تجربة ستارن-غارلاش
تجربة ستارن-غارلاش Stern-Gerlach experiment هى واحدة من اعظم تجارب الفيزياء الكمومية.
هى التجربة التى حسمت المعركة نهائيا لمصلحة الميكانيك الكمومى على حساب الميكانيك الكلاسيكى و لم يبقى ادنى شك فى صحة نظرية الميكانيك الكمومى.
حتى ان باولى قال بخصوص ستارن بعد خروج نتيجة التجربة (لعله اقتنع الآن).
بالفعل فان اكبر المتشككين فى الميكانيك الكمومى كان اوطو ستارن Otto Stern نفسه الذى فكر و خطط و نفذ هذه التجربة بعبقرية و نجاح باهرين.
بالخصوص فان ستارن كان متشككا كثيرا ببوهر Bohr و خاصة فى شرط تكميم العزم الحركى angular momentum quantization condition الذى شرح به بوهر طيف spectrum ذرة الهيدروجين فى نموذجه الشهير باسم نموذج بوهر Bohr model و الذى يسمى ايضا النظرية الكمومية القديمة old quantum theory و الذى سبق نظرية الميكانيك الكمومى التى نعرفها اليوم باكثر من 10 سنوات.
هذا الشرح او التفسير الذى قدمه بوهر للتجربة هو فعلا خاطئ كما نعلم اليوم لكن بوهر فى المحصلة لم يكن حدسه خاطئ فهو تنبأ بنتيجة التجربة اعتماد على النظرية القديمة للميكانيك الكمومى او نموذج بوهر.
ستارن اصر على ان بوهر خاطئ و راهن على ترك الفيزياء اذا كان شرط تكميم العزم الحركى (الذى كان يسمى آنئذ شرط التكميم الفضائى space quantization condition) خاطئا.
وكل من راهن ضد بوهر خسر.
حتى اينشتاين راهن ضد بوهر فيما بعد وخسر رهانه. لكن ستارن لم يكن يعلم بعد بصعوبة تخطئة بوهر (حتى لو كان خاطئا).
اذن ستارن راهن على ان حزمة beam مشكلة من ذرات الفضة اذا مرت عبر حقل مغناطيسى غير منتظم non-uniform فهى لن تنشطر. لان كل الزوايا مسموح بها.
وراهن بوهر على انها يجب ان تنشطر و يجب ان تنشطر الى قسمين لان الزوايا المسموح بها متقطعة discrete و فى هذه الحالة فهى تأخذ قيمتين ممكنتين فقط.
ستارن راهن على عدم الانقسام لانه كان مازال كلاسيكيا الى حد بعيد لا يصدق بعد بمعجزات الميكانيك الكمومى.
وبوهر راهن على الانقسام لانه هو نبى الكمومى.
حزمة ذرات الفضة فعلا انشطرت الى شطرين. هذا هو الذى نراه فى التجربة واول من رأى ذلك كان غارلاش فى فيفرى من عام 1922.
وهذا لم يفاجئ بقية الفيزيائيين لان الجميع كان يشاطر بوهر فى قناعاته.
لكن الذى فاجئ الجميع انها انشطرت الى قسمين بالضبط كما قال بوهر. رغم ان تفسير بوهر للامر بانه راجع الى تكميم العزم الحركى بقيمتين كان خاطئا و هذا كان يفهمه العباقرة الكبار مثل ديراك و باولى و هازينبرغ بشكل او بآخر.
وكل الذرات الاخرى المُعَدة فى الحالة الاساسية ground state سوف تنشطر الى شطرين ايضا.
بوهر كان يظن ان الحالة الاساسية تتميز بعزم حركى يساوى واحد. اذن التكميم يعطى الحزمتين +1 او -1 فى اى اتجاه من الفضاء.
هذا خاطئ. العزم الحركى للحالة الاساسية صفر فلماذا اذن يقع الانشطار.
وحتى لو كان العزم الحركى هو واحد فانه كان يجب ان يتم الانشطار الى ثلاثة حزمات +1 و -1 و 0.
هذه هى اكبر نتيجة فى هذه التجربة على الاطلاق: انشطار الحزمة الى شطرين.
ستارن و غارلاش نتيجتهما دقيقة جدا لا غبار عليها.
بوهر صحيح فى ان الانشطار هو الى قسمين.
لكن ليس للسبب الذى كان يظنه.
اذن ستارن لم يخسر الرهان لكن لم يربحه ايضا.
وبوهر يصعب تخطيئه كما ذكرنا و لو كان مخطئا.
فحدسه الكمومى عميق جدا لم يستطع اختراقه حتى اينشتاين وتذكروا فان مدرسة كوبنهاغن تسمى كذلك لان بوهر من كوبنهاغن.
اذن حدس بوهر بخصوص هذه التجربة كان صحيحا الى حد كبير رغم خطأ ما يسمى نموذج بوهر.
للملاحظة فان ستارن (وهو يهودى-المانى) تحصل على نوبل عام 1943 عندما اصبح استاذا فى امريكا لكن لم يتحصل معه غارلاش على الجائزة لانه كان رئيس البرنامج النووى الالمانى النازى رعم انه من ابعد ما يكون عن النازية.
بكل بساطة غارلاش كان استاذ و عالم و المانى لا تهمه القضايا السياسية حتى لو كانت حرب عالمية.
اما تفسير التجربة فقد جاء به طالبا دكتوراة اصبحا فيما بعد فيزيائيين كبيرين و التفسير هو ما نسميه اليوم عزم-اللف الذاتى او السبين spin.
ذرات الفضة فى الحالة الاساسية تتميز بالكترون منفرد فى المستوى الطاقوى الاعلى highest energy level لان بقية الالكترونات الداخلية تأتى كلها فى ازواج.
هذا الالكترون الوحيد يتميز بعزم لف يساوى نصف وهذا يؤدى الى ثنائى قطب مغناطيسى او دايبول مغناطيسى magnetic dipole moment مكمم quantized بقيمتين و لهذا فان تفاعل هذا الدايبول المغتاطيسى (الذى يمكنكم تصور ه كمغناطيس) مع الحقل المغناطيسى يؤدى الى انشطار الحزمة الى حزمتين.
سبين الالكترون ليس له تفسير فى اطار الميكانيك الكلاسيكى يقينا فهو ليس له اى تفسير حركى (وتصورنا انه راجع الى الدوران الذاتى للجسيم حول نفسه هو خاطئى لان الالكترون هو جسيم نقطى اذن هو لا يستطيع الدوران حول نفسه لانه ليس لديه محور اصلا).
بل ان سبين الالكترون ليس له اى تفسير حقيقى فى اطار الميكانيك الكمومى بل نحتاج الى الميكانيك الكمومى النسبى وهذا ما فعله ديراك عندما اكتشف معادلته الشهيرة (معادلة ديراك).
السبين او عزم اللف يمكن تفسيره بالكامل باستخدام نموذج الكيوبت qubit model او البت الكمومى.
بل ان فكرة الكيوبت نفسها لا تجد لها تفسير فيزيائى حقيقى الا السبين الالكترونى او العكس فان فكرة السبين الالكترونى لا تجد لها اى تفسير فيزيائى حقيقى الا فكرة الكيوبت.
فى هذا المنشور اشرح كل هذه الامور و اعطى ثلاثة تمرينات لتدعيم الفهم لم يسعنى الوقت لعرض حلهما.
The Stern-Gerlach experiment and the qubit model of the spin
The Stern-Gerlach experiment
The Stern-Gerlach experiment is one of the greatest experiments in physics, atomic physics and quantum mechanics.
This experiment plays also a major role in the foundation and philosophy of quantum mechanics. The Stern-Gerlach apparatus can be used to prepare the initial state of the system, i.e. it allows us to select any desired polarization for the initial state. More importantly, the Stern-Gerlach experiment provides an almost idealized conceptual model for the process of quantum measurement as we will discuss below.
It was designed originally to decide between Larmor's classical theory and Sommerfeld's old quantum theory describing the motion of charged particles in magnetic fields. As it turns out both theories are in fact wrong and the correct description is given by quantum mechanics.
It was precisely designed to test the so-called "space quantization", i.e. the quantization of the angular momentum suggested originally by Bohr.
It led immediately to the discovery of the "spin" which is a purely quantum property of the electron.
In the Bohr-Sommerfeld model we imagine the atom as a positively charged dense nucleus with negatively charged electrons moving in orbits around the center.
