الميكانيك الاحصائى ماستر فيزياء جميع التخصصات عام 2023
المحاضرات من 1 الى 6 مع سلسلة التمرينات الاولى-الاسابيع الثلاثة الاولى 8 و 15 و 22 اكتوبر-
المحاضرتان 1 و 2
نناقش و بسرعة المبدأ الاول للترموديناميك ثم المبدأ الثانى للترموديناميك.
المبدأ الاول هو انعكاس لمبدأ انحفاظ الطاقة اذن هو قانون لا يتخلف مطلقا فى الطبيعة.
اما المبدأ الثانى فهو انعكاس للميكانيك الاحصائى الذى يحكم الترموديناميك على المستوى الميكروسكوبى.
بالفعل فان هناك تحولات فى الطبيعة لا يمنعها المبدأ الاول للترموديناميك لكننا لا نراها ابدا تقع فى الطبيعة و السبب ان المبدأ الثانى هو الذى يمنعها احتماليا و ليس مبدأيا.
مثلا انتقال الحرارة من البارد الى الساخن هذه تحولات غير ممنوعة الا احتماليا بالمبدأ الثانى فهى ليست محال.
فى المحاضرة الثانية نقدم ايضا برهان على مبرهنتى كارنو و كلوسيوس اللتان تؤسسان للمبدأ الثانى للترموديناميك.
بالفعل فانه كما ان الترموديناميك يهتم بوصف الجمل المتوازنة ماكروسكوبيا فان الميكانيك الاحصائى يهتم بوصف نفس الجمل لكن ميكروسكوبيا.
اذن الترموديناميك هو نهاية -اى حالة خاصة- من الميكانيك الاحصائى.
اذن هما يهتمان بالجمل المتوازنة حراريا-و-ميكانيكيا.
لكن الميكانيك الاحصائى هو اعم من الترموديناميك لانه يقبل التعميم الى الميكانيك الكمومى.
فى الحقيقة فان الميكانيك الاحصائى من هذا الجانب -جانب التعميم نحو الميكانيك الكمومى- هو اعم حتى من النظرية الحركية.
من الجهة الاخرى فان النظرية الحركية و هى نظرية كلاسيكية محضة هى اعم من الميكانيك الاحصائى الكلاسيكى من جهة انها تهتم باللاتوازن اكثر من اهتمامها بالتوازن.
بعض الناس قد يستخدم مصطلح الميكانيك الاحصائى غير-المتوازن للتعبير عن النظرية الحركية و هذا قد يؤدى الى الخلط لان الميكانيك الاحصائى لا يهتم ابدا بالتطور فى الزمن بل هو يهتم بالجمل المتوازنة و يدرسها بشكل قوى جدا لا مزيد عليه من جهة وصفها عبر الطرق الاحصائية و نظرية الاحتمالات.
اذن هناك الترموديناميك و هناك الميكانيك الاحصائى و هناك النظرية الحركية. الأولان يهتمان بالتوازن الكلاسيكى و الكمومى اما الاخير فيهتم باللاتوازن الكلاسيكى. الميكانيك الاحصائى يشترك مع النظرية الحركية فى شيء واحد هو دراسة الجمل من الناحية الميكروسكوبية باستخدام نظرية الاحتمالات. اما الترموديناميك فهو لا يهتم الا بالجانب الماكروسكوبى.
المحاضرات 3 و 4 و 5 و 6 يتم فيها شرح النظرية الحركية للغازات kinetic theory of gases من وجهة نظر الفيزياء النظرية الاساسية.
النظرية الحركية تعنى بكل بساطة محاولة تتبع حركة عدد هائل من الذرات او الجزئيات التى تتصادم بشكل عشوائى مستمر فيما بينها.
اذن نقدم اولا نبذة قصيرة عن كيفية حساب المقاطع التفاضلية للتصادم scattering cross sections التى تهم ايضا الفيزياء الذرية و الفيزياء النووية و فيزياء الجسيمات الاولية.
بعد ذلك نقوم بالاشتقاق التفصيلى لمعادلة بولتزمان Boltzmann equation التى تتحكم فى كيفية تصرف دالة كثافة الاحتمال probability density function فى الزمن.
