثنوى $T_p^*(M)$ فتسمى الاشكال التفاضلية من الرتبة الاولى او الاشكال- الاولى one-forms  اختصارا... ومركباتها $u_i$ تحمل دليل سفلى يسمى متغاير covariant ...

انطلاقا من الاشعة و من الاشكال-الاولى يمكننا تعريف اى تنسور tesnor من الرتبة $k+l$ على انه جسم رياضى $T$ يحمل $k$ دليل متغاير و $l$ دليل متغاير عكسى نرمز له او بالاحرى لمركباته ب $T_{i_1...i_k}^{j_1...j_l}$ اى انه عنصر فى الفضاء الشعاعى الذى نحصل عليه بالضرب التنسورى ل $k$ فضاء شعاعى $T_p(M)$ و $l$ فضاء ثنوى $T_p^*(M)$:

\[T\in T_p(M)\otimes...T_p(M)\otimes T_p^*(M)\otimes....\otimes T_p^*(M).\]

الجداء الخارجى و الاشكال التفاضلية

نعرف الآن الجداء الخارجى exterior derivative لكارطان Cartan بين الاشكال التفاضلية الاولى على انه الجداء التنسورى الضدتناظرى antisymmetric المعطى ب

\[dx\wedge dy=\frac{1}{2}(dx\otimes dy-dy\otimes dx)=-dy\wedge dx.\] 

ناتج الضرب هو شكل تفاضلى من الرتبة الثانية او الشكل-الثانى two-form اختصارا...

اذن الضرب الخارجى للاشكال-الاولى يعطى الاشكال-الثانية..

كما ان الاشكال-الاولى تعبر عن الطول اللامتناهى فى الصغر فان الاشكال-الثانية تعبر عن المساحة اللامتناهية فى الصغر...

يمكن ايضا تكوين الاشكال التفاضلية الثالثة او الاشكال-الثالثة باخذ الجداء الخارجى للاشكال-الاولى و الاشكال-الثانية...

بصفة عامة يسمح لنا الجداء الخارجى لكارطان بتكوين الاشكال التفاضلية من الرتبة $p+q$ بضرب الاشكال من الرتبة $p$ مع الاشكال التفاضلية من الرتبة $q$...

الاشكال التفاضلية هى اجسام رياضية مرتبطة بحقول التنسورات المتغايرة الضدتناظرية antisymmetric covariant tensor fields اى انها تنتمى الى الفضاء

\[T_p^*(M)\wedge....\wedge T_p^*(M).\]

اذا كان $\Lambda^p$ هو فضاء التنسورات المتغايرة الضدتناظرية فان فضاء الاشكال التفاضلية $F$ من الرتبة $p$ هو $C^{\infty}(\Lambda^p)$ اى هى العناصر من الشكل

\[F=\sum_{i_1}...\sum_{i_p}F_{i_1...i_p}dx^{i_1}\wedge....\wedge dx^{i_p}.\]

على متشعب بعده $n$ يمكن ان تأخذ الرتبة $p$ القيم من $0$ (وهى الدوال العادية) الى القيمة $p=n$ وهو الشكل الحجمى volume form على المتشعب المعرف ب 

\[dV=dx^1\wedge dx^2....\wedge dx^n.\]

انظر الصورة..

فضاء التنسورات المتغايرة الضدتناظرية $\Lambda^p$ هو فضاء شعاعى بعده

\[\frac{n!}{p!(n-p)!}.\]

الحالة الكمومية ليست فقط غير متعينة بل هى غير موجودة!!

الحالة الكمومية لأى جملة فيزيائية هى ليست فقط غير معروفة قبل فعل القياس بل هى فى الواقع غير موجودة..
هذا هو الموقف الرسمى لمدرسة كوبنهاغن  اعتمادا على مبرهنة بال Bell..
يبقى كيف يجب ان ننظر الى هذا الامر ميتافيزيقيا فهنا الخلاف الشديد بين المدارس المختلفة...
لكن غيرهم -مثلا التاريخ المنسجم- يرفضون التفسير اعلاه للحالة الكمومية...
مدرسة كوبنهاغن تقول اذن ان الحالة غير موجودة...عديد العوالم تقول ان الحالة موجود فى عوالم مختلفة..اما التاريخ المنسجم و بوم فيقولان ان الحالة غير متعينة..
  اذن نكرر حتى نحفظ....فالحفظ ايضا مهم... قبل الفهم ربما لكن بعد الفهم أكيد: الحالة الكمومية قبل القياس هى ليست فقط غير متعينة بل هى غير موجودة ...