In order for the electrons to not spiral towards the center, as they radiate energy in the electric field of the nucleus, Bohr restricted their motion to specific orbits, called orbitals, determined by some integer (the principal quantum number $n$). This is called orbital quantization and it allowed Bohr to explain why atoms emit and absorb radiation only under a discrete form, i.e. at a discrete set of electromagnetic frequencies. In fact, Bohr was also successful in deriving the celebrated Rydberg formula for these frequencies.
Bohr's model relied on the fundamental assumption that the angular moment of the electron must be quantized. We write this in the form
\[\oint p_{\varphi}d\varphi=n_{\varphi} h.\]
Thus, in the ground state of the atom the electron must have only two values of the angular momentum along any direction in space corresponding to $n_{\varphi}=\pm 1$.
This prediction was called space quantization and Stern devised his experiment to test it directly. In fact, Stern was very sceptical about this prediction and he went in his scepticism as far as to raise a wager to quite physics if Bohr's quantization turns out to be correct. Stern was shortly joined by Gerlach who was instrumental in the success of the experiment. Yet, it is Stern who won the Nobel prize in physics on this work (called the molecular ray method) in 1943.
As we will see this one assumption, which seemed to enrage Stern, turns out to be wrong yet the beams of atoms prepared in the ground states (such as the silver and the hydrogen atoms used in the experiments) are fund to suffer a splitting into two streams in a non-uniform magnetic field as predicted by Bohr (but for the wrong reason). The orbital angular momentum is indeed quantized but not according to the above rule and the Stern-Gerlach experiment which sought to discover this space quantization ended up discovering the spin quantum number and vindicating the new theory of quantum mechanics.
We can also add to the above quantization of the angular momentum, following Sommerfeld, the following radial quantization
\[\oint p_r dr=n_rh.\]
This will extend Bohr's original circular orbits to elliptical orbits. These quantization conditions govern the so-called Bohr's correspondence principle which states that in the limit of large quantum numbers $n_{\varphi}$ and $n_{r}$ the predictions of the old quantum theory should reduce to those of classical physics.
In the Stern-Gerlach experiment (1922) a beam of hot silver atoms (characterized by a single unpaired electron) is sent through a non-uniform magnetic field. After going through the magnets the beam reaches a detector plate. The atoms, as we will see, are characterized by a dipole magnetic moment and thus as they move in the non-uniform magnetic field they will experience a torque which acts differently on the two ends of the dipoles leading to a net force on the atoms. This causes the atoms to deflect differently, in the non-uniform magnetic field, according to the magnitude of their magnetic moments.
This experiment was repeated with hydrogen atoms (which are characterized by a single electron) by Phipps and Taylor in 1927.
Both silver and hydrogen are neutral atoms found in the ground state $l=0$ (as opposed to the assumption of the Bohr-Sommerfeld old quantum mechanics which predicts $l=1$). Yet, in both cases the Stern-Gerlach experiment shows that the beam of atoms splits in fact into two beams, as originally thought by Bohr and Sommerfeld but not for the right reasons, signaling therefore the existence of another quantum property (the so-called spin angular momentum with value $s=1/2$ which was first proposed first by two graduate students Goudsmit and Uhlenbeck and then confirmed later by Dirac in his quantum relativistic theory of the electron). In the case of the hydrogen atom the extra spin angular momentum is associated with its single electron whereas in the case of the silver atom the extra spin quantum number is associated with its unpaired outermost electron.
Thus, the Stern-Gerlach experiment invalidates both classical mechanics and the old quantum theory. The Stern-Gerlach experiment is a major vindication of the new quantum theory of Heisenberg, Schrodinger, Dirac, Pauli and Bohr.
In general if a beam of atoms with total angular momentum $\vec{J}=\vec{L}+\vec{S}$ is prepared in the orbital ground state $l=0$ then allowed to go through the Stern-Gerlach appartus it will be observed to split into $2s+1$ beams corresponding to the eiegnvalues $m_s$ of the spin angular momentum ${S}_z$ which are given by $m_s=s, s-1,...,-s$. In other words, if we measure the angle between the spin angular momentum and the $z-$axis there can only be $2s+1$ possible values.
Every atom acts as an electromagnet, i.e. it is characterized by a magnetic dipole moment $\vec{\mu}$. Thus, it will experience a torque $\vec{\mu}\times \vec{B}$ in a magnetic field $\vec{B}$ which makes the dipole moment $\vec{\mu}$ to want to align with the direction of the magnetic field $\vec{B}$ giving therefore a minimum energy. The corresponding potential energy is given by
\[H=-\vec{\mu}.\vec{B}.\]
In the simplest case of the hydrogen atom we have a single electron moving around its orbit and thus creating a tiny loop of electric current $I$. The magnetic moment of this current is $\mu_L=I.A$ where $A$ is the area of the loop. If $v$ is the speed of the electron and $r$ is the radius of the orbit then $2\pi r$ is the distance traveled by the electron in a single period, i.e. $v/2\pi r$ is the inverse period and $ev/2\pi r$ is precisely the current, viz $I=ev/2\pi r$ where $e$ is the charge of the electron. The angular momentum of the electron is $L=mrv$. From all these considerations we have
\[\mu_L=\frac{e}{2m} L.\]
Similarly, the magnetic dipole moment of a spinning charge is given in terms of the spin angular momentum $\vec{S}$ by
\[\vec{\mu}=\gamma \vec{S}\Rightarrow H=-\gamma \vec{S}.\vec{B}.\]
$\gamma$ is the gyromagnetic ratio.
In a non-uniform magnetic field there exists, in addition to the above torque, a force on the magnetic dipole given by
\[\vec{F}=\vec{\nabla}(\vec{\mu}.\vec{B}).\]
Let us imagine that the beam is directed in the direction of the $y-$axis and that the non-uniform magnetic field is given by
\[\vec{B}=-\alpha x\hat{i}+(B_0+\alpha z)\hat{k}~,~\vec{\nabla}\vec{B}=0.\]
The parameter $\alpha$ provides the non-uniformity. $B_0$ represents a uniform magnetic field giving rise to the so-called Larmor precession. This effect is given by the following expectation values of the spin quantum number
\[\langle S_x\rangle=\frac{\hbar}{2}\sin\alpha\cos\gamma B_0 t~,~\langle S_y\rangle=-\frac{\hbar}{2}\cos\alpha\sin \gamma B_0 t~,~\langle S_z\rangle=\frac{\hbar}{2}\cos\alpha.\]
Thus $\langle \vec{S}\rangle$ precesses around the $z-$axis at a constant angle $\alpha$ with a frequency $\omega=B_0 t$ (Larmor frequency). The above result is an instance of Ehrenfest's theorem, viz
\[\frac{d}{dt}\langle \vec{S}\rangle=\langle \vec{\mu}\times\vec{B}\rangle.\]
Now we return to the non-uniform magnetic field and we compute the corresponding force. We find the result
\[\vec{F}=\gamma \alpha(-S_x\hat{i}+S_z\hat{k}).\]
But we know from Larmor precession that $S_x$ oscillates rapidly and averages to zero leaving only the $z-$component of the force, viz
\[\vec{F}=\gamma \alpha S_z\hat{k}.\]
For a spin $1/2$ particle the beam is either deflected up for the eigenvalue $m=+\hbar/2$ of $S_z$ or down for the eigenvalue $m=-\hbar/2$. In general the beam is split into $2s+1$ components corresponding to the $2s+1$ values of the force
\[\vec{F}=\gamma \alpha\hbar m\hat{k}~,~m=s,s-1,...,-s.\]
This is the basic physics behind the Stern-Gerlach experiment. The experiment showed first that atoms enjoy a magnetic dipole moment. Then the splitting into two beams was observed by Gerlach for the first time in February 1922. As we understand today the correct explanation is not the Bohr-Sommerfeld old quantum theory which suggested that the ground state of the silver atom is characterized by a quantized angular momentum equal $l=1$. We know today that this ground state is in fact characterized by $l=0$ and thus does not lead to any splitting (and even if it was characterized by $l=1$ it would then give a splitting into three beames corresponding to $l=+1,0,-1$ and not two beams corresponding to $l=+1,-1$). The correct explanation is given by the spin angular momentum of the outermost unpaired electron. The total angular momentum $\vec{J}=\vec{L}+\vec{S}$ with $l=0$ and $s=1/2$ leads to $j=1/2$ and thus a splitting into two beams.
Thus, the Stern-Gerlach experiment is an experimental proof for the spin quantum number and not for space quantization (although we also know today that orbital angular momentum is indeed quantized). More importantly, Stern-Gerlach experiment is an experimental proof for the new theory of quantum mechanics.