هنا ستتاح لنا فرصة عرض اهم فرضيات ليس فقط الفيزياء النظرية بل فلسفة الفيزياء وهى فرضية الفوضى الجزيئية hypothesis of molecular chaos التى هى واحدة من عدد كبير من انجازات عملاق الفيزياء الثالث بولتزمان.
هذه الفرضية التى لا يعرف لها برهان تنص بكل بساطة على ان احتمال الحصول على جسيمين بزخمين p1 و p2 داخل حجم dV يساوى الى احتمال الحصول على الجسيم الاول فى الحجم dV بزخم p1 مضروب فى احتمال الحصول على الجسيم الثانى فى الحجم dV بزخم p2.
اذن كما ترون هى فرضية بديهية لكنها تبقى فرضية بدون برهان و هى حاسمة فى معادلة بولتزمان و النظرية الحركية و اكثر من هذا فهى حاسمة فى نقاشات فلسفة الميكانيك الاحصائى و فلسفة الزمن ولهذا فقد تعرض بولتزمان الى نقد شديد بسببها.
معادلة بولتزمان هى ربما من اعقد المعادلات فى الفيزياء فهى معادلة تكاملية-تفاضلية integro-differential equation عبارة عن انعكاس لمبرهنة ليوفيل Liuoville's theorem من الميكانيك الكلاسيكى و كيف تؤثر التصادمات المستمرة بين ذرات الغاز على مبرهنة ليوفيل التى تعبر عن انحفاظ الحجم فى الفضاء الطورى phase space.
بعد ذلك مباشرة نقوم باشتقاق ما يسمى المبرهنة H او H-theorem التى هى واحدة من اعظم مبرهنات الفيزياء حيث انها تحاول ان تفسر المبدأ الثانى للترموديناميك second law of thermodynamics بل اكثر من هذا تحاول ان تفسر السهم فى الزمن arrow of time كما حاول بولتزمان نفسه ذلك.
المبرهنة H تعطى فى الحقيقة الحل لمعادلة بولتزمان وهى التى اقنعت بولتزمان بحقيقة الذرة مما ادى الى حرب كبيرة عليه من قبل الفيزيائيين و الرياضيين و الفلاسفة الذين كانوا يرفضون فكرة الذرة فى ذلك الوقت (وما زال كثير من الفلاسفة يرفضون فكرة الذرة الى غاية يومنا هذا و هذا كله بسبب تأثير ارسطو و افلاطون و كانط و هيوم العميق).
المبرهنة H تصاغ بدلالة الدالة H او H-function التى ادت فيما بعد ببولتزمان الى مفهوم الانطروبى entropy. فالدالة H تسمى ايضا انطروبى بولتزمان Boltzmann's entropy و هى تختلف عن الانطروبى الحرارى thermodynamical entropy و لا تساويه الا عند التوازن.
الانطروبى هو اعظم انجازات بولتزمان وهو الذى يظهر على شاهد قبره و يمكن القول ان الانطروبى هو الذى تسبب فى انتحار بولتزمان فى الاخير بسبب الضغوط الذى تعرض اليها من قبل الجميع بسببه. بل يمكن القول ان الانطروبى هو الذى جعل بولتزمان يؤمن بالذرة و ليس العكس.
فى الفقرة الاخيرة نقوم باستخدام معادلة بولتزمان و المبرهنة H من اجل اشتقاق توزيع بولتزمان-ماكسويل Boltzmann-Maxwell distribution الشهير.
هذا التوزيع يعطينا احتمال ان تتميز ذرة معينة بطاقة حركية معينة اذن هو يسمح لنا بتوزيع جميع الذرات على جميع السرعات.
نقوم فى الاخير باستخدام توزيع بولتزمان-ماكسويل من اجل اشتقاق جميع الترموديناميك ابتداءا من معادلة الحالة equation of state الى الطاقة الداخلية internal energy الى السعة الحرارية specific heat الى المبدأ الاول first law الى الانطروبى entropy الى المبدأ الثانى second law.
نختم بمجموعة من التمارين النموذجية و قد قمنا بحل اغلبها فى القسم وهذا حتى يعلم المتغيبين.
No comments:
Post a Comment