مخطط هرتزبرونغ-راسل او الاضاءة بدلالة درجة الحرارة

 Hertzsprung-Russel
اشهر المخططات فى الكوسمولوجى...
ترسم فيه النجوم كنقطة حسب اضاءتها -المحور العمودى- و درجة حرارتها -المحور الافقى-...
السلسلة الرئيسية هى النوع الشاب من النجوم -مثل الشمس- شريط رمادى منحنى يقطع الصورة من اعلى الى اسفل...
ثم هناك الاقزام البيضاء -اسفل- و العمالقة و العمالقة الممتازة -اعلى-...
هناك ايضا شريط اللااستقرار instability strip وهو اين تتواجد النجوم النباضة..

الاجرام السماوية الاكزوتيك exotic مثل الثقوب السوداء و النجوم النوترونية و النجوم الكواركية والنوفا و السوبرنوفا لا يمكن ان تظهر فى هذه الصورة...

درس قصير فى الهندسة التفاضلية و الطوبولوجيا 3

فى الصورة الاشكال التفاضلية differential forms لمتشعب manifold بعده n...
هذه الاشكال هى من الرتبة صفر -اى الدوال العادية- الى الرتبة n و هو الشكل الحجمى volume form على المتشعب...
هذا هو الذى سيلعب دورا محوريا فى اى نظرية حقل ذات تناظر معيارى مثلا الحقل الكهرومغناطيسى...
فالحقل الكهرومغناطيسى A هو شكل تفاضلى من الرتبة 1...
وشدة الحقل F-اى ما يسميه الناس بالحقل الكهربائى و الحقل المغناطيسى- فهو شكل تفاضلى من الرتبة 2...
وهكذا..
فى مرحلة معينة لا يمكن تدريس النظرية المعيارية بدون الاشكال التفاضلية..
مثلا عندما نصل مثلا فى نظرية الوتر الى براينات دريشلى Drichlet branes فانه لا يمكننا ان نستعمل غير لغة الاشكال التفاضلية لان درجة التعقيد لا تسمح لنا بغير ذلك..والطلبة عندى يعرفون هذا الامر جيدا ...
ترقبوا ان شاء الله الدرس 4 فى الهندسة و الطوبولوجيا حول هذا الموضوع..

درس فى نظرية الزمر و نظرية التمثيلات 3: الزمرتان $SU(2)$ و $SO(3)$...

العزم الحركى...

نبدأ بأمر معروف الى حد ما...

العزم الحركى فى الميكانيك الكمومى يعبر عنه بمؤثرات-اى مقادير فيزيائية- يعبر عنها فى هذه الحالة بمصفوفات نرمز لها ب $J_x$, $J_y$, $J_z$...

تذكروا ان العزم الحركى هو شعاع اذن له مركبات هى اسقاطاته على المحاور $x$, $y$ , $z$  التى تعطى بالضبط ب $J_x$, $J_y$ , $J_z$  على التوالى...

العزم الحركى كمصفوفات يحقق علاقات تبادل مشهورة تعطى ب

\[[J_x,J_y]=iJ_z~,~[J_z,J_x]=iJ_y~,~[J_y,J_z]=iJ_x.\]

هذه العلاقات تعبر فيزيائيا عن كوننا لا نتسطيع ان نقيس المركبات الثلاثة للعزم الحركى فى نفس الوقت...

لكن فيزيائيا يمكننا ان نقيس احد المركبات للعزم و التى نأخذها عموما المركبة $J_z$ فى الاتجاه $z$ و مربع العزم الحركى الذى يعرف ب

\[J^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2.\]

هذا ممكن فيزيائيا لانه رياضيا $J_z$ يتبادل مع $J^2$ اى $[J_z,J^2]=0$.....

كوننا نستطيع ان نقيس فى نفس الوقت $J_z$ و $J^2$ يعنى انه توجد اشعة حالة ذاتية مشتركة بين المؤثرات $J_z$ و $J^2$ نرمز لها ب $|jm\rangle$...

حيث $j$ هى القيمة الذاتية ل $J^2$ و $m$ هى القيمة الذاتية ل $J_z$ و نكتب 

\[J^2|jm\rangle=j(j+1)|jm\rangle~,~J_z|jm\rangle=m|jm\rangle.\]

القيم الذاتية نعنى بها بكل بساطة القيم التجريبية المقاسة التى سنجدها أكيد عند قياس هذه المقادير الفيزيائية عندما تكون الجملة الفيزيائية فى الحالة الكمومية $|jm\rangle$.....