The qubit model of the spin
In summary, the Stern-Gerlach experiment comes with two main results:
-First: The magnetic dipole moment of the atoms is quantized not continuous (discrete set of angles instead of a continuous distribution).
-Second: In the ground state of atoms we have zero orbital angular momentum $l=0$ which corresponds to zero magnetic dipole moment $\mu=0$ giving rise therefore to no deflection at all. Yet, we observe two peaks.
The conclusion is that there must exist a new physical quantity making an extra contribution to the magnetic dipole moment (spin). This contribution has no relation with the rotational motion of the electron.
The spin can be characterized by a single bit or more precisley by a single quantum bit or qubit as follows. The output of the Stern-Georlach apparatus consists of two beams $|+Z\rangle$ (up) and $|-Z\rangle$ (down). We call this the $\hat{z}-$Stern-Gerlach apparatus (since it measures the spin or the qubit in the $\hat{z}-$direction as it is oriented in the $\hat{z}-$direction).
We place now an $\hat{x}-$Stern-Gerlach apparatus oriented in the $\hat{x}-$direction (and thus measures the spin or qubit in the $\hat{x}-$direction) in series with the original $\hat{z}-$Stern-Gerlach apparatus. And we will block the beam $|Z-\rangle$.
Thus, all transmitted atoms have magnetic dipole moment which is up. And classically since the magnetic dipole moment is oriented in the $\hat{z}-$direction there will be no deflection in a magnetic field oriented in the $\hat{x}-$direction. In other words, one should have one central peak. However, again we observe two peaks labelled $|+X\rangle$, $|-X\rangle$.
Let us again block the beam $|-X\rangle$ and place a third $\hat{z}-$Stern-Gerlach apparatus in the way of the beam $|+X\rangle$. We expect to see one peak corresponding to the fact that the atoms in the beam $|+X\rangle$ retained their $|+Z\rangle$ orientation. But again we observe a splitting into two beams $|+Z\rangle$ and $|-Z\rangle$.
The conclusion is that the state $|+Z\rangle$ contains equal amounts of $|+X\rangle$ and $|-X\rangle$ and the state $|+X\rangle$ contains equal amounts of $|+Z\rangle$ and $|-Z\rangle$.
In terms of the qubit computational states $|0\rangle$ and $|1\rangle$ we have then the following correspondence :
\[|+Z\rangle\equiv |0\rangle~,~|-Z\rangle\equiv 1\rangle.\]
\[|+X\rangle\equiv |+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)~,~ |-X\rangle\equiv |-\rangle \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle).\]
Thus, the $\hat{z}-$Stern-Gerlach apparatus measures the spin quantum number or the qubit in the computational basis $\{|0\rangle, |1\rangle\}$. Similarly, the $\hat{x}-$Stern-Gerlach apparatus measures the spin quantum number or the qubit in the computational basis $\{|+\rangle,|-\rangle\}$.
The spin can thus be completely captured by the qubit model.
Exercises:
Exercise 1:
Derive Bohr's energy levels from Bohr's quantization condition of the angular momentum. Of course, assume circular orbits and the Coulomb potential $V=-ke^2/r$. Derive Rydberg formula for atomic transitions or quantum jumps.
Exercise 2:Derive Larmor precession and the corresponding Ehrenfest's theorem.
Exercise 3:
Show in the context of the $\hat{z}-\hat{x}-\hat{z}$ experiment using three cascaded Stern-Gerlach appartuses that the spin quantum number is captured by the qubit model. In particular, calculate the probabilities for obtaining the two beams after exiting each Stern-Gerlach apparatus.
References:
Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics.
Nielsen and Chuang, Quantum Computation and Quantum Information.
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/Angular_Momentum/Angular_Momentum.html
https://physicsworld.com/a/how-the-stern-gerlach-experiment-made-physicists-believe-in-quantum-mechanics/
https://plato.stanford.edu/entries/physics-experiment/app5.html
الحاسوبية الكمومية و محاضرات فايمان حول الحاسوبية
كتاب فايمان حول الحاسوبية هو الذى ابتدأ اهتمام الفيزيائيين النظريين بالحاسوبية و علومها.
هذه الدراسة فى الرابط كنت قد قمت بها عام 2005 اعتمادا على مرجع واحد هو محاضرات فايمان هذه حول الحاسوبية الكلاسيكية classical computation و المعلوماتية الكلاسيكية classical information من وجهة النظر الفيزيائية و تعميمهما نحو الحاسوبية الكمومية quantum computation و المعلوماتية الكمومية quantum information.
اتذكر انها كانت تجربة ممتعة جدا فى وقت كنت فيها اكثر شبابا و اكثر املا و اكثر طموحا و اكثر اجتهادا و اكثر فى كل شيء.
اذن الدراسة فى الرابط هى خلاصة دراستى لهذا الموضوع فى ذلك الوقت او بالاحرى هى خلاصة دراستى لكتاب فايمان. و قد كفتنى هذه الدراسة لوقت طويل.
كتاب فايمان يمكنكم تحميله من هنا https://theswissbay.ch/.../Richard_P._Feynman-Feynman...
كتاب فايمان هو فى الحقيقة مجموع محاضرات فايمان حول الحاسوبية الذى قدمه فى اواسط الثمانينات فى جامعة كالتاك Caltech و الذى كان نقطة الانطلاق نحو الحاسوبية الكمومية بالنسبة للفيزيائيين النظريين بالخصوص.
فايمان قام فى هذا الكتاب بتفكيك اسس علوم الحاسوب تفكيكا تاما ثم اعاد تركيب هذه الاسس بنظرة فيزيائية تهدف الى الوصول الى الحاسوبية الكمومية اى كيفية تعميم الحاسوبية الكلاسيكية نحو الحاسوبية الكمومية.
العقيدة الاساسية فى علوم الحاسوب بين علماء الحاسوب الاوائل (المدارس الانجلوسكاسونية) هى ان (المعلوماتية وبالتالى الحاسوبية هى رياضيات) لا اقل و لا اكثر.
وكما قال دونالد كنوث Donald Knuth وهو رياضى و هو احد آباء علماء الحاسوب (ومخترع لغة البرمجة الشهيرة لايتاك Latex) ان علوم الحاسوب مثل الرياضيات تهتم باختراع قوانين اصطناعية على عكس الفيزياء التى تهتم باكتشاف قوانين طبيعية.
لكن عندما دخل الفيزيائيون النظريونن مع فايمان على الخط و رأوا ان كل ذلك العلم (علوم الحاسوب) هو تقريب فقط لشيء اعمق و ادق (هو الحاسوبية الكمومية) تحولت العقيدة الاساسية الى فكرة ان (المعلوماتية هى فيزياء) قبل كل شيء آخر كما صرح بذلك دايفيد دويتش David Deutsch احد رواد الحاسوبية الكمومية و ايضا فلسفة الكمومى (ذات العلاقة الوطيدة جدا لمن فهم الموضوع فعلا).
بعد ذلك جاء ويلر Wheeler -استاذ فايمان الاكثر عبقرية من فايمان- و قلب الطاولة على الجميع و نص على ان (الفيزياء هى معلوماتية و ليس العكس و المعلوماتية ليست رياضيات بل هى جوهر الوجود).
هذه العقيدة هى المشهورة باسم (الشيء من البت it from bit) وتذكروا فان البت bit هو وحدة المعلومات الكلاسيكية كما ان الكيوبت qubit هو وحدة المعلومات الكمومية.
هذه الفكرة هى التى تطغى اليوم -ضمنيا- فى المعلوماتية الكمومية و نظرية الاوتار الممتازة اللذان انصهرا فى بوتقة واحدة هدفها -بالاضافة الى فهم المعضلات الاساسية للحاسوبية الكمومية و المعلوماتية الكمومية ذات التأثيرات التطبيقية-هدفها ايضا غايات اساسية اخرى فى غاية الصعوبة و التعقيد من بينها فهم الثقوب السوداء و الكوسمولوجيا الكمومية و ماهية الزمن الكمومى و البحث عن نظرية الثقالة الكمومية.
و الادوات الاساسية المستعملة فى تحقيق هذه الاهداف هى ميكانيك كمومى متقدم جدا جاءت به الحاسوبية الكمومية و المعلوماتية الكمومية على مدار ال 20 سنة الاخيرة لم تستطع ان تأتى به الفيزياء الذرية و لا فيزياء الجسيمات الاولية على مدار ال 80 سنة الاولى من عمر ثورة الميكانيك الكمومى على يد بوهر و هايزنبرغ و شرودينغر و ديراك و باولى و بورن.
الاستثناء الوحيد هو مبرهنة بال Bell's theorem التى ساهمت بها فيزياء الجسيمات الاولية (لان بال Bell جاء من رحم فيزياء الجسيمات) و لم تستطع لا الفيزياء الذرية و لا الحاسوبية الكمومية مضاهاتها.
اذن هذه كلها اشياء مترابطة الى حد يعجز اللسان عن وصفه (الميكانيك الكمومى, الحاسوبية الكمومية, المعلوماتية الكمومية, نظرية الاوتار الممتازة, الثقوب السوداء الكمومية, الكوسمولوجيا الكمومية, نظرية الثقالة الكمومية و أسس و فلسفة الميكانيك الكمومى).
مادة (الحاسوبية الكمومية)
هذا الكتاب اضعه مرة اخرى للتحميل لاهميته القصوى.
الموضوع هو (الحاسوبية الكمومية quantum computation و المعلوماتية الكمومية quantum information) وهما من اهم مواضيع الفيزياء النظرية بالدرجة الاولى و علوم الحاسوب بالدرجة الثانية حاليا.
وهو الموضوع الذى سيؤدى الى الذكاء الاصطناعى الحقيقى (لو كان ذلك ممكنا فعلا) الذى يتحدث و يتحمس له الجميع.
المؤلفان هما نيلسون Nielsen و تشانغ Chuang و كتابهما هو اهم كتاب فى هذا المجال (هذه هى الطبعة العاشرة).
أهم ما استرعى انتباهى فى المقدمة هو المقترح من المؤلفين فى استخدام هذا الكتاب فى تدريس (الميكانيك الكمومى) و ليس (الحاسوبية الكمومية) او (المعلوماتية الكمومية).
الميكانيك الكمومى شيء اساسى فى الفيزياء و الفيزياء النظرية و لكنه شيء معقد و استخدام طرق الحاسوبية الكمومية فى تقديمه و تدريسه هى فكرة اقل ما يقال فيها انها فكرة عبقرية.
الميكانيك الكمومى ندرسه عموما انطلاقا من رياضيات المعادلات التفاضلية الجزئية و من اعتبارات الفيزياء الذرية. و هذان المنطلقان هما فى الحقيقة شيئين معقدين جدا فى حد ذاتهما بالنسبة للطالب و بالنسبة للاستاذ يزيدان فى تعقيد المادة.
المعادلات التفاضلية الجزئية و الفيزياء الذرية هى اشياء قديمة ايضا و هذا ليس انتقاصا منهما اذن يجب العناية الشديدة بهما دون اى تقصير.
لكن النقطة من المؤلفين هو تدريس الميكانيك الكمومى باستخدام اعتبارات الحاسوبية الكمومية و هى اعتبارات حديثة و باستخدام رياضيات الجبر فى فضاء هيلبرت وهذا فعلا اقرب الى الروح الحقيقية للميكانيك الكمومى.
المؤلفان يقترحان كبرنامج للميكانك الكمومى لمدة فصل واحد الفصول التالية من الكتاب:
-الفصل الثانى الذى هو مدخل الى الميكانيك الكمومى.
-الفصل الرابع و يعرض فيه المؤلفان نموذج الدارة الكهربائية الكمومية quantum electric circuit (وهو اهم فصل فى الكتاب بالنسبة للمبتدئ و لغير المبتدئ).
-الفصل الخامس يعرض فيه الخوارزمية الكمومية الاولى (تحويل فورييه الكمومى quantum Fourier transform).
-الفصل السادس يعرض فيه الخوارزمية الكمومية الثانية خوارزمية (البحث الكمومى quantum search).
-الفصل السابع حول كيفية بناء الحاسوب الكمومى اى التنفيذ الفيزيائى physical realization للحاسوب الكمومى.
-ثم يقترح المؤلفان اى فصل من الجزء الثالث من الكتاب واننى اقترح الفصل ال 11 حول الأنطروبى entropy.
اذن هذه فكرة جيدة.
لكن بعد تفكير كثير ارى الآن ان الحاسوبية الكمومية لا يمكن ان تعوض فعلا الميكانيك الكمومى على الاقل ليس بالطريقة التى يقترحها المؤلفان اعلاه.
لكن يمكننا ان نعوض مادة (الفيزياء الذرية او الفيزياء الصلبة او الفيزياء النووية او اى تطبيق آخر للميكانيك الكمومى) بالحاسوبية الكمومية (وليس بالمعلوماتية الكمومية لانها موضوع اعقد).
المؤلفان يقترحان البرنامج التالى من الكتاب كمادة حاسوبية كمومية لفصل واحد:
-الفصل الثانى مدخل الى الميكانيك الكمومى.
-الفصل الثالث مدخل الى علم الحاسوب.
-الفصل الرابع نموذج الدارة الكهربائية الكمومية.
-الفصل الخامس خوارزمية (تحويل فورييه الكمومى).
-الفصل السادس خوارزمية (البحث الكمومى).
-الفصل السابع التنفيذ الفيزيائى للحاسوب الكمومى.
-الفصل الثامن الذى يقوم بعرض مشكلة (الضجيج الكمومى quantum noise) التى تؤثر سلبا على الحاسوبية الكمومية.
-الفصل التاسع الذى يقوم بعرض مقاييس المسافة distance measures الخاصة بالمعلومات الكمومية اى كيف نقارن مدى تساوى او اختلاف معلومتين كموميتين.
-الفصل العاشر شفرات تصحيح-الخطأ الكمومية quantum error-correcting codes التى تستعمل للتحكم فى الضجيج الكمومى.
ازى ان هذا البرنامج طويل جدا بالنسبة الى فصل واحد.
اذا تصورنا ان الطلبة الذين سيأخذون هذه المادة قد درسوا الميكانيك الكمومى اذن يمكن ان نتخلص من عبأ تقديم الميكانيك الكمومى.
الفصل الثالث حول علم الحاسوب نحاول اما الغاءه او اختزاله بشكل او بآخر و الرجوع اليه كلما احتجنا شيء.
اذن نبدأ من الفصل الرابع حول الدارة الكمومية الكهربائية ثم الفصلين الخامس و السادس حول خوارزمية تحويل فورييه الكمومى و خوارزمية البحث الكمومى. هذه الفصول الثلاثة هى هى اهم شيء على الاطلاق. و اذا قمنا بهم فى فصل واحد فقد ارضينا العلم و الضمير و اى شيء آخر هو زيادة فى الخير.
بعد ذلك يمكن ان ننتبه الى الفصل الثامن الخاص بالضجيج الكمومى و الفصل العاشر الخاص بشفرة تصحيح-الخطأ الكمومية. هذا ثانى أهم شيء حسب رأيى.
الفصل الخاص (الفصل التاسع) بمقاييس المسافة اما نلغيه اذا كان ذلك ممكنا او نختزله الى اقصل حد.
اظن ايضا ان الفصل الحادى عشر من نظرية المعلومات الكمومية الخاص بالانطروبى مهم جدا اذا تمكنا من الوقت فعلينا ان نقوم به.
المؤلفان يقدمان ايضا مقترح لتدريس مادة المعلوماتية الكمومية مدتها فصل واحد من هذا الكتاب.
لكن برأيى هذا امر اعقد بكثير فالمعلوماتية الكمومية اقرب الى الرياضيات مثلما ان الحاسوبية الكمومية هى اقرب الى الفيزياء النظرية.
اذن ارى انه يجب تدريسها بعد تدريس الحاسوبية الكمومية التى تحتوى على الامثلة الفيزيائية و الرياضية و الحاسوبية و ليست قضية تجريد و تنظير فقط.
اؤكد فى الاخير ان (الحاسوبية الكمومية) هى ميكانيك كمومى (بل هى ميكانيك كمومى متقدم) ليس لها اى علاقة بالفيزياء الحاسوبية computational physics او الحسبنة العلمية scientific computing اذن لا يجب الخلط بينهما.
الحاسوبية الكمومية هى موضوع غريب ايضا من جانب كونها رغم انها ميكانيك كمومى متقدم كما ذكرت الا انه ايضا يمكن فهمها على انها تطبيق للميكانيك الكمومى (وفى هذا فهى تتفوق على جميع تطبيقات الميكانيك الكمومى من مثل المادة الصلبة الى الفيزياء الذرية الى الفيزياء النووية الى فيزياء الجسيمات الخ).
https://drive.google.com/file/d/18Abpy5m8Dv0mZ1XLMNMYSsEEo5bnugxk/view?usp=sharing
معضلة المضاعفة الفرميونية
لو قمنا بحساب الطاقة باستخدام معادلة ديراك لوجدنا أن الطاقة تعطى بعلاقة اينشتاين الشهيرة.
نفترض للتبسيط بعد فضائى واحد. التعميم سيكون مباشر للابعاد العليا.
بالنسبة للجسيمات ذات الكتلة المعدومة اى ذات السرعة المساوية لسرعة الضوء (اى الجسيمات الكايرالية chiral particles التى تدور اما الى اليمين او الى اليسار و ليس هناك امتزاج بين اليدوانية-اليمينية right-handedness و اليدوانية -اليسارية left-handedness) اذن بالنسبة لهذه الجسيمات فان علاقة الطاقة لاينشتاين تنص على ان الطاقة متناسبة مع زائد او ناقص قيمة كمية الحركة.
اذن هناك حلان (الخطان الاسودان فى الصورة).
نقوم الآن بحل معادلة ديراك على الشبكة الاقليدية Euclidean lattice.
فى هذه الحالة نجد ان الطاقة تعطى بقيمة جب او سينوس sin كمية الحركة و ليس بقيمة كمية الحركة.
اذن الطاقة دالة دورية periodic function فى كمية الحركة (وليست دالة خطية) وهى معرفة فى مجال يسمى منطقة بريوان Brillouin zone.
الحلان الموجب و السالب هما الخطان الاحمران فى الصورة.
نحصل اذن بالاضافة الى الحل الفيزيائى (من الجهة الموجبة) القريب من نقطة المبدأ (انظر نقطة تقاطع الخط الأسود مع الخط الأحمر) على حل آخر غير فيزيائى يسمى الفرميون المضاعف fermion doubler عند حدود منطقة بريوان من الجهة الموجبة (انظر النقطة السوداء عند حدود منطقة بريوان).
بنفس الطريقة نحصل بالاضافة الى الحل الفيزيائى (من الجهة السالبة) القريب من نقطة المبدأ على حل آخر غير فيزيائى عند حدود منطقة بريوان من الجهة السالبة (النقطة السوداء الاخرى عند حدود منطقة بريوان).
بكل بساطة الفرميون المضاعف هو فرميون مغشوش يعيش عند كميات الحركة الكبيرة اما الفرميون الحقيقى فهو الحل الذى يعيش عند كميات الحركة الصغيرة.
الحل المضاعف غير موجود فى النظرية المستمرة continuum theory (اى عند حل معادلة ديراك فى الفضاء-زمن العادى) و لهذا فهو غير فيزيائى.
لكن الفرميون المضاعف غير الفيزيائى يتميز بنفس طاقة الفرميون الكايرالى chiral fermion الفيزيائى الذى انطلقنا منه (كما ترون من الصورة) لكن يتميز بكايرالية chirality معكوسة (اذا كان الفرميون الكايرالى يدور الى اليمين فان الفرميون المضاعف يدور الى اليسار و العكس).
اذن فى بعد واحد نحصل على فرميونين عوض الفرميون الاصلى اما فى بعد اربعة فاننا نحصل على 16 فرميون عوض الفرميون الاصلى وهذه معضلة كبيرة تسمى معضلة المضاعفة الفرميونية fermion doubling problem.
القاعدة العامة اننا سوف نحصل على 2 للاس d فرميون فى فضاء-زمن ببعد d.
لو ناقشنا الامر من منطلق منتشر ديراك Dirac propogator (الذى يمكن فهمه على انه مقلوب مؤثر ديراك Dirac operator الذى يظهر مؤثرا على سبينور ديراك Dirac spinor فى معادلة ديراك Dirac equation) فان هذه الفرميونات المضاعفة تظهر على شكل اقطاب poles فى منتشر ديراك. اذن نحصل على 16 قطب و فقط قطب واحد حقيقى فيزيائى اما البقية فهى كلها مغشوشة غير فيزيائية. أكثر من هذا فان هذه الاقطاب تأتى بكايراليات (مفرد كايرالية chirality) متعاكسة. انظر الصورة الثانية.
وتذكروا فان الطاقة (طاقة الجسيم) تحسب مباشرة من القطب و القطب هو نقطة عدم تعريف المنتشر.
هذه الفرميونات الاضافية تأتى اذن بكايراليات متعكاسة محافظين بذلك -شكليا فقط- على التناظر الكايرالى chiral symmetry للنظرية.
الحقيقة ان هذه الفرميونات المضاعفة تدمر بالكامل اهم خاصية للتناظر الكايرالى وهو الشذة الكايرالية chiral anomaly التى تلعب دورا اساسيا فى فيزياء الجسيمات الاولية.
وهذه قصة اخرى معقدة جدا حقيقة تحتاج الى شرح لوحدها ان شاء الله.
هذه المعضلة (معضلة المضاعفة الفرميونية) تنص بكل بساطة على انه لا يمكننا ان نضع فرميون كايرالى chiral fermion على الشبكة الاقليدية و بالتالى لا يمكن وضع نظرية كايرالية chiral theory (مثلا النموذج القياسى للجسيمات الاولية) على الشبكة.
تذكروا فان التفاعلات الكهروضعيفة electroweak (عكس تفاعلات الكروموديناميك chromodynamics الكمومى) هى تفاعلات كايرالية فى النموذج القياسى. حيث ان الفرميونات تأتى بكايرالية معينة و بعضها (مثلا النوترينو) يأتى بكايرالية واحدة (يدوانية-يسارية دائما).
معضلة المضاعفة الفرميونية هى معضلة ذات اساس رياضى فهى ليست مصادفة فهناك مبرهنة نيلسون-نينوميا Nielsen-Ninomiya theorem التى تنص على انه اذا كان مؤثر ديراك يتميز بالخواص التالية:
-موضعى local.
-هرميتى Hermitian (اى حقيقى) .
-الصمود الانسحابى traslational invariance.
فانه لا يمكننا تجنب معضلة المضاعفة الفرميونية بدون كسر التناظر الكايرالى. انظر الصورة الثالثة.
اذن هذه مشكلة عظيمة لاننا لا نستطيع التخلى عن التناظر الكايرالى الذى تعتمد عليه كثير من الفيزياء و فى نفس الوقت فانه لا يمكن تحمل مضاعفة الفرميونات لان كثير من النظريات الفيزيائية (و على رأسها النموذج القياسى) هى فعلا نظريات تتميز بدرجات حرية degrees of freedom تعطى فعلا و حقيقة بفرميونات كايرالية.
هناك كثير من الحلول و اول الحلول كان حل كناث ويلسون Kenneth Wilson -احد اعظم الفيزيائيين النظريين فى القرن العشرين- الذى جاء به فى السبعينات وهو يعتمد على تعديل مؤثر ديراك بحيث نقضى تماما على المضاعفة الفرميونية لكن فى نفس الوقت نعدل فى شكل التناظر الكايرالى.
هذا الحل الاول و الاشهر يعرف باسم فرميون ويلسون Wilson fermion.
اذكر هنا ان احد نتائج رسالة الدكتوراة التى كنت قدمتها منذ اكثر من 20 سنة هو كان حل معضلة المضاعفة الفرميونية باستخدام ما يسمى الفرميون الغائم fuzzy fermion.
 |
سبينورات ديراك و وايل و ماجورانا
جميع الجسيمات الاولية التى تشكل المادة المضيئة luminous matter فى الكون هى فرميونات (مفرد فرميون fermion) اى تتميز بعزم لف او سبين spin يساوى نصف و بالتالى فانها تعطى رياضيا بما يسمى السبينور spinor (وهو اسم مشتق من كلمة السبين).
فيزيائيا هناك نوع واحد من السبينورات (مفرد سبينور) وهو سبينور ديراك Dirac spinor لكن رياضيا هناك فى الحقيقة ثلاثة انواع من السبينورات المختلفة جدا.
بالاضافة الى سبينور ديراك هناك سبينور وايل Weyl spinor (جسيم معدوم الكتلة) و سبينور ماجورانا Majorana spinor (جسيم معدوم الشحنة).
كما سنبين فان سبينور وايل و سبينور ماجورانا نحصل عليهما انطلاقا من سبينور ديراك باستخدام شرط وايل Weyl condition و شرط ماجورانا Majorana condition على التوالى.
سبينور ديراك يحل معادلة ديراك و هو كائن باربعة مركبات (لكنه ليس شعاع رباعى) وهو دالة موجة جسيم نقطى بسبين نصف و كتلة m و شحنة q.
أما سبينور وايل فهو سبينور بمركبتين (لكنه ليس شعاع ثنائى) و هو دالة موجة جسيم نقطى بسبين نصف لكن كتلة صفر و شحنة q.
مركبات سبينورى ديراك و وايل هى اعداد مركبة complex numbers (فى التكميم الاول فى الميكانيك الكمومى النسبى) تصبح اعداد غراسمانية Grassmannian numbers (فى التكميم الثانى فى نظرية الحقول الكمومية).
الفرق الاساسى بين ديراك و وايل هو انعدام الكتلة فى وايل و عدم انعدامها فى ديراك.
اذن عندما نجعل الكتلة تذهب الى صفر فان سبينور ديراك يتفكك الى سبينورى وايل واحد يسمى يدوانى-يمينى right-handed و الآخر يسمى يدوانى-يسارى left-handed.
انظر المعادلة الاولى فى الصورة الاولى.
و انظر ايضا الى المعادلتين الثالثة و الرابعة فى الصورة الاولى كيف يتحول سبينورى وايل اليدوانى-اليمينى و اليدوانى-اليسارى تحت تأثير تحويلات لورنتز Lorentz transformations لنظرية النسبية الخاصة.
حتى نفهم الفرق بين اليدوى-اليمينى و اليدوى-اليسارى علينا ان نقوم بتعريف المقدارين الفيزيائيين التاليين -و اغلب الطلبة و حتى الاساتذة يخلط بين هذين المقدارين و يعتقد انهما نفس الشيء-:
- الخاصية الأولى هى الهيليسينية helicity و هى مركبة او اسقاط عزم اللف او السبين على اتجاه كمية الحركة momentum.
اذا كان هذا الاسقاط موجب نقول ان الهيليسينية هى يدوانية-يمينية و اذا كان هذا الاسقاط سالب نقول ان الهيليسينية هى يدوانية-يسارية. انظر الصورة الثانية.
الهيليسينية -من التعريف- هى اذن خاصية محفوظة conserved فى الزمن او ثابت للحركة constant of the motion لان مؤثر الهيليسينية يتبادل commute مع مؤثر الطاقة او مؤثر الهاميلتونية.
-الخاصية الثانية هى الكايرالية chirality وهى تعبر عن كيفية تحول السبينور تحت تأثير تحويلات لورنتز: هل يتم التحول فى التمثيلة الدورانية-اليسارية (هذه هى بالضبط المعادلة الثالثة فى الصورة الاولى) او يتم التحول فى التمثيلة اليدوانية-اليمينية لزمرة لورنتز (هذه هى بالضبط المعادلة الرابعة فى الصورة الاولى).
و تذكروا فان زمرة لورنتز Lorentz group هى مجموعة جميع تحويلات لورنتز بالاضافة الى الدورانات.
اما تمثيلات الزمرة group representations فهى جميع الحلول الممكنة لجبرية الزمرة group algebra.
اذن من الواضح جدا ان الكايرالية على عكس الهيليسينية هى خاصية صامدة invariant تحت تأثير زمرة لورنتز.
بالفعل فان الهيليسينية يمكن عكسها بالذهاب الى معالم عطالية اسرع من الجسيم قيد الدراسة حيث ان الراصد فى هذه المعالم سوف يرى الجسيم يبتعد عنه و بالتالى فان هيليسينية الجسيم سوف تنعكس.
كما ترون فان الكايرالية هى مقدار تناظرى اما الهيلسينية فهى مقدار حركى و عليه فان الكايرالية هى اكثر اساسية.
من الجهة الاخرى فان الكايرالية هى ليست ثابت للحركة مثل الهيليسنية. بالفعل فان جسيم يدوانى-يمينى يمكن ان يتطور فى الزمن الى جسيم يدوانى-يسارى.
الكايرالية و الهيليسينية ينطبقان على بعضهما البعض فقط من اجل الجسيمات معدومة الكتلة (وهذا هو مصدر الخلط الموجود فى فهم و تمييز هذين المقدارين).
من اجل هذه الجسيمات معدومة الكتلة التى تتحرك ضرورة بسرعة تساوى سرعة الضوء فان الهيليسنية تصبح صامد لورنتزى لانه لا يوجد راصد يمكن ان يتحرك بسرعة اكبر من سرعة الضوء.
لهذا فانه عندما تنعدم الكتلة فان سبينور ديراك يتفكك كما ذكرنا الى سبينورى وايل مستقلان تماما عن بعضهما البعض لا يمكن لاحدهما ان يتطور فى الزمن نحو الاخر مادامت الكتلة معدومة كلاسيكيا و بافتراض انها تبقى معدومة كموميا.
فى هذه الحالة نقول انه لدينا صمود كايرالى chiral invariance حيث ان الهيلسينية هى بالضبط الكايرالية وهما (مقدار ثابت للحركة محفوظ) و فى نفس الوقت هما (مقدار صامد تحت تأثير زمرة لورنتز).
التحويلات الكايرالية chiral transformations تولدها مصفوفة ديراك الخامسة γ5 (وتنطق غاما-فايف gamma-five) وهى ربما مصفوفة ديراك الاشهر.
فى الحقيقة فان الكايرالية هى بالضبط القيمة-الذاتية eigenvalue لمصفوفة ديراك الخامسة γ5 التى تسمى مؤثر الكايرالية chirality operator.
اذن السبينور اليدوانى-اليمينى يتميز بكايرالية تساوى +1 (قيمة ذاتية لغاما-فايف تساوى +1) اما السبينور اليدوانى-اليسارى فيتميز بكايرالية تساوى -1 (قيمة ثانية لغاما-فايف تساوى -1).
استخدم المعادلة فى الصورة الثالثة لتبيان هذا الامر (تذكر ان مربع غاما-فايف يساوى واحد).
من هذه المعادلة فى الصورة الثالثة يمكننا ايضا تعريف سبينور وايل انطلاقا من سبينور ديراك بالتأثير على هذا الاخير بالمسقطات projectors اليدوانية-اليمينية PR و اليدوانية-اليسارية PL و المعادلة التى نحصل عليها تسمى شرط وايل Weyl condition.
الصمود الكايرالى chiral invariance هو مكسور بالشذة الكايرالية chiral anomaly فى نظرية الحقول الكمومية و هذا التناظر يلعب احد ادوار البطولة فى الفيزياء النظرية.
آخر انواع السبينورات هو سبينور ماجورانا وهو سبينور حقيقى يصف جسيم بدون شحنة.
اذن الانتقال من سبينور ديراك الى سبينور ماجورانا يتطلب اعدام الشحنة الكهربائية مثلما ان الانتقال من سبينور ديراك الى سبينور وايل يتطلب اعدام الكتلة.
سبينور ماجورنا يعطى باربعة مركبات حقيقية كما فى الصورة الاخيرة حيث نقوم اولا بتعريف السبينور مصروف الشحنة charge conjugated spinor اى السبينور الذى نحصل عليه بتطبيق مؤثر تصريف الشحنة charge conjugation الذى نرمز له ب C.
السبينور مصروف الشحنة يعبر عن جسيم يتميز بجميع خواص السبينور الاول باستثناء ان شحنته تأتى معكوسة. اذن هو يعبر عن الجسيم المضاد للجسيم الاول.
نقوم الآن بمساواة السبينور (الجسيم) بالسبينور مصروف الشحنة (الجسيم المضاد) و النتيجة هو سبينور محايد كهربائيا اى لا يحمل اى شحنة كهربائية.هذه المساواة هى الشرط الشهير باسم شرط ماجورانا Majorana condition.
هذا هو سبينور ماجورانا (الذى يتميز باربعة مركبات حقيقية) وهو حل لمعادلة اخرى للسبينورات تسمى معادلة ماجورانا Majorana equation وهو يمكن ان يعطى ايضا بدلالة سبينور وايل (الذى يتميز بمركبتين مركبتين) الذى هو حل لمعادلة اخرى للسبينورات هى معادلة وايل Weyl equation.
كل هذه الامور التى ذكرناها تصلح فى اربعة ابعاد و لو قمنا بتغيير الابعاد فان كثير من هذه الاشياء التى ذكرناها سوف تتغير فالسبينور -على عكس بقية الحقول- حساس جدا للبعد الذى يعيش فيه.
تعجيز ديراك لاولر
عملية الاشتقاق (بالاضافة الى العملية العكسية: عملية التكامل) تُعول عليها جميع الفيزياء و الرياضيات.
و الاشتقاق كان قد اكتشفه كل من أب الفيزياء نيوتن Newton و الفيلسوف الفذ ليبنيز Leibniz فى نفس الوقت و لم تُحسم الى غاية يومنا هذا قضية الى من ترجع الاسبقية فى هذا الاكتشاف الذى ابتدأت به الفيزياء الحديثة.
ثم جاء الفيزيائى اولر Euler و اكتشف ابسط و اقدم خوارزمية عددية لحساب المشتقات مازالت تستعمل الى غاية يومنا هذا.
و اولر كان عبقرى ظهرت عليه علامات النبوغ منذ كان طفلا و هو اذن لا يحتاج الى خورزمة و حوسبة المشتقة فهو استطاع و يستطيع حساب اشياء معقدة جدا من الناحيتين الفيزيائية و الرياضية بطريقة تحليلية لكنه اكتشف طريقته العددية فى حساب المشتقة لانه كان يعتقد ان العدديات و الخوارزميات و الحاسوبيات هى من كمال الرياضيات و ليست فقط التحليليات و التجريديات و البنائيات.
و تذكروا فان الرياضيات بكل فروعها هى لغة الفيزياء.
طريقة اولر فى الصورة الاولى.
لاحظوا فان طريقة اولر تطبق بالخصوص على المعادلات التفاضلية من الرتبة الاولى first order differential equations اى تحتوى على الاشتقاق من الرتبة الاولى.
ثم تقدمت الفيزياء اكثر بعد نيوتن و ليبنيز و اولر و جاءت اول المعادلات الكمومية العظيمة (معادلة شرودينغر Schrodinger equation) على يد احد آباء الميكانيك الكمومى (شرودينغر Schrodinger) و التى ابتدأت ما يسمى الميكانيك الكمومى الموجى.
معادلة شرودينغر وهى فى اغلبها معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية second order differential equation (اى تحتوى على مشتقات من الرتبة الثانية فى الفضاء و مشتقة من الرتبة الاولى فى الزمن) ومع هذا فانه يمكن تطبيق خوارزمية اولر عليها بشكل او بآخر بدون اى مشاكل.
اول معادلة كمومية نسبية هى معادلة كلاين-و-غوردن Klein-Gordon equation التى هى معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية فى كل من الفضاء و الزمن و مع هذا فانه يمكن تطبيق خوارزمية اولر عليها ببعض التعديل بدون اى مشاكل ايضا.
يأتى بعد شرودينغر و كلاين و غوردن العملاق الكمومى الآخر و آجد آباء الميكانيك الكمومى (ديراك Dirac) و يكتشف معادلته الشهيرة (معادلة ديراك Dirac equation) التى هى المعادلة الكمومية النسبية الصحيحة التى تصف الجسيمات التى تتميز بعزم لف او سبين spin يساوى نصف.
هذه المعادلة موجودة فى الصورة الثانية.
هذه المعادلة هى معادلة تفاضلية من الرتبة الاولى فى كل من الفضاء و الزمن و مع هذا فاننا لا نستطيع ان نطبق عليها خوارزمية اولر بأى شكل بسيط كما سنرى.
بل ان تطبيق خوارزمية اولر على معادلة ديراك يتطلب قدر هائل من التعقيد و جميع الحلول المطروحة الى غاية يومنا هذا فهى جميعا حلول ترقيعية.
بكل بساطة هناك مبرهنات هندسية-طوبولوجية-تناظرية فى غاية التعقيد الرياضى ضد تطبيق خوارزمية اولر على معادلة ديراك (اشهرها مبرهنة نيلسون-نينوميا Nielsen-Ninomiya theorem) .
بل ان هذه المسألة هى واحدة من اعقد المسائل فى نظرية الحقول الكمومية و السبب الاساسى يرجع الى كون دالة الموجة ψ التى تظهر فى الصورة الثانية هى ليست دالة عادية بل هى سبينور spinor.
والسبينور spinor هو مقطع section فى فضاء يسمى الحزمة السبينورية spinor bundle الذى يعيش على الفضاء-زمن.
معادلة ديراك تنص اذن على ان هناك مؤثر يسمى مؤثر ديراك Dirac operator عندما يضرب دالة الموجة ψ فانه يعطينا بالضبط صفر.
هذا المؤثر (مع فضاء السبينورات مع جبرية الدوال العددية على الفضاء-زمن) كما بين الرياضى كوون Conne كافى جدا من اجل اعادة بناء جميع الهندسة التفاضلية للفضاء-زمن.
بل ان كوون بين ان الثلاثى (مؤثر ديراك مع فضاء هيلبرت للسبينورات مع جبرية دوال ملائمة) كافى جدا من اجل اعادة بناء الهندسة التفاضلية لاى متشعب manifold.
معادلة ديراك تُقرأ على انها دالة موجة كمومية فى الميكانيك الكمومى النسبى لكن فى نظرية الحقول الكمومية فان معادلة ديراك تقرأ على انها معادلة حقل سبينورى spinor field كلاسيكى هو بالضبط معطى بدالة الموجة ψ.
ولهذا فان نظرية الحقول الكمومية تسمى التكميم الثانى second quantization اما الميكانيك الكمومى النسبى فيسمى التكميم الاول first quantization.
السبينور هو حقل يتميز بسبين او عزم لف يساوى نصف لان معادلة ديراك كما ذكرنا آنفا تخص الجسيمات ذات السبين او عزم اللف يساوى نصف.
وتذكروا فان تقلبات (مفرد تقلب fluctuation) الحقل field هى بالضبط هذه الجسيمات particles التى نراها نقطية point.
لكن سبينور ديراك الذى يتميز باربعة مركبات يوفر تمثيلة قابلة للاختزال reducible representation لزمرة لورنتز Lorentz group.
بالفعل فان سبينور ديراك يمكن تفكيكه الى زوج من سبينورات وايل Weyl spinors كل واحد منها يتشكل من مركبتين: سبينور وايل يدوانى-يمينى right-handed و سبينور وايل يدوانى-يسارى left-handed وهذه هى التى توفر تمثيلات غير-قابلة للاختزال irreducible representation لزمرة لورنتز.
اذن ديراك هو قابل للاختزال لانه يقبل الاختزال الى سبينورى وايل واحد يدور الى اليمين و الاخر يدور الى اليسار وهذه الاخيرة غير-قابلة للاختزال اكثر.
هذه نقطة تحتاج الى شرح اكبر نتركه لفرصة اخرى ان شاء الله.
لكن أهم خاصية يتميز بها السبينور هى كونه حقل تبادلى-ضدى anti-commuting عكس الحقل السلمى مثلا الذى هو حقل تبادلى commuting وهذا ضرورى حتى نحافظ على شرط ان الطاقة يجب ان تكون محدودة من الاسفل bounded from below (اى حتى يكون هناك طاقة اساسية ground state للجملة).
بعبارة اخرى فان السبينور ψ لا يمكن التعبير عنه فى تكامل الطريق path integral لفايمان Feynman بدلالة الاعداد المركبة complex numbers بل يجب ان يتم التعبير عنه بدلالة اعداد تسمى الاعداد الغراسمانية Grassmannian numbers (نسبة الى الرياضى غراسمان Grassmann) وهى اعداد غير-تبديلية anti-commuting numbers.
هذا يرجع الى خاصيتين كموميتين اساسيتين.
-احصاء فرمى-ديراك Fermi-Dirac statistics الذى ينص على دالة موجة فرميونين (مفرد فرميون fermion) مثلا الكترونين يجب ان تكون تناظرية-ضدية anti-symmetric اى انه لو قمنا بمبادلة الفرميونين فاننا نحصل على اشارة ناقص. اصل هذه الاشارة هو طوبولوجى (طوبولوجيا زمرة الدورانات rotation group). وهذا مكافئ الى مبدأ الاستبعاد لباولى Pauli's exclusion principle الذى ينص على ان الحالة الكمومية الواحدة لا يمكن ان يحتلها الكترونين.
-مبرهنة السبين-و-الاحصاء spin-statistics theorem التى تنص على ان دالة موجة الفرميون تكتسب اشارة ناقص عندما نقوم بتدوير الفرميون دورة كاملة ب 360 درجة. اصل هذه الاشارة هو تناظرى (هندسة زمرة الدورانات). ولهذا فان التكميم القانونى canonical quantization للفرميون على طريقة ديراك يتم باستعمال مبدل-ضدي anti-commutator و ليس مبدل commutator.
يمكننا قراءة عبارة مؤثر ديراك من الصورة الثانية بدلالة مصفوفات ديراك γ و بدلالة المشتقات من الرتبة الاولى فى الفضاء-زمن.
اذن مؤثر ديراك يتعلق على المشتقات من الرتبة الاولى التى يمكن ان نحاول تعويضها بخوارزمية اولر لكن لو فعلنا -ذلك بعفوية- لوقعنا فى مشاكل عظيمة فى نظرية الحقول الكمومية على الشبكة lattice quantum field theory.
اولر نجح بسهولة شديدة مع شرودينغر لكنه سوف ينجح نسبيا و بصعوبة شديدة مع ديراك.
الآن اذا اردنا تعريف مؤثر ديراك على الشبكة الاقليدية Euclidean lattice فاننا نقع فى ثلاثة مشاكل عظيمة جدا فى نظرية الحقول على الشبكة:
-اولا معضلة المضاعفة الفرميونية fermion doubling problem. و هذه المعضلة تنص على انه لا يمكن و ضع النموذج القياسى للجسيمات الاولية (او اى نظرية كايرالية chiral theory) على الشبكة الاقليدية.
-ثانيا انكسار التناظر-الممتاز supersymmetry breaking. وهذه المعضلة تنص على انه لا يمكن وضع نظرية الوتر الممتاز على الشبكة الاقليدية.
-ثالثا معضلة الاشارة sign problem. وهذه المعضلة تنص على انه لا يمكننا استخدام الميكانيك الاحصائى و طرق المونتى كارلو.
والمعضلات الثلاثة لها حلول بل حلول كثيرة لكن جميع هذه الحلول هى حلول ترقيعية و ليست حلول جذرية اساسية نهائية.
اذن هذا مجال عظيم للدراسة.
نترك شرح هذه المعضلات وحلولها الى فرصة اخرى ان شاء الله.
محاضرات دايفيد طونغ
من أقوى العارضين للفيزياء النظرية فى هذا العصر بأسلوب دقيق رياضيا و عميق فيزيائيا مع سهولة لغة و فصاحة اسلوب هو دافيد طونغ David Tong استاذ الفيزياء النظرية فى جامعة كمبريدج.
وهو رجل مازال شابا و مع هذا فهو قد كتب محاضرات موسوعية فى جميع مواضيع الفيزياء النظرية ابتداءا من الميكانيك الكلاسيكى و الميكانيك الكمومى و الميكانيك الاحصائى الى نظرية النسبية العامة و نظرية الحقول الكمومية و نظرية الاوتار الممتازة الى نظرية الحقول المعيارية و نظرية الحقول الكونفورمالية و نظرية الحقول الممتازة الى الكوسمولوجيا و ميكانيك الموائع و فيزياء المادة المكثفة.
كمثال فاننى وجدت محاضراته فى تأثير هال الكمومى من اروع ما يكون ففيها كم هائل من نظرية الحقول الطوبولوجية.
وكمثال آخر فاننى وجدت عرضه للتناظر الممتاز و للتناظر الكونفورمالى من ابسط العروض وهما من اعقد التناظرات فيزيائيا و اغمضها نظريا واصعبها حسابيا بالنسبة للاستاذ و الطالب فى الفيزياء النظرية.
صفحته هى فعلا موسوعة دقيقة جدا من الناحيتين الرياضية و الفيزيائية و اكثر من هذا هى بسيطة جدا لغويا وتعرض الفيزياء النظرية باسلوب سهل ميسر.
هذا رجل عندما اقرأ له فاننى اتذكر قراءاتى القديمة لفايمان الذى كان الفيزيائى الافصح فى تاريخ الفيزياء الحديثة.
وهو ايضا رجل يجعل قراءة الفيزياء و كأنك تقرأ كتاب تاريخ او أدب او بالاحرى و كأنك تقرأ صحيفة ترفيهية لا تحتاج ان تفعل الا ان تقرأ لان الفهم الأولى معه سريع جدا لا تضطر معه الى اجراء المعادلات و الحسابات و البراهين.
انصح جدا بقراءة محاضراته و متابعته على الاوراق قراءة و كتابة و ليس فقط على اليوتوب. فالفيزياء النظرية هى فى الاخير علم يعتمد على القراءة-و-الكتابة-و-التخيل-و-التجربة الذاتية و ليس علم بصرى-سماعى-شفاهى-انتظارى.
لكن حتى تتمكنوا منه فعليكم التمكن من الفيزياء الاساسية و من الرياضيات الأولية و من اللغة الانجليزية وهذه الاخيرة لن تتأتى الا عن طريق نفض الايدى من اللغات الاجنبية الاخرى و على رأسها الفرنسية فهى من اكبر المضيعات للجهد و الوقت.
تشكل الثقب-الدودى من انصهار ثقبين ابيضين ثم تهافته السريع الى ثقبين اسودين
فى الفيلم تشكل ثقب-دودى wormhole من انصهار ثقبين ابيضين (مفرد ثقب ابيض white hole).
ثم تهافت الثقب-الدودى بعد ذلك و بسرعة الى ثقبين اسودين (مفرد ثقب اسود black hole).
الدوائر الحمراء و الوردية هى افق حدث event horizon و السهم الاصفر هو اتجاه عبور افق الحدث.
بالنسبة للثقب الاسود افق الحدث هى الدوائر الوردية و اتجاه عبور افق الحدث هو نحو الداخل لان الثقب الاسود هو كائن يبتلع كل شيء دون ان يشبع.
اما اتجاه عبور افق الحدث (الدوائر الحمراء) بالنسبة للثقب الابيض هو نحو الخارج لان الثقب الابيض هو كائن يقيء كل شيء دون ان يستريح.
الثقب الابيض هو العكس فى الزمن time reversal للثقب الابيض.
هذا الثقب-الدودى هو اشهر ثقب-دودى على الاطلاق و اولها اكتشافا (الثقب-الدودى لشوارشيلد Schwarzschild wormhole) الذى اكتشفه اينشتاين و روزن و لهذا فهو يسمى ايضا جسر اينشتاين-و-روزن Einstein-Rosen bridge لانه يربط بين عالمين كما سنبين.
هناك فى الحقيقة شخص آخر غير معروف اكتشف هذا الثقب-الدودى قبل اينشتاين و روزن ب 20 سنة يسمى لودويغ فلام Ludwig Flamm لكن لم يأخذ حظه من الشهرة الا فى الدوائر الضيقة لتاريخ الفيزياء. اذن كل شخص و حظه فى العلم كما فى الدنيا.
هذا الثقب-الدودى هو حل مضبوط لمعادلات اينشتاين للنسبية العامة و الا لما كنا تكلمنا عنه اصلا.
مخطط بنروز Penrose diagram لهذا الثقب-الدودى موجود فى المربع الى يمين الصورة. مخطط بنروز هو المخطط الذى يختزل جميع الفضاء-زمن فى مربع و هو احد انجازات بنروز استاذ هاوكينغ و الذى تحصل على نوبل العام الماضى.
الخطوط الخضراء المقوسة فى مخطط بنروز هى المفردة singularity. هناك مفردة للثقب الابيض (اسفل) و هناك مفردة للثقب الاسود (اعلى).
الخطوط المستقيمة الوردية فى مخطط بنروز هى افق حدث الثقب الاسود و الخطوط المستقيمة الحمراء هى افق حدث الثقب الابيض.
لاحظوا الخط الابيض المتحرك الذى هو مفردة الثقب-الدودى كيف كانت منطبقة على مفردة الثقب الابيض فى بداية التفاعل ثم تطورت حتى تصبح منطبقة على مفردة الثقب الاسود فى نهاية التفاعل.
هذا الثقب-الدودى غير-قابل-للعبور non-traversable لانه كما يبينه التفاعل هو غير مستقر و يتهافت بسرعة شديدة الى ثقبين اسودين.
لكنه من الناحية المبدأية يمكن ان يربط العالم الذى نعيش فيه (الربع فى مخطط بنروز الموجود على اليمين) مع عالم آخر مكافئ لعالمنا لكن منقطع سببيا بالكامل عن عالمنا (الربع فى مخطط بنروز الموجود على اليسار).
هذان العالمان لا يمكن ان يتواصلا الا عبر الثقب-الدودى و من هنا تكمن اهمية جعل هذه الثقوب-الدودية مستقرة قابلة-للعبور traversable.
مرجع الفيلم: اندرو هاميلتون Andrew Hamilton.
Subscribe to:
Posts (Atom)