نسمى القيمة الذاتية $j$ بعزم اللف او السبين spin...وهذا هو الاصل الذى يأتى منه السبين...

اما $m$ فيسمى فى بعض الاحيان بالعزم الكمومى المغناطيسى و هو يأخذ $2j+1$ قيمة فقط تعطى ب

\[j,j-1,j-2,....,-j+2,-j+1,-j.\]

اذن هناك $2j+1$ حالة ذاتية تشكل اساس لفضاء هيلبرت Hilbert مرفق بالسبين $j$ ..

العزوم الحركية $J_x$, $J_y$, $J_z$ و مربع العزم $J^2$ تمثل على هذا الفضاء الهيلبرتى بمصفوفات  $n\times n$ حيث 

\[n=2j+1.\]

نسمى ايضا فضاء هيلبرت المرفق بالسبين $j$ بتمثيلة السبين spin representation $j$....

اصغر قيمة ممكنة للسبين هى $j=1/2$ وفى هذه الحالة تعطى مصفوفات العزم الحركى بمصفوفات باولى اى $J_x=\sigma_x/2$, $J_y=\sigma_y/2$, $K_z=\sigma_z/2$ حيث 

\[ \sigma_1 = \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right|, \sigma_2 = \left| \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right| , \sigma_3 = \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right|.\]

ثانى اصغر قيمة للسبين هى $j=1$ وفى هذه الحالة تعطى مصفوفات العزم الحركى $ J_x=L_x$, $J_y=L_y$, $J_z=L_z$ p حيث

\[ L_1 = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right|, L_2 = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right| , L_3 = \left| \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0& \end{array} \right|.\]

لكن  اين هى نظرية الزمر و نظرية التمثيلات اعلاه? 

 

الذى قمنا به اعلاه هو اننا عرفنا اشهر زمرتين فى عالمى الزمر و الفيزياء...

جبرية العزم الحركى فى المعادلة الاولى اعلاه هىى جبرية لى Lie algebra التى يرمز لها برمزين مختلفين لكن متكافئن..هذه الجبرية يرمز لها ب

\[su(2).\]

او ب

\[so(3).\]

أما $su(2)$ فهى جبرية لى للزمرة $SU(2)$ ...

وأما $so(3)$ فهى جبرية لى للزمرة $SO(3)$...

رغم ان $su(2)=so(3)$ الا ان الزمرة $SU(2)$ لا تساوى الزمرة $SO(3)$ .... 

الزمرة $SU(2)$ هى غطاء مضعف double cover  للزمرة $SO(3)$ اى انها تغطيها مرتين..التعريف الرياضى المضبوط نتركه لفرصة اخرى...

الزمرة $SO(3)$  هى زمرة الدورانات فى ثلاثة ابعاد ...وتمثيلة السبين $j=1$ اعلاه توفر التمثيلة الاساسية fundamental representation لهذه الزمرة...

أما تمثيلة السبين $j=1/2$ اعلاه فتوفر التمثيلة الاساسية للزمرة $SU(2)$ ...

تمثيلة السبين $j$ من اجل اى قيمة للسبين توفر ايضا تمثيلة لاى من الزمرتين $SU(2)$ و $SO(3)$ ...

اذن نحن فى الحقيقة حصلنا هكذا على نظرية التمثيلات بالكامل لهاتين الزمرتين...

نختم بالتعريف التالى...

الزمرة $SO(3)$ هى زمرة المصفوفات $3\times 3$ المتعامدة orthogonal اى المصفوفات $R$ التى تحقق 

\[R^TR=R^TR=1.\]

أما الزمرة $SU(2)$ فهى زمرة المصفوفات $2\times 2$ الاحادية الخاصة special unitary اى بمحدد يساوى واحد اى المصفوفات $g$ التى تحقق 

\[g^+g=gg^+=1~,~{\rm det}g=1.\]

اذن كما ترون فان تعريف الزمرة يستخدم التمثيلة الاساسية ضمنا لكن الزمرة تقبل عدد غير منتهى من التمثيلات الاخرى...بمعنى ان  $R$ يمكن التعبير عنه بمصفوفات اخرى غير الثلاثية التى تحفظ بنية الزمرة و كذلك $g$ يمكن التعبير عنه بمضفوفات اخرى غير الثنائية التى تحفظ بنية الزمرة...

نختم فعلا الآن بالعلاقة المضبوطة بين الزمرتين اعلاه...

لدينا العلاقة السحرية بين $g$ و $R$ التالية

\[g\sigma_i g^{-1}=R_{ij} \sigma_j.